初中八年级数学教案-课题学习 最短路径问题-公开课比赛一等奖

课题学习最短路径问题

【教学目标】

1．了解最短路径问题。掌握解决最短路径问题的方法。

2．通过解决最短路径问题的过程培养学生分析问题的能力。

3．通过对最短路径问题的学习，增强应用数学知识解决实际问题的信心。

【教学重难点】

最短路径的选择。

【课时安排】

2课时。

【第一课时】

【教学过程】

一、情景导入。

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径。

二、思考探究，获取新知。

问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短

将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小。

联想：如图所示，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短

两点之间，线段最短。

连接AB，与直线l相交于一点，这个交点即为所求。

如果我们能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为上面的情况。

作出点B关于l的对称点B′，利用轴对称的性质可以得到CB′=CB。

连接AB′，与直线l相交于点C。则点C即为所求。

学生小组合作交流。

三、巩固练习。

1．如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）。

【第二课时】

【教学过程】

一、造桥选址问题。

问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）

（1）C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小。

作出点B关于l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求。

（2）N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AMMNNB最小

将AM沿与河岸垂直方向平移，移动距离为河宽，则A点移到A′点，连接A′B，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN。

二、思考探究，获取新知。

1．牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。

2．如图，已知牧马营地在、N分别是△ABC的边AB．AC上的点，在边BC上求作一点N的周长最小。

三、师生互动，课堂小结。

这节课主要学习了最短路径问题，让学生相互交流体会与收获，并总结本课所学知识。