相似三角形动点问题精选
动点问题答案：
1．如图①，点A '，B '的坐标分别为（2，0）和（0，4-），将A B O ''△绕点O 按逆时针方向旋转90°后得ABO △，点A '的对应点是点A ，点B '的对应点是点B ．
（1）写出A ，B 两点的坐标，并求出直线AB 的解析式； （2）将ABO △沿着垂直于x 轴的线段CD 折叠，（点C 在x 轴上，点D 在AB 上，点D 不与A ，B 重合）如图②，使点B 落在x 轴上，点B 的对应点为点E ．设点C 的坐标为（0x ，）
，CDE △与ABO △重叠部分的面积为S ． i ）试求出S 与x 之间的函数关系式（包括自变量x 的取值范围）；
ii ）当x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？
iii ）是否存在这样的点C ，使得ADE △为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
1．答案
解：（1）(02)(40)A B ，，， ························ （2分） 设直线AB 的解析式y kx b =+，则有
240b k b =⎧⎨
+=⎩ 解得122
k b ⎧=-
⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为1
22
y x =-+ ··················· （3分）
（2）i ）①点E 在原点和x 轴正半轴上时，重叠部分是CDE △．
则1111(4)22222CDE S CE CD BC CD x x ⎛⎫=
==--+ ⎪⎝⎭
△·· 2
1244
x x =
-+ 当E 与O 重合时，1
2242
CE BO x =
=∴<≤ ············· （4分） ②当E 在x 轴的负半轴上时，设DE 与y 轴交于点F ，则重叠部分为梯形CDFO
.
（第26题图）
OFE OAB △∽△ 1122OF OA OF OE OE OB ∴==∴=， 又42OE x =-
1
(42)22
OF x x ∴=-=-
213222224CDFO x S x x x x ⎡⎤
⎛⎫∴=-+-+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
四边形· ············ （5分）
当点C 与点O 重合时，点C 的坐标为(0,0)
02x ∴<< ······························ （6分）
综合①②得2
2124(24)
4
32(02)
4
x x x S x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨
⎪-+<<⎪⎩≤ ··············· （7分）
ii ）①当24x <≤时，2211
24(2)44
S x x x =
-+=- ∴对称轴是4x = 抛物线开口向上，∴在24x <≤中，S 随x 的增大而减小
∴当2x =时，S 的最大值＝21
(24)14
⨯-= ··············· （8分）
②当02x <<时，2
23344
24433
S x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭
∴对称轴是4
3x =
,抛物线开口向下 ∴当43x =时，S 有最大值为4
3
····················· （9分）
综合①②当43x =时，S 有最大值为4
3
················· （10分）
iii ）存在，点C 的坐标为3
02⎛⎫ ⎪⎝⎭，
和502⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ················· （14分） 附：详解：①当ADE △以点A 为直角顶点时，作AE AB ⊥交x 轴负半轴于点E ，
AOE BOA △∽△,1
2
EO AO AO BO ∴
==;21AO EO =∴=,∴点E 坐标为（1-，0）
∴点C 的坐标为302⎛⎫
⎪⎝⎭
，
②当ADE △以点E 为直角顶点时,同样有AOE BOA △∽△,
1
2
OE OA AO BO ==
1(10)EO E ∴=∴，,∴点C 的坐标502⎛⎫ ⎪⎝⎭，,综合①②知满足条件的坐标有302⎛⎫ ⎪⎝⎭，和502⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
3．直线)0(≠+=k b kx y 与坐标轴分别交于A 、B 两点，OA 、OB 的长分别是方程048142=+-x x 的两根（OB OA >）
，动点P 从O 点出发，沿路线O →B →A 以每秒1个单位长度的速度运动，到达A 点时运动停止．
（1）直接写出A 、B 两点的坐标；
（2）设点P 的运动时间为t (秒)，OPA ∆的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
