最新2019-2020年度人教版八年级数学上册《课题学习-最短路径问题》教学设计-优质课教案

13.4 课题学习最短路径问题

【教学目标】

教学知识点

能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.

能力训练要求

在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与价值观要求

通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学.

【教学重难点】

重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.

难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.

突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.

【教学过程】

一、创设情景引入课题

师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.

(板书)课题

学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.

二、自主探究合作交流建构新知

追问1:观察思考,抽象为数学问题

这是一个实际问题,你打算首先做什么?

活动1:思考画图、得出数学问题

将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.

追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?

师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地;

(2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图).

强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”

活动2:尝试解决数学问题

问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?

追问1 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗?

问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB的和最小?

师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充

如果学生有困难,教师可作如下提示

作法:

(1)作点B 关于直线l 的对称点B';

(2)连接AB',与直线l 相交于点C,则点C 即为所求.

如图所示:

问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?

教师展示:证明:如图,在直线l 上任取一点C'(与点C 不重合),连接AC',BC',B'C'.

由轴对称的性质知,

BC =B'C,BC'=B'C'.

∴AC +BC= AC +B'C = AB',

AC'+BC'= AC'+B'C'.

在△AC'B'中,

AC'+B'C'>AB',

∴当只有在C点位置时,

AC+BC最短.

方法提炼:

将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.

问题4

练习如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返回P 处,请画出旅游船的最短路径.

基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC 的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR 的和最小”.

问题5 造桥选址问题

如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)

思维分析:1.如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?

2.利用线段公理解决问题:我们遇到了什么障碍呢?

思维点拨:在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢?(估计有以下方法)

1.把A平移到岸边.

2.把B平移到岸边.

3.把桥平移到和A相连.

4.把桥平移到和B相连.

教师:上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢?请检验.

1、2两种方法改变了.怎样调整呢?把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?

问题解决:如图,平移A到A1,使AA1等于河宽,连接A1B交河岸于N.作桥MN,此时路径

AM+MN+BN最短. 理由:另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1. 由平移性质可

知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1. AM+MN+BN转化为AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1转化为AA1+A1N1+BN1. 在△A1N1B中,由线段公理知A1N1+BN1>A1B.因此AM1+M1N1+BN1> AM+MN+BN,如图所示:

三、巩固训练

(一)基础训练

1.最短路径问题

(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即

为所求.

如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点.

(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.

如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B',则点C是直线l与AB'的交点.

2.如图,A和B两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)

如图,问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+QB.桥MN和PQ在中间,且方向不能改变,仍无法直接利用“两点之间,线段最短”解决问题,只有利用平移变换转移到两侧或同一侧.平移的方法有三种:两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处,PQ平移到B点处.

(二)变式训练

如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.

(1)若要使厂部到A,B村的距离相等,则应选择在哪建厂?

(2)若要使厂部到A,B两村的水管最短,应建在什么地方?

(三)综合训练

茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?

图a 图b

四、反思小结

(1)本节课研究问题的基本过程是什么?

(2)轴对称在所研究问题中起什么作用?

解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法?

你还有哪些收获?

五、作业布置

课本93页第15题.

新人教版初中数学八年级上册《第十三章轴对称：13.4课题学习最短路径问题》赛课教案_5

《最短路径问题--课题复习》导学案导学目标:1.复习最短路径问题的解决方法和思想。2.能利用轴对称或平移解决实际问题中路径最短的问题。 3.通过独立思考，合作探究，培养运用数学知识解决实际问题的能力，感受收获的快乐。导学重点：掌握运用轴对称或平移解决生活中路径最短的问题。导学难点：掌握确定出最短路径的常用方法。导学过程：一、回首旧知 1.基础知识回顾 (1)两点的所有连线中，。 (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，。 (3)三角形的任意两边之和_________第三边，任意两边之差________第三边。 (4)线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离____________。 2.基本方法回忆（1）求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小（作图并说明理由）分析：直接运用两点之间线段最短解决 A· l ·B （2）求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小（作图）分析：运用轴对称将所求线段之和转化为一条线段的长。 ·B A· l 小组合作探究：为什么这样做最短? 请证明你所得出的结论。变式训练: 在图中两条直线上分别求一点M、N使三角形MAN的周长最小。分析：如何运用轴对称将三条线段（三个边）之和转化为一条线段的长。

