动点在相似三角形中的分类讨论问题 2020年中考数冲刺几何难点突破 动点问题(解析版)
2020年中考数冲刺几何难点突破动点问题
专题八动点在相似三角形中的分类讨论问题
【专题说明】
动点：运动的点或者说是不确定的点，有时题目中会明确指出动点，有时题目中相关点的坐标含有参数，换言之就是在不同的条件下会有不同的位置，或者满足条件的位置有多个。
相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个或多个三角形，两个三角形相似的判定定理一般说来有3个：
定理1：两个角对应相等，两三角形相似‘AA”
定理2：两边对应成比例且夹角相等“SAS”
定理3：三边对应成比例。“SSS”
相似三角形的判定这3个定理，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等。
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等。
判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。
应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）。
两个直角三角形相似的判定方法
（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似。（2）两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．（3）斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
如果要讨论相似的两个三角形中有一个是直角三角形：如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题。
由动点产生的相似三角形问题一般在函数和几何图中出现，函数一般是一次函数和二次函数，几何图形一般是三角形和四边形。
题型一般有是否存在点P，使得：①△PDE∽△ABC ②以P、D、E为顶点的三角形与△ABC相似。一般以大题为主，也有出现在填空后两题。
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题过程：
①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
涉及知识点：全等相似的性质及判定，一元二次方程解法，直角三角形中锐角三角函数，勾股定理，求线段的长，要用到两点间的距离公式。
【专题说明】
1、如图，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)过点A(3，－3)和点B(33，0)．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D.连结OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与∥AOC相似，求出对应点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在点Q，使得S∥AOC＝1
3S∥AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路生成】(1)将点A和点B的坐标代入y＝ax2＋bx中，解出a和b的值即可；
2、如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM∥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与∥OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得∥DCA的面积最大，求出点D的坐标．
图1
解方程24)4)(1(21=---x
x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--． 解方程2
14)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意． 综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．
图2 图3 图4
（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为22
1-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(< 521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 22 12+-=． 因此4)22 1(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，∥DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）． 图5 图6 3、如图1，已知抛物线的方程C 1：(2)()y x x m m =- +- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且 点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求∥BCE的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与∥BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 图1 由于∥BCE ＝∥FBC ，所以当CE BC CB BF =，即2BC CE BF =⋅时，∥BCE ∥∥FBC ． 设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m +-=+． 解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)． 由'CO BF CE BF =，得244 m m BF m +=+．所以2(4)4m m BF m ++=． 由2BC CE BF =⋅，得222 (4)4(2)4m m m m m +++=+⨯． 整理，得0＝16．此方程无解． 图2 图3 图4 ∥如图4，作∥CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′∥x 轴于F ′， 由于∥EBC ＝∥CBF ，所以BE BC BC BF =，即2BC BE BF =⋅时，∥BCE ∥∥BFC ． 在Rt∥BFF′中，由FF ′＝BF ′，得 1(2)()2x x m x m +-=+． 解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF′＝2m ＋2，2(22)BF m =+． 由2BC BE BF =⋅，得2(2)222(22)m m +=⨯+．解得222m =±． 综合∥、∥，符合题意的m 为222+． 