第六章 数理统计基本概念
天津理工大学概率论与数理统计第六章习题答案详解
第六章 数理统计的基本概念 一.填空题 1.若n ξξξ,,,21 是取自正态总体),(2σμN 的样本， 则∑==n i i n 11ξξ服从分布 )n ,(N 2 σμ . 2.样本),,,(n X X X 21来自总体),(~2 σμN X 则~)(22 1n S n σ - )(1χ2-n ； ~)(n S n X μ- _)(1-n t __。其中X 为样本均值，∑=--=n i n X X n S 122 11)(。 3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本， +-=221)2(X X a X 243)43(X X b -，则当=a 20 1=a 时，=b 1001=b 时，统计量X 服从2 X 分布，其自由度为 2 . 4. 设随机变量ξ与η相互独立, 且都服从正态分布(0,9)N , 而12 9(,, ,) x x x 和 129(,,,)y y y 是分别来自总体ξ和η的简单随机样本, 则统计量 ~U = (9)t . 5. 设~(0,16),~(0,9),,X N Y N X Y 相互独立, 12 9 ,, ,X X X 与 1216 ,,,Y Y Y 分别 为X 与Y 的一个简单随机样本, 则22 2 1292 22 1216 X X X Y Y Y ++ +++ +服从的分布为 (9,16).F 6. 设随机变量~(0,1)X N , 随机变量2~()Y n χ, 且随机变量X 与Y 相互独立, 令T =, 则2~T F (1,n ) 分布. 解： 由T =, 得22 X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ
数理统计期末复习题1
2009期末复习题 注：这份答案是在2009年最后一晚做出来的，时间比较紧，所以可能有些地方不严谨，有什么错误还请各位多包涵。 处理一个问题有很多合理的办法，这份答案所列出的只不过代表个人的想法，仅供参考。 这份答案算是送大家的新年礼物吧，预祝大家期末考试顺利，一年都有好运 孟帅 1. 设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布N(0,32),而 921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的样本,则统计量U = 29 22 21 921Y Y Y X X X ++++++ 服从什么分布？为什么？ 解：分子分母同除以9得到 服从N （0，1）， 服从X 2（9）分布，因此U 服从 t （9）分布（课本92页） 2．某大学来自A,B 两市的新生中分别抽取10名和11名男生调查身 高，测得他们的身高分别为cm x 176=，cm y 172=，样本方差分别为3.1121=S ， 1.92 2=S 。不妨设两个城市的男生的身高分别服从正态分布),(2 1σμN 和 ),(22σμN ，求21μμ-的 95％的置信区间,并请在0.05水平下判断两个城 市的男生身高是否相等？ 解： 但是 未知，构造111页） 9 1i X ∑9119i i X =∑ 92 1 3 i i Y =()∑ 22 212σ=σ=σ2σ1 2 X Y --μ-μ
。 =10， =11， =11.3， =9.1， =176， =172。代入T 表达式得到 T= 。 T 服从t （ + -2）查附表7得到 =2.093 得到 的置信区间为： （1.088，6.912） 这个区间不包含0，可以直接判定在0.05水平下两城市男生身 高不相等。如果想严谨一点就在进行假设检验： 原假设：两城市男生身高相等；备择：两城市男生身高不等。 检验统计量 ，和 比较。 如果T 大于 ，拒绝原假设，否则接受。 3．随机调查了某校200名沙眼患者，经用某种疗法治疗一定时期后治愈168人，试求总体治愈率的95%置信区间。 解：样本率p=0.84，用大样本正态近似法求解，置信区间为： （ ， ）（课本115页） S ω1n 2n 21 S 22 S X Y 1n 2 n ()1241.3915 -μ-μ() 12μ-μ()2 19t 0.05X Y -()219t 0.05() 2 19t 0.052 p u α-2 p u α+
第六章、数理统计的基本知识解答
第五章、数理统计的基本知识 五、证明题： 1．证：因为随机变量12,,,n X X X 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布 2(,)N μσ，所以，它们的线性组合 112 22111111[, ()](,)n n i i i i n n i i X X X n n N N n n n σμσμ======??=∑∑∑∑ 即样本均值X 服从正态分布2 (, )N n σμ. 2．证：因为随机变量12,,,n X X X 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布 2(,)N μσ，所以，它们的线性组合 112 22111111[, ()](,)n n i i i i n n i i X X X n n N N n n n σμσμ======??=∑∑∑∑ 即样本均值X 服从正态分布2 (, )N n σμ。所以，将X 标准化，即得 ~(0,1 )u N = . 3．证：因为随机变量12,,,n X X X 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布 2(,)N μσ，即 2~(,),1,2,i X N i n μσ= 所以得 ~(0,1),1,2,,i X N i n μ σ -= 又因为12,,,n X X X 相互独立，所以 12,,, n X X X μ μ μ σσσ --- 也相互独立。 于是，2 2 222 1 1 1 ()( )~()n n i i i i X X n μ μσ σ ==-χ= -=χ∑∑.
