最新相似三角形复习专题相似与一次函数-动点问题
相似三角形复习专题一
——相似形三角形与一次函数
一、例题讲解
二、练习巩固
1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2B ，且与x
轴的正半轴相交于点A ，点P 、点Q 在线段AB 上，点M 、N 在线段AO 上，且OPM
与QMN 是相似比为3∶1的两个等腰直角三角形，
90OPM MQN ∠=∠=。试求：
（1）AN ∶AM 的值；
（2）一次函数y kx b =+的图象表达式。
四边形OABC 是放在直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将BC 边折叠，使点B 落在边OA 的点D 处，已知 43DA AE ,55CE == 是否相似？说明理由与判断DAE COD 1.∆∆2、根据相似和已知条件你能求解出那些结论？
3、求直线CE 与x 轴的交点P 的坐标
4、是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，试写出其解析式
并画出相应的直线；如果不存在，试说明理由。
三、自我提高
.如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且满
10OA -=．
（1）求点A ，点B 的坐标．
（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P
设一次函数y=12x+2的图象为直线l ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，如图：
（1）求点A 和点B 的坐标；
（2）直线m 过点P （-3，0），若直线l 、m 与x 轴围成的三角形和直线l 、m 与y 轴围成的三角形相似，求直线m 与y 的交点N 的坐标．
相似三角形复习专题二
动态型问题（一）动点题
例题讲解：
1、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解x
析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为5
24个平方单位？
3、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6米，BC ＝8米，动点P 以2米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1米/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设P 、Q 两点移动t 秒（0 （2）在P 、Q 两点移动的过程中，四边形ABQP 与△CPQ 的面积能否相等？若能，求出此时点P 的位置；若不能，请说明理由。 分析：本题是一个动态几何问题，也是一个数形结合的典型问题，综合性较强。 5、已知：如图，△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3厘米，CB ＝4厘米．两个动点P 、Q 分别从 A 、C 两点同时按顺时针方向沿△ABC 的边运动．当点Q 运动到点A 时，P 、Q 两点运动即停止．点P 、Q 的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P 运动时间为t （秒）． （1）当时间t 为何值时，以P 、C 、Q 三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2； （2）当点P 、Q 运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ 与△ABC 围成阴影部分面积为S （厘米2），求出S 与时间t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围； （3当t 为多少时，⊿CPQ ∽⊿CAB x B 4、如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC, AD=3， DC=5, AB= , ∠B=45°, 动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，动点N 同 时从C 点出发沿线段CD 一每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，设运动的时间t 秒。 （1）、求BC 的长。 （2）当M N ∥AB 时，求t 的值. 5、如图在矩形ABCD 中,AB=12cm, BC=6cm,点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间，那么： （1）、当t 为何值时，⊿PAQ 为等腰直角三角形。 （2）、求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论。 （3）、当t 为何值时，以P 、A 、Q 为顶点的三角形与⊿ABC 相似。 6、如图AB 是一根电杆,杆顶A 处有一个路灯，一个高1.8m 的人站在路灯下D 处，影子DC 长1.5m ，他向远离路灯的方向前行6米到达F 处，影子FH 长2.5 m ，求路灯的高度。 圆中的三角形相似 复习专题 1、 黄金分割点：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果 AC BC AB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。其中AB AC 2 15-=≈0.618AB 。 2、 黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C 使C 是线段AB 的黄金分割点.作法： （1）过点B 作BD ⊥AB ，使BD=0.5AB ； （2）连结AD ，在DA 上截取DE=DB ； （3）在AB 上截取AC=AE ，则点C 就是所求作的线段AB 的黄金分割点。 （4）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形 3、相似三角形 1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。 几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。 两个等腰直角三角形一定相似。 两个等边三角形一定相似。 两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。 补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）； 4、 性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。 5、 相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。 如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF 。相似比为k 。 6、判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 ②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三 角形相似。 