浙教版九年级上学期第四章相似三角形动点问题分类讨论(包含答案)

由动点产生的相似三角形的解题方法和策略：

1.寻找题目中特殊的条件和不变的量，并找出由条件引发的一些相等角、相等线段等特殊条件；（挖掘题目中的隐藏条件）

2.注意分类讨论，先找是否有相等角，再决定分类讨论情况：

3.相似三角形的边如果能直接求出列等式最好，如果不能求出，注意转化相似（是否产生新的相似、等腰、平行四边形等更特殊的条件）

4.注意三个易忘定理：线段的中垂线定理、角平分线定理、直角三角形的性质。

例1.如图，在Rt △ABC 中，

︒=∠90ACB ，CE 是斜边AB 上的中线，10=AB ，4

3

tanA =，点P 是CE 延长线上的一动点，过点P 作CB PQ ⊥，交CB 延长线于点Q ，设EP x =，

BQ y =。

（1）求y 关于x 的函数关系式及定义域；

（2）过点B 作AB BF ⊥交PQ 于F ，当BEF ∆和QBF ∆相似时，求x 的值。

【解答】（1）在Rt △ABC 中，90ACB ︒

∠=，

∵4

tan 3

BC A AC =

=，10AB = ∴8,6BC AC ==．

∵CE 是斜边AB 上的中线，∴1

52

CE BE AB ==

= ∴,PCB ABC ∠=∠∵90PQC ACB ︒∠=∠=

∴△PQC ∽△ABC

∴

484

,555

CQ BC y PC AB x +===+即 ； ∴4

45

y x =

-，定义域为5x >． （2）∵90,Q ACB QBF A ︒

∠=∠=∠=∠

∴△BQF ∽△ABC

当△BEF 和△QBF 相似时，可得△BEF 和△ABC 也相似． 分两种情况： ①当FEB A ∠=∠时，

在Rt △FBE 中，90FBE ︒

∠=，5BE =，53

BF y =

∴544

45353

x ⎛⎫-=⨯

⎪⎝⎭，解得10x =； ②当FEB ABC ∠=∠时，

在Rt △FBE 中，5

90,5,3

FBE BE BF y ︒∠===

∴543

45354x ⎛⎫-=⨯

⎪⎝⎭

，解得12516x = 综合①②，125

16

x =

或10． 练习1.已知如图，在等腰梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AB=CD ，AD=3，BC=9，

3

4tan =∠ABC ，

直线MN是梯形的对称轴，点P是线段MN上一个动点（不与M、N重合），射线BP交线段CD于点E，过点C作CF∥AB 交射线BP于点F。

EFC和PDC

∆相似，求出PN的长。

【解答】：过点E作EG⊥BC，∵

3

4

tan

tan=

∠

=

∠DCB

ABC

∴.

