八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题教案新版新人教版
13.4课题学习最短路径问题
◇教学目标◇
【知识与技能】
能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
【过程与方法】
体会图形的变换在解决最值问题中的作用.
【情感、态度与价值观】
通过解决问题感悟转化思想,进一步获得数学活动的经验,增强数学的应用意识.
◇教学重难点◇
【教学重点】
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.
【教学难点】
利用图形变换进行线段的转移.
◇教学过程◇
一、情境导入
如图,从A地到B地有三条路可供选择,你会选择哪条路距离最短?说说你的理由.
二、合作探究
探究点1三角形周长最短的问题
典例1如图,∠AOB的内部有一点P,在射线OA,OB边上各取一点P1,P2,使得△PP1P2的周长最小,作出点P1,P2,叙述作图过程(作法),保留作图痕迹.
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[解析]如图,作点P关于直线OA的对称点E,点P关于直线OB的对称点F,连接EF交OA 于点P1,交OB于点P2,连接PP1,PP2,△PP1P2即为所求.
理由:∵P1P=P1E,P2P=P2F,
∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+P1P2+P2F=EF,
根据两点之间线段最短,可知此时△PP1P2的周长最短.
探究点2坐标系中的将军饮马问题
典例2如图,A,B两个村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车从原点O出发在x 轴上行驶.
(1)汽车行驶到什么位置时离A村最近?写出这点的坐标.
(2)汽车行驶到什么位置时离B村最近?写出这点的坐标.
(3)汽车行驶到什么位置时,到两村距离和最短?请在图中画出这个位置.
[解析](1)由垂线段最短可知当汽车位于点(2,0)处时,汽车距离A点最近.
(2)由垂线段最短可知当汽车位于点(7,0)处时,汽车距离B点最近.
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(3)如图所示,过点A作关于x轴的对称点A',连接A'B,A'B与x轴的交点即为所求.
三、板书设计
最短路径问题
最短路径问题
◇教学反思◇
本节的内容是最短路径问题,知识点应安排逐步的生成过程,环环相扣,一步步上,要将问题分解,化大为小,化难为易,降低难度.要认真分析预备知识,把新知识放在旧知识的基础上,通过复习慢慢引出新的内容,这样学生更容易掌握,更容易接受,不会产生畏难情绪,反而觉得轻松自如.
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最新人教版八年级数学上册《最短路径问题》教学设计(精品教案)
13.4 课题学习最短路径问题 学习目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.（重点） 2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.（难点） 教学过程 一、情境导入 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题 例1：如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修
建才能满足要求？（画出图形，做出说明。） 解析：利用两点之间线段最短进而得出答案. 解：如图所示：连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短. 【方法总结】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标练习” 第2题 【类型二】运用轴对称解决距离最短问题 例2：在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点． 【方法总结】利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．
人教版初中八年级数学上册第十三章13. 4 课题学习 最短路径问题 优秀教案
13. 4课题学习最短路径问题 通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短. 重点 应用所学知识解决最短路径问题. 难点 选择合理的方法解决问题. 一、创设情境 多媒体展示：如图，一个圆柱的底面周长为20 cm，高AB为4 cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路径. 这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行的最短路径，就是要把圆柱的侧面展开，利用“两点之间，线段最短”求出最短路径.那么怎样求平面图形中的最短路径问题呢？ 二、自主探究 探究一：最短路径问题的概念 1.多媒体出示图①和图②，提出问题： (1)图①中从点A走到点B哪条路最短？(2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？ 2.教师总结：“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题. 探究二：河边饮马问题 多媒体出示问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人从河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 提出问题：如果点A和点B分别位于直线的两侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？ 思考：如果点A和点B位于直线的同侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A 和点B的距离的和最短？ 教师引导学生讨论，明确找点的方法. 让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明. 教师巡视指导学生的做题情况，有针对性地进行点拨.