三角形相似的判定定理： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似。(此定理用的最多) 判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 7、 直角三角形相似判定定理: （1） 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 （2） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角 形也相似。 相似三角形复习专题一 ——相似形三角形与一次函数 一、例题讲解 二、练习巩固 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2B ，且与x 轴的正半轴相交于点A ，点P 、点Q 在线段AB 上，点M 、N 在线段AO 上，且OPM 与QMN 是相似比为3∶1的两个等腰直角三角形， 90OPM MQN ∠=∠=。试求： （1）AN ∶AM 的值； （2）一次函数y kx b =+的图象表达式。 四边形OABC 是放在直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将BC 边折叠，使点B 落在边OA 的点D 处，已知 43DA AE ,55CE == 是否相似？说明理由与判断DAE COD 1.∆∆2、根据相似和已知条件你能求解出那些结论？ 3、求直线CE 与x 轴的交点P 的坐标 4、是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，试写出其解析式 并画出相应的直线；如果不存在，试说明理由。 三、自我提高 .如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且满 10OA -=． （1）求点A ，点B 的坐标． （2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 设一次函数y=12x+2的图象为直线l ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，如图： （1）求点A 和点B 的坐标； （2）直线m 过点P （-3，0），若直线l 、m 与x 轴围成的三角形和直线l 、m 与y 轴围成的三角形相似，求直线m 与y 的交点N 的坐标． 相似三角形复习专题二 动态型问题（一）动点题 例题讲解： 1、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解x 九年级专题复习三动点产生的相似三角形问题知识梳理 动点问题是中考卷压轴题中的常客.常见的动点有-个或者两个,动点运动的路线是线段、射线、直线或者折线，动点的速度也不尽相同.随着点的运动图形发生着巨大的变化，根据题目给出的条件结合常见的基本图形解题规律是解决此类问题常用的策略. 【典型例题】 [例1]如图，在▱ABCD中，∠C= 60°，BC=6cm，DC= 7cm。点M是边AD上一点,且DM:AD=1:3.点E,F分别从A，C同时出发,以1cm/s的速度分别沿AB, CB向点B运动(当点F运动到点B时,点E随之停止运动),EM, CD的延长 线交于点P, FP交AD于点Q.设运动时间为xs,线段 PC的长为y cm. (1)求y与x之间函数关系式,并写出自变量x的取值 范围; (2)当x为何值时，PF⊥AD. [思路分析]平行四边形中一般都有A字形或者8字形等基本图形,抓住这一规律,y 与x之间函数关系式便可轻松建立. 解 [点评]点E和F在运动过程中始终满足第(1)题的y与x的一般关系.而第(2)题中PF⊥AD这一条件下y 与工一定还存在一个特殊关系,将两种关系所对应的兩数解析式联立方程便可求得x的值. [例2]如图,在矩形ABCD中, AB= 12cm, BC = 6cm，点P沿AB边从A向B以2 cm/s的速度移动点Q沿DA边从D向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动时间(0≤1≤6),那么: (1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形? (2)求四边形QAPC的面积;你有什么发现? (3)当t为何值时,以点A, P, Q为顶点的三角形与△ABC相 似? [思路分析]随着P、Q两点的移动,四边形QAPC的形状不断地发生变化.题中问四边形QAPC 的面积有什么发现,估计面积是一个定值. 解 [点评] 动中的不变性，动中取静是解题的巧妙之处. [例3] 如图,已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P, Q同时从A, B两点出发,分别沿AB, BC匀速运动,其中点P运动的速度是1 cm/s,点Q运动的速度是2 cm/s,当点Q到达点C,时,P, Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题: (1)当t= 2s时,判断△BPQ的形状，并说明理由; (2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式; 2020年中考数冲刺几何难点突破动点问题 专题八动点在相似三角形中的分类讨论问题 【专题说明】 动点：运动的点或者说是不确定的点，有时题目中会明确指出动点，有时题目中相关点的坐标含有参数，换言之就是在不同的条件下会有不同的位置，或者满足条件的位置有多个。 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个或多个三角形，两个三角形相似的判定定理一般说来有3个： 定理1：两个角对应相等，两三角形相似‘AA” 定理2：两边对应成比例且夹角相等“SAS” 定理3：三边对应成比例。“SSS” 相似三角形的判定这3个定理，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等。 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等。 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）。 两个直角三角形相似的判定方法 （1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似。（2）两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．（3）斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 如果要讨论相似的两个三角形中有一个是直角三角形：如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题。 由动点产生的相似三角形问题一般在函数和几何图中出现，函数一般是一次函数和二次函数，几何图形一般是三角形和四边形。 题型一般有是否存在点P，使得：①△PDE∽△ABC ②以P、D、E为顶点的三角形与△ABC相似。一般以大题为主，也有出现在填空后两题。 