M ，使以O 、M 的坐标；若不存在，请说
(1) )6,0(),0,8(B A ……………………….各1分 (2)∵8=OA ，6=OB ，∴10=AB
当点P 在OB 上运动时，t OP =1，
t t OP OA S 482
1211=⨯⨯=⨯=
；..............1分 当点P 在BA 上运动时，作OA D P ⊥2于点D ， 有
AB
AP BO D P 2
2= ∵t t AP -=-+=161062，∴5
3482t
D P -=
………………………1分 ∴5
192
5125348821212+-=-⨯⨯=⨯⨯=t t D P OA S ……………………1分
（3）当124=t 时，3=t ，)3,0(1P ，………………………………1分
此时，过AOP ∆各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M 不存在；……………………………………………………………………………1分
当125
192512=+-
t 时，11=t ，)3,4(2P ，........................1分 此时，)3,0(1M 、)6,0(2-M (1)
4．
如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），
点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；
（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．
5．（2009年浙江丽水）已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒. (1)填空：菱形ABCD 的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、 高BE 的长是 ▲ ； (2)探究下列问题：
①若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位.当点
Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S
的最大值。
②若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边
形为菱形.请探究当t =4秒时的情形，并求出k 的值.
5题解
（1）5 , 24,
5
24 （2）①由题意，得AP =t ，AQ =10-2t.
如图1,过点Q 作QG ⊥AD ，垂足为G ，由QG ∥BE 得
△AQG ∽△ABE ,∴BA
QA
BE QG =
, ∴QG =2548548t
-
, ∴t t QG AP S 5242524212+-=⋅=(25≤t ≤5).
……1分
O
x
y A
B
C D
E
(第24题)
∵6)25(25242+--=t S (2
5
≤t ≤5). ∴当t =
2
5
时，S 最大值为6 ② 要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组
成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ 为等腰三角形即可. 当t =4秒时，∵点P 的速度为每秒1个单位，∴AP =4 以下分两种情况讨论:
第一种情况：当点Q 在CB 上时, ∵PQ ≥BE >PA ，∴只存在点Q 1,使
Q 1A =Q 1P .
如图2,过点Q 1作Q 1M ⊥AP ，垂足为点M ，Q 1M 交AC 于点
F ,则AM =1
22
AP =.由△AMF ∽△AOD ∽△CQ 1F ,得
4311===AO OD CQ F Q AM FM , ∴2
3
=FM , ∴10
33
11=-=FM MQ F Q .
∴CQ 1=QF 34=225.则1
1CQ AP
t k t =
⋅⨯, ∴11110CQ k AP == 第二种情况：当点Q 在BA 上时,存在两点Q 2,Q 3,
分别使A P = A Q 2,PA =PQ 3.
①若AP =A Q 2，如图3,CB +BQ 2=10-4=6. 则
21BQ CB AP
t k t +=⋅⨯,∴232
CB BQ k AP +==.……1分
②若PA =PQ 3，如图4,过点P 作PN ⊥AB ，垂足为N ，
由△ANP ∽△AEB ,得AB AP AE AN =
. ∵AE =5722=-BE AB , ∴AN ＝28
25
.
∴AQ 3=2AN=56
25
, ∴BC+BQ 3=10-251942556=
则3
1BQ CB AP
t k t +=
⋅⨯.∴50973=+=AP BQ CB k . 综上所述，当t = 4秒，以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k 值为1011或23或50
97.
