人教A版高中数学选修1-2《类比推理》教案及说明
课题：合情推理---类比推理（第一课时）
教材：普通高中课程标准实验教科书人教社A版选修1-2【教学目标】：
1.知识与能力：
掌握类比推理的基本方法与步骤，会对一些简单问题进行类比，得出新的结论，并把它们用于对问题的发现与解决中去，培养类比推理能力。
2.过程与方法：
类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
3.情感态度与价值观：
(1).正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
(2).认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
【教学重点、难点】：
重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
难点：用类比进行推理，做出猜想。
【教学方法与手段】
教学方法：启发探究式
教学手段：多媒体课件
【教学过程】
B类事物具有性质：a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同）
所以B类事物可能具有性质d’.
理解定义。
应用举例例：类比平面内直角三角形的勾股定理,试
给出空间中四面体性质的猜想．
∠C＝90°
∠PDF＝∠PDE＝∠
EDF＝90°
三条边的长度a，b，
c
四个面的面积
S1,,S2,S3和S
两条直角边a，b和
一条斜边c
三个“直角
面”S1,,S2,S3和一个
“斜面”S,+
C2=a2+b2S2= S12+S22+S32
变式训练
1. 若三角形内切圆半径为r，三边长为
c
b
a,
,，则三角形的面积)
(
2
1
c
b
a
r
S+
+
=，根
据类比思想，若空间四面体内切球半径为
R，四个面的面积为4
3
2
1
,
,
,S
S
S
S，则四面体
的体积V为
讲例题前，先引
导学生从构成几何体
的元素数目来看，平
面几何中的三角形可
以类比立体几何中的
四面体。
而直角三角形中的线
线垂直应该类比四面
体中的面面垂直；于
是选择三个面面两两
垂直的四面体进行类
比。强调要寻找合适
的类比对象。另外，
使学生体会到平面三
角形勾股定理中的长
度关系可以类比空间
四面体中面积关系。
学生归纳总结类
比推理的一般步骤，
S
的面积为
PEF
∆
三个面两两垂直
《类比推理》教案说明
江门市新会第一中学黄小滨
一、教学内容的分析
本节课是合情推理中类比推理的第一课时的内容，主要通过几何中图形的类比，使学生掌握类比推理的基本方法与步骤，会对一些简单问题进行类比，得出新的结论，并把它们用于对问题的发现与解决中去，培养类比推理能力。
二、教学过程的特点
(1)．创设情境生活化
本着新课程的教学理念，让学生再次认识数学与人类生活的密切联系，体会“数学来源于生活”，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。采用举例和问题探究的
形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习氛围，在引入课题的同时引起学生对课题的兴趣，激发学生的求知欲望。
(2)．探究问题特殊化
教学中体现以学生发展为本的理念，充分给学生思考的时间、交流的机会以及展示思维过程的舞台，通过生生、师生间的探讨、合作，增强学生学习数学的兴趣和学好数学的信心。通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性；让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。
(3)．动手实践类比化
教学中充分体现学生为主体，让学生从特殊到特殊，从已知推测新的结论的动手实践过程中，充分感受到成功的情感体验；展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦。
(4)．抽象概括结构化
剖析定义中的两类事物之间的关系，理解定义；有助于学生形成知识模块，优化知识体系。
(5)．应用举例梯度化
设计具有梯度的题目，体现了构建最近发展区的思想，使学生的思维一步一步地加深发展，培养学生思维的深刻性和灵活性。例题是
直角三角形中线段关系与三个面两两垂直的四面体中面积关系的类比；变式训练第1题中，是三角形内切圆与四面体中内切球的类比；要先理解三角形面积公式的由来，再类比四面体中体积公式，思维提升了；第2题中，三角形面积的比与线段的关系，类比四面体中体积与的比与线段的关系；要先找出四面体的高与线段的关系，再应用已知条件求解，培养学生类比和化归的思想。 (5)．课堂小结点睛化
使学生回顾本节的内容，加深对所学知识的理解，既简明扼要又突出重点，起到画龙点睛的作用。 (6)．课外作业分层化
通过布置分层作业，体现分层施教，并为学有余力的学生提供进一步发展的空间。 三、教学诊断分析
学生在学习本节内容时主要有以下两个困难：
1.在探究圆的标准方程类比球的标准方程时，学生感觉到困难，不敢确定；有的学生猜想球的标准方程为
3303030)()()(r z z y y x x =-+-+-，教学中，应从定义来检验它的正确性；
2.在例题的讲解中，学生从空间四面体类比到平面三角形，在理解类比的角度上有困难；教学中，我把顺序反过来；用平面三角形类比空间四面体，从低级向高级类比。 五、教学效果分析
以上的教学过程中，通过老师的不断提问，促使学生对问题深入
思考，在形成定义的过程中，不仅有直观上的感知，而且通过理性的说理，增加了逻辑思维的成分．
在教师的引导下，学生的思维活动展开的比较充分，学生在课堂上认真参与，积极探索，学习热情较高，能.正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。能.认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
新人教A版高中数学选修1-2第二章：推理与证明