探究三：造桥选址问题 多媒体出示问题2.(教材第86页) 提出问题： (1)根据问题1的探讨你对这道题有什么思路和想法？ (2)这个问题有什么不同？ (3)要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？ 学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证AMNB最短，就是要保证AM＋MN ＋NB最小. 尝试选址作出图形. 多媒体展示教材图13.4－7，13.4－8，13.4－9，引导学生分析、观察，让学生根据刚才的分析，完成证明过程. 根据问题1和问题2，你有什么启示？ 三、知识拓展 已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？ [让学生讨论有几种爬行的方法，计算出每种方案中的路程，再进行比较] 四、归纳总结 1.本节课你学到了哪些知识？ 2.怎样解决最短路径问题？ 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题学习，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小的问题转化为“两点之间，线段最短”问题.
新人教版初中数学八年级上册《第十三章轴对称：13.4课题学习最短路径问题》赛课教案_5
《最短路径问题--课题复习》导学案 导学目标:1.复习最短路径问题的解决方法和思想。2.能利用轴对称或平移解决实际问题中路径最短的问题。 3.通过独立思考，合作探究，培养运用数学知识解决实际问题的能力，感受收获的快乐。 导学重点：掌握运用轴对称或平移解决生活中路径最短的问题。 导学难点：掌握确定出最短路径的常用方法。 导学过程： 一、回首旧知 1.基础知识回顾 (1)两点的所有连线中，。 (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，。 (3)三角形的任意两边之和_________第三边，任意两边之差________第三边。 (4)线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离____________。 2.基本方法回忆 （1）求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小（作图并说明理由） 分析：直接运用两点之间线段最短解决 A· l ·B （2）求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小（作图） 分析：运用轴对称将所求线段之和转化为一条线段的长。 ·B A· l 小组合作探究：为什么这样做最短? 请证明你所得出的结论。 变式训练: 在图中两条直线上分别求一点M、N使三角形MAN的周长最小。 分析：如何运用轴对称将三条线段（三个边）之和转化为一条线段的长。
（3）、造桥选址问题中的最短路径问题：从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？ 分析：选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.在解决最短路径问题时,我们还可以利用平移变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题．思考：沿哪个方向平移可以把AM和BN对接到一起？ 小组合作归纳：在解决最短路径问题时，我通常利用__________、___________等变化，把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。 三.课堂练习 ( 1）.某班举行晚会,桌子摆成如图所示两直排(AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,坐在C 处的小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短？
最新2019-2020年度人教版八年级数学上册《课题学习-最短路径问题》教学设计-优质课教案
13.4 课题学习最短路径问题 【教学目标】 教学知识点 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想. 能力训练要求 在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与价值观要求 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学. 【教学重难点】 重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题. 难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决. 【教学过程】 一、创设情景引入课题 师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”. (板书)课题 学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识. 二、自主探究合作交流建构新知 追问1:观察思考,抽象为数学问题 这是一个实际问题,你打算首先做什么? 活动1:思考画图、得出数学问题 将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗? 师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图). 强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题” 活动2:尝试解决数学问题 问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? 追问1 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗? 问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB的和最小? 师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充 如果学生有困难,教师可作如下提示 作法: (1)作点B 关于直线l 的对称点B'; (2)连接AB',与直线l 相交于点C,则点C 即为所求. 如图所示:
八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题教案新版新人教版