4、如图1，Rt∥ABC 中，∥ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ． （1）若∥BPQ与∥ABC相似，求t的值； （2）如图2，连接AQ、CP，若AQ∥CP，求t的值； （3）试证明：PQ的中点在∥ABC的一条中位线上． 图1 图2 思路点拨 1．∥BPQ与∥ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD∥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ． 3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．满分解答 （1）Rt∥ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10． ∥BPQ与∥ABC相似，存在两种情况： ∥ 如果BP BA BQ BC =，那么 510 848 t t = - ．解得t＝1． ∥ 如果BP BC BQ BA =，那么 58 8410 t t = - ．解得 32 41 t=． 图3 图4 （2）作PD∥BC，垂足为D． 在Rt∥BPD 中，BP ＝5t ，cos B ＝45 ，所以BD ＝BP cos B ＝4t ，PD ＝3t ． 当AQ ∥CP 时，∥ACQ ∥∥CDP ． 所以AC CD QC PD =，即68443t t t -=．解得78 t =． 图5 图6 （3）如图4，过PQ 的中点H 作BC 的垂线，垂足为F ，交AB 于E ． 由于H 是PQ 的中点，HF //PD ，所以F 是QD 的中点． 又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ． 因此F 是BC 的中点，E 是AB 的中点． 所以PQ 的中点H 在∥ABC 的中位线EF 上． 5、如图1，已知抛物线211(1)444 b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ． （1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且∥PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得∥QCO 、∥QOA 和∥QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1 思路点拨 1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等． 2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示． 3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上． 满分解答 （1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0, 4 b )． （2）如图2，过点P 作PD ∥x 轴，PE ∥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么∥PDB ∥∥PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ． 所以S 四边形PCOB ＝S ∥PCO ＋S ∥PBO ＝1152428 b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ． 解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55 )． 图2 图3 （3）由2111(1)(1)()4444 b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1． ∥如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么∥OQC ∥∥QOA ． 当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =⋅时，∥BQA ∥∥QOA ． 所以2()14 b b =-．解得843b =±．所以符合题意的点Q 为(1,23+)． ∥如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∥OQC ＝90°。 因此∥OCQ∥∥QOA． 当BA QA QA OA =时，∥BQA∥∥QOA．此时∥OQB＝90°． 所以C、Q、B三点共线．因此BO QA CO OA =，即 1 4 b QA b =．解得4 QA=．此时Q(1,4)． 图4 图5 中考数学复习专题讲座十三:动点型问题 中考数学复习专题讲座十三动点型问题（三）（函数引动点产生的相似三角形问题、以圆为载体的动点问题）一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。三、中考考点精讲专题五：函数引动点产生的相似三角形问题函数因动点产生的相似三角形问题一般有三个解决途径：①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。②或利用已知三角形中对应角，在未知三角 形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。例1 （2012?6?1义乌市）如图1，已知直线y=kx 与抛物线y= 交于点A（3，6）．（1）求直线y=kx 的解析式和线段OA 的长度；（2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM，交x 轴于点M（点M、O 不重合），交直线OA 于点Q，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N．试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O、A 不重合），点D（m，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足 ∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1 个、2 个？思路分析：（1）利用待定系数法求出直线y=kx 的解析式，根据A 点坐标用勾股定理求出线段OA 的长度；（2）如答图1，过点Q 作QG⊥y 轴于点G，QH⊥x 轴于点H，构造相似三角形△ QHM 与△ QGN，将线段QM与线段QN 的长度之比转化为相似三角形的相似比，即为定值．需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立；（3）由已知条件角的相等关系 ∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ ABE∽△OED．设 动点问题 题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发，同时到 达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→ B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第 四个顶点M的坐标． 