第二章推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 A级基础巩固 一、选择题 1．下列推理是归纳推理的是() A．F1，F2为定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得P 的轨迹为椭圆 B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和S n的表达式 C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1的面积S ＝πab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理． 答案：B 2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于() 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111
A．111 1110B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113 解析：由1×9＋2＝11； 12×9＋3＝111； 123×9＋4＝1 111； 1 234×9＋5＝111 111； … 归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同， 所以123 456×9＋7＝1 111 111. 答案：B 3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为() 解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．答案：A 4．设n是自然数，则1 8(n 2－1)[1－(－1)n]的值() A．一定是零B．不一定是偶数 C．一定是偶数D．是整数但不一定是偶数 解析：当n为偶数时，1 8(n 2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数； 当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，1 8(n 2－1)[1－(－1)n]＝ 1 8(4k 2＋ 4k)·2＝k(k＋1)为偶数．
江西省宜春市宜春中学2014年高中数学 类比推理学案 文 新人教A版选修1-2
江西省宜春市宜春中学2014年高中数学 类比推理学案 文 新人教A 版选修1-2 年 月 日星期 第 节 班 学号 姓名 学习目标：通过数学实例，使学生经历观察，发现，归纳的过程，理解归纳推理。 学习重点：学习实例理解归纳的基本数学原理，养成对数学问题“大胆猜测，小心求证”的数学思维习惯。 学习难点：相对于数学结论的归纳，数学方法的归纳更难，要求更高。培养学生运用类比推理探索问题的能力，养成运用归纳推理习惯 学习过程： 一、导学 1、案例：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在，以上都是 思维，即类比推理. 2、知识小结： ⑴ 比推理的定义：由两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据 ，推 断 ，这种推理过程称为类比推理.(简称：类比) 简言之，类比推理是 的推理． ⑵类比推理的一般步骤： ①找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）； ②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想； ③ 检验猜想. ⑶类比推理的特点： ①类比是人们已经掌握了事物的属性，推测正在研究的事物的属性，它以已有认识作基础，类比出新的结果； ②类比是从一种事物的特殊属性推测出另一种事物的特殊属性； ③类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能． ⑷类比推理的作用：(1)发现新问题、新结论；(2)发现解决问题的新方法． ⑸常见的类比： ①代数方面：加→乘，减→除，乘→乘方，除→开方，实数与向量，数与式（分数对分式、整数对整式、有理数对有理式），等差数列与等比数列等； ②几何方面：平面（二维）→立体（三维），线段→面，面积→体积，平面角→二面角等 ③解析几何方面：圆→椭圆，椭圆→双曲线 例1．在平面上，若两个正三角形的的边长的比为1:2，则他们的面积之比为1:4.类似地，在空间，若两个正四面体的边长之比为1:2，则他们的体积比是为 。 例2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,则4841281612,,,S S S S S S S ---称等差数列。类比这个结论有：设等比数列的前n 项的积为n T ,则16 412 ,___,___, T T T 称等比数列。 例3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若有17n n S S -=，则必有90a =，类比这个结论有：设等比数列的前n 项的积为n T ，若有17n n T T -=，则必有91b = 引例1是将平面图形的相似比类比到空间 引例2,3是将等差数列的性质类比到等比数列
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理》优质课教案_18