13.4课题学习最短路径问题 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 【过程与方法】 体会图形的变换在解决最值问题中的作用. 【情感、态度与价值观】 通过解决问题感悟转化思想,进一步获得数学活动的经验,增强数学的应用意识. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 【教学难点】 利用图形变换进行线段的转移. ◇教学过程◇ 一、情境导入 如图,从A地到B地有三条路可供选择,你会选择哪条路距离最短?说说你的理由. 二、合作探究 探究点1三角形周长最短的问题 典例1如图,∠AOB的内部有一点P,在射线OA,OB边上各取一点P1,P2,使得△PP1P2的周长最小,作出点P1,P2,叙述作图过程(作法),保留作图痕迹. 第 1 页共 3 页
[解析]如图,作点P关于直线OA的对称点E,点P关于直线OB的对称点F,连接EF交OA 于点P1,交OB于点P2,连接PP1,PP2,△PP1P2即为所求. 理由:∵P1P=P1E,P2P=P2F, ∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+P1P2+P2F=EF, 根据两点之间线段最短,可知此时△PP1P2的周长最短. 探究点2坐标系中的将军饮马问题 典例2如图,A,B两个村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车从原点O出发在x 轴上行驶. (1)汽车行驶到什么位置时离A村最近?写出这点的坐标. (2)汽车行驶到什么位置时离B村最近?写出这点的坐标. (3)汽车行驶到什么位置时,到两村距离和最短?请在图中画出这个位置. [解析](1)由垂线段最短可知当汽车位于点(2,0)处时,汽车距离A点最近. (2)由垂线段最短可知当汽车位于点(7,0)处时,汽车距离B点最近. 第 2 页共 3 页
八年级数学上册教学资料(人教版)134 课题学习 最短路径问题学案
13.4《最短路径问题》导学案 一、 学习目标 ①能利用轴对称解决简单的最短路径问题. ②体会图形的变化在解决最值问题中的作用； ③能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想 二、预习内容 自学课本85页，完成下列问题： 追问1：观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动1：思考画图、得出数学问题 将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线． 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ 师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）． 三、探究学习 B A l C B 。 。A l
1、活动2：尝试解决数学问题 问题2 ： 如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充 （2）连接AB ′，与直线l 相交于点C ，则点C 即为所求 四、巩固测评 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时点C 是直线l 与AB 的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，则点C 是直线l 与AB ′的交点． 2.如图，A 和B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN 和PQ.桥分别建在何处才能使从A 到B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河如果学生有困难，教师可作如下提示 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B ′； （一）基础训练：1、最短路径问题 l B ′ C A B
数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题 教案
13.4课题学习最短路径问题教案 教学目标： 通过问题1进一步熟悉轴对称作图以及平移变换作图等基本技能，体会如何以这些素材为载体，利用本章所学的轴对称等知识解决一类实际问题——选择最短路径问题.在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，获得解决此类问题的基本套路及经验，发展空间观念，激发内在兴趣. 重点难点： 重点：思路获取及问题解决 难点：理解轴对称在选择最短路径问题中的作用. 教学方法： 问题——探究教学法（几何画板辅助） 教学过程： 一、创设情境引入问题 师：首先请同学们看大屏幕.（介绍下图）并依此提出下面三个问题： 问题一：牧马人从A处回到B处休息，怎么走可使路径最短？ 问题二：牧马人从A处到河边l 处饮马，怎么走可使路径最短？ 问题三：牧马人从A地出发，先到一条笔直的河边l 处饮马，然后到B地休息.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 生：思考、讨论并交流. 师：我们把“两点之间，线段最短”，“垂线段最短”等问题称为最短路径问题.本节课我们将结合轴对称知识继续体会在下面的问题中如何选择最短路径.（引出课题） 二、问题引领层级递进 师：首先请看大屏幕:(投影展示) “牧马饮水问题1”：如图，牧马人从A地出发，先到河边某处饮马，再穿过小河回到B处，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？请画出最短路径.
生：思考并讨论，口述证明. 师生共同归纳：当点A、B位于直线l 的异侧时，连接AB，与直线l 的交点，即为直线l 上到A、B距离之和最短的点． 师：接下来，请看 “牧马饮水问题2”：如图，牧马人从A地出发，先到河边某处饮马，再回到B处，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？请画出最短路径. 生：思考并讨论，口述证明. 师生共同归纳：当点A、B位于直线l 的同侧时，作点B关于直线l的对称点B1，连接AB1，与直线l的交点，即为直线l上到A、B距离之和最短的点. 师：接下来，请看 “牧马饮水问题3”：如图，牧马人从A地出发，先到草地边某处牧马，再到河边饮马，然后回到A处，请画出最短路径.