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题过程： ①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 初中数学 梦立方教育，圆你人生梦 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2B ，且与x 轴的正半轴相交 于点A ，点P 、点Q 在线段AB 上，点M 、N 在线段AO 上，且△OPM 与△QMN 是相似比为3∶1的两 个等腰直角三角形，90OPM MQN ∠=∠=。试求： （1）AN ∶AM 的值； （2）一次函数y kx b =+的图象表达式。 2.如图，在平面直角坐标系中，以点B （0，8）为端点的射线BG ∥x 轴，点A 是射线BG 上的一个动点（点 A 与点 B 不重合）．在射线AG 上取AD =OB ，作线段AD 的垂直平分线，垂足为E ，且与x 轴交于点F ，过 点A 作AC ⊥OA ，交射线EF 于点C ．连接OC 、CD ，设点A 的横坐标为t ． （1）用含t 的式子表示点E 的坐标为_______； （2）当t 为何值时，∠OCD =180°？ （3）当点C 与点F 不重合时，设△OCF 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式． 相似与一次函数相似及动点问题 初中数学梦立方教育，圆你人生梦 3.如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E． （1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式； （3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4.四边形OABC是放在直角坐标系中的矩形纸片，点A在X轴上，点C在Y轴上，将BC边折叠，使点B 落在边OA的点D处，已知CE=55， 3 4 AE DA （1）判断△COD与△DAE是否相似？说明理由 （2）求直线CE与X轴的交点P的坐标 （3）是否存在过点D的直线，使得直线L与直线CE、x轴所围成的三角形和直线L，直线CE与y轴所围绕成的三角形相似？如果存在，请写出解析式，并画出相应的直线，如果不存在，试说明理由。 相似三角形与动点问题 1、将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝23，P是AC上的一个动点． （1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长； （2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数； （3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上求出此时□DPBQ的面积． D A C B 2、（2011浙江省舟山）已知直线3+=kx y （k ＜0）分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，线段OA 上有一动点 P 由原点O 向点A 运动，速度为每秒1个单位长度，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，设运动时间为t 秒． （1）当1-=k 时，线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动，它与点P 以相同速度同时出发，当点P 到达点A 时两点同时停止运动（如图1）． ① 直接写出t ＝1秒时C 、Q 两点的坐标； ② 若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似，求t 的值． B A O P C x y 11 D （第24题图1） 3、（2011江苏扬州，）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AB A B D C E N M 相似三角形中动点问题 例1: 如图正方形ABCD 的边长为2，AE=EB ，线段MN 的两端点分别在CB 、CD 上滑动，且MN=1，当CM 为何值时△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ 变式练习：如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P 从A 沿AB 移动到B ，移动速度为2单位/秒，有一动点Q 从C 沿CA 移动到A ，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA 与△BCA 相似。 例2：如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2 ），求S 与t 的函数关系式； （3）作QR//BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？ 变式：1.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=8cm ．点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2cm/s ，点F 的速度为4cm/s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t 秒时，△ EFG 的面积为S （cm 2 ） （1）当t=1秒时，S 的值是多少？ （2）写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围 （3）若点F 在矩形的边BC 上移动，当t 为何值时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、G 为顶点的三角形相似？请说明理由． 例3：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三 角形． 变式练习1：如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D=90o ，AC ⊥BC ，AB=10cm,BC=6cm ，F D N C M B A 2020-2021学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练 专题09相似三角形中的动点问题 【典型例题】 1．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=8,AD=3,BC=4，点P为边AB上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2.如图，在RtΔABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s 的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）含x的代数式表示BQ、PB的长度； 相似时，求此时x的值 （2）x为何值时，△PBQ为等腰三角形？当和CBA 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动， 同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜10 3 ），连接MN． （1）若△BMN与△ABC相似，求t的值； （2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值． 