提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 图（3） B 图（1） B 图（2） 2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< 初中数学相似三角形几何动点问题模型专题汇总 这节课我们学什么 1.动点函数型----横竖型问题 2.动点函数型----斜线型问题 3.动点几何型----二次相似问题 4.动点几何形----A-A问题 知识点梳理 1.本专项的前半部分为二次函数中动点相似三角形之函数型，主要为有一对等角的两个三角形相似时，对等角的夹边作讨论的题型，简称S.A.S型. 题型分为横竖型和斜线型两大类： 横竖型：动点在平行于坐标轴的直线上；斜线型：动点在倾斜的直线上. （等角类型分为锐角、钝角；等角的位置有公共角、对顶角、内错角等，还可通过三角比的计算得到等角.） 注：求斜线上的点坐标方法可以采用代数方法（两点间距离公式），还可以用几何方法构造相似三角形或是三角比来求解. 2.本专项的后半部分为二次函数中动点相似三角形之几何． 题型分为A-A和两次相似两大类： A-A：确定一组相等的角，讨论分析另一组角，可以结合等腰三角形的性质或者锐角三角比； 两次相似：借助第一次证明的相似三角形相等的角，结合已知条件证明第二次相似． 典型例题分析 1、动点横竖型问题 例1.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数2 14 y x bx c =- ++的图像经过点()4,0A 、()0,2C ． （1）试求这个二次函数的解析式，并判断点()2,0B -是否在该函数的图像上； （2）设所求函数图像的对称轴与x 轴交于点D ，点E 在对称轴上，若以点C 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似，试求点E 的坐标． 【答案：（1）∵c bx x y ++- =2 4 1过点40A （，）、02C （，） ∴2,21== c b ∴211242y x x =-++ ∵当2x =-时，0y = ∴点(2,0)B -在该二次函数的图像上； （2）∵二次函数的对称轴为直线1x = ∴ D ∵点 E 在对称轴上，且对称轴平行y 轴 ∴OCD CDE ∠=∠ 又6AB =，AC =CD =2OC =，1OD = 易得OCD OAC ∆∆∽∴OCD OAC ∠=∠， 从而CDE OAC ∠=∠ 若以点C 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似 则有以下两种情况： ． A ． C ． O x y 1 专题19 动点问题与几何图形综合题型 题型一、动点问题与几何图形最值问题 主要有：线段最值；点到直线距离的最值；周长最值；面积最值等等. 题型二、动点问题与几何问题相结合 主要有：相似三角形的存在性；角平分线存在性；角度间的关系问题；面积关系问题等等. 【例1】（2018·河南第一次大联考）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为( ). A．4 B．C．7 D．8 【答案】D. 【分析】如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，利用勾股定理及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半分别求出PE与AE的长，由AE+EP求出AP的最大值即可． 【解析】解：如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大， 在Rt△PNE中，PN=4，NE=1 2 MN=3， 根据勾股定理得：PE=5， 在Rt△AMN中，AE为斜边MN上的中线， ∴AE=1 2 MN=3， 则AP的最大值为：AE+PE=3+5=8， 故选D． 【点评】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，以及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 【变式1-1】（2019·济源一模）如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，E 在 AC 上且 AE =2 3 AC ，D 是 直线 BC 上一动点，线段 ED 绕点 E 逆时针旋转 90°，得到线段 EF ，当点 D 运动时， 则线段 AF 的最小值是 . . 【解析】解：先确定F 点的轨迹， 过E 作的直线BC 的平行线，分别过D 、F 作该平行线的垂线，垂足为G ，H ， 如图所示， 由折叠性质，知△DEG ≌△EFH ， ∴EH =DG ， ∵△ABC 是等边三角形，AE =2，CE =1， ∴DG =CE ·sin 60° ， 即EH 为定值， ∴点F 落在直线FH 上，且FH ⊥BC ， 根据垂线段最短，当AF ⊥FH 时，AF 的值最小， 如下图所示，过A 作AN ⊥FH ，延长AC 交FH 于点M ， B 2020年中考数冲刺几何难点突破动点问题 专题八动点在相似三角形中的分类讨论问题 【专题说明】 动点：运动的点或者说是不确定的点，有时题目中会明确指出动点，有时题目中相关点的坐标含有参数，换言之就是在不同的条件下会有不同的位置，或者满足条件的位置有多个。 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个或多个三角形，两个三角形相似的判定定理一般说来有3个： 定理1：两个角对应相等，两三角形相似‘AA” 定理2：两边对应成比例且夹角相等“SAS” 定理3：三边对应成比例。“SSS” 相似三角形的判定这3个定理，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等。 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等。 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）。 两个直角三角形相似的判定方法 （1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似。（2）两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．（3）斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 如果要讨论相似的两个三角形中有一个是直角三角形：如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题。 由动点产生的相似三角形问题一般在函数和几何图中出现，函数一般是一次函数和二次函数，几何图形一般是三角形和四边形。 题型一般有是否存在点P，使得：①△PDE∽△ABC ②以P、D、E为顶点的三角形与△ABC相似。一般以大题为主，也有出现在填空后两题。 