4．证：由§5.4定理2知，统计量 ~(0,1) u N =； 又由§5.4定理4知，统计量 2 22 2 (1) ~(1) n S n σ - χ=χ- 因为X与2S 独立，所以统计量u= 2 2 2 (1) n S σ - χ=也是独立的。于是，根据§5.3定理2可知，统计量 ~(1) t t n ===-. 5．证：由§5.4定理1知： 22 12 12 12 ~(,),~(,) X N Y N n n σσ μμ. 因为X与Y独立，所以可知： 22 12 12 12 ~(,) X Y N n n σσ μμ --+. 于是，得 ~(0,1) U N =. 6．证：由§5.4定理6的推论知，统计量 ~(0,1) U N =. 又由§5.4定理4知： 2 22 11 11 2 2 22 22 22 2 (1) ~(1), (1) ~(1). n S n n S n σ σ - χ=χ- - χ=χ- 因为2 1 S与2 2 S独立所以2 1 χ与2 2 χ也是独立的，由2χ分布的可加性可知，统计量
第六章 数理统计的基本知识课后习题参考答案
第六章 数理统计的基本知识 1 ．10 2 21 1 () 210110(,,)i i x f x x e μσ=--∑=K ；2 2()12*10 1(),1x f x e x μσ-- -∞<<+∞=。 2．t 分布；9. 3．11,, 2.20100 4．解： 0 (0,1)0.3 i X N -~Q 10 1 22 ( )(10)0.3 i i X χ=∴~∑ {} {}1010222 2 11 1.441.44()(10)160.10.3 0.3i i i i X P X P P χ==??∴>=>=>=∑∑???? ５．解：4 (12,)5 X N : 可参考书中67P 页 （1）{ } 121210.7372P X -<=Φ-=； （2）{}125max(,,,)15P X X X (1) ()1 c c c E X x c x dx c x dx θθθθθθθθ+∞ +∞ -+-=== -? ? 令 1c X θθ=-，得θ的估计量为$X X c θ =-，θ的估计值为$1 1 11n i i n i i x n x c n θ===-∑∑ （2）极大似然估计 (1)(1)(1)11()()()n n n L c x c x c x x θθθθθθθθθθ-+-+-+==L L 1 ln ()ln()(1)ln n i i L n c x θ θθθ==-+∑ 令1 ln ln ln 0n i i L n n c x θθ=?=+-=?∑ 得θ的估计值为$1 ln ln n i i n x n c θ ==-∑，θ的估计量为$1 ln ln n i i n X n c θ ==-∑ 3．（1） 矩估计 1214 33 X ++= = 22()122(1)3(1)32E X θθθθθ=?+?-+?-=- 令()E X X = 得θ的估计值为$5 6 θ = 极大似然估计 2256112233()()()()2(1)22L P X x P X x P X x θθθθθθθ=====?-?=- 令 ln 5101L θθθ?=-=?-，得θ的估计值为$56 θ= （2）矩估计量 1 1n i i X X n λ===∑ 极大似然估计 1 111211()()()...()... ! ! !...! i n x x x n n n n n e e L P X x P X x P X x e x x x x λ λ λλλλλ---∑ ===== = 令 ln ()0i x L n λθλ ?=-+=?∑，得λ的似然估计值为$i x n λ=∑， 第六章数理统计的基础知识 从本章开始，我们将讨论另一主题：数理统计.数理统计是研究统计工作的一般原理和方法的数学学科，它以概率论为基础，研究如何合理地获取数据资料，并根据试验和观察得到的数据，对随机现象的客观规律性作出合理的推断. 本章介绍数理统计的基本概念，包括总体与样本、经验分布函数、统 计量与抽样分布，并着重介绍三种常用的统计分布：2 分布、t分布和F 分布. §1 总体与样本 1.1 总体 在数理统计中，我们把所研究对象的全体称为总体，总体中的每个元素称为个体.例如,研究某班学生的身高时,该班全体学生构成总体,其中每个学生都是一个个体；又如,考察某兵工厂生产炮弹的射程,该厂生产的所有炮弹构成总体,其中每个炮弹就是一个个体. 在具体问题的讨论中,我们关心的往往是研究对象的某一数量指标(例如学生的身高)，它是一个随机变量,因此，总体又是指刻画研究对象某一数量指标的随机变量X.当研究的指标不止一个时，可将其分成几个总体来研究.今后，凡是提到总体就是指一个随机变量.随机变量的分布函数以及分布律（离散型）或概率密度（连续型）也称为总体的分布函数以及分布律或概率密度，并统称为总体的分布. 总体中所包含的个体总数叫做总体容量.如果总体的容量是有限的，则称为有限总体；否则称为无限总体.在实际应用中，有时需要把容量很大的有限总体当做是无限总体来研究. 1.2随机样本 在数理统计中，总体X的分布通常是未知的，或者在形式上是已知 182 183 的但含有未知参数.那么为了获得总体的分布信息,从理论上讲,需要对总体X 中的所有个体进行观察测试，但这往往是做不到的.