2．1.2演绎推理教学设计 整体设计 教材分析 《演绎推理》是高中数学中的基本思维过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识，是高考热点．演绎推理具有证明结论、整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法．本节内容相对比较抽象，教学中应紧密结合已学过的生活实例和数学实例，让学生了解演绎推理的含义，并在上一节学习的基础上，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异，同时纠正推理过程中可能犯的典型错误，增强学生的好奇心，激发出潜在的创造力，使学生能正确应用合情推理和演绎推理去进行一些简单的推理，证明一些数学结论． 课时划分 1课时． 教学目标 1．知识与技能目标 了解演绎推理的含义，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，能正确地运用演绎推理，进行简单的推理． 2．过程与方法目标 了解和体会演绎推理在日常生活和学习中的应用，培养学生的逻辑推理能力，使学生学会观察，大胆猜想，敢于归纳、挖掘其中所包含的推理思路和思想；明确演绎推理的基本过程，提高学生的创新能力． 3．情感、态度与价值观 通过本节课的学习，体验推理源于实践，又应用于实践的思想，激发学生学习的兴趣，培养学生勇于探索、创新的个性品质． 重点难点 重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理证明． 难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别． 教学过程 引入新课
观察与思考：新学期开始了，班里换了新的老师，他们是林老师、王老师和吴老师，三位老师分别教语文、数学、英语． 已知：每个老师只教一门课； 林老师上课全用汉语； 英语老师是一个学生的哥哥； 吴老师是一位女教师，她比数学老师活泼． 问：三位老师各上什么课？ 活动设计：让学生带着浓厚的兴趣，先独立思考，然后小组交流． 引导分析：启发学生把自己的思考过程借助于下列表格展示出来，从而解决问题． 注意与学生交流． 学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在其他学生的不断补充、纠正下，会趋于准确． 活动结果：林老师——数学，王老师——英语，吴老师——语文． 设计意图 本着“兴趣是最好的老师”的原则，结合生活中具体的实例，激发学生学习的兴趣，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，体会演绎推理的现实意义．探究新知 判断下列推理是合情推理吗？分析推理过程，明确它们的推理形式． (1)所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电． (2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以，(2100＋1)不能被2整除． (3)三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，所以，tanα是周期函数． 活动设计：学生口答，教师板书． 学情预测：学生积极思考片刻，有学生举手回答且回答准确． 活动结果：以上推理不是合情推理，它们的推理形式如下：
高中数学《2.1.1合情推理》导学案2 新人教A版选修1-2
§2.1.1 合情推理（2） 1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义; 2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 3038 1.已知 0(1,2,,)i a i n >= ，考察下列式子：111()1i a a ?≥；1212 11 ()()()4ii a a a a ++≥； 123123 111 ()()( )9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 . 2. 猜想数列 1111,,,,13355779 --???? 的通项公式是 . 二、新课导学 ※ 学习探究 鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理. 新知：类比推理就是由两类对象具有 和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到 的推理. ※ 典型例题 例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.
例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想 . 新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ， 然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠. ※ 动手试试 练 1. 如图，若射线OM ，ON 上分别存在点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比112211 22 OM N OM N S OM ON S OM ON ??=?.若不在同一平面内的射线OP ，OQ 上分别存在点12,P P ，点12,Q Q 和点 12,R R ，则类似的结论是什么？
选修1-2推理与证明导学案
2．1.1合情推理(一) 【学习要求】 1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理． 2．了解归纳推理在数学发展中的作用． 【学法指导】 归纳是推理常用的思维方法，其结论不一定正确，但具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养. 【知识要点】 1．推理：根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个，这种思维方式就是推理．推理一般由两部分组成：和________． 2．合情推理：前提为真时，结论的推理，叫做合情推理． 3．归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的都具有这种性质的推理．4．归纳推理具有如下的特点： （1）归纳推理是从到的推理； （2）由归纳推理得到的结论正确； （3）归纳推理是一种具有创造性的推理. 【问题探究】 探究点一归纳推理的定义 问题1在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？ 