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题过程： ①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 专题34 动态问题 专题知识回顾 一、动态问题概述1.就运动类型而言,有函数中的动点问题、图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题，有点动、线动、面动三大类。3.就图形变化而言,有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等。4.动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。二、动点与函数图象问题常见的四种类型：1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图 2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。 3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。 4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。 三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型： 1.线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。 2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。 3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。 四、动点问题常见的四种类型： 1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，通过全等或相似，探究构成的新图形与原图形的边或角的关系。 2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，通过探究构成的新图形与原图形的全等或相似，得出它们的边或角的关系。 3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，探究构成的新图形的边角等关系。 4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，探究是否存在动点构成的三角形是等腰三角形或与已知图形相似等问题。 五、解决动态问题一般步骤： （1）用数量来刻画运动过程。因为在不同的运动阶段，同一个量的数学表达方式会发生变化，所以需要分 几何图形综合题 类型一动点问题 1.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC 于点G. (1)求证：△CDE≌△CBF； 1时，求CG的长； (2)当DE＝ 2 (3)连接AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由． 第1题图 （1）证明：如解图，在正方形ABCD中，DC＝BC， ∠D＝∠CBA＝∠CBF＝∠DCB＝ 90°， ∴∠1＋∠2＝ 90°， ∵CF⊥CE， ∴∠2＋∠3＝ 90°， ∴∠1＝ ∠3， 在△CDE 和△CBF 中， ?? ? ??∠=∠=∠=∠31BC DC CBF D ， ∴△CDE ≌△CBF (ASA ); 第1题解图 (2)解：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴△GBF ∽△EAF ， ∴ AF BF AE BG =， 由(1)知，△CDE ≌△CBF ， ∴BF ＝ DE ＝ 1 2 ， ∵正方形ABCD 的边长为1， ∴AF ＝AB ＋BF ＝ 3 2 ， AE ＝AD －DE ＝ 1 2 ， ∴2 32121 BG ， ∴BG ＝16 ， ∴CG ＝BC －BG ＝ 5 6； (3)解：不能． 理由：若四边形CEAG 是平行四边形，则必须满足AE ∥CG ，AE ＝ CG ， ∴AD －AE ＝BC －CG ， ∴DE ＝BG ， 由(1)知，△CDE ≌△CBF ， ∴DE ＝BF ，CE ＝CF ， ∴△GBF 和△ECF 是等腰直角三角形， ∴∠GFB ＝ 45°，∠CFE ＝ 45°， ∴∠CF A ＝ ∠GFB ＋∠CFE ＝ 90°， 此时点F 与点B 重合，点D 与点E 重合，与题目条件不符， ∴在点E 运动过程中，四边形CEAG 不能为平行四边形． 2.已知四边形ABCD 是菱形，AB ＝ 4，∠ABC ＝ 60°， ∠EAF 的两边分别与射线CB ，DC 相交于点E ，F ，且∠EAF ＝ 60°. (1)如图①，当点E 是线段CB 的中点时，直接写出线段AE ，EF ，AF 之间的数 中考数学专题复习《动点-----分类讨论》导学案 教材分析 1.本节课是初三中考二轮复习中的动点问题的难点，在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略． 2.二轮复习动点问题分为三个课题（1）探究两条直线的位置关系（2）探究几何图形面积的函数关系式（3）分类讨论思想的运用 3.本课题分为两节课，本节课是第一节，主要内容是在点动和线动的情况下，利用分类讨论的方法探究几何图形的形状：第二节是在折线运动或图形运动的情况下，利用分类讨论的方法探究。 3.本课对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义。 4.本课内容安排上难度和强度较高，适合学生讨论，可以充分开展合作学习，培养学生的合作精神和团队竞争的意识。 学情分析 1.授课班级学生基础较好，教学中应给予充分思考，讨论，展示的时间。 2、该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势，兼顾效率和平衡。 学习目标 知识目标：体验分类讨论在动点问题的运用，灵活运用相似三角形的性质，勾股定理 技能目标：理解分类讨论思想的使用，学会运用分类思想观察思考，学会通过画图“由动转静”解决动点问题，灵活运用等腰（直角）三角形的思想整体观察对象，总结一些有益的结论。 重点和难点 重点：理解并学会用分类讨论的思想解决问题 难点：1.学会通过画图“由动转静”解决动点问题 2.，学会加辅助线分割三角形或构造三角形 课前思考： 1：当三角形ABC的角满足什么条件时是直角三角形 2：当三角形ABC的边满足什么条件时是等腰三角形 引入：把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。 例题： 2020年中考数冲刺几何难点突破 动点问题 专题四 动点在等腰三角形中的分类讨论问题 【专题说明】 【精典例题】 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等， 请说明理由； ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以①中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 【解析】：（1）①①1t =秒，①313BP CQ ==⨯=厘米， ①10AB =厘米，点D 为AB 的中点，①5BD =厘米． 