例如,由于测试炮弹的射程试验具有破坏性,一旦我们获得每个炮弹的射程数据,这批炮弹也就全部报废了.所以，我们不可能对所有个体逐一加以观察测试,而是从总体X 中随机抽取若干个个体进行观察测试.从总体中抽取若干个个体的过程叫做抽样，抽取的若干个个体称为样本，样本中所含个体的数量称为样本容量. 抽取样本是为了研究总体的性质，为了保证所抽取的样本在总体中具有代表性，抽样方法必须满足以下两个条件： （1）随机性 每次抽取时，总体中每个个体被抽到的可能性均等. （2）独立性 每次抽取是相互独立的，即每次抽取的结果既不影响其它各次抽取的结果，也不受其它各次抽取结果的影响. 这种随机的、独立的抽样方法称为简单随机抽样，由此得到的样本称为简单随机样本. 对于有限总体而言，有放回抽样可以得到简单随机样本，但有放回抽样使用起来不方便.在实际应用中，当总体容量N 很大而样本容量n 较小时（一般当10N n ≥时），可将不放回抽样近似当作有放回抽样来处理. 对于无限总体而言，抽取一个个体不会影响它的分布，因此，通常采取不放回抽样得到简单随机样本.以后我们所涉及到的抽样和样本都是指简单随机抽样和简单随机样本. 从总体X 中抽取一个个体，就是对总体X 进行一次随机试验.重复做n 次试验后，得到了总体的一组数据12(,,,)n x x x ，称为一个样本观测值.由于抽样的随机性和独立性，每个(1,2,,)i x i n = 可以看作是某个随机变量(1,2,,)i X i n = 的观测值，而(1,2,,)i X i n = 相互独立且与总体 X 具有相同的分布.习惯上称n 维随机变量12(,,,)n X X X 为来自总体X 的简单随机样本. 定义1.1 设总体X 的分布函数为()F x ，若随机变量12,,,n X X X 相互独立，且都与总体X 具有相同的分布函数，则称12,,,n X X X 是来自 第4章数理统计的基础知识 数理统计与概率论是两个有密切联系的学科, 它们都以随机现象的统计规律为研究对象.但在研究问题的方法上有很大区别：概率论——已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用; 数理统计——通过对实验数据的统计分析, 寻找所服从的分布和数字特征, 从而推断整体的规律性. 数理统计的核心问题——由样本推断总体 从本章开始，我们将讨论另一主题：数理统计。 数理统计是研究统计工作的一般原理和方法的科学，它主要阐述搜集、整理、分析统计数据，并据以对研究对象进行统计推断的理论和方法，是统计学的核心和基础。 本章将介绍数理统计的基本概念：总体、样本、统计量与抽样分布。 由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来。但客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，也就是说, 我们获得的只是局部观察资料。 数理统计就是在概率论的基础上研究怎样以有效的方式收集、整理和分析可获的有限的, 带有随机性的数据资料,对所考察问题的统计性规律尽可能地作出精确而可靠的推断或预测，为采取一定的决策和行动提供依据和建议. §4.1 总体与样本 一、 总体与总体分布 1.总体：具有一定的共同属性的研究对象全体。总体中每个对象或成员称为个体。 研究某批灯泡的质量，该批灯泡寿命的全体就是总体；考察国产 轿车的质量，所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体；某高校学习“高等数学”的全体一年级学生。 个体与总体的关系，即集合中元素与集合之间的关系。统计学中关心的不是每个个体的所有具体特性，而是它的某一项或某几项数量指标。某高校一年级学生“高等数学”的期末考试成绩。 对于选定的数量指标 X （可以是向量）而言，每个个体所取的值是不同的，这一数量指标X 就是一个随机变量（或向量）；X 的概率分布就完全描述了总体中我们所关心的这一数量指标的分布情况。数量指标X 的分布就称为总体的分布。 说明 例如 服装厂生产的各式服装，玩具厂生产的儿童玩具，检验部门通常将产品分成若干等级。 3X 总体分布就是设定的表示总体的随机变量.的分布. 4.1 X X 定义统计学中称随机变量（或向量）为，并把随机 变量（或向量）的分布称为总体总体分布.1X 表示总体的既可以是随机变量，也可以.是随机向量.2 有时个体的特性本身不是直接由数量指.标来描述的. 第六章 数理统计的基本概念精华习题 一、填空题 1. 设)2,0(,,,2 4321N X X X X 是来自正态总体的样本，则统计量 243221)43( 1)2(1Y X X X X -+-= 服从______分布。. 2. 3456则 71 2((C D 3．设1234, , , X X X X 是取自总体()~0, 4X N 的简单随机样本，()2 122X a X X =-+()2 3434b X X - ()2 ~n c ，则 ()()()()2 4 C 1 2 24A n B n n D n ====或或 【解】选()C 。因为()2 ~X n c ，故, a b 不可能同时为零，但可以其中一个或全不为零。 12（（（3 第六章 数理统计的基本概念精华习题完全解答 一、填空题 1．