6（2009年浙江宁波）．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（－8，0），直线BC 经过点B （－8，6），将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA ′B ′C ′，此时声母OA ′、直线B ′C ′分别与直线BC 相交于P 、Q ．
（1）四边形的形状是 ，当α=90°时，
BP
PQ
的值是 ． （2）①如图2,当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在y 轴正半轴上时,求
的值;
②如图3,当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时,求ΔOPB ′的面积． （3）在四边形OABC 旋转过程中,当000180α<≤时，是否存在这样的点P 和点Q ，使BP=1
2
BQ ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
（2009年浙江宁波26题解析）解：（1）矩形（长方形）
4
7
BP BQ = （2）①
POC B OA ''∠=∠，PCO OA B ''∠=∠90=°，
COP A OB ''∴△∽△．
CP OC A B OA ∴
='''，即6
68
CP =，
92CP ∴=，7
2
BP BC CP =-=．
同理B CQ B C O '''△∽△，
CQ B C C Q B C '∴
='''，即10668
CQ -=， 3CQ ∴=，11BQ BC CQ =+=．
7
22
BP BQ ∴
=． ②在OCP △和B A P ''△中，
90OPC B PA OCP A OC B A ''∠=∠⎧⎪
'∠=∠=⎨⎪''=⎩
，°，，[来源
(AAS)OCP B A P ''∴△≌△．
OP B P '∴=．
设B P x '=，[来源:学科网]
在Rt OCP △中， 2
2
2
(8)6x x -+=，解得25
4
x =
． 12575
6244
OPB S '∴=⨯⨯=
△． （3）存在这样的点P 和点Q ，使1
2
BP BQ =． 点P
的坐标是19P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，2764P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，
． 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点Q 画QH OA '⊥于H ，连结OQ ，则QH OC OC '==，
12POQ S PQ OC =
△，1
2
POQ S OP QH =△， PQ OP ∴=．
设BP x =，
1
2
BP BQ =
， 2BQ x ∴=，
① 如图1，当点P 在点B 左侧时，
3OP PQ BQ BP x ==+=，
在Rt PCO △中，2
2
2
(8)6(3)x x ++=，[来源:学科网
ZXXK]
解得11x =
，21x =．
3
962
PC BC BP ∴=+=+， 139662P ⎛⎫
∴--
⎪⎝⎭
，． ②如图2，当点P 在点B 右侧时，
OP PQ BQ BP x ∴==-=，8PC x =-．
在Rt PCO △中，2
2
2
(8)6x x -+=，解得254
x =
． PC BC BP ∴=-257
844
=-
=， 2764P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭
，．
综上可知，存在点13962P ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，，2764P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，
，使12BP BQ =．
7．
如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．
(1) 当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数
图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2) 求正方形边长及顶点C 的坐标；
(3) 在(1)中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标． (1) 附加题：（如果有时间，还可以继续 解答下面问题，祝你成功！）
如果点P 、Q 保持原速度速度不
变，当点P 沿A →B →C →D 匀
速运动时，OP 与PQ 能否相等，
若能，写出所有符合条件的t 的
值；若不能，请说明理由．
6题解（1）Q (1,0) ----------------------------------------------------------------------------------1分 点P 运动速度每秒钟1个单位长度．----------------------------------------------3分 (2) 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==. ∴1046AF =-=.
在Rt △AFB 中，228610AB +=.-----------------------------------------------5分
(第24题图①) A B C D
P Q O
x y （第24题图②） O x t 11101
过点C 作CG ⊥x 轴于点G ,与FB 的延长线交于点H .
∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH . ∴6,8BH AF CH BF ====.
∴8614,8412OG FH CG ==+==+=.
∴所求C 点的坐标为（14，12）.------------7分
(3) 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，
则△APM ∽△ABF . ∴
AP AM MP AB AF BF ==. 1068
t AM MP
∴==. ∴34,55AM t PM t ==. ∴34
10,55
PN OM t ON PM t ==-==.
设△OPQ 的面积为S (平方单位)
∴213473
(10)(1)5251010
S t t t t =⨯-+=+-(0≤t ≤10) --------------------10分
说明:未注明自变量的取值范围不扣分.