又①8PC BC BP BC =-=，厘米，①835PC =-=厘米，①PC BD =． 又①AB AC =，①B C ∠=∠，①BPD CQP △≌△． ①①P Q v v ≠， ①BP CQ ≠， 又①BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ①点P ，点Q 运动的时间433BP t = =秒，①515 443 Q CQ v t ===厘米/秒． （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得 1532104 x x =+⨯，解得80 3x =秒． ①点P 共运动了 80 3803 ⨯=厘米． ①8022824=⨯+，①点P 、点Q 在AB 边上相遇，①经过 80 3 秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． 2、已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒． （1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； A Q C D B P 动点问题探究——几何图形中的动点问题 知识点图形的平移、图形的旋转、图形的翻折、动点问题的函数图像 教学目标会列出函数或方程等解决图形的动点问题 教学重点会解决图形的平移、旋转、翻折等问题 教学难点会利用函数及方程解决图形的平移、旋转、翻折等问题 教学过程 一、课堂导入 动点所产生的函数及方程问题在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中占到10%到20%的比重。主要研究在几何图形运动中，伴随着一定的数量关系、图形位置关系的“变”和“不变性”，就运动对象而言，有点动、线动和面动，常常集代数与几何于一体，有较强的综合性，题目灵活多变，动中有静，静中有动，动静结合． 二、复习预习 1. 平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。 平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。 2. 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。 3. 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。 三、知识讲解 考点1 单点运动及双点运动问题 关于点运动的问题，一般根据图形变化，探索动点运动的特点和规律，作出符合条件的草图。 解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量，用含未知数的代数式去表示所需的线段，根据题意中隐含的条件借助相似等方式构造方程或函数表达式。 考点2 图形运动问题 图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等，图形在运动过程中，对应线段、对应角不变，以三角形、四边形的运动是常见的一种题型。 这里需注意：平移、旋转、翻折都改变了图形的位置，不改变图形的形状和大小。 对于此类题目，关键在于抓住运动图形的特殊位置、临界位置及特殊性质，其基本方法是把握图形运动与变化的全过程，以不变应万变，解答过程中常需借用函数或方程来解答。 考点3 线运动问题 解决此类题的关键是根据线运动的变化，研究图形的变化． 由图形变化前后的关系及图形的性质综合解决问题，如本题利用平移性质及三角形面积建立方程解决问题. 四、例题精析 考点一 双点运动问题 例1 如图14，在△ABC 中，∠B = 90°，AB = 6cm ，BC = 12cm ，动点P 以1cm/s 的速度从A 出发沿边AB 向点B 移动，动点Q 以2cm/s 的速度同时从点B 出发沿BC 向点C 移动． ⑴△PBQ 的面积S(cm 2 )与点P 移动时间t (s)的函数关系式为______，其中t 的取值范围为________； ⑵判断△PBQ 能否与△ABC 相似，若能，求出此时点P 移动的时间，若不能，说明理由； ⑶设M 是AC 的中点，连接MP 、MQ ，试探究点P 移动的时间是多少时，△MPQ 的面积为△ABC 面积的 4 1 ？ 中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析 【真题精讲】 【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． C M B （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形． A B M C N E D ∵AB DE ∥，AB MN ∥． ∴DE MN ∥． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD =． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得5017 t =． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （2）分三种情况讨论： ① 当MN NC =时，如图②作NF BC ⊥交BC 于F ，则有2MC FC =即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） 热点专题8动点几何问题 考向1图形的运动与最值 1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是． 【解析】如图， 过点P作PE⊙BD交AB的延长线于E， ⊙⊙AEP＝⊙ABD，⊙APE⊙⊙ATB， ⊙， ⊙AB＝4， ⊙AE＝AB+BE＝4+BE， ⊙， ⊙BE最大时，最大， ⊙四边形ABCD是矩形， ⊙BC＝AD＝3，CD＝AB＝4， 过点C作CH⊙BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，⊙BD是⊙C的切线， ⊙⊙GME＝90°， 在Rt⊙BCD中，BD＝＝5， ⊙⊙BHC＝⊙BCD＝90°，⊙CBH＝⊙DBC， ⊙⊙BHC⊙⊙BCD， ⊙， ⊙， ⊙BH＝，CH＝， ⊙⊙BHG＝⊙BAD＝90°，⊙GBH＝⊙DBA， ⊙⊙BHG⊙⊙BAD， ⊙＝， ⊙， ⊙HG＝，BG＝， 在Rt⊙GME中，GM＝EG•sin⊙AEP＝EG×＝EG， 而BE＝GE﹣BG＝GE﹣， ⊙GE最大时，BE最大， ⊙GM最大时，BE最大， ⊙GM＝HG+HM＝+HM， 即：HM最大时，BE最大， 延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，⊙GP'＝HP'+HG＝， 过点P'作P'F⊙BD交AB的延长线于F， ⊙BE最大时，点E落在点F处， 即：BE 最大＝BF ， 在Rt⊙GP 'F 中，FG ＝＝＝＝， ⊙BF ＝FG ﹣BG ＝8， ⊙ 最大值为1+＝3， 故答案为：3． 