最短路径问题(将军饮马为题) 优秀教案
人教版八年级上册第十三章轴对称课题学习最短路径问题 教学设计
课题 人教版八年级上册第十三章轴对称教具准备多媒体课件，正方体纸盒 13.4课题学习最短路径问题学具准备正方体纸盒，三角板 课时共（1）课时，第（1）课时执教教师 教材分析 本节课是在学生已经学习了“两点之间，线段最短”“垂线段最短”的基础上，借助轴对称研究以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题． 学情分析 最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手。 教学目标 知识与技能 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用。 3.感悟转化思想。 过程与方法 1.在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力。； 2.渗透数学建模的思想。 情感态度与价 值观 1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. 2.体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学 教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；培养学生解决实际问题的能力. 教学 难点 路径最短的证明 教学过程设计设计意图 一、以旧引新，激情引趣 1、利用101PPT中本课的一道习题，复习“两点之间，线段最短” 为了激发学生的求知欲，利用蚂蚁爬行最短路径问题激情引趣。 充分利用101PPT学科工具中立体展开还原的动画过程，让学生通过观察纸盒的打开过程，寻找蚂蚁的爬行捷径。从而引出线段公理：两点之间线段最短和垂线段的性质：垂线段最短 让学生体会新知识是在原有知识基础上“生长”出来的。以旧引新，给予学生亲切感，树立学好本节课的信心。
人教版八年级上册13.4课题学习-最短路径问题教案
课题： 13.4课题学习最短路径问题 教学内容最短路径问题 教学目标知识与技能： 通过对最短路径问题的探索,进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短. 过程与方法： 让学生经历运用所学知识解决问题的过程,培养学生解决问题的能力,掌握探索最短路径问题的思想和方法. 情感、态度与价值观： 在数学教学活动中获得成功的体验,树立自信心,激发学生的学习兴趣,让学生感受数学与现实生活的密切联系. 教学重点应用所学知识解决最短路径问题. 教学难点选择合理的方法解决问题. 教学方法合作交流，讲练结合. 教学准备多媒体课件，三角板. 教学过程设计设计意图 教学过程一、复习引入 (1)两点所连的线中,最短. (2)连接直线外一点与已知直线上各点的所有线段中, 最短. 我们研究过以上这两个问题,我们称它们为最短路径 问题.同学们通过讨论下面两个问题,可以体会如何运用所 学知识选择最短路径.(揭示课题) 二、新知探究 问题1 首先我们来研究河边饮马问题. (河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条 笔直的河边l饮马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮 马,可使所走的路径最短? 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l 上找到一个点,使得这个点到点A,点B的距离的和最短? 连接AB,与直线l相交于一点,根据“两点之间,线段最 短”,可知这个交点即为所求. 【思考】如果点A,B分别是直线l同侧的两个点,又 应该如何解决? 复习旧知，为 新课学习提供 理论依据.
讨论交流. (1)牧马人到笔直的河边饮马,河边可以近似看成一条直线,假设到C点饮马,要保证所走的路径最短和哪些线段有关? (2)要利用我们学过的哪些知识?要经过怎样的图形变换转移到一条线段上? 分组交流合作,在小组内达成共识的基础上,推选代表进行板演. 幻灯片演示画法,指导学生证明AB'=AC+BC.(B,B'两点关于直线l对称) 如果在直线上另外任取一点C',连接AC',BC',B'C'.怎样证明AC+CB 新人教版八年级数学上【教案】课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题 【教学目标】 教学知识点 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想. 能力训练要求 在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与价值观要求 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学. 【教学重难点】 重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题. 难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决. 【教学过程】 一、创设情景引入课题 师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”. (板书)课题 学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识. 二、自主探究合作交流建构新知 追问1:观察思考,抽象为数学问题 这是一个实际问题,你打算首先做什么? 活动1:思考画图、得出数学问题 将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线. 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗? 师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来 的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图). 强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题” 活动2:尝试解决数学问题 问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? 追问1 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗? 课堂教学设计表 章节名称§13.4 课题学习最短路径问题学时 1 学习目标 课程标准：《数学课程标准（实验稿）》第三学段（7-9年级） 利用轴对称、平移研究某些最短路径问题。 