设)2,0(,,,2 4321N X X X X 是来自正态总体的样本，则统计量 243221)43( 1)2(1Y X X X X -+-= 服从______分布。. 2 3 45．设随机变量()~, X F n n ，则概率{}1P X <= __________。 【解】()(){}{}{}{}111~, ~, 111112X F n n F n n P X P Y P P X P X X X ìü T T<=<=<=>T<=íy?t 。 6． 设总体()2, 01 ~0, X x x X f x other <<ì=í? ，12, X X 来自X 的简单随机样本，12U X =，21V X =+， 则12U P V ìü ￡=í y?t _______。 【解】()12, ~X X ()1212124, 01, 01 , 0, x x x x f x x other <<<<ì=í? 2P < 7 1 2 (( A B C D 1、数理统计基础 1.1 随机变量 1.1.1随机事件和概率 观测或试验的一种结果，称为一个事件。在一定条件下进行大量重复试验时，每次都发生的事件，称为必然事件（Ω）；反之，每次都不发生的事件，称为不可能事件（Φ）；有时发生有时不发生的事件，称为随机事件或偶然事件（A ）。 随机事件的特点是在一次观测或试验中，它可能出现，也可能不出现，但在大量重复观测或试验中呈现统计规律性。用来描述事件发生可能性大小的量就是概率。 概率的统计定义是：在相同条件下进行n 次重复试验，事件A 发生了m 次，称m 为事件的频数，称m /n 为事件的频率。当n 足够大时，频率m /n 稳定地趋向于某一个常数p ，此常数p 称为事件A 的概率，记为)(A P ＝p ，即： )(A P ＝n m n ∞→lim ＝p （1.1） 即概率是频率的极限值。 由概率的定义可归纳出概率的三个基本性质： （1）必然事件Ω的概率等于1，即)(Ωp =1； （2）不可能事件Φ的概率等于0，即)(Φp =0； （3）任何事件的概率都介于0和1之间，即0≤)(A P ≤1。 小概率原理：当某一事件的概率非常接近于0时，说明这个事件在大量的试验中出现的概率非常小，这样的事件称为小概率事件。小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次连续试验中出现的可能性很小，一般可以认为不会发生，此即为小概率原理。 概率的三个定理： （1）互补定理：某事件发生的概率与不发生的概率之和为1。当发生的概 率为p，则不发生的概率为1-p。全部基本事件之和为必然事件。 （2）加法定理：相互独立而又互不相容的各个事件，其概率等于它们分别 出现之和。例如，A 1，A 2 ，…A n 为相互独立而又互不相容的事件，其中任一事件 出现的概率为各个事件概率的总和，即 P（A）=P（A 1）+P（A 2 ）+…+P（A n ）=∑ = n i i A P 1 ) (（1.2） （3）乘法定理：相互独立的事件同时发生的概率是这些事件各自发生的概率的乘积，即 P（A 1A 2 …A n ）=P（A 1 ）P（A 2 ）…P（A n ）=∏ = n i i A P 1 ) (（1.3） 1.1.2 随机变量与分布函数 每次试验的结果可以用一个变量X的数值来表示，这个变量的取值随偶然因素而变化，但又遵从一定的概率分布规律，这种变量称为随机变量。 随机变量根据其取值的特征可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。 离散型随机变量试验结果的可能值可以一一列举出来，即随机变量X可取的值是间断的、可数的。 连续型随机变量试验结果的可能值不能一一列举出来，即随机变量X可取的值是连续充满在一个区间的。 随机变量的特点是以一定的概率在一定的区间范围内取值，但并不是所有的观测值都能以一定的概率取某一固定值。因此人们关心的是随机变量在某一个区间取值的概率是多少？即P（a≤X≤b）＝？ 根据概率的加法定理，某随机变量X在区间[a，b]的取值概率为： P（a≤X≤b）＝P（X＜b）－P（X＜a）显然只要求出P（X＜b）和P（X＜a）即可，这比求出P（a≤X≤b）简单得多。 对于任何实数x，事件（X＜x）的概率当然是x的函数，令F（x）=P（X ＜x）表示（X＜x）的概率，并定义F（x）为随机变量X的概率分布函数， 4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm ）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49 试用W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平05.0=α） （参考数据：） 4-45. 解：数据的顺序统计量为： 10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82 所以 6131 .0][)()1(5 1 ) (=-= -+=∑k k n k k x x a L ， 又 5264.10=x ， 得 38197 .0)(11 1 2 =-∑=i i x x 故 984.0) (11 1 2 2 =-= ∑=i i x x L W ， 又 当n = 11 时，85.005.0=W 即有 105.0< 习题一 1.1 任意抛掷一颗骰子,观察出现的点数.