教学设计4：2.1.1 合情推理

《合情推理》教学设计

●三维目标

1．知识与技能

(1)结合已学过的数学实例，了解归纳推理与类比推理的含义．

(2)能利用归纳和类比的方法进行简单的推理．

(3)体会并认识归纳推理、类比推理在数学发现中的作用．

2．过程与方法

让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系，通过让学生积极参与，亲身经历归纳、类比推理定义的获得过程，培养学生归纳推理、类比推理的思想．

3．情感、态度与价值观

通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识．

●重点难点

重点：归纳推理与类比推理概念的理解，归纳推理与类比推理思想方法的掌握．

难点：归纳推理、类比推理的应用．

通过举例分析归纳推理与类比推理的异同，让学生对两个概念有较深刻的理解，突出本节重点，通过例题讲解总结归纳推理与类比推理的应用方法及解题规律，强化训练有关题型，化解难点．

教学思路

1．关于归纳推理的教学

教学时要从具体的事例出发，让学生参与猜测，引导学生归纳，激发学生学习的兴趣，总结归纳推理的过程，让学生自己去发现归纳推理的应用方法与技巧．通过适量的练习使学生掌握观察、猜测、归纳、论证各环节的规律方法，并能灵活应用．

2．关于类比推理的教学

类比推理的难度要大于归纳推理，教学时应该借助实例帮助学生学会分析类比对象之间的异同点，学会由已知对象的性质、特征联想类比对象的相应性质特征．通过适量练习让学生逐步掌握类比的技巧方法．引导学生总结并掌握常见的类比结论．

教学流程

创设问题情境，引出问题，猜想数列的项及三角形内角和，引入归纳推理的概念．创设问题情境，引出问题，由三角形的性质，推测空间四面体的性质，从而引出类比推理的概念．创设问题情境，通过归纳推理、类比推理的概念，引出合情推理的概念．引导学生分析例题1，找出图案的个数变化，猜想出排列规律，从而计算出第六个图案的个数．总结方法，完成变式训练．

完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．讲解例题3，指出解题误区及如何避免，总结合情推理的应用类型解题方法．引导学生分析例题2，指出相对应的类比元素，三边对四面，高对高推测结论，并给出证明，总结类比方法，引导学生完成互动探究．

自主学习

一归纳推理

【问题导思】

1．数列{a n}中，a1＝，a2＝，a3＝，a4＝.你能猜出a5的值吗？

【提示】a5＝.

2．直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？

【提示】所有三角形内角和都是180°.

二类比推理

【问题导思】

已知三角形的如下性质：

(1)三角形的两边之和大于第三边；

(2)三角形的面积等于高与底乘积的.

1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．

【提示】(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．

(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的.

2．以上两个推理有什么共同特点？

【提示】都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的．

三合情推理

【问题导思】

1．归纳推理与类比推理有没有共同点？

【提示】二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结论．

2．归纳推理与类比推理得出的结论一定正确吗？

【提示】不一定正确．

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

四典例分析

例1有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()

图2－1－1

A．26B．31

C．32 D．36

【思路探究】本题中图形的变化比较简单，可有两种思路：第一种，直接查个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形．

【自主解答】法一有菱形纹的正六边形个数如下表：

由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差

数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.

法二由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有菱形纹的正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形)，第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31，故选B.

【答案】B

1．解答本题时，关键是找出相邻图形间正六边形个数的变化规律．

2．对于图形中的归纳推理问题，可从图形中相关元素(点、直线等)的变化规律入手直接求解，也可将其转化为数列问题进行求解．

变式练习观察下列不等式：

1＋<，

1＋＋<，

1＋＋＋<，

………

照此规律，第五个

．．．不等式为________．

【解析】观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．

∴第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.

【答案】1＋＋＋＋＋<

例2如图2－1－2所示，在平面上，设h a，h b，h c分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为p a，p b，p c，可以得到结论＋＋＝1.

图2－1－2

证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．

【思路探究】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．

【自主解答】＝＝，

同理，＝，＝.

∵S△PBC＋S△P AC＋S△P AB＝S△ABC，

∴＋＋＝＝1.

类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设h a，h b，h c，h d分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为p a，p b，p c，p d，可以得到结论＋＋＋＝1.

证明如下：＝＝，

同理，＝，＝，＝.

∵V P－BCD＋V P－ACD＋V P－ABD＋V P－ABC＝V A－BCD，

∴＋＋＋

＝＝1.

五课时练习

1．类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．2．平面图形与空间图形类比如下：

在本例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A、B、C，那么由a＝b·cos C＋c·cos B可类比四面体的什么性质？

【解】在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△P AB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，

α，β，γ依次表示面P AB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．

猜想S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.

3在公比为4的等比数列{b n}中，若T n是数列{b n}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n}中，若S n 是{a n}的前n项和．

(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；

(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．

【思路探究】结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．【自主解答】(1)数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．

证明如下：

∵等差数列{a n}的公差d＝3，

∴(S30－S20)－(S20－S10)

＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)

＝10d＋10d＋…＋10＝100d＝300，

同理可得：

(S40－S30)－(S30－S20)＝300，

所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30

是等差数列，且公差为300.

(2)对于∀k∈N*，都有

数列S2k－S k，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.