（3）、造桥选址问题中的最短路径问题：从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？分析：选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.在解决最短路径问题时,我们还可以利用平移变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题．思考：沿哪个方向平移可以把AM和BN对接到一起？小组合作归纳：在解决最短路径问题时，我通常利用__________、___________等变化，把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。三.课堂练习 ( 1）.某班举行晚会,桌子摆成如图所示两直排(AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,坐在C 处的小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短？

八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题教案新版新人教版

13.4课题学习最短路径问题 ◇教学目标◇ 【知识与技能】能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 【过程与方法】体会图形的变换在解决最值问题中的作用. 【情感、态度与价值观】通过解决问题感悟转化思想,进一步获得数学活动的经验,增强数学的应用意识. ◇教学重难点◇ 【教学重点】如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 【教学难点】利用图形变换进行线段的转移. ◇教学过程◇ 一、情境导入如图,从A地到B地有三条路可供选择,你会选择哪条路距离最短?说说你的理由. 二、合作探究探究点1三角形周长最短的问题典例1如图,∠AOB的内部有一点P,在射线OA,OB边上各取一点P1,P2,使得△PP1P2的周长最小,作出点P1,P2,叙述作图过程(作法),保留作图痕迹. 第 1 页共 3 页

[解析]如图,作点P关于直线OA的对称点E,点P关于直线OB的对称点F,连接EF交OA 于点P1,交OB于点P2,连接PP1,PP2,△PP1P2即为所求. 理由:∵P1P=P1E,P2P=P2F, ∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+P1P2+P2F=EF, 根据两点之间线段最短,可知此时△PP1P2的周长最短. 探究点2坐标系中的将军饮马问题典例2如图,A,B两个村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车从原点O出发在x 轴上行驶. (1)汽车行驶到什么位置时离A村最近?写出这点的坐标. (2)汽车行驶到什么位置时离B村最近?写出这点的坐标. (3)汽车行驶到什么位置时,到两村距离和最短?请在图中画出这个位置. [解析](1)由垂线段最短可知当汽车位于点(2,0)处时,汽车距离A点最近. (2)由垂线段最短可知当汽车位于点(7,0)处时,汽车距离B点最近. 第 2 页共 3 页

数学人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题教案

13.4课题学习最短路径问题教案教学目标：通过问题1进一步熟悉轴对称作图以及平移变换作图等基本技能，体会如何以这些素材为载体，利用本章所学的轴对称等知识解决一类实际问题——选择最短路径问题.在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，获得解决此类问题的基本套路及经验，发展空间观念，激发内在兴趣. 重点难点：重点：思路获取及问题解决难点：理解轴对称在选择最短路径问题中的作用. 教学方法：问题——探究教学法（几何画板辅助）教学过程：一、创设情境引入问题师：首先请同学们看大屏幕.（介绍下图）并依此提出下面三个问题：问题一：牧马人从A处回到B处休息，怎么走可使路径最短？问题二：牧马人从A处到河边l 处饮马，怎么走可使路径最短？问题三：牧马人从A地出发，先到一条笔直的河边l 处饮马，然后到B地休息.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？生：思考、讨论并交流. 师：我们把“两点之间，线段最短”，“垂线段最短”等问题称为最短路径问题.本节课我们将结合轴对称知识继续体会在下面的问题中如何选择最短路径.（引出课题）二、问题引领层级递进师：首先请看大屏幕:(投影展示) “牧马饮水问题1”：如图，牧马人从A地出发，先到河边某处饮马，再穿过小河回到B处，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？请画出最短路径.