2. (2019 江苏省无锡市)如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，BC =D 为边AB 上一动点(B 点除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 ． 【解析】过D 作DG ⊙BC 于G ，过A 作AN ⊙BC 于N ，过E 作EH ⊙HG 于H ，延长ED 交BC 于M ． 中考数学二轮复习重要考点精析 动态型问题 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲 考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像） 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系. 例1 如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（） A．B．C．D． 思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论． 解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则： （1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）； （2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）． 综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2）， 这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求． 故选B． 中考数学提分训练：几何图形的动点问题 、选择题 1 .如图，在 RtA PMN 中，/P=90： PM=PN, MN=6cm ,矩形 ABCD 中 AB=2cm, BC=10cm,点 C 和点 M 重合, 点B, C （M ）、N 在同一直线上，令 RtA PMN 不动，矩形 ABCD 沿MN 所在直线以每秒1cm 的速度向右移 动，至点C 与点N 重合为止，设移动 x 秒后，矩形ABCD 与4PMN 重叠部分的面积为 y,则y 与x 的大致图 2 .如图1,在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿H —8 —C ■方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做 凡交CD 于F 点，设点E 运动路程为x, ,如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象 7 M ，则矩形ABCD 的面积是（ 23 25 A. - B. 77 匕 6 D. 5 3 .如图甲，A, B 是半径为1的。。上两点，且OAL OB .点P 从A 出发，在。O 上以每秒一个单位的速度匀 速运动，回到点A 运动结束.设运动时间为x,弦BP 的长度为y,那么如图乙图象中可能表示 y 与x 的函数 象是（） A. 点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是 A.①睡⑪或③DW或④ 4.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm, BC=2cm, / ABC=45°,点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折 线B8 CO DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s), 4ABP的面积为S(cm2),则S与t的大致图象是 () 5.如图，矩形ABCD,R是CD的中点，点M在BC边上运动，E, F分别为AM , MR的中点，则EF的长随M点的运动() A.变短 B.变长N C.不变^ D.无法确定 二、填空题 6.在Rt^ABC中，AB=1, /A=60°, / ABC=90°,如图所示将RtAABC沿直线l无滑动地滚动至RtADEF^则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为 .(结果不取近似值) 7.如图，在平面直角坐标系中，A(4, 0)、B(0, -3),以点B为圆心、2为半径的。B上有一动点P.连接AP, 若点C为AP的中点，连接OC,则OC的最小值为 . 8.如图，在^ ABC中，BC= AC= 5, AB=8, CD为AB边的高，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在第一 象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ ABC 【十大常考压轴题特训】 特训06——动点问题 题量﹕10题；分值﹕每小题10分，共计100分；推荐时间﹕45分钟 问题1．（2019 湖南省衡阳市） 如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以l cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE． （1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形； （2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长； （4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值． 【分析】（1）当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，由此构建方程即可解决问题． （2）如图1中，连接BF交AC于M．证明EF＝2EM，由此构建方程即可解决问题． （3）证明DE＝1 2AC即可解决问题． （4）如图3中，连接AM，AB′．根据AB′≥AM﹣MB′求解即可解决问题．【解答】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°， ∴6＋t＝2（6﹣t）， ∴t＝3， ∴t＝3时，△BPQ是直角三角形． （2）存在． 理由：如图1中，连接BF交AC于M． ∵BF平分∠ABC，BA＝BC， ∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm， ∵EF∥BQ， ∴∠EFM＝∠FBC＝1 2∠ABC＝30°， ∴EF＝2EM， ∴t＝2•（3﹣1 2t）， 解得t＝3． （3）如图2中，作PK∥BC交AC于K． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠A＝60°， ∵PK∥BC， ∴∠APK＝∠B＝60°， ∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°， ∴△APK是等边三角形， ∴P A＝PK， ∵PE⊥AK， 动点问题的函数图像 1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（） A．