∵3
10a =-
<0 ∴当474710
362()10
t =-=
⨯-时, △OPQ 的面积最大.------------------11分 此时P 的坐标为(
9415，53
10
) . ---------------------------------------------------12分 (4) 当 53t =或295
13
t =时, OP 与PQ 相等.-----------------------------------------14
9．
把一副三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ==∠∠，45A =∠，30D =∠，斜边6cm AB =，7cm DC =．把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图乙）．这时AB 与CD 1相交于点O ，与D 1E 1相交于点F ． （1）求1OFE ∠的度数； （2）求线段AD 1的长；
（3）若把三角形D 1CE 1绕着点C 顺时针再旋转30°得△D 2CE 2，这时点B 在△D 2CE 2的内部、外部、还是边上？说明理由．
（甲）
A
C
E D
B B
（乙）
A
E 1
C
D 1
O
F
9题解
解：（1）如图所示，315∠=，190E ∠=，
∴1275∠=∠=． ………………………………1分 又
45B ∠=，
∴114575120OFE B ∠=∠+∠=+=． ………3分 （2）
1120OFE ∠=，∴∠D 1FO =60°．
1130CD E ∠=，∴490∠=． ·················· 4分
又
AC BC =，6AB =，∴3OA OB ==．
90ACB ∠=，∴11
6322
CO AB =
=⨯=． ·············· 5分 又
17CD =，∴11734OD CD OC =-=-=．
在1Rt AD O △
中，15AD ===． ········· 6分 （3）点B 在22D CE △内部． ····················· 7分 理由如下：设BC （或延长线）交22D E 于点P ，则2153045PCE ∠=+=． 在2Rt PCE △
中，22
CP =
=
， ………… ········· 9分
32
CB =<
，即CB CP <，∴点B 在22D CE △内部． ……………10分
1E
C A 1
11．如图15，在Rt ABC △中，90C ∠=，50AB =，30AC =，D E F ，，分别是AC AB BC ，，的中点．
点P 从点D 出发沿折线DE EF FC CD ---以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC CA -于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ；
（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由；
（3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值．
11题解：（1）25． （2）能．
如图5，连结DF ，过点F 作FH AB ⊥于点H ， 由四边形CDEF 为矩形，可知QK 过DF 的中点O 时，
QK 把矩形CDEF 分为面积相等的两部分
（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），
此时12.5QH OF ==．由20BF =，HBF CBA △∽△，得16HB =． 故12.5161
748
t +=
=． （3）①当点P 在EF 上6
(25)7t ≤≤时，如图6．
4QB t =，7DE EP t +=，
由PQE BCA △∽△，得
7202545030
t t
--=．
图15
E B
图5
B
图6
E
B
图7
214
41
t ∴=． ②当点P 在FC 上6(57)7
t ≤≤时，如图7． 已知4QB t =，从而5PB t =，
由735PF t =-，20BF =，得573520t t =-+． 解得17
2
t =． （4）如图8，21
3t =；如图9，39743
t =． （注：判断PG AB ∥可分为以下几种情形：当602
7
t <≤时，点P 下行，点G 上行，可知其中存在PG AB ∥的时刻，
如图8；此后，点G 继续上行到点F 时，4t =，而点P 却在下行到点E 再沿EF 上行，发现点P 在EF 上运动时不存在
PG AB ∥；当6577
t ≤≤时，点P G ，均在FC 上，也不存在PG AB ∥；由于点P 比点G 先到达点C 并继续沿CD
下行，所以在6
787
t <<中存在PG AB ∥的时刻，如图9；当810t ≤≤时，点P G ，均
在CD 上，不存在PG AB ∥）
16
如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与3
34
y x =-
+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A B C ，，的坐标．
（2）当CBD △为等腰三角形时，求点D 的坐标． （3）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E D O A ，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直线写出BE
CD
16题解：（1）在1y x =+中，当0y =时，10x +=，
1x ∴=-，点B 的坐标为(10)-，
． ······················ 1分 在334y x =-
+中，当0y =时，3
3044
x x -+=∴=，，点C 的坐标为（4，0）
．·· 2分 B 图8 B 图9
由题意，得13
34y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，．解得87
157x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，． ∴点A 的坐标为81577⎛⎫
⎪⎝⎭
，． ························· 3分
（2）当CBD △为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D 的坐标为()x y ，．