本节（课）学习目标： 知识和能力:理解“两点之间线段最短”的结论并能用这一结论解释一些简单的问题. 过程和方法:经历观察、实验、猜想等数学活动发展合情推理能力能有条理地、清晰地阐述自己的观点, 初步学会从数学的角度提出问题、理解问题并能应用所学知识解决问题；学会与他人合作并能与他人交流思维的过程和结果.问题情境——组织数学活动——引导自主、合作学习——实践活动、探索新知——问题解决 情感态度和价值观:积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 学生特征二(9)学生好奇心、求知欲强，思维活跃，富有个性，他们的动手能力、感知能力和思考能力都有明显提高，学生已学过轴对称、平移等相关知识，虽然他们以前很少涉及最值问题，经验尚显不足，但学生对运用轴对称、平移等数学知识解决问题兴趣很浓。 学习目标描述知识点 编号 学习 目标 具体描述语句 1 情境引入在创设的温馨情境中复习“两点之间，线段最短”等知识点 2 引导思考为什么要学，怎么样去学？ 3 展示课题明确研究目标 4 探究铺垫引导学生体会如何将实际问题转化为数学问题 5 牧民的困惑这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 6 位置探究一 饮马的地点有无数个，怎样找出使两条线段和最短的直线上的点 并证明 7 造桥选址问题 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题 吗？ 8 位置探究二体会“桥梁”的作用，感悟转化思想，丰富数学基本活动经验 9 目标检测（1、2、3）让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法 10 师生小结 引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会 轴对称和平移在解决问题中的作用，感悟转化思想的重要价值11 作业布置再次让学生加深理解,掌握知识,学会应用. 项目内容解决措施 13．4课题学习最短路径问题 1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点) 2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点) 一、情境导入 相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】两点的所有连线中，线段最短 如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明) 解析：利用两点之间线段最短得出答案． 解：如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短． 方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 【类型二】运用轴对称解决距离最短问题 在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M；(3)点M 即为所求的点． 方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解． 【类型三】最短路径选址问题 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 解析：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B 交EF于点N，即可得出答案． 解：(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置； 13.4课题学习《最短路径问题》教学设计 教学目标： 知识与技能：通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短。 过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想好方法。 情感态度与价值观： 在数学学习活动中活动成功的体验，树立自信心，激发学习的兴趣，感受到数学与现实生活的密切联系。 教学重点：运用所学知识解决最短路径问题。 教学难点： 选择合理的方法解决问题。 教学过程： 最短路径问题 （1）出示如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？ 两点之间，线段最短 (2)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题， 只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 例1：如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ :解：如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点． 归纳：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 例2：如图，如果A，B在燃气管道L的同旁，泵站应修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 分析：点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点． 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下： 证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称， 13.4最短路径问题 杨柳池民族中学许昌荣 一、教学内容：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。 本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。 二、教学目标 1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题 2、再谈岁最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。 三、教学重难点 重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。 难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。 四、教学问题诊断 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。 解答“当点A\B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。 