设事件A 表示“出现偶数点”,事件B 表示“出现的点数能被3整除”. (1) 写出试验的基本事件空间,把事件A 及B 表示为基本事件的集合; (2) 事件 B A AB B A A ,,,, 分别表示什么事件? 并把它们表示为基本事件(即样本点)的集合. 1.2 袋中有10个球,分别标有号码1～10, 其中1, 2, 3, 4, 5号球为红球, 6, 7, 8号球为白球, 9, 10号球为黑球.设试验为 (1) 从袋中任取一球,观察其颜色; (2) 从袋中任取一球,观察其号码. 分别写出两个试验的基本事件空间,并指出其中的基本事件是否是等可能的. 1.3 设A ,B ,C 为三个事件,试将下列事件用A ,B ,C 表示出来: (1) 三个事件都不发生; (2) 三个事件不都发生; (3) 三个事件恰有一个发生; (4) 三个事件恰有两个发生; (5) A 发生,B 与C 都不发生; (6) A 与B 都发生,C 不发生; (7) 三个事件至少有一个发生; (8) 三个事件至少有两个发生; (9) 三个事件至多有两个发生; (10) 三个事件至多有一个发生. 1.4 设A ,B 为随机事件,试证明下列等式: (1) B B A B A =; (2) BC AC C B A -=-)(; (3) AB A B A B B A -=-=-)( ; (4) )()()(A B B A AB B A --=- . 1.5 从分别标有1至n 2的n 2张卡片中无放回地任取3张,求卡片号大于、小于和等于n 的各有一张的概率. 1.6 某班有12名学生是在1987年出生的,求: (1) 这12名学生中至少有两人是在同一天出生的概率; (2) 这12名学生中至少有一人是五月一日出生的概率. 研究生 习题2： 2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=， 试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2 χ分布。 2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η 所以 )1,0(~3 1 N η ， )1,0(~3 2 N η )2(~)(3 1332 22212 22 1χηηηη+=??? ??+??? ?? 由于 2 22 1ηηη+= 因此 当 3 1=c 时，)2(~2 χηc 。 2-8. 设 ),,,(1021ξξξΛ为)3.0,0(2 N 的一个样本，求 ? ?? ???>∑=101244.1i i P ξ 。（参考数据：） 2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(2 1021N ξξξξΛ=， 所以 )1,0(~3 .0N ξ ， 即有)10(~3.0210 12 χξ∑=?? ? ??i i 所以 ??? ???>∑=101244.1i i P ξ??????>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ??????>=∑=10122163.0i i P ξ ? ?? ???≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-= 2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{} 20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样 本均值。（参考数据：） 2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212( -Φ--Φ=)2 1 ()21(-Φ-Φ= 1)2 1 (2-Φ=3830.016915.02=-?= 由于 )4,1(~N ξ ， 所以 )1,0(~21 1 16 21N -=-ξξ {} 20≤≤ξP ????? ?-≤-≤-=21122112110ξP ? ?? ???≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-?=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2 N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的 绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2 N ξ， 所以 )1,0(~2 80 100 20 80 N -= -ξξ 所以 {}380>-ξP {} 3801≤--=ξP ?? ? ?????? ?≤--=232801ξP ? ?? ???≤ -≤--=23280 231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-= 2-25. 设总体ξ的密度函数为 ?? ?