5

3

,

5

4

y

GC

y

EG=

=

由题意有EG∥MN

∴

BG

BN

EG

PN

=，即

y

y

x

5

3

9

5.4

5

4

-

=

∴)3

0(

6

15

≤

<

+

=x

x

x

y

（3）（Ⅰ）当DCF

PDC∠

=

∠时，PD∥CF

∴ABC

MDP∠

=

∠

∴

4

3

tan

tan=

∠

=

∠ABC

MDP，即

4

3

4

5.1

=

-x

∴2=x

（Ⅱ）当DEP FEC PDC ∠=∠=∠时，过点P 作PH ⊥DE 交AD 的延长线于点O 。

则2

5y

EH DH -=

= ∴DPC DCB ODC ∠=∠=∠ ∴55

sin 23

DH y DO ODC -=

=⋅∠

又

34=MP MO ，即5541.5(4)233y x -+⋅=-，.16

24125±=x 因为

、1624125±2都在定义域内，所以当or x 16

241

25±=2=x 时，EFC ∆和

PDC ∆相似。

例2.如图，已知梯形ABCD 中，AD //BC ，BC AB ⊥，4=AB ，5==CD AD ，4

3

cot =

∠C ．

A D

B

(备用图）

出，经BC反射后，反射光线PE交射线CD于点E。联结PD，若以点A、P、D为顶点 相似，试求BP的长度

的三角形与PCE

浙教版九年级上学期第四章相似三角形动点问题分类讨论（包含答案）A D

B C

E P

【解答】：∵AD ∥BC ∴∠DAP ＝∠APB ， ∵∠APB ＝∠EPC ∴∠DAP ＝∠EPC 若△APD 与△PCE , 则有如下两种情况： （ⅰ）∠ADP ＝∠C 时， 推出BP=2时，△APD ∽△PEC ； (ⅱ) ∠APD ＝∠C 时

（法一）又∵∠ADP ＝∠DPC ∴△APD ∽△DCP

∴PC AD PD ⋅=2

∵()2

2

2

54x PD -+=

∴()()x x -=-+855162

解得

2

21

52,1±=

x ，经检验，均符合题意 故2

21

52,1±=

x 时，△APD ∽△PCE ；

∴当BP 为2，

2

21

5±时，△APD 与△PCE 相似。 （法二）过点D 作DH ⊥AP 于点H

∵∠DAP ＝∠APB ∴

AD

AH

AP BP AD DH AP AB ==, ∵224x AP +=

∴2

2

165,1620x

x AH x

DH +=

+=

∴2

2

16516x

x x HP +-

+=

∵ cot ∠C=

4

3

∴43cot ==∠DH HP DPH 2

22

1620

3165164x x x x +⋅=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-+ 解得2

21

52,1±=

x 经检验，均符合题意 故2

21

52,1±=

x 时，△APD ∽△PCE ； ∴当BP 为2，

2

21

5±时，△APD 与△PCE 相似

练习2.在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =30，AB =50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM =EN ，sin ∠EMP =

． （1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（4分）

1213

（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP =x ，BN =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（4分）

（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长。（6分）

图1 图2 备用图

【解答】:（1）∵∠ACB =90°，∴AC

=40． (1)

分

∵S ==,.

∴CP ===24............................................1分．

在Rt△CPM 中，∵sin∠EMP =，∴． (1)

分

∴CM =

==26．............................................1分 （2）由△APE ∽△ACB ，得，即，∴PE =．.........................1分 在Rt△MPE 中，∵sin∠EMP =，∴

．...................1分 ∴EM ===．

∴PM =PN

=．...................1分

∵AP +PN +NB =50，∴x ++y =50． ∴y =(0 < x < 32)．...................1分 （3）第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。本题还可以通过角度之间的关系转换求解，并从角度入手更加简洁直观方法如下： ①当点E 在线段AC 上时，

12AB CP ⋅⋅1

2AC BC ⋅⋅AC BC AB

⋅403050⨯121312

13

CP CM =1312CP 13

2412

⨯PE AP BC AC

=3040PE x

=3

4

x 121312

13

PE ME =1312PE 133124x ⨯13

16

x 516

x 5

16

x 21

5016

x -

+

浙教版九年级上学期第四章相似三角形动点问题分类讨论（包含答案）

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△AME ∽△ENB ，

．∵EM =EN ，∴．设AP =x ，由（2）知EM =，AM ==，NB =．...................1分 ∴...................1分 解得x 1=22，x 2=0（舍去）．即AP =22．...................1分

② 当点E 在线段BC 上时，

根据外角定理，△ACE ∽△EPM ，∴

．∴CE ==．.........1分 设AP =x ，易得BE =，∴CE =30．∴30=．......1分

解得x =42．即AP =42．....1分∴AP 的长为22或42．（若最后答案没有写，则扣1分）

AM ME EN NB

=2EM AM NB =⋅1316x x PM -5111616x x x -=215016x -+2

131121(50)1616

16x x x ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝

⎭125

AC EP CE MP ==512AC 5035(50)3x -5(50)3x --5(50)3x --503