问题2在等差数列{a n}中： a1＝a1＋0d， a2＝a1＋d＝a1＋1d， a3＝a2＋d＝a1＋2d， a4＝a3＋d＝a1＋3d， …… 观察可得什么结论？ 问题3设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想的结论是否正确． 探究点二归纳推理的应用 例1已知数列{a n}的第1项a1＝1，且a n＋1＝a n 1＋a n (n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．跟踪训练1已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝1,2,3，…)． （1）求a2，a3，a4，a5； （2）归纳猜想通项公式a n. 例2在法国巴黎举行的第52届世兵赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝______；f(n)＝______(答案用含n的代数式表示)． 跟踪训练2在平面内观察： 凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 凸六边形有9条对角线， … 由此猜想凸n(n≥4且n∈N*)边形有几条对角线？ 例3观察下列等式，并从中归纳出一般法则． （1）1＝12， 1＋3＝22， 1＋3＋5＝32， 1＋3＋5＋7＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝52， …… （2）1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92， …… 跟踪训练3在△ABC中，不等式 1 A＋ 1 B＋ 1 C ≥ 9 成立；在四边形ABCD中，不等式 1 A＋ 1 B＋ 1 C＋ 1 D ≥ 16 成立；在五边形ABCDE中，不等式 1 A＋ 1 B＋ 1 C＋ 1 D＋ 1 E ≥ 25 3π成立．猜想在n边形A1A2…A n中有怎样的不等式成立_______．【当堂检测】 1．已知2＋ 2 3＝2 2 3，3＋ 3 8＝3 3 8，4＋ 4 15＝4 4 15，…，若6＋ a b＝6 a b(a、b均为实数)．请推测a＝______，b＝________. 2．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 45 6 78910 1112131415 ……………………
类比推理教案
“类比推理”教案 泰兴市第三高级中学杨翠 “类比推理”是苏教版选修2—2的第二章第一节的内容，本节课是其中的第二课时.课程标准要求：“结合已经学过的数学案例和生活实例，了解合情推理的含义，能利用类比的方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用”.并指出：“合情推理是数学发现过程和数学体系建构过程中的一种重要思维形式”.要求“在教学中要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点”根据课程标准的要求，结合教材实际，我将从重难点分析、目标定位、教法学法、教学设想、教学评价等五个方面对本节课的教学设计进行说明. 一、重难点分析 重点:了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理. 难点：用类比进行推理，做出猜想. 二、目标定位 1、知识与能力： 通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去. 2、过程与方法： 类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠. 3、情感态度与价值观： （1）正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识. （2）认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善正确的数学意识. 三、教法学法 针对本节课的特点，在教法上，我采用以教师引导为主，学生合作探索、积极思考为辅的探究式教学方法；在教学过程中，我注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，鼓励同学们结合实际、大胆联想，让同学们积极主动分享自己的发现和感悟；在教学手段上，我灵活运用黑板板书和多媒体展示，激发学生的创造力，活跃了气氛，加深了理解；在教学思想上，我以建构主义为主，强调数学知识的建构过程，让学生亲历逻辑推理的发现之旅. 课时安排：1课时. 四、教学设想 1、创设情境、引Array出课题——鲁班 发明锯子
高中数学选修1-2知识点总结
知识点总结 选修1-2知识点总结 第一章 统计案例 1．线性回归方程 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧ （最小二乘法） 其中，1 22 1n i i i n i i x y nx y b x nx a y bx ==⎧ -⎪ ⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x . 2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----= n i n i i i n i i i y y x x y y x x r 1 1 2 21 )()() )(( 注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关； ⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 3.条件概率 对于任何两个事件A 和B ，在已知B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时 A 发生的条件概率. 记为P (A | B ) , 其公式为P (A |B )＝P （AB ） P （A ） 4相互独立事件 (1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果_ P (AB )＝P (A )P (B ) ，则称A 、B 相互独立． (2)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝_ P (A 1)P (A 2)…P (A n ). (3)如果A ，B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立． 5．独立性检验（分类变量关系）： (1)2×2列联表 设,A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量121:,;A A A A =变量 121:,;B B B B = 通过观察得到右表所示数据： 并将形如此表的表格称为2×2列联表． (2)独立性检验