生：思考并讨论，口述证明. 师生共同归纳：当点A、B位于直线l 的异侧时，连接AB，与直线l 的交点，即为直线l 上到A、B距离之和最短的点．师：接下来，请看 “牧马饮水问题2”：如图，牧马人从A地出发，先到河边某处饮马，再回到B处，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？请画出最短路径. 生：思考并讨论，口述证明. 师生共同归纳：当点A、B位于直线l 的同侧时，作点B关于直线l的对称点B1，连接AB1，与直线l的交点，即为直线l上到A、B距离之和最短的点. 师：接下来，请看 “牧马饮水问题3”：如图，牧马人从A地出发，先到草地边某处牧马，再到河边饮马，然后回到A处，请画出最短路径.

人教版八年级上册数学教案13.4课题学习最短路径_将军饮马问题教学设计

课题学习最短路径问题~将军饮马一、内容和内容解析 1．内容利用轴对称研究某些最短路径问题. 2．内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力. 二、目标和目标解析 1.教学目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识． 2. 教学目标解析学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想．三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手. 对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路. 在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用. 教学时，教师可从“直线同侧的两点”过渡到“直线异侧的两点”，为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时，教师可告诉学生，证明“最大”“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来

人教版八年级上册13.4课题学习-最短路径问题教案

课题： 13.4课题学习最短路径问题教学内容最短路径问题教学目标知识与技能：通过对最短路径问题的探索,进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短. 过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程,培养学生解决问题的能力,掌握探索最短路径问题的思想和方法. 情感、态度与价值观：在数学教学活动中获得成功的体验,树立自信心,激发学生的学习兴趣,让学生感受数学与现实生活的密切联系. 教学重点应用所学知识解决最短路径问题. 教学难点选择合理的方法解决问题. 教学方法合作交流，讲练结合. 教学准备多媒体课件，三角板. 教学过程设计设计意图教学过程一、复习引入 (1)两点所连的线中,最短. (2)连接直线外一点与已知直线上各点的所有线段中, 最短. 我们研究过以上这两个问题,我们称它们为最短路径问题.同学们通过讨论下面两个问题,可以体会如何运用所学知识选择最短路径.(揭示课题) 二、新知探究问题1 首先我们来研究河边饮马问题. (河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短? 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l 上找到一个点,使得这个点到点A,点B的距离的和最短? 连接AB,与直线l相交于一点,根据“两点之间,线段最短”,可知这个交点即为所求. 【思考】如果点A,B分别是直线l同侧的两个点,又应该如何解决? 复习旧知，为新课学习提供理论依据.

讨论交流. (1)牧马人到笔直的河边饮马,河边可以近似看成一条直线,假设到C点饮马,要保证所走的路径最短和哪些线段有关? (2)要利用我们学过的哪些知识?要经过怎样的图形变换转移到一条线段上? 分组交流合作,在小组内达成共识的基础上,推选代表进行板演. 幻灯片演示画法,指导学生证明AB'=AC+BC.(B,B'两点关于直线l对称) 如果在直线上另外任取一点C',连接AC',BC',B'C'.怎样证明AC+CB

课题学习最短路径问题教学设计-2020年秋人教版八年级数学上册

课题学习最短路径问题 13.4 课题学习最短路径问题一、内容和内容解析 1．内容利用轴对称、平移变化研究某些最短路径问题． 2．内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究．本节课以“牧马人饮马问题”和“造桥选址问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用轴对称、平移变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．二、目标和目标解析 1．目标能利用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟化归思想． 2．目标解析达成目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河边”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称、平移变化，将不共线的点、线转化到一条直

线上，从而将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称、平移的“桥梁”作用，感悟化归思想．三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手. 解答“当点A，B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难．在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到．教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小”，为学生搭建桥梁. 在证明“最短”时，教师要适时点拨学生，让学生体会“任意”的作用．本节课的教学难点是：如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题．四、教学过程设计回顾前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，同学们通过讨论下面两个问题：“牧马人饮马问题”和“造桥选址问题”，可以体会如何运用所学知识选择最短路径. 1．将实际问题抽象为数学问题问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

