相似三角形培优学案(动点问题)(学)
相似三角形培优导学案
精典例题
1.已知如图，正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，点Q 在线段BC 上，设BQ ＝k ，
是否存在这样的实数k ，使得Q 、C 、P 为顶点的三角形与△ADP 相似，若存在，求出k 的值；
若不存在，请说明理由。
2.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．
（1）当MN AB ∥时，求t 的值；
（2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三角形．
变式练习1：如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当3
1=∆∆ABC BCQ
S S ，求ABC BPQ S S ∆∆的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由。 由S △BCQ ：S △ABC=1：3得知：QC=(1/3)AC=10,且S △
BCQ=(1/3)S △ABC
所以：Q,P 的运动时间为10/3
由（1）题知，此时PQ 与BC 恰好平行。
所以：△ABC
∽△APQ
所以：S △APQ/S △ABC=(20/30)^2=4/9
即：S △APQ=(4/9)S △ABC
所以：S △PBQ=S △ABC-S △APQ-S △BQC=S △ABC-(4/9)S △ABC-(1/3)S △ABC=(2/9)S △ABC
所以：S △BPQ ：S △ABC=2：9
（3）能。
当△APQ ∽△CQB 时，有AP/CQ=AQ/BC=4/3
由于：BC=20,
所以：可求得AQ=80/3
所以：QC=30-(80/3)=10/3
所以：P,Q 两点运动的时间为(10/3)/3=10/9
所以：此时AP=4*(10/9)=40/9
即AP 的长是40/9厘米
问题二图 P C
变式练习2：如图，已知直线l 的函数表达式为
483y x =-+，且l 与x 轴，y 轴分别交于A B ，两点，动点Q 从B 点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从A 点开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q P ，移动的时间为t 秒．
（1）求出点A B ，的坐标；
（2）当t 为何值时，APQ △与AOB △相似？ （3）求出（2）中当APQ △与AOB △相似时，线段PQ 所在直线的函数表达式．
3.如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存
在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的
点P 的坐标；若不
存在，请说明理由；
【答案】解：（1）该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为2
2y ax bx =+-． 将(40)A ，
，(10)B ，代入， 得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252
a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 此抛物线的解析式为215222y x x =-
+-． （2）存在．
如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222
m m -+-，当14m <<时， 4AM m =-，215222
PM m m =-+-．又90COA PMA ∠=∠=°， O P A Q B
y x
∴①当21AM AO PM OC ==时，APM ACO △∽△，即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭
． 解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，．
②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222
m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，．
类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．
综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，．
3.如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：
（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；
（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？
【答案】 解：(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为
∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形.
(2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600
=3t,由AP=t,得PB=6-t, 所以S △BPQ=21×BP ×QE=2
1(6-t)×3t=－23t 2+33t ； (3)因为Q R ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,
所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=2
1×2t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形,
所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900
.因为△APR ～△PRQ, 所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PR QR ,即3326=-t
t ,所以t=56, 所以当t=5
6时, △APR ～△PRQ
北师大版九年级数学上册 相似三角形解答题培优专题(含答案)
2019-2020相似三角形解答题培优专题（含答案） 一、解答题 1．如图，在Rt ABC ∆中，90B ︒∠=，6cm AB =，8cm BC =，点P 由点A 出发沿AB 方向向终点B 以每秒1cm 的速度匀速移动，点Q 由点B 出发沿BC 方向向终点C 以每秒2cm 的速度匀速移动，速度为2cm /s .如果动点同时从点A ，B 出发，当点P 或点Q 到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？ 2．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）证明与推断： ①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断： AG BE 的值为 ： （2）探究与证明： 将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用： 正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，GH=22，则BC= ．