由（1），得(10)(40)B C -，，，，5BC ∴=．
①当11BD D C =时，过点1D 作11D M x ⊥轴，垂足为点1M ，则111
2
BM M C BC ==
． 115533
12222
BM OM x ∴==-==，，．
33153428y ∴=-⨯+=，点1D 的坐标为31528⎛⎫
⎪⎝⎭
，． ··············· 4分
②当2BC BD =时，过点2D 作22D M x ⊥轴，垂足为点2M ，则222
2222D M M B D B +=．
21M B x =--，2223
354
D M x D B =-+=，，
2
2
23(1)354x x ⎛⎫
∴--+-+= ⎪⎝⎭
．
解，得1212
45x x =-
=，（舍去）．此时，312243455y ⎛⎫=-⨯-+= ⎪⎝⎭
．
∴点2D 的坐标为122455⎛⎫
- ⎪⎝⎭，． ······················· 6分
③当3CD BC =，或4CD BC =时，同理可得34(03)(83)D D -，，
，． ······· 9分
图（1）
图（2）
由此可得点D 的坐标分别为12343151224(03)(83)2855D D D D ⎛⎫⎛⎫
-
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，，，，，． 评分说明：符合条件的点有4个，正确求出1个点的坐标得1分，2个点的坐标得3分，3个点的坐标得5分，4个点的坐标得满分；与所求点的顺序无关．
（3）存在．以点E D O A ，，，为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图（2）． ①当四边形11AE OD
为平行四边形时，
1120BE CD =
． ·············· 10分 ②当四边形21AD E O
为平行四边形时，
1210
BE CD =
． ·············· 11分 ③当四边形12AOD E
为平行四边形时，
21BE CD =
············· 12分
18．（本题满分14分）已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．
（1）求直线BC 的解析式；
（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的
27
？ （3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；
（4）当动点P 在线段AB 上移动时，能否在线段OA 上找到一点Q ，使四边形CQPD 为矩形？请求出此时动点P
（此题备用）
18题解
解：y=20+2x （12≥x ≥1）
（2）当5≥x ≥1时，W=（1200-800）×（2x+20） =800x+8000
此时w 随x 的增大而增大，当x=5时，W 最大=12000 当12≥x ＞5时，W=[]1200800202x 20302x 20--+-+（）（） =-80（X 2-5X-150)=-80(X-
52
)2
+12500 此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，W 随x 的增大而减小。 所以，当x=6时，W 最大=11520
20.（1）设直线BC 的解析式为y=kx+b 依题意得：
4=k ×0+4
10=8k+b
解之得：k=
3
4
； b= 4 所以直线BC 的解析式为y=3
4
x+4
（2） t=16
7
（3） s=72
t （8>t>0）
s=44-2x （18>x ≥8） s=-
8184
t 55
+
（4）不存在。理由如下：过C 作CM ⊥AB 于M,易知CM=OA=8
AM=OC=4,所以BM=6.假设四边形CQPD 为矩形，则PQ=CD=5,PQ ‖CD,
根据Rt △PAQ ∽ Rt △BDP 可求PB=5,PB=PD,这与三角形PBD 是直角三角形相矛盾，所以假设不成立在OA 上不存在点Q,,使四边形CQPD 为矩形
17。如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为▲，数量关系为▲．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．
解：
(1)①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得AD=AF ，∠DAF=90º．
∵∠BAC=90º，
∴∠DAF=∠BAC ，∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90º，AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即CF⊥BD
（2）画图正确
当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图丁）．
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG
可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45º
∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即CF⊥BD
（3）当具备∠BCA=45º时，
过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）
∵DE与CF交于点P时，∴此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴DQ=4—x，容易说明△AQD∽△DCP，∴，∴，
．
∵0＜x≤3∴当x=2时，CP有最大值1．
史上最全相似三角形难题精选
相似三角形难题精选 模块一：相似三角形中的动点问题 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A 点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时， 求出t的值．
如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB 以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.