人教初中数学课标八年级上册第十三章13.4 课题学习最短路径问题教案

课堂教学设计表章节名称§13.4 课题学习最短路径问题学时 1 学习目标课程标准：《数学课程标准（实验稿）》第三学段（7-9年级）利用轴对称、平移研究某些最短路径问题。本节（课）学习目标：知识和能力:理解“两点之间线段最短”的结论并能用这一结论解释一些简单的问题. 过程和方法:经历观察、实验、猜想等数学活动发展合情推理能力能有条理地、清晰地阐述自己的观点, 初步学会从数学的角度提出问题、理解问题并能应用所学知识解决问题；学会与他人合作并能与他人交流思维的过程和结果.问题情境——组织数学活动——引导自主、合作学习——实践活动、探索新知——问题解决情感态度和价值观:积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．学生特征二(9)学生好奇心、求知欲强，思维活跃，富有个性，他们的动手能力、感知能力和思考能力都有明显提高，学生已学过轴对称、平移等相关知识，虽然他们以前很少涉及最值问题，经验尚显不足，但学生对运用轴对称、平移等数学知识解决问题兴趣很浓。学习目标描述知识点编号学习目标具体描述语句 1 情境引入在创设的温馨情境中复习“两点之间，线段最短”等知识点 2 引导思考为什么要学，怎么样去学？ 3 展示课题明确研究目标 4 探究铺垫引导学生体会如何将实际问题转化为数学问题 5 牧民的困惑这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 6 位置探究一饮马的地点有无数个，怎样找出使两条线段和最短的直线上的点并证明 7 造桥选址问题你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 8 位置探究二体会“桥梁”的作用，感悟转化思想，丰富数学基本活动经验 9 目标检测（1、2、3）让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法 10 师生小结引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会轴对称和平移在解决问题中的作用，感悟转化思想的重要价值11 作业布置再次让学生加深理解,掌握知识,学会应用. 项目内容解决措施

8数学人教版 -【说课稿】课题学习最短路径问题

课题学习最短路径问题尊敬的各位老师：上午好！我说课的内容是人教版八年级数学上册《课题学习最短路径问题》第一课时，我从以下几个环节来说。一、教材分析 1、教材地位和作用在生产和经营中为了省时省力常希望寻求最短路径，因此最短路径问题在现实生活中是经常遇到的问题。本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题“的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段和最短问题，再利用轴对称将线段和最小转化为两点之间，线段最短问题，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活。 2、教材重难点基于以上分析，我认为本节课的重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题. 由于学生第一次遇到要找线段和最短，无从下手；其次在证明中要另选一点，也会想不到，因此我认为本节课的难点是：（1）如何利用轴对称将最短路径问题转化为两点之间，线段最短问题.（2）如何证明点C即为所求。二、教学目标分析根据新课标的要求及学生的实际情况，制定如下目标：（1）知识与技能：能利用轴对称，两点之间线段最短等知识解决简单的最短路径问题。（2）过程与方法：在将实际问题抽象成数学问题的过程中,提高学生分析问题、解决问题的能力。（3）情感与价值观：通过有趣的实际问题提高学生学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性。三、教法、学法分析教法：以老师为主导、学生为主体的引导式方式由浅入深的去教学。学法：采用学生自主探索、合作交流的学习方式去学习。四、教学过程设计一）创设情景引出课题学生完成导学单上两个复习题（1）作对称点的问题（2）蚂蚁怎么爬路程最短的问题。师生共同评价后引出课题。设计意图：通过复习，引导学生回忆作对称点的方法，“两点之间，线段最短”的结论，转化的数学思想，为后面的学习打下良好的基础。二）引导探究合作交流

人教版数学八年级上册《最短路径问题》课件

教学时间授课班级初二（2）班授课人课题 13.4 课题学习最短路径问题课时第一课时课型新课教学内容解析内容利用轴对称研究某些最短路径问题内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短” 为基础知识，有时候还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节课以数学史中的一个经典问题－“将军饮马问题”为载体展开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）的问题. 基于以上分析，确定本节课的重点为：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 教学目标解析目标知识与技能：能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用. 过程与方法：在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想. 情感与价值观：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性. 目标解析目标的具体要求是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象成数学中的“点”“线”，把实际问题中的最短路径抽象成数学中的线段和最小问题；能利用轴对称将直线上的点与同侧两点所连线段和最小问题转化成直线上的点与异侧两点所连线段和最小问题，即“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理说明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.