3．如图1，在Rt ABC 中，90,4,2B AB BC ∠︒＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α． 1（）问题发现 ①当0α=o 时， AE BD = ；②当180α=o 时，AE BD = ． 2（） 拓展探究 试判断：当0360α︒≤︒＜时，AE BD 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． 3（） 问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至,,A B E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长． 4．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ． （1）观察猜想 如图1，当60α︒=时，BD CP 的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ． （2）类比探究
相似三角形动点问题精选
动点问题答案： 1．如图①，点A '，B '的坐标分别为（2，0）和（0，4-），将A B O ''△绕点O 按逆时针方向旋转90°后得ABO △，点A '的对应点是点A ，点B '的对应点是点B ． （1）写出A ，B 两点的坐标，并求出直线AB 的解析式； （2）将ABO △沿着垂直于x 轴的线段CD 折叠，（点C 在x 轴上，点D 在AB 上，点D 不与A ，B 重合）如图②，使点B 落在x 轴上，点B 的对应点为点E ．设点C 的坐标为（0x ，） ，CDE △与ABO △重叠部分的面积为S ． i ）试求出S 与x 之间的函数关系式（包括自变量x 的取值范围）； ii ）当x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？ iii ）是否存在这样的点C ，使得ADE △为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 1．答案 解：（1）(02)(40)A B ，，， ························ （2分） 设直线AB 的解析式y kx b =+，则有 240b k b =⎧⎨ +=⎩ 解得122 k b ⎧=- ⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为1 22 y x =-+ ··················· （3分） （2）i ）①点E 在原点和x 轴正半轴上时，重叠部分是CDE △． 则1111(4)22222CDE S CE CD BC CD x x ⎛⎫= ==--+ ⎪⎝⎭ △·· 2 1244 x x = -+ 当E 与O 重合时，1 2242 CE BO x = =∴<≤ ············· （4分） ②当E 在x 轴的负半轴上时，设DE 与y 轴交于点F ，则重叠部分为梯形CDFO . （第26题图）
北师大版九年级数学上册 第四章 相似三角形培优专题 (含答案)
北师大版九年级上册 第四章 相似三角形培优专题 （含答案） 一、单选题 1．如图，过点0(0,1)A 作y 轴的垂线交直线:3 l y x =于点1A ，过点1A 作直线l 的垂线，交y 轴于点2A ，过点2A 作y 轴的垂线交直线l 于点3A ，…，这样依次下去，得到012A A A ?，234A A A ?，4564A A ?，…，其面积分别记为1S ，2 S ，3 S ，…，则100S （ ） A ．1002?? ? ??? B ．100 C ．1994 D ．3952 2．如图，在ABC ?中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，ACD B ∠=∠，若2A D B D =，6BC =，则线段CD 的长为（ ） A ．B ．C ．D ．5 3．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ．使得15CDE ?∠=，连接BE 并延长BE 到F ， 使CF CB =，BF 与CD 相交于点H ，若1AB =，有下列结论： ①BE DE =；②CE DE EF +=； ③1412 DEC S ?=-；④1DH HC =-．则其中正确的结论有（ ） A ．①②③ B ．①②③④ C ．①②④ D ．①③④ 4．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，若点E ，F 分别在AB,CD 上，且BE=2AE ，DF=2FC ，G ，H 分别是AC 的三等分点，则四边形EHFG 的面积为（ ）
A ．1 B ．32 C ．2 D ．4 5．如图，在等腰三角形ABC ?中，AB AC =，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC ?的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ） A ．20 B ．22 C ．24 D ．26 6．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点E ，:AD AB =，将ABD △沿BD 折叠，点A 的对应点为F ，连接AF 交BC 于点G ，且2BG =，在AD 边上有一点H ，使得BH EH +的值最小，此时BH CF =（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．32 7．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，BD ，AE 交于点O ，若随机向平行四边形ABCD 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ） A ．116 B ．112 C ．18 D ．16 8．如图，在平面直角坐标系中，已知()()()3,2,0,-2,3,0,A B C M ---是线段AB 上的一个动点，连接CM ，过点M 作MN MC ⊥交y 轴于点N ，若点M N 、在直线y kx b =+上，则b 的最大值
(学生)九年级相似三角形动点问题
相似三角形动点问题 一．选择题（共1小题） 1．如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（） A．0.5，2.5 B．0.5，5 C．1，2.5 D．1，5 解：如图所示，△DEF和△GHI分别是面积最小和面积最大的三角形． 因为△DEF，△GHI和△ABC都相似，AB=，DE=1，GH=， 所以它们的相似比为DE：AB=1：，GH：AB=：， 又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而△ABC的面积为2×1=1， 故△DEF和△GHI面积分别为0.5，5．故选B． 二．填空题（共10小题） 2．如图，P是Rt△ABC斜边AB上的动点（P异于A、B），∠C=90°，∠B=30°，过点P的直线截△ABC，使截得的三 角形与△ABC相似，当= 或或时，截得的三角形面积为△ABC面积的． 解：设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2， ①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC， ∴， ②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC， ∴， ③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=