相似三角形动点问题精选
动点问题答案： 1．如图①，点A '，B '的坐标分别为（2，0）和（0，4-），将A B O ''△绕点O 按逆时针方向旋转90°后得ABO △，点A '的对应点是点A ，点B '的对应点是点B ． （1）写出A ，B 两点的坐标，并求出直线AB 的解析式； （2）将ABO △沿着垂直于x 轴的线段CD 折叠，（点C 在x 轴上，点D 在AB 上，点D 不与A ，B 重合）如图②，使点B 落在x 轴上，点B 的对应点为点E ．设点C 的坐标为（0x ，） ，CDE △与ABO △重叠部分的面积为S ． i ）试求出S 与x 之间的函数关系式（包括自变量x 的取值范围）； ii ）当x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？ iii ）是否存在这样的点C ，使得ADE △为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 1．答案 解：（1）(02)(40)A B ，，， ························ （2分） 设直线AB 的解析式y kx b =+，则有 240b k b =⎧⎨ +=⎩ 解得122 k b ⎧=- ⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为1 22 y x =-+ ··················· （3分） （2）i ）①点E 在原点和x 轴正半轴上时，重叠部分是CDE △． 则1111(4)22222CDE S CE CD BC CD x x ⎛⎫= ==--+ ⎪⎝⎭ △·· 2 1244 x x = -+ 当E 与O 重合时，1 2242 CE BO x = =∴<≤ ············· （4分） ②当E 在x 轴的负半轴上时，设DE 与y 轴交于点F ，则重叠部分为梯形CDFO . （第26题图）
相似三角形专题动点问题
相似三角形应用专题（二） 动态几何中的相似三角形 例题讲解一：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点 M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段 CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒） ． （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三角形． 变式练习1-1：如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当 3 1 = ??ABC BCQ S S ，求ABC BPQ S S ??的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能， 求出AP 的长；若不能，请说明理由。 N C M B
变式练习1-2：如图，已知直线l 的函数表达式为4 83 y x =-+，且l 与x 轴，y 轴分别交于A B ，两点， 动点Q 从B 点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从A 点开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q P ，移动的时间为t 秒． （1）求出点A B ，的坐标； （2）当t 为何值时，APQ △与AOB △相似？ （3）求出（2）中当APQ △与AOB △相似时，线段PQ 所在直线的函数表达式． O P A Q B y x O P A Q B y x
相似三角形动点问题
相似三角形中的动点问题（1） 例1：如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动,动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动,如果点P、Q同时出发,要使△CPQ与△CBA相似,所需的时间是多少秒？ 练习1： 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20cm, BC=15cm,现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动，动点Q 从点C出发,沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s,点Q的速度是2cm/s，它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动,设运动时间为t. 求:(1)当t=3s时，P,Q两点之间的距离是多少？ (2)若△CPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式. (3)当t为多少时,以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 练习2：
课后作业： （选做题）如图,已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发,分别沿AB 、BC 匀速运动,其中点P 运动的速度是1cm/s,点Q 运动的速度是2cm/s.当点Q 到达点C 时,P 、Q 两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题: (1)当t=2时，判断△BPQ 的形状,并说明理由; (2)设△BPQ 的面积S(cm2),求S 与t 之间的函数关系式; (3)作QR ∥BA 交AC 于点R, 连接PR, 当t 为何值时,△APR ∽△PRQ. 1、 2、
相似三角形中的动点问题（2） 例2：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3, DC=5, AB=42,∠B=45°,动点M从B点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,设运动时间为t秒.(1)求BC的长; (2)当MN∥AB时, 求t的值; (3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形. 练习：
(完整版)相似三角形的动点问题题型(整理)
相似三角形的动点问题 一、动点型 例1、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由． 例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2） （1）当t=1秒时，S的值是多少？ （2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围 （3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
迁移应用 1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）， （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0 相似中动点问题 题型一位似图形 例1如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)． (1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形； (2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标； (3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标． 例2如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′ B′ C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点0； （2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比； （3）以点0为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5． 题型二 动点存在问题 1如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P 从A 沿AB 移动到B ，移动速度为2单位/秒，有一动点Q 从C 沿CA 移动到A ，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA 与△BCA 相似。 