江西省宜春市宜春中学2014年高中数学 归纳推理学案 文 新人教A版选修1-2
江西省宜春市宜春中学2014年高中数学归纳推理学案文新人教A版选修1-2 学习目标：通过数学实例，使学生经历观察，发现，归纳的过程，理解归纳推理。 学习重点：学习实例理解归纳的基本数学原理，养成对数学问题“大胆猜测，小心求证”的数学思维习惯。学习难点：相对于数学结论的归纳，数学方法的归纳更难，要求更高。培养学生运用类比推理探索问题的能力，养成运用归纳推理习惯 一、学习过程： 1、导学 引例1，在历史上，人们曾经有过制造永动机的美好愿望希望制造出一种不消耗能量的机器，永无休止地为人类服务，人们提出过许多永动机的设计方案，但是，这些设计方案都以失败而告终，从大量的失败案例中，科学界归纳出一个结论：不可能制造出永动机，后来俄国著名科学家罗蒙偌索夫提出了能量守恒定理，从理论上说明了制造永动机是不可能的。 引例2，著名的哥得巴赫通过观察6=3+3,8=3+5,12=5+7，14=7+7,16=5+11，18=7+11,20=3+17……30=13+17……猜想出以下结论：一个偶数（大于4）可以写成两个素数的和，这就是著名的哥得巴赫猜想。这个结论至今都没有得到证明，仍然是猜想。 知识小结： ⑴归纳推理的定义：根据一类事物中部分事物具有某些属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,这种推理方式称为归纳推理.(简称：归纳) ⑵归纳推理的一般步骤： ①通过观察特例发现某些共性或规律； ②由这种共性或规律猜想出一般结论（命题）； ③对所提出的命题进行检验。 ⑶归纳推理的特点： 1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。它不能作为数学证明的工具。 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验或实验的基础之上. ⑷归纳推理的作用： （1）发现新事实、获得新结论；（2）提供解决问题的思路和方向. 例1.归纳凸多边形的内角和公式。 解析：观察三角形内角和180 凸四边形内角和360 凸五边形内角和540 ……………… 凸n边形内角和(2)180 n 二、探究与讨论 1.如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()
人教A版高中数学选修1-2《类比推理》教案及说明
课题：合情推理---类比推理（第一课时）教材：普通高中课程标准实验教科书人教社A版选修1-2 【教学目标】： 1.知识与能力： 掌握类比推理的基本方法与步骤，会对一些简单问题进行类比，得出新的结论，并把它们用于对问题的发现与解决中去，培养类比推理能力。 2.过程与方法： 类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。 3.情感态度与价值观： (1).正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。 (2).认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。 【教学重点、难点】： 重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。 难点：用类比进行推理，做出猜想。 【教学方法与手段】 教学方法：启发探究式 教学手段：多媒体课件
应用举例 例：类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想． ∠C＝90° ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF ＝90° 三条边的长度a，b， c 四个面的面积 S1,,S2,S3和S 两条直角边a，b和 一条斜边c 三个“直角 面”S1,,S2,S3和一个 “斜面”S,+ C2=a2+b2S2= S12+S22+S32 变式训练 1. 若三角形内切圆半径为r，三边长为 c b a, ,，则三角形的面积) ( 2 1 c b a r S+ + =，根 据类比思想，若空间四面体内切球半径为 R，四个面的面积为4 3 2 1 , , ,S S S S，则四面体 的体积V为 2.（2004广东，15） 由图(1)有面积关系: 则由图(2)有体积关系: 讲例题前，先引 导学生从构成几何体 的元素数目来看，平 面几何中的三角形可 以类比立体几何中的 四面体。 而直角三角形中的线 线垂直应该类比四面 体中的面面垂直；于 是选择三个面面两两 垂直的四面体进行类 比。强调要寻找合适 的类比对象。另外， 使学生体会到平面三 角形勾股定理中的长 度关系可以类比空间 四面体中面积关系。 学生归纳总结类 比推理的一般步骤， 形成技能。 设计具有梯度的 变式训练，体现了构 建最近发展区的思 S 的面积为 PEF ∆ 三个面两两垂直 ∆ ∆ PA B PAB S PA PB S PA PB '' '' ⋅ = ⋅ P A B C P ABC V V ''' - - =
【金版学案】高中数学人教版选修1-2练习第二章推理与证明章末复习课含答案.docx