【专题训练】 一、选择题 1．如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为 ( ) A．3B．3或4 3 C．3或 3 4 D． 4 3 2．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时， 专题27.39 相似三角形与动点问题（巩固篇） （专项练习） 一、单选题 1．如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，AD ＜BC ，∠ABC ＝90°，且AB ＝3，点E 是边AB 上的动点，当ADE 、BCE 、CDE 两两相似时，则AE ＝（ ） A ．32 B ．53 C ．32或53 D ．3 2 或1 2．如图，在钝角三角形ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝12cm ，动点D 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 运动，同时动点E 从点C 出发沿CA 以2cm/s 的速度向点A 运动，当以A ，D ，E 为顶点的三角形与∠ABC 相似时，运动时间是（ ） A ．3s 或4.8s B ．3s C ．4.5s D ．4.5s 或4.8s 3．如图，在ABC 中，6,4AC AB ==，点D 与点A 在直线BC 的同侧，且ACD ABC ∠=∠， 2CD =，点E 是线段BC 延长线上的动点，当DCE 和ABC 相似时线段CE 的长为（ ） A ．3 B ．43 C ．3或4 3 D ．4或3 4 4．如图，在∠ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，点D 是边BC 上一动点（不与B ，C 重合），∠ADE ＝45°，DE 交AC 于点E ，下列结论：∠∠ADE 与∠ACD 一定相似；∠∠ABD 与∠DCE 一定相似；∠当AD ＝3时，7 4 = CE ；∠0＜CE ≤2．其中正确的结论有几个？（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 5．如图，在106⨯的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E 是格点四边形ABCD 的AB 边上一动点，连接ED ，EC ，若格点DAE △与EBC 相似，则DE EC +的长为（ ） A ． B C ． D ．6．如图，Rt ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝2cm ，D 为BC 的中点，若动点 E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E 点的运动时间为ts （0≤t ＜6），连接DE ，当BDE 与ABC 相似时，t 的值为（ ） A ．2 B ．2.5或3.5 C ．3.5或4.5 D ．2或3.5或4.5 7．如图，已知点A （1，0），点B （b ，0）（b ＞1），点P 是第一象限内的动点，且点P 的纵坐标为4 b ，若△POA 和△P AB 相似，则符合条件的P 点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 相似三角形的动点问题 一、动点型 例1、如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形〔点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动〕．〔1〕如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； 〔2〕如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，〔1〕的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？假设成立，请利用图2证明；假设不成立，请说明理由； 〔3〕假设点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断〔1〕的结论中EN 与MF的数量关系是否仍然成立？假设成立，请直接写出结论， 不必证明或说明理由． 例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、 G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向 移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点 F追上点G〔即点F与点G重合〕时，三个点随之停顿移动．设 移动开场后第t秒时，△EFG的面积为S〔cm2〕 〔1〕当t=1秒时，S的值是多少？ 〔2〕写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值围 〔3〕假设点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、 B、F为顶点的三角形与以点F、 C、G为顶点的三角形相似？请 说明理由． 迁移应用 1、如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停顿运动，设运动时间为t〔s〕， 〔1〕当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； 〔2〕设△BPQ的面积为S〔cm2〕，求S与t的函数关系式； 〔3〕作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0 相似三角形中的动点问题含答案 一．解答题（共40小题） 1．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠B＝∠ADE＝∠C． （1）证明：△BDA∽△CED； （2）若∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE 是等腰三角形，求此时BD的长． 3．如图，在平面直角坐标系中，点B（12，10），过点B作x轴的垂线，垂足为A．作y轴的垂线，垂足为C点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O 出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当E点运动到点A时，三点随之停止运动．设运动时间为t． （1）用含t的代数式分别表示点E，点F的坐标． （2）若△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值． 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C 以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？ （2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 5．在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，点P从点A出发，速度为4个单位每秒，同时点Q从点C出发，以v个单位每秒的速度向B运动．