学生学情分析最短路径问题本质上就是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚不足，特别是面对具有实际问题背景的最值问题，更会感到陌生. 解答“当点A,B在直线l的同侧时，如何在l上找C,使得AC与CB的和最小”需要将其转化为“直线l异侧两点，与l上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难. 在说明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），说明所连线段和大于所求线段和，这里可以利用“三角形任意两边和大于第三边”来说明，也可以直观展示给学生.这种思路和方法，一些学生想不到. 教学过程中，首先让学生思考“直线l异侧两点，与l上的点的线段和最小”为学生搭建“脚手架”.在说明“最短”时，适当点拨学生，学生要体会到“任意”的作用. 因此，本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，如何说明“最短”．教学准备多媒体课件教学方法自主学习，合作探究课堂教学程序设计设计意图一、创设情景引入课题前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”. 出示问题情境学生思考,并观察图片,获得感性认识. 二、自主探究合作交流建构新知 1、将实际问题抽象为数学问题问题1、你能将这个问题抽象为数学问题吗？活动1:思考画图，将A,B 两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线. 引入课题，问题情境，激发学生学习兴趣和探究欲望.

最短路径文题初中八年级上册数学教案教学设计课后反思人教版

最短路径问题

教学过程

重点难点 2．选择合理的方法解决问题。课前准备分析教材、分析学情、设计教学过程、撰写教案、制作课件。教学过程一、引言最短路径问题旨在寻找图中不同结点之间的最短路径。二、涉及知识点： 1.两点之间线段最短。 2.垂线段最短。 3.三角形三边关系。 4.轴对称。 5.平移。三、讲授知识（需要学生准备演草纸、铅笔、橡皮、中性笔等学具）问题一：一位将军从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后回到军营B地，问到河边什么地方饮马可使将军所走的路程最短？对于问题一，需要进一步解释为什么M点是所求的点，并在黑板上板书，进而解释如果不是M点就不是最短路径，在解释的过程中需要用

到“轴对称”“两点之间线段最短”“三角形三边关系”等知识点，注意要让学生理解透彻。问题二：牧马营地在P地，一位牧马人赶着马群从P地出发，先到一条笔直的河边饮马，再到草场吃草，最后回到P地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线。问题二变式：如果原题中牧马人最后回到Q地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线。问题三：A地和B地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，问桥造在何处可使A地和B地之间的路径最短？

问题四：A点是直线m上一定点，B点是直线n上一定点，在直线m 上求点M，在直线n上求点N，使得AN+NM+MB的值最小。四、随堂练习 1.在等边三角形ABC中，边BC的高AD=4，点P是高AD上的一个动点，点E是边AC的中点，在点P运动的过程中，存在PE+PC的最小值，则这个最小值是多少？ 2.荆州古城河如图所示，河宽相同，从A地到达B地，须经过两座桥，两座桥都是东西、南北方向的，问怎样架桥可使两地间的路径最短？五、归纳总结 1.本节课你学到了哪些知识？ 2.怎样解决最短路径问题。

《课题学习最短路径问题》教学设计八年级数学(上册)