∴， ④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且， ∴=， ∴=， ∴当=或或时，截得的三角形面积为Rt△ABC面积的， 故答案为：或或． 3．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CO上，且，若AB=1，设BM=x，当x= 或时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似． 相似三角形的性质；正方形的性质．，AB=1∴CN=×1=， ∵BM=x，∴CM=1﹣x， ①当CN与BM是对应边时，=， 即=解得x=， ②当CN与AB是对应边时，=，即=，解得x=． 综上所述，x的值是或．故答案为：或．
相似三角形培优学案(动点问题)(学)
相似三角形培优导学案 精典例题 1.已知如图，正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，点Q 在线段BC 上，设BQ ＝k ，是否存在这样的实数k ，使得Q 、C 、P 为顶点的三角形与△ADP 相似，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 变式1、矩形ABCD ，∠APQ=90。 ,DP=CP ，连结AQ ，求证：△APQ ∽△ADP ∽△PCQ 变式2、矩形ABCD ，AD=4，AB=5,Q 点在BC 上，将△ABQ 沿AQ 对折，使B 点落在DC 边上与P 点重合，求BQ 的长。 变式3、矩形ABCD ，设AD=4，AB=a,∠QPA=90’DP=CP,求a 的值。 2.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三角形．(3) t 为何值时△CMN 为等腰三角形。 变式练习1：如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当 3 1 =??ABC BCQ S S ，求 ABC BPQ S S ??的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由。 变式练习2：如图，已知直线l 的函数表达式为4 83 y x =-+，且l 与x 轴，y 轴分别交于A B ，两点，动点Q 从B 点开 始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从A 点开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q P ，移动的时间为t 秒． （1）求出点A B ，的坐标； （2）当t 为何值时，APQ △与AOB △相似？ 问题二图 P C C M B Q 变式1 变式2 变 式3
相似三角形中动点问题
A B D C E N 相似三角形中动点问题 例1: 如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上 滑动，且MN=1，当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？ 变式练习：如图，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为2单位/秒，有一动点Q从C沿CA移动到A，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA与△BCA相似。 例2：如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
变式：1.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2） （1）当t=1秒时，S的值是多少？ （2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值围 （3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 例3：如图，在梯形ABCD中，AD BC ∥，3 AD=，5 DC=，10 BC=，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．（1）当MN AB ∥时，求t的值； （2）试探究：t为何值时，MNC △为直角三 角形．N C M B
(完整版)相似三角形的动点问题题型(整理)
相似三角形的动点问题 一、动点型 例1、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由． 例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2） （1）当t=1秒时，S的值是多少？ （2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围 （3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
迁移应用 1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）， （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0 相似三角形分类提高训练 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线 AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移 动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 相似三角形的动点问题题型(整理) 相似三角形的动点问题 一、动点型 例1、已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等 边三角形。当点M在点B左侧时，可以得出结论：EN与MF 相等且点F不在直线NE上。当点M在BC上时，该结论仍然成立，可以利用图2证明。若点M在点C右侧时，画出相应 的图形，可以直接得出结论，不必证明或说明理由。 例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm。点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方 向移动。点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s， 当点F追上点G时，三个点随之停止移动。设移动开始后第t 秒时，△EFG的面积为S（cm2）。 1）当t=1秒时，S的值为多少？ 2）S与t之间的函数解析式为S=2t^2+4t，自变量t的取 值范围为0 2）设△BPQ的面积为S（cm2），则S=6t/(5+t)，其中 0 2021年中考复习相似动点分类讨论 1.如图,一个三角形纸片 ABC, BC 边的长为8, BC 边上的高为6, /B 和N C 都为 锐角,M 为AB 一动点〔点M 与点A B 不重合〕,过点M 作MN // BC ,交AC 于点N , 在4AMN 中,设 MN 的长为x, MN 上的高为h . 〔1〕请你用含X 的代数式表示h . 〔2〕将4AMN 沿MN 折叠,使△ AMN 落在四边形BCNM 所在平面,设点 A 落在平面 的点为A, AA 1MN 与四边形BCNM 重叠局部的面积为 y ,当X 为何值 时,y 最大,最大值为多少？ 【答案】解：〔1〕 MN // BC 人 人 h x , 3x 」.△AMN s/\ ABC ,一 = —「. h = —— 6 8 4 (2) '；△ AMN ^AAMN 「.