<<=其它 102)(x x x p 取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求： （1） 顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）??? ? ??>21)3(ξP 。 2-25解：（1）由 ()()[][])()(1)(! !1! )(1)(x p x F x F k n k n x p k n k k -----= ξ 所以 当 10< 第一章 数理统计的基本概念 课后习题参考答案 设对总体X 得到一个容量为10的子样值：，，，，，，，，，，试分别计算子样均值X - 和子样方差 2S 的值。 解：12,n X X X 为总体X 的样本， 根据 121 ()n X X X X n = +++ 求得X =； 根据2 21 1()n i i S X X n ==-∑ 求得2 S =。 设总体X 的分布函数为()x F ，密度函数为()x f ，n X X X ,,,21 为X 的子样，求最大顺序统计量()n X 与最小顺序统计量()1X 的分布函数与密度函数。 : 解： 将总体X 中的样本按照从小到大的顺序排列成()()()n X X X ≤≤≤ 21 ()()()()()()[]n n n n x F x x P x x P x x P x x P x F =<<<=<= 21 ()()[]()()x f x nF x F x f n n n 1' -== ()()()()() ()[]()[]()[]()[] n n n x F x x P x x P x x P x x P x x P x x P x x P x F --=<-<-<--=≥≥≥-=<=1111111212111 ()()[]()[] ()x f x F n x F x f n 1 111'--== 设总体X 服从正态分布N(12,4),今抽取容量为5的子样521,,,X X X ，试问： ' (1)子样的平均值X 大于13的概率为多少 (2)子样的极小值(最小顺序统计量)小于10的概率为多少 (3) 子样的极大值(最大顺序统计量)大于15的概率为多少 解： 一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析： 题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下： 由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的 AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 第6章 参数估计 选择题 1．设n X X X ,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，X 的分布函数F(x;θ)中含未知参数，则 （A ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量相同 (B) 用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不同 （C ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不一定相同 (D) 用最大似然估计法求出的θ的估计量是唯一的 2．设n X X X ,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，EX=μ， DX=σ2 ，其中μ，σ2 均为未知参数，X =1?μ ，12?X =μ，下面结论哪个是错误的。 （A ）X =1?μ 是μ的无偏估计 (B) 12?X =μ是μ的无偏估计 （C ）X =1?μ 比12?X =μ 有效 (D) ∑=-n i i X n 1 2)(1μ是σ2的最大似然估计量 3．设n X X X ,...,,21是来自正态分布总体N(μ,σ2 )的简单随机样本，其中数学期望μ已知，则总体方差σ2 的最大似然估计量是 AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF （A ） ∑=--n i i X X n 1 2)(11 (B) ∑=-n i i X X n 1 2 )(1 （C ） ∑=--n i i X n 12 )(11μ (D) ∑=-n i i X n 1 2)(1μ 4．已知总体X 在区间[0,θ]上均匀分布，其中θ是未知参数，设n X X X ,...,,21是来自X 的简单随机样本，X 是样本均值， },...,max {1)(n n X X X = 是最大观测值，则下列选项错误的是 （A ）)(n X 是θ的最大似然估计量 (B) )(n X 是θ的无偏估计量 （C ）X 2是θ的矩估计量 (D) X 2是θ的无偏估计量 5． 设总体X~N(μ1,σ2 )，总体Y~N(μ2,σ2 )，m X X X ,...,,21和 n Y Y Y ,...,,21分别是来自总体 X 和Y 的简单随机样本，样本方差分 别为2X S 与2Y S ，则σ2 的无偏估计量是 习题六 1.