章末复习课 ------------- 提纲挈领复习知识 --------------- I. 进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征，②图形的性质或维数.③处理一类 问题的方法.④事物的相似性质等入手进行类比.要尽量从本质上去类比，不要被表面现象 迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误. 3. 进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出 归纳猜想. J. 推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步. 4. 注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，而后者结论可能 为真也可能为假.合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要 有依据. ».用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据.书写证明过程时，一定要注意 不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式. b.分析法的过程仅需要寻求结论成立的充分条件即可，而不是充要条件.分析法是逆推 证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性. -------------- 总结归纳专题突破 ----------------- 专题一合情推理 合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理, 后面是由特殊到特殊的推理.但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，具有发现功能， 但推理的结论不一定为真，有待进一步证明. GDQ* ■•陕西卷》观察下列等式： 归纳推理 合情推理1」 — 类比推理 特殊到一般 特殊到特殊 演绎推理 — 三段论 — 一般到特殊 _________ —综合法一从已知条件出发 直接证 明一 _____ ____________ —分析法一从结论出发 间接证明 — 反证法 — 从否定结论岀发 结论都 是猜测・ 不一定 正确
第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动：《类比推理》说课（北京十二中高宇）
第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动：《类比推理》 说课（北京十二中高宇） 第一篇：第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动：《类比推理》说课(北京十二中高宇) 《合情推理》第二课时——类比推理教案说明 北京十二中高宇 一、本课数学内容的本质、地位、作用分析 数学发现的过程往往包含合情推理的成分，在人类发明、创造活动中，合情推理也扮演了重要的角色.高中生的学习生活中也有很多合情推理的实例，物理、化学、生物、地理等许多学科中的伟大猜想及定理的产生都源于合情推理.因此，分析合情推理的过程，对于了解数学发现或其他发现的过程是非常重要的.本节课是归纳推理基础上对合情推理学习的继续，类比和归纳一样是合情推理常用的思维方法，从学生熟悉并感兴趣的具体例子入手，分析它们所反映的思维过程，从中挖掘、提炼出类比推理的一般过程，并概括其含义.在练习和应用中加深对类比推理的认识.通过本节课学生可以真正的体会到数学与其他学科的交叉性、互补性，初步体会科学的方法论在日常生活的作用，有助于学生形成类比推理的思维方式, 培养创新精神,为将来合理地提出新思想、新概念、新方法奠定好基础；有助于学生养成良好的科学态度和严谨的学习作风，形成言之有理、论证有据的习惯.二、教学目标分析： 本节课教学目标确立如下： 知识与技能：了解类比推理的含义、特点，能利用类比进行简单的推理． 过程与方法：通过生活和学习中的实例创设情境、进行探究，提高学生观察猜想、抽象概括的能力，渗透类比的思想方法．情感、态度与价值观：体会类比推理在实际生活和数学发现中的作用，提高学习数学的兴趣，增强创新意识． 三、教学问题诊断
学生在学习本节内容时主要有以下两个困难：1.用类比进行推理，作出猜想.这部分中大多数问题是给出具有类似特征的两类对象，由学生根据一类事物的已知特征推测另一类对象也具有这些特征.要弄清楚怎样类比首先应该会明确指出这两类对象具有哪些类似特征.所以在教学过程中对学生举到的类比推理的例子和教师给出的小练习，都应注重从两个方面先分析：（1）问题中两类对象分别是什么；（2）他们有哪些类似特征.通过寻找两类对象的相似性，将两类不同的对象联系起来，从这种相似性出发，从概念、结构、维度、方法等角度出发，由一类对象的已知特征推测另一类也具有这样的特征.本节课主要以平面几何与立体几何的类比为载体，因此也特别注意从它们研究的对象出发，建立平面内点、直线、平面图形与空间元素的对应关系.2.确定合适的类比对象 进行类比推理时，合理的确定类比对象是非常重要的，否则会使类比成为“乱比”.这部分内容对学生要求较高，本节课通过对正方形、长方形等平面图形的特征，尤其是图形蕴含的位置关系和数量关系的分析，使学生初步感受和体会寻找类比对象的方法.四、本节课的教法特点以及预期效果分析 本节课采取以问题为驱动的启发式教学为主要教学方法.主要以以下几个问题为主线展开教学： 问题1：（从《阿凡达》和叩诊法说起）这些问题中用到的推理方法与归纳推理有什么区别？ 从学生感兴趣的问题入手，复习归纳推理的基础上提出另一种不同的推理方法，请同学参与讨论，并感受这种推理方法与归纳推理的区别，辨析概念的同时挖掘类比推理的含义和特点.问题2：你能举一些生活或学习中类比推理的例子吗？ 启发调动学生积极思考，初步理解类比推理的含义.寻找类比推理在生活和学习中的应用，通过 对所举例子的辨析加深学生对概念的理解.问题3：类比推理的步骤是怎样的？ 在学生举例基础上请学生给“等和数列”下个定义，使学生发现
类比推理(公开课教学设计实施方案)