B． C．D． 2．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（） A．B． C．D． 3．如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（） A．B． C．D． 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN，在整个运动过程中，△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是（） A．B． C．D． 5．如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O的直径AB＝100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC的距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是（） A．B． C．D． 6．如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径（C点与A点不重合）， 模型构建专题：相似三角形的基本模型的构建——熟知需要用相似来解决的图形 ◆类型一“A”字型 1．(盘锦中考)如图，已知◆ABC中，AB＝5，AC＝3，点D在边AB上，且◆ACD＝◆B，则线段AD的长为． 第1题图 第2题图 2．(佛山中考)如图，在Rt◆ABC中，AB＝BC，◆B＝90°，AC＝10 2.四边形BDEF 是◆ABC的内接正方形(点D、E、F在◆ABC的边上)．则此正方形的面积是 . 3．如图◆，AB◆BD，CD◆BD，垂足分别为B、D，AD和BC交于点E，EF◆BD，垂 足为F，我们可以证明1 AB＋1 CD＝1 EF成立，若将图◆中的垂直改为斜交，如图◆， AB◆CD， AD与BC交于点E，过点E作EF◆AB交BD于F，则 1 AB＋ 1 CD＝ 1 EF还成立吗？如果成立， 给出证明；如果不成立，请说明理由． ◆类型二“X”字型 4．如图，已知AB◆CD，AD与BC相交于点O，AO◆DO＝1◆2，那么下列式子正确的是（） A．BO◆BC＝1◆2 B．CD◆AB＝2◆1 C．CO◆BC＝1◆2 D．AD◆DO＝3◆1 第4题图 第5题图 5．(安顺中考)如图，◆ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（） A．3◆2 B．3◆1 C．1◆1 D．1◆2 ◆类型三旋转型 6．如图，在◆ABC中，◆ACB＝90°，◆A＝30°，将◆ABC绕点C顺时针旋转得到◆A′B′C，点B′在AB上，A′B′交AC于F，则图中与◆AB′F相似的三角形有(不再添加其他线段)（）A．1个B．2个C．3个D．4个 7．如图，在◆ABC和◆ADE中，◆BAD＝◆CAE，◆ABC＝◆ADE. (1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线)； (2)请分别说明两对三角形相似的理由． 第七篇专题复习篇专题36动点综合问题 知 识点名师点晴 动点问题中的特殊图 形等腰三角形与直角三角形利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题 相似问题利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题 动点问题中的计算问 题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法 动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题 动点问 题的函 数图象 问题 一次函数或二次函数的图象结合函数的图象解决动点问题 归纳1：动点中的特殊图形 基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等,直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方,平行四边形的对边平行且相等,矩形的对角线相等,菱形的对角线互相垂直 基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合,解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质 注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质． 【例1】（2019吉林省,第25题,10分）如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=3cm,E为边BC上一点,BE=AB,连接AE．动点P、Q从点A同时出发,点P以2cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s）,在运动过程中,点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）． （1）AE= cm,∠EAD= °； （2）求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围； （3）当PQ 5 4 cm时,直接写出x的值． 归纳2：动点问题中的计算问题 基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最大值、线段或面积的定值等问题． 基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答,面积采用割补法或面积公式,通常与二次函数、相似等内容． 注意问题归纳：在计算动点问题的过程中,要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合． 【例2】（2019内蒙古包头市,第26题,12分）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1,0）,B（3,0）两点,与y轴交于点C,连接BC． （1）求该抛物线的解析式,并写出它的对称轴； 中考经典几何题系列：动点存在性问题 目录 一、建立函数解析式 二、动态几何型压轴题 三、双动点问题 四、函数中因动点产生的相似三角形问题 五、圆的动点问题 六、经典练习题（一） 七、经典练习题（二） “动点存在性问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1（上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH=32NH=2 1 32⋅OP=2. (2)在Rt △POH 中, 2 2 2 36x PH OP OH -=-=, ∴ 2362121x OH MH -== . 在Rt △MPH 中, . ∴y =GP= 32MP=23363 1 x + (0中考数学复习专题讲座十三 动点型问题
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