课题学习最短路径问题》教学设计八年级数学（上册）教学目标： 1.会用轴对称变换确定最短路径；会根据“两点之间，线段最短”进行简单的逻辑推理。 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟图形类比转化的思想。 3.掌握几何变换在实际问题中应用的方法，并积累经验。 4.体验数学活动的探索性和创造性，培养独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。教学重难点：重点：用轴对称变换解决实际问题中的最短路径问题。难点：体会图形的变化在解决实际问题中的作用，感悟图形类比转化的思想教学过程：一、创设情境，提出问题 1.谈话激趣：同学们，在生活中，我们遇事往往都想走捷径，但又有人常说成功路上没有捷径，说到“捷径”让我想到几个常用的数学名词：“最短”“最小值”，同学们你们能否回想一下，我们都学习过哪些关于最短的数学问题呢？ 2.复习引入：星期六，岳東霖在打篮球，家长打电话说有急事要他赶回家，有三条回家路线供他选择。A点是篮球场，B点是岳東霖的家，连接A、B两点的所有连线中，你猜他会选哪条路回家呢？为什么？

3•引申提问：现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点C,使得AC+BC的距离最短？连接AB,与直线l相交于一点C.“两点之间，线段最短” 能否能将点B“移”到l的另一侧B'处，即点A、B'分别是直线l同侧的两个点，满足CB与CB'的长度相等？师生活动：教师引导学生利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点。 4•小结：我们把像两点之间线段最短、垂线段最短等这样的问题统称为“最短路径问题”。今天我们就一起来研究一类新的最短路径问题——将军饮马。【设计意图：从学生已经学过的知识和日常生活经验入手，思考、操作、感悟、归纳，为进一步丰富、完善知识结构奠定基础。】二、师生互动，探究问题“将军饮马” 观看视频，出示问题：将军从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？思考：你能根据题意把他转化成数学模型吗？--转化为数学问题(师生活动:引导学生尝试画图探究) 探究1.当点C在直线l的什么位置时，AC+BC最短？ (1)讨论交流：如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，你能在直线l上找一点C，使得AC+BC最短吗?

人教版初中数学八年级上册课题学习最短路径问题-“衡水杯”一等奖

《课题学习最短路径问题》教学设计兴城市高家岭中学武子禁一、教学内容分析随着新一轮课程改革的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了数学问题的数学应用性。本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．二、学情分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，首次遇到某条线段与线段和最小，所以无从下手，另外证明两条线段和最小时要选取另外一点，学生想不到，无从下手，但是学生已经学习了轴对称的知识以及三角形两边之和大于第三边的知识，七年级时也学习了对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，这就需要用到轴对称的知识。三、教学目标 1能将实际问题中的已知抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题； 2能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题； 3能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想．四、重点与难点本节课的教学重点是：将实际问题抽象为数学问题；将同侧两点转化为异侧两点。本节课的教学难点是：利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短。五、教学过程设计活动1【导入】创设情境、导入新课小美女，把你的课堂笔记拿给老师看看，谢谢，请问，你刚才为什么要选择从这条路径走，而不是绕外围呢同学们，你们能用我们的数学知识来解释这个生活常识吗现实生活中，我们常常涉及到选择最短路径问题，今天我们将利用大家前一阶段所学的知识解决生活中的实际问题： § 课题学习最短路径问题让我们穿越时空，回归到遥远的古希腊，来探究数学史上著名的“将军饮马问题”。

初中数学_13.4课题学习最短路径问题教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计单元（章节）轴对称课题课题学习：最短路径课时 1 课型新授课教具三角板、圆规 PPT 主备人课时教学目标 1．能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题.（重点） 2．体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想（难点）板书设计最短路径问题教学流程环节设计教与学（以教导学，以学为主）随记一、复习导入二、授课过程（例1自主-学生代表回答）例2（小组讨论-教师点拨-师生合作共同证明） 1.轴对称的性质 2.如何画轴对称图形. 探究点一：饮马问题【类型一】两点同侧例1如图，有一位将军骑着马从A点的军营出发返回河对岸的B点的家中，途中要经过河L，让马去河里喝水。该如何选择路线，让将军回家的路线最短. 你能将这个问题抽象为数学问题吗？【类型二】两点异侧例2现在将军把家的位置搬到了河的对岸，和自己的军营同侧，这次如何选择路线呢？此题首先抽象成数学模型：一线两点模式.接着利用两点之间线段最短即可得出结论. B A l B A