个人收集整理仅供参考学习 选修 2-2《 2.1.1 合情推理之类比推理》教学设计 教学内容分析 推理与证明贯穿于整个数学课程，但是作为一章地内容却是第一次出现在中学地教 材中，对之进行系统学习是新课程地一个变化 . 推理与证明是数学地基本思维过程，是做数学 地基本功，也是人们在一般地学习和生活中常用地思维方式，是发展理性思维地重 要方面 . 数学与其它学科地区别除了研究对象地不同，最突出地就是数学内部规律地正确性 必须用演绎推理地方式来证明，而在证明或学习数学地过程中，又经常要用合情推理 去猜测和发现结论，探索和提供思路 . 两者紧密联系、相辅相成 . 因此，无论是学习数学、做数学，还是对于学生理性思维地培养，都需要在基础教育阶段地高中数学中加强这方面地学习和训练 . 本节课是合情推理地第二课时，在前面已经学习了归纳推理 . 学生已经初步体会并认识到 合情推理在数学发展中地作用 . 对于类比，学生其实并不陌生，它出现在各个章节中， 但实际上，学生对它地认识是模糊地. 通过本节课地系统学习，学生会了解什么是类比、 如何进行类比，会感受到数学地创造过程. 学生情况分析 【知识基础】学生已经学完了所有地必修模块，即已经学完了高中阶段传统地数学 基础知识和基本技能地主要部分. 初高中已将类比推理渗透到教材地很多章节，有地学生已经在自觉不自觉地应用着. 【学习水平】授课班级虽然是高二年级地一个侧重班，整体成绩较好，但优生较少； 而且用一年多地时间学完了高中阶段地数学基础知识和基本技能地主要部分，所以基础 掌握得不够扎实，知识遗忘现象严重. . 【学习态度】学生比较喜欢学习数学，在课堂上基本上能做到认真听讲，积极思考 但是主动发言表达看法地同学不多. 教学方式 问题导引式：通过精心设计地问题，激发学生地学习兴趣和动机，使学生产生疑而 未解，又欲解之地强烈愿望，调动学生学习地积极性和主动性
人教A版高中数学选修2-2第《类比推理》说课稿
人教A版高中数学选修2-2第《类比推 理》说课稿
人教A版高中数学选修2-2第《类比 推理》说课稿 一、【教材分析】 类比推理是人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第一小节的内容，是合情推理的一个重要内容。对整个高中阶段类比推理思维形式进行高度概括与总结，也将这种培养学生思维能力的方法从幕后走向台前，起到点睛作用。让学生认识到数学既是演绎的科学又是归纳类比的科学，数学是结论的体系，其结论的发现过程也是数学，从而形成对数学较为完整的认识，为进一步向高等数学学习作准备。 二、【学情分析】 类比推理被安排在高二下学期，这个阶段的学生思维趋于成熟，能进行抽象的逻辑思维分析。在知识方面：已经学习过高中阶段大部分的知识板块，具备一定的知识储备；在能力方面：初高中已将类比推理渗透到教材的很多章节，学生已经在自觉不自觉的应用着。所以教师在教学中应注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点。 三、【教学目标】 （一）知识与技能： 1．通过对已学知识的回顾认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去； 2．通过具体实例中类比推理的过程，初步了解为何可以进行类比以及如何进行类比。 （二）过程与方法： 本节课主要是利用以前学习过的知识，认识一种思维方法—类比推理，在整个过程中，学生已经具备独立研究的知识和能力，采用以学生
活动为主，自主探究，合作交流，教师适当启发总结的教学方法，让学生积极参与到教学活动中来，形成积极思考大胆探索的学习氛围（三）情感态度与价值观： 1．正确认识类比推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。 2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。 四、【教学重点、难点】 教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。 教学难点：能找到事物之间的共同或相似性质，不仅会在形式结构和叙述方式上进行类比，还需对推理过程或思维策略进行类比。 五、【教法分析】 根据本节课的教学内容和学生的实际，我将采用引导发现法和讲练结合的方法，紧密联系学生已经学过的知识，创设问题情境，引导学生积极思考、大胆探索，鼓励学生积极主动回答问题，创设一个和谐平等的课堂模式。将类比推理思想逐步提炼出来，从而内化为自己的思想。为巩固教学效果，老师通过动画演示，学生进行适当练习来规范学生的作业行为，巩固所学知识，达到学以致用的目的，提高学生灵活运用知识的能力。
高中数学 第二章《2.1.1.2类比推理》教案 新人教A版选修2-2
第（1）课时 课题：书法---写字基本知识 课型：新授课 教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。2、了解我国书法发展的历史。3、掌握基本笔画的书写特点。 重点：基本笔画的书写。 难点：运笔的技法。 教学过程： 一、了解书法的发展史及字体的分类： 1、介绍我国书法的发展的历史。 2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。 二、讲解书写的基本知识和要求： 1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正） 2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。 三、基本笔画书写 1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。 2、教师边书写边讲解。 3、学生练习，教师指导。（姿势正确） 4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。 5、学生练习，教师指导。（发现问题及时指正） 四、作业：完成一张基本笔画的练习。 板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸 我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。 课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。 总第（2）课时 课题：书写练习1 课型：新授课 教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