当有一个点到达点B时，点P，Q同时停止运动．设运动时间为t． （1）若v＝2，t＝1，求△PQB的面积． （2）若在运动过程中，PQ始终平行于AC，求v的值． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．点P从点A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点B匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C匀速移动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t（s）．（1）当PQ∥AC时，求t的值； v1.0可编辑可修改 初三数学---相似三角形的动点问题 图刑中，如呆存在一夺或者两牛动点，卓两个动点与某一彷定点所构威的三角形与憑三爲骼相似 RtAABC 中，AB=8T AC=101点P 以母秒1个单位由扎点向U 点移胡，点Q 以毎杪2个单谊由匚 点的A 点莽动，当算中一点和达时，两恰运衲的点问时錚止运动，间；如展设运动时间为匚当『沖 多少时，△APQ 导△ABC 和似？ AP 践段代表P 点移动的距离，可以用 _______ 来表示，耶么BP 线段可以同 _____ 来表示.阿理, CQ 缆段代炭Q 盍菇动飾距离，可以用 ______ 義示，AQ 则用 ________ 表示. (2)相似：两种悄况：①△APQ S /XABC ；②AAPQ ^AACB 雪亡二 ____ 或亡= _______ 时，AAPQ ^AABC 相似* 在动盘型问題中，我扪娶注意坯项： !.把图形中所有变化的我段的悅度全部用字耳表示出朵; 2.恵，求証三血形相似时，要记住育两种情氓！ 模型: 知图： 证明： 设 AP 二 ____ t BP- ________ , CQ- ________ t ____________ &析: ①占△APQ S AABC 时 ②AAPQ V ^AACB 时 刚】在Rl/XABC中.ZC-9011, BC-15CJH.现右动点P从点A岀发.沿A【向点〔方向运动.动 点Q从点C出发，沿线段邙也向点B力向运动.如果点卩的速度足秒.点Q的速度是2曲秒*它们同时出发，当有-点到达所在线段的端点时，就停止运幼•设运动的时间为t秒.(1)用含1的代数式表示RtACPQ的面祝X (2) 1=3^'时.f\Q两点之间的距禺是零少？(3) t为寧少秒时，以虫G、料Q为頂点的三角形与△ABC相似？ 例2如副在距形ABCU中，AB-12cm t BC-6cm(点P沿AB边从点A开始向点fl W 2CTH/S的速度韩动；点◎沿DA边从点D开始向点A以lcm/s的速度*如果P、Q同时出发.用t(s)表示移功的时邱其中0 1、如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，点E 在对角线BD 上， 且DCE ADB ∠=∠，如果9BC =，CD ∶BD = 2∶3，求CE 的长． 2、如图，已知在△ABC 中，AE=AC ，AH ⊥CE ，垂足K ，BH ⊥AH ，垂足H ，AH 交BC 于 D 。求证：△ABH ∽△ACK A B C D E 3、已知：如图，AD是RT△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F, 求证：FC =2 FB FD∙ A E F B D C 4、已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=900,过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F。 求证：DA =2 CD∙ DF D F A E B C 5、如图；以DE为轴，折叠等边△ABC，顶点A正好落在BC边上F点，求证；△DBF ∽△FCE 6．如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上， 且点与点重合． （1）求的面积； （2）求矩形的边与的长； （3）若矩形从原点出发，沿 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移 动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围． 128 :33 l y x = +2:216l y x =-+C l l 12，、x A B 、DEFG D E 、12l l 、F G 、x G B ABC △DEFG DE EF DEFG x (012)t t ≤≤DEFG ABC △S S t t 7、如图，已知AB//EF//CD 。若AB=6厘米，CD=9厘米，求EF 8、如图，已知AB//EF//CD 。若AB=a, CD=b , EF=c, 求证； c b a 111=+ 9、如图， 的对角线交于O ，OE 交BC 于E ，交AB 的延长线于F ，若AB=a ，BC=b ， 相似三角形提高 一、相似三角形动点问题 ∥AC．动点D从点A出1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB 1 发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中， ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC 向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB 交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm 的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ （2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？ 相似三角形复习专题动点问题 1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）， 1、当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； 2、设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； 3、作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm ／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B 向C匀速运动，设运动时间为t秒(0 3.如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC 上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由． 4.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值围（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发 沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；初中数学相似三角形与动点专题复习
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