△AMN 的边 MN 上的高为 h , ②当A 落在四边形 BCNM 外时,如以下图〔4 相似三角形提高 一、相似三角形动点问题 ∥AC．动点D从点1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB 1 A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF 中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． 〔1〕当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； 〔2〕当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中， ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停顿移动．设移动的时间为t秒． 〔1〕①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S〔平方米〕关于时间t〔秒〕的函数解析式； 〔2〕在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB 交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． 〔1〕当AD＝CD时，求证：DE∥AC； 〔2〕探究：AD为何值时，△BME与△E相似？ 4.如下图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm 的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停顿运动．设运动的时间为x． 〔1〕当x为何值时，PQ∥BC？ 〔2〕△APQ与△CQB能否相似？假设能，求出AP的长；假设不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开场向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开场向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t 〔s〕表示移动的时间〔0＜t＜6〕。 〔1〕当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ 〔2〕当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？ 相似三角形与动点问题 1、将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(4ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(A ACD)的斜边恰好重合.已知AB=2 V3 , P是AC上的一个动点. (1)当点P运动到N ABC的平分线上时，连接DP,求DP的长； (2)当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时N PDA的度数； (3)当点P运动到什么位置时，以D, P, B, Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上求出此时DDPBQ 的面积. 2、（2011浙江省舟山）已知直线y = kx + 3 （k V0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t 秒. （1）当k = -1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P 到达点A时两点同时停止运动（如图1）. ① 直接写出t =1秒时C、Q两点的坐标； ②若以Q、C、A为顶点的三角形与4AOB相似，求t的值. B D C 1 O 1 P A x （第24题图1） 3、(2011江苏扬州，)如图，在Rt^ABC中，NBAC=90°, AB v1.0可编辑可修改 初三数学---相似三角形的动点问题 图刑中，如呆存在一夺或者两牛动点，卓两个动点与某一彷定点所构威的三角形与憑三爲骼相似 RtAABC 中，AB=8T AC=101点P 以母秒1个单位由扎点向U 点移胡，点Q 以毎杪2个单谊由匚 点的A 点莽动，当算中一点和达时，两恰运衲的点问时錚止运动，间；如展设运动时间为匚当『沖 多少时，△APQ 导△ABC 和似？ AP 践段代表P 点移动的距离，可以用 _______ 来表示，耶么BP 线段可以同 _____ 来表示.阿理, CQ 缆段代炭Q 盍菇动飾距离，可以用 ______ 義示，AQ 则用 ________ 表示. (2)相似：两种悄况：①△APQ S /XABC ；②AAPQ ^AACB 雪亡二 ____ 或亡= _______ 时，AAPQ ^AABC 相似* 在动盘型问題中，我扪娶注意坯项： !.把图形中所有变化的我段的悅度全部用字耳表示出朵; 2.恵，求証三血形相似时，要记住育两种情氓！ 模型: 知图： 证明： 设 AP 二 ____ t BP- ________ , CQ- ________ t ____________ &析: ①占△APQ S AABC 时 ②AAPQ V ^AACB 时 刚】在Rl/XABC中.ZC-9011, BC-15CJH.现右动点P从点A岀发.沿A【向点〔方向运动.动 点Q从点C出发，沿线段邙也向点B力向运动.如果点卩的速度足秒.点Q的速度是2曲秒*它们同时出发，当有-点到达所在线段的端点时，就停止运幼•设运动的时间为t秒.(1)用含1的代数式表示RtACPQ的面祝X (2) 1=3^'时.f\Q两点之间的距禺是零少？(3) t为寧少秒时，以虫G、料Q为頂点的三角形与△ABC相似？ 例2如副在距形ABCU中，AB-12cm t BC-6cm(点P沿AB边从点A开始向点fl W 2CTH/S的速度韩动；点◎沿DA边从点D开始向点A以lcm/s的速度*如果P、Q同时出发.用t(s)表示移功的时邱其中0 2020-2021学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练 专题09相似三角形中的动点问题 【典型例题】 1．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=8,AD=3,BC=4，点P为边AB上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2.如图，在RtΔABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s 的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）含x的代数式表示BQ、PB的长度； 相似时，求此时x的值 （2）x为何值时，△PBQ为等腰三角形？当和CBA 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动， 同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜10 3 ），连接MN． （1）若△BMN与△ABC相似，求t的值； （2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值． 【专题训练】 一、选择题 1．如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为 ( ) A．3B．3或4 3 C．3或 3 4 D． 4 3 2．