在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。 教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与直线l上的点的和最小”为学生搭建“脚手架”，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。 五、教学过程 教师引语：现实生活中经常会有这样的生活经历，比如学校虽然为我们铺设了一些石板甬路，方便同学们的行走，但是很多时候我们却并不在这些小路上行走，这样做的目的是什 13.4课题学习最短路径问题教学设计 我们可以将实际问题抽象为数学问题：我们可以把两条桌子看成两条线段AB和CD，E为学生坐的座位，E到AB的点为F，E到CD的点为H，F 和H为两动点，当F和H在什么位置时，EF+FH+HE最小？ 由这个问题，我们可以联想到下面的问题：牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到河对岸的B地喂马. 同样的，我们可以简化成几何图形问题：如图，点A，B分别是直线l 异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 利用我们以前学过的知识：“两点之间，线段最短”和“直线外一点到直线的距离，垂线段最短”，将A、B两点连接起来，与直线l相交于C点，这个C点即为所求. 但是，现在的这个问题和它不同，那我们能不能同样利用“两点之间，线段最短”这个理论呢？ 我们可以利用轴对称，作E点关于CD的对称点E′，作E点关于AB 的对称点E″，连接E′E″，与AB相交于F点，与CD相交于H点. 以例题结合我们曾经学过的“将军饮马”问题，通过“两点之间，线段最短”来探讨“将军饮马”的变式问题. 回顾将军饮马的经典问题，让学生对新知与旧知之间的关系进行对比和分析，从而达到转化新知的目的，通过老师的引导让学生思考最终发现迁移旧知解决新的问题. 让学生体会由两定一动一定线型的最短路径问题拓展到一定两动 由轴对称的性质可知：EH=E′H，EF=E″F 当E″F+E′H+FH最短时，EF+FH+HE最短 又∵两点之间，线段最短 即：当E′E″成一条线段时，E″F+E′H+FH最短，EF+FH+HE也最短.两定线类型问题间的关系，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识． 下边我们来看一看另一类问题 问题2：有一个牧民，他喂了一群马，每天早上，牧民都得到放置水桶的E点去取水桶，然后到远处的小河CD处挑水，最后将水挑到水槽AB处，倒入槽中，让马都可以喝到水，那么，牧民怎么走，才能让自己的行进线路最短呢？ 首先，我们可以把水槽和小河抽象成两条直线，取水点F，可以看成CD上的一个动点，取水回来，将水倒到H点，那么，上面的问题可以转化为：当点F在CD上的什么位置时，EF和FH的和最小. 我们可以将E点对称到河对岸，然后比较不同的F点时，这两条线段距离之和.通过轴对称变化和“点到直线的距离，垂线段最短”来解决“将军饮马”的变式问题. 让学生自己亲身经历实际问题转化成数学问题的过程，提高学生解决实际问题的能力. 13.4 课题学习最短路径问题 天津南开翔宇学校林一杉 一．内容和内容解析 1.内容 利用轴对称研究某些最短路径问题. 2.内容解析 最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“垂线段最短”为知识基础，有时还要借助对称轴、平移、旋转等变换进行研究. 本节课以孩子们熟知的动画人物灰太狼“要回家”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题.建立数学模型后，主要侧重巩固模型基本要素的识别和应用. 基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 二．目标和目标解析 1.目标 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想. 2.目标解析 达成目标的标志是：学生能将实际问题中的“羊村”、“狼堡”、“小河”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能在模型中准确识别“两点一线”的基本几何要素；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁作用”，感悟转化思想. 三．教学问题诊断分析 最短路径问题从本质上说是最值问题，学生接触的机会较少，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手. 解答“当点A，B在直线l的同侧时，如何在l上找到点P，使AP与BP的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难. 在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到. 教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小”，为学生搭建“脚手架”，.在证明“最短”时，教师要适时点拨学生，让学生体会“任意”的作用. 本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径转化为线段和最小问题. 四．教学过程设计 （一）复习回顾 1.最近天气寒冷，在户外时，恨不得马上找条近路钻进屋子里，下面展示了学校的平面图，当体育课后，要立刻从操场赶往食堂，你会选择哪条路线？运用了什么数学道理？ 《课题学习：最短路径问题》教学设计 一、课程标准解读及地位作用 （1）课程标准解读：《课题学习：最短路径问题》属于综合与实践这一部分，这节课就是综合运用所学的数学思想、方 法、知识、技能解决一些生活和社会中的问题，以实际生 活中的问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，是 培养学生应用意识、创新意识、过程经验很重要的载体， 通过课题学习能够把知识系统化，解决一些实际问题。针 对问题情境，学生借助所学知识和生活经验独立思考或与 他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问 题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与实际生活 之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深 学生对所学数学内容的理解。这种类型的课程应该“少而 精”的原则，保证每学期至少一次，可以在课堂上完成， 也可以将课内外结合. （2）地位及作用：《课题学习：最短路径问题》位于人教版八年级上第十三章《轴对称》，为让学生能灵活的运用两点之 间线段最短、合理使用轴对称、平移等解决最短路径问题 而设置的一节课。