2、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为5 24 个平方单位？ y x O P Q A B 3、如图所示，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D 开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t （秒）表示移动时间（0≤t≤6），那么： ⑴当t为何值时，⊿QAP为等腰直角三角形？ ⑵求四边形QAPC的面积；并提出一个与计算结果有关的结论； ⑶当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与⊿ABC相似？ 4、如图，在梯形ABCD中，A D∥BC, AD=3，DC=5, AB=42,∠B=45°, 动点M从B点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，动点N同 时从C点出发沿线段CD一每秒1个单位长度的速度向 终点D运动，设运动的时间t秒。 （1）、求BC 的长。 （2）当M N∥AB时，求t的值. A B C D Q P A C B D N 相似三角形与动点问题 1、将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝23，P是AC上的一个动点． （1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长； （2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数； （3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积． D A C B 2、（2011省）已知直线3+=kx y （k ＜0）分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，线段OA 上有一动点P 由原点O 向点A 运动，速度为每秒1个单位长度，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，设运动时间为t 秒． （1）当1-=k 时，线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动，它与点P 以相同速度同时出发，当点P 到达点A 时两点同时停止运动（如图1）． ① 直接写出t ＝1秒时C 、Q 两点的坐标； ② 若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似，求t 的值． B A O P C x y 11 D （第24题图1） 3、（2011，）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90o，AB 从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动。同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP。设运动时间为t秒（t>0） （1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由； （2）若∠ABC=60o，AB=43厘米。 ①求动点Q的运动速度； ②设Rt△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式； （3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。 4、（2011）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一 相似三角形复习专题动点问题 1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）， 1、当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； 2、设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； 3、作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm ／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B 向C匀速运动，设运动时间为t秒(0 3.如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC 上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由． 4.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值围（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发 沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回； A B D C E N M 相似三角形中动点问题 例1: 如图正方形ABCD 的边长为2，AE=EB ，线段MN 的两端点分别在CB 、CD 上滑动，且MN=1，当CM 为何值时△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ 变式练习：如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P 从A 沿AB 移动到B ，移动速度为2单位/秒，有一动点Q 从C 沿CA 移动到A ，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA 与△BCA 相似。 例2：如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2 ），求S 与t 的函数关系式； （3）作QR//BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？ 变式：1.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=8cm ．点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2cm/s ，点F 的速度为4cm/s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t 秒时，△ EFG 的面积为S （cm 2 ） （1）当t=1秒时，S 的值是多少？ （2）写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围 （3）若点F 在矩形的边BC 上移动，当t 为何值时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、G 为顶点的三角形相似？请说明理由． 例3：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三 角形． 变式练习1：如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D=90o ，AC ⊥BC ，AB=10cm,BC=6cm ，F D N C M B A 相似三角形提高 一、相似三角形动点问题 ∥AC．动点D从点1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB 1 A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF 中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． 〔1〕当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； 〔2〕当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中， ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停顿移动．设移动的时间为t秒． 〔1〕①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S〔平方米〕关于时间t〔秒〕的函数解析式； 〔2〕在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB 交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． 