人教A版高中数学选修一第二章推理与证明
第二章推理与证明 2.1.1合情推理与演绎推理(1) 归纳推理 【要点梳理】 1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括和两个部分。是推理所依据的命题, 它告诉我们 是什么，是根据前提推得的命题，它告诉我们是什么。 2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ,它的思维过程是 3、归纳推理有如下特点 (1)归纳推理的前提是几个已知的现象，归纳所得的结论是尚属未知的现象，该结论超越了前提所包含的范围。 (2)由归纳推理得到的结论具有的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它作为数学证明的工具。(填“能”或“不能”) (3)归纳推理是一种具有的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步 研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。 【指点迷津】 1、运用归纳推理的一般步骤是什么？ 首先，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律) ；然后，把这种相似性推广 为一个明确表述的一般命题(猜想) ；然后，对所得的一般性命题进行检验。 2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。 3、归纳推理的一般模式是什么？ S具有P; Q具有P;……；Sn具有P (S、&、•••、Sn是A类事件的对象) 所以A类事件具有P 【典型例题】 例1、设f o(x) sinx, f〔(x) f o(x), f2(x) f1(x), , f n(x) f n 1 (x),n N,则 f2005 (x)() A sinx B> sinx C、cosx D、cosx 【解析】：f1(x) (sin x) cosx,
f 4n l (x) f (1) cosx, f 4n 2(x) sinx f 4n 3(x) cosx f 4n 4(x) f (4) sinx 故选C 【点评】归纳推理是由部分到整体、 由个别到一般的推理， 是人们在日常活动和科学学习 研究中经常使用的一种推理方法， 必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求 的事物或现象的本质属性和因果关系。 例2、根据所给数列前几项的值： _2,巴，9，"8 ,10 ,猜想数列的通项公式。 3 15 35 63 99 2 2 1 4 2 2 6 2 3 8 2 4 10 2 5 【解析】： -- ------- ; --- -------- ; --- -------- ; - ---------- ; -- --------- ； 3 1 3 15 3 5 35 5 7 63 7 9 99 9 11 于是猜想给数列的通项公式： a n -------------- 2 n ----- 2n 1 2n 1 【点评】根据数列中前几项给出数列的一个通项公式，主要是对数列特征进行认真观 察，结合常见数列的通项 公式，对已知数列进行分解、组合，从而发现其中的规律。 例3、在某报《自测健康状况》的报道中，自自测血压结果与相应年龄的统计数据如下 表，观察表中数据的特点，用适当 的数 填入 表 中空格内 有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了 3毫米、2毫米，…照此规律，60岁时的收缩 压和舒张压分别为 140, 85 【点评】本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学的能力， 它不需要技能、技巧及 繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实施为数学 思维活动。 【阶梯练习】 f 2(x) f 3(x) f 4(x) f 5(x) f 6(x) f n 4(x) 故可猜测 (cosx) (sin x) (cosx) (sin x) (cosx) sin x cosx sin x cosx f 1(x) sin x f 2 (x) f n (x) f n (x)是以4为周期的函数，有
高中数学选修一、二知识点总结
高中数学选修1-1知识点总结 第一章 简单逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝” 4、四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系：例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件； 6、逻辑联结词： ⑴且(and ) ：命题形式p q ∧； ⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝. p q p q ∧ p q ∨ p ⌝ 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示； 特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；
第二章 圆锥曲线 一、椭圆 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 22 10x y a b a b +=>> ()22 22 10y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<<