例3（师生合作-小组讨论- 教师点拨）三、课堂达标解析：可以将例2转化成例1的模式，此时需要找到其中一点的对称点，连接对称点和另一点即可作答. 探究点二：造桥选址问题例3如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解析：将两条线合并成一条，转化成例2的模式，方可解答 1.如图，正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则作点P使△PBQ的周长最小. 2.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1， 4）、（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C 三点不在同一直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标___． A．(0，0) B．(0，1) C．(0，2) D．(0，3) 此题先要明确两条河之间的距离是不变的，将两条河岸压缩成一条即可转化成例2的模式. B A

最短路径问题教学设计人教版八年级上册数学

13.4课题学习最短路径问题教学设计

我们可以将实际问题抽象为数学问题：我们可以把两条桌子看成两条线段AB和CD，E为学生坐的座位，E到AB的点为F，E到CD的点为H，F 和H为两动点，当F和H在什么位置时，EF+FH+HE最小？由这个问题，我们可以联想到下面的问题：牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到河对岸的B地喂马. 同样的，我们可以简化成几何图形问题：如图，点A，B分别是直线l 异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？利用我们以前学过的知识：“两点之间，线段最短”和“直线外一点到直线的距离，垂线段最短”，将A、B两点连接起来，与直线l相交于C点，这个C点即为所求. 但是，现在的这个问题和它不同，那我们能不能同样利用“两点之间，线段最短”这个理论呢？我们可以利用轴对称，作E点关于CD的对称点E′，作E点关于AB 的对称点E″，连接E′E″，与AB相交于F点，与CD相交于H点. 以例题结合我们曾经学过的“将军饮马”问题，通过“两点之间，线段最短”来探讨“将军饮马”的变式问题. 回顾将军饮马的经典问题，让学生对新知与旧知之间的关系进行对比和分析，从而达到转化新知的目的，通过老师的引导让学生思考最终发现迁移旧知解决新的问题. 让学生体会由两定一动一定线型的最短路径问题拓展到一定两动

由轴对称的性质可知：EH=E′H，EF=E″F 当E″F+E′H+FH最短时，EF+FH+HE最短又∵两点之间，线段最短即：当E′E″成一条线段时，E″F+E′H+FH最短，EF+FH+HE也最短.两定线类型问题间的关系，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识．下边我们来看一看另一类问题问题2：有一个牧民，他喂了一群马，每天早上，牧民都得到放置水桶的E点去取水桶，然后到远处的小河CD处挑水，最后将水挑到水槽AB处，倒入槽中，让马都可以喝到水，那么，牧民怎么走，才能让自己的行进线路最短呢？首先，我们可以把水槽和小河抽象成两条直线，取水点F，可以看成CD上的一个动点，取水回来，将水倒到H点，那么，上面的问题可以转化为：当点F在CD上的什么位置时，EF和FH的和最小. 我们可以将E点对称到河对岸，然后比较不同的F点时，这两条线段距离之和.通过轴对称变化和“点到直线的距离，垂线段最短”来解决“将军饮马”的变式问题. 让学生自己亲身经历实际问题转化成数学问题的过程，提高学生解决实际问题的能力.

人教版八年级上册数学13.4 课题学习《最短路径问题》教案设计

13.4课题学习《最短路径问题》教学设计教学目标：知识与技能：通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短。过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想好方法。情感态度与价值观：在数学学习活动中活动成功的体验，树立自信心，激发学习的兴趣，感受到数学与现实生活的密切联系。教学重点：运用所学知识解决最短路径问题。教学难点：选择合理的方法解决问题。教学过程：最短路径问题（1）出示如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？两点之间，线段最短 (2)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，

只要连接这两点，与直线的交点即为所求．例1：如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ :解：如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．归纳：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．例2：如图，如果A，B在燃气管道L的同旁，泵站应修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？分析：点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，

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新人教版初中数学八年级上册《第十三章轴对称：13.4课题学习最短路径问题》赛课教案_5