本节课是在学习轴对称、等腰三角形的 基础上，引导学生探究如何利用线段公理解决最短路径问 题。它既是轴对称、平移、等腰三角形知识运用的延续， 又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上 起到桥梁作用． 二、教学内容和内容解析 1、内容：利用轴对称研究某些最短路径问题． 2、内容解析：最短路径问题在现实生活中经常遇到，初 中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外 一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知 识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等进行变 换进行研究. 这节课我以数学史中的一个经典问题---将军饮马问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让 学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小值问 题，再利用轴对称将线段和最小值问题转化为“两点 之间，线段最短”问题。基于以上分析，确定本节课 的教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两 点之间，线段最短”问题. 三、目标和目标解析 1、目标：能利用轴对称能利用轴对称和平移变换解决简单 的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的 作用，感悟转化思想． 2、目标解析：达成目标的标志是：学生能将实际问题中的 “地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，经历将实际 13.4.最短路径问题 仙桃市第九中学王月娥 一、内容和内容解析 1．内容 利用轴对称、平移研究某些最短路径问题 2．内容解析 最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短” “连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. . 本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题． 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称﹑平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 二、目标和目标解析 1.目标： （1）能利用轴对称﹑平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用， （2）在探索最短路径的过程中，感悟﹑应用转化思想． 2. 目标解析 达成目标（1）的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，建立数学模型，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，从而将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；并能通过逻辑推理证明所求距离最短． 达成目标（2）的标志是：在探索最短路径的过程中，能借助轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，体会轴对称、平移的“桥梁”作用，感悟转化思想． 三、教学问题诊断分析 最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手. 对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小， 一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路．教学时．教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”． . 对学生而言，造桥选址问题的难度在于河的宽度如何处理，教师可作适时的点拨，如通过平移河岸使它们重合，引导学生朝着平移A或平移B去考虑.. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是：如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题． 四．教学支持条件分析 根据本节内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具， 课题：最短路径问题 3、小组活动：拿出准备好的随堂练习，以小组形式，完成题目。 4、小组展示:不同做法。 师：究竟哪个组的是正确的能，能有什么样的数学依据呢，今天我们学完本节内容，大家便见分晓。 二、新授课： （一）、自主学习 问题： 1.如图，点M到点N之间有三条路线，第最短。 理由：。 2.如图，在一条笔直的公路AB上，有一辆小车P， （1）当小车行驶到AB的什么位置时，小车P到M和N的距离之和最短？出图形，并积极表 达自己的做法。 （小组讨论） 虽然不一定做 对，但要有表达自 己想法的积极性。 提出问题，先由小 组内部讨论解决， 并发表见解，后大 家共同得出明确 的认识。同时，对 知识进行回顾。 小组内部边学习， 边尝试，尽可能的 让学生感受 实际问题转 化为数学问 题的方法，理 解并转化几 何图形， 第1题，个人 基本都解决， 并回忆：两点 之间，线段最 短。 第2题，进一 步感受“两点 之间线段最 短”，为把同 侧两点，转化 为异侧两点 做铺垫。 （2）如右图，当小车行驶到AB 的什么位置时，小车P 到M 和N 的距离之和最短？ 小组展示： 师归纳：在（1）中点M 、N 分别位于AB 两侧，当 小车行驶到MN 与AB 的交点时，和最短；那么第2小题，能不能像1一样，把点M 或点N 转化到1的形式呢?显然，问题可以解决。 师完成板书做图。 师启发：为什么这种做法是最短的，你能用以前所学的知识进行证明吗？我们都学过哪些比较长短的方法? 小组讨论。 小组展示： 表达本组的思想方法。 学生要有一种模仿和转化意识。 理解转化的具体方法，及依据。 小组继续思考证明方法。 展示正确做法。 虽不能都正 确，但培养学 生的一种敢于表达自己 的想法的坚强毅力。 师给学生演示标准的做图要求，并规范做图方法。新人教版八年级数学上【教案】课题学习 最短路径问题
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