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时， 1、如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，点E 在对角线BD 上， 且DCE ADB ∠=∠，如果9BC =，CD ∶BD = 2∶3，求CE 的长． 2、如图，已知在△ABC 中，AE=AC ，AH ⊥CE ，垂足K ，BH ⊥AH ，垂足H ，AH 交BC 于 D 。求证：△ABH ∽△ACK A B C D E 3、已知：如图，AD是RT△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F, 求证：FC =2 FB FD∙ A E F B D C 4、已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=900,过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F。 求证：DA =2 CD∙ DF D F A E B C 5、如图；以DE为轴，折叠等边△ABC，顶点A正好落在BC边上F点，求证；△DBF ∽△FCE 6．如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上， 且点与点重合． （1）求的面积； （2）求矩形的边与的长； （3）若矩形从原点出发，沿 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移 动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围． 128 :33 l y x = +2:216l y x =-+C l l 12，、x A B 、DEFG D E 、12l l 、F G 、x G B ABC △DEFG DE EF DEFG x (012)t t ≤≤DEFG ABC △S S t t 7、如图，已知AB//EF//CD 。若AB=6厘米，CD=9厘米，求EF 8、如图，已知AB//EF//CD 。若AB=a, CD=b , EF=c, 求证； c b a 111=+ 9、如图， 的对角线交于O ，OE 交BC 于E ，交AB 的延长线于F ，若AB=a ，BC=b ， 相似三角形中动点问题 1、如图正方形ABCD 的边长为2，AE=EB ，线段MN 的两端点分别在CB 、CD 上滑动，且MN=1，当CM 为何值时△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ A B D C E N M 2、如图，正方形ABCD 的边长为2，AE ＝EB ，MN ＝1，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM 为何值时，△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ 3、如图，已知△ABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，点E 是边AB 上一动点，且EF ∥BC 。 （1） 在AB 上是否存在点E 运动到某一位置时，使△AEF 的面积与四边形 EBCF 的面积相等？如果存在，求出AE 的长；如果不存在，简要说明理由。 （2） 在AB 上是否存在点E 运动到某一位置时，使△AEF 的周长与四边形 EBCF 的周长相等？如果存在，求出AE 的长；如果不存在，简要说明理由。 4、如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F. (1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？请说明理由. (2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长。 5、如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度 N M E B D C A 向A 点运动，设运动时间为x 。（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当3 1=∆∆ABC BCQ S S ，求ABC BPQ S S ∆∆的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请 说明理由。 6、如图，矩形ABCD 中，CH ⊥BD ，垂足为H ，P 点是AD 上的一个动点（P 与 A 、D 不重合），CP 与BD 交于E 点。已知CH ＝1360 ，DH ∶CD ＝5∶13，设AP ＝x ，四边形ABEP 的面积为y 。（1）求BD 的长；（2）用含x 的代数式表示y 。 7、如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P 从A 沿AB 移动到B ，移动速度为2单位/秒，有一动点Q 从C 沿CA 移动到A ，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA 与△BCA 相似。 H E D C B A P 相似三角形中的动点问题含答案 一．解答题（共40小题） 1．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠B＝∠ADE＝∠C． （1）证明：△BDA∽△CED； （2）若∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE 是等腰三角形，求此时BD的长． 3．如图，在平面直角坐标系中，点B（12，10），过点B作x轴的垂线，垂足为A．作y轴的垂线，垂足为C点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O 出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当E点运动到点A时，三点随之停止运动．设运动时间为t． （1）用含t的代数式分别表示点E，点F的坐标． （2）若△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值． 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C 以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？ （2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 5．在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，点P从点A出发，速度为4个单位每秒，同时点Q从点C出发，以v个单位每秒的速度向B运动．当有一个点到达点B时，点P，Q同时停止运动．设运动时间为t． （1）若v＝2，t＝1，求△PQB的面积． （2）若在运动过程中，PQ始终平行于AC，求v的值． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．点P从点A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点B匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C匀速移动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t（s）．（1）当PQ∥AC时，求t的值；相似三角形培优训练(含答案)
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