〔1〕当AD＝CD时，求证：DE∥AC； 〔2〕探究：AD为何值时，△BME与△E相似？ 4.如下图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm 的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停顿运动．设运动的时间为x． 〔1〕当x为何值时，PQ∥BC？ 〔2〕△APQ与△CQB能否相似？假设能，求出AP的长；假设不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开场向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开场向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t 〔s〕表示移动的时间〔0＜t＜6〕。 〔1〕当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ 〔2〕当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？ 相似中动点问题 题型一 位似图形 例1如图,已知O 是坐标原点,B 、C 两点的坐标分别为<3,-1>、<2,1>． <1>以0点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到两倍<即新图与原图的相似比为2>,画出图形； <2>分别写出B 、C 两点的对应点B′、C′的坐标； <3>如果△OBC 内部一点M 的坐标为 相似三角形中的动点问题含答案 一．解答题（共40小题） 1．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠B＝∠ADE＝∠C． （1）证明：△BDA∽△CED； （2）若∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE 是等腰三角形，求此时BD的长． 3．如图，在平面直角坐标系中，点B（12，10），过点B作x轴的垂线，垂足为A．作y轴的垂线，垂足为C点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O 出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当E点运动到点A时，三点随之停止运动．设运动时间为t． （1）用含t的代数式分别表示点E，点F的坐标． （2）若△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值． 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C 以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？ （2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 5．在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，点P从点A出发，速度为4个单位每秒，同时点Q从点C出发，以v个单位每秒的速度向B运动．当有一个点到达点B时，点P，Q同时停止运动．设运动时间为t． （1）若v＝2，t＝1，求△PQB的面积． （2）若在运动过程中，PQ始终平行于AC，求v的值． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．点P从点A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点B匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C匀速移动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t（s）．（1）当PQ∥AC时，求t的值； 相似三角形中的动点问题 例1.5.1在△ABC 中，6AB =cm ，12AC =cm ，动点D 以1cm/s 的速度从点A 出发到点B 止，动点E 以2cm/s 的速度从点C 出发到点A 止，且两点同时运动，当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求运动的时间t ． 例1.5.2如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=8cm ，AD=12cm ，BC=18cm ，点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿A →D →C 运动，点P 从点A 出发的同时点Q 从点C 出发，以1cm/s 的速度向点B 运动，当点P 到达点C 时，点Q 也停止运动．设点P ，Q 运动的时间为t 秒． （1）从运动开始，当t 取何值时，PQ ∥CD ？ （2）从运动开始，当t 取何值时，△PQC 为直角三角形？ A B C D E 例1.5.3如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB 边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0≤t≤2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值； 例1.5.4已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC； （2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由； （4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由． 动点问题——相似三角形 吉林省第二实验学校 1. 线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m,n ，那么就说这两条线段的比AB ：CD=m:n ，或写成（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. （比例的基本性质）如果 ，那么ad=bc 如果ad=bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么 2. 黄金分割：点Ｃ把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果,那么称线段AB 被 点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点． 3. 相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比 4. 相似三角形：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形 探索三角形相似的条件： 1：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.即定义法. 2：两角对应相等的两个三角形相似. 3：三边对应成比例的两个三角形相似. 4：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 例：依据下列各组条件，判定△ABC 与△A ′B ′C ′是不是相似，并说明为什么. （1）∠A =120°,AB =7 AC =14 ；∠A ′=120° ,A ′B ′=3 A ′C ′=6, （2）AB =4 ,BC =6 ,AC =8 ；A ′B ′=12 ,B ′C ′=18 ,A ′C ′=24 测量旗杆的高度;略 相似多边形的周长等于相似比,面积比等于相似比的平方. 例1、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为 t （秒）． （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三角形． C M B 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？ 二、构造相似辅助线——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在 C .相似三角形动点问题题型归纳
相似三角形与动点问题
相似三角形复习专题动点问题
相似三角形中动点问题
相似三角形汇总5相似中动点问题
相似三角形动点问题题型归纳
相似三角形中的动点问题含答案
相似三角形中的动点问题
动点问题——相似三角形
相似三角形难题集锦(含答案)