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值 之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n =100 ~(0,1) Z N = 即 60 ~(0,1)15/10 X Z N -= (|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-< 2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-= 2.从正态总体N （4.2，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？ 【解】 ~(0,1) Z N = (2.2 6.2)P X P Z <<=<< 210.95,=Φ-= 则，故即n >24.01，所以n 至少应取25 3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N （1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样 本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果， 只记得样本方差为S 2=1002，试求P （X ＞1062）. 【解】μ=1000,n =9，S 2=1002 1000 ~(8) 100/3X t t -= = 10621000 (1062)()( 1.86)0.05100/3 P X P t P t ->=> =>= 4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差. 【解】~(0,1) Z N =，由P (|X -μ|>4)=0.02得 P |Z |>4(σ/n )=0.02, 故210.02??-Φ=?? ?????? , 即0.99.Φ=?? 查表得 2.33,= 所以 5.43.σ= = 5.设总体X ~N （μ，16），X 1，X 2，…，X 10是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本， S 2为其样本方差，且P （S 2＞a ）=0.1，求a 之值. 【解】22 22299~(9),()0.1.1616S a P S a P χχχ? ?=>=>= ?? ? 查表得 914.684,16 a = 所以 14.68416 26.105.9 a ?= = 6.设总体X 服从标准正态分布，X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统计量 Y = ∑∑==-n i i i i X X n 6 25 1 2)15(，n ＞5 服从何种分布？ 【解】25 2 2 2 2 221 1 ~(5),~(5)i n i i i i X X X n χχχ=== =-∑∑ 且12χ与22 χ相互独立. 所以 2122/5~(5,5)/5 X Y F n X n =-- 7.求总体X ~N （20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于 0.3的概率. 【解】令X 的容量为10的样本均值，Y 为容量为15的样本均值,则X ~N (20,310), Y ~N (20, 3 15 )，且X 与Y 相互独立. 则33~0, (0,0.5),1015X Y N N ?? -+= ??? 第一章 数理统计的基本概念 课后习题参考答案 1.1 设对总体X 得到一个容量为10的子样值：4.5， 2.0，1.0，1.5， 3.4， 4.5，6.5， 5.0，3.5，4.0，试分别计算子样均值X - 和子样方差2 S 的值。 解：12,n X X X K 为总体X 的样本， 根据 121 ()n X X X X n = +++L 求得X =3.59； 根据2 21 1()n i i S X X n ==-∑ 求得2 S =2.5929。 1.2 设总体X 的分布函数为()x F ，密度函数为()x f ，n X X X ,,,21Λ为X 的子样，求最大顺序统计量()n X 与最小顺序统计量()1X 的分布函数与密度函数。 解： 将总体X 中的样本按照从小到大的顺序排列成()()()n X X X ≤≤≤Λ21 ()()()()()()[]n n n n x F x x P x x P x x P x x P x F =<<<=<=Λ21 ()()[]()()x f x nF x F x f n n n 1' -== ()()()()() ()[]()[]()[]()[] n n n x F x x P x x P x x P x x P x x P x x P x x P x F --=<-<-<--=≥≥≥-=<=1111111212111ΛΛ ()()[]()[] ()x f x F n x F x f n 1 111'--== 1.3 设总体X 服从正态分布N(12,4),今抽取容量为5的子样521,,,X X X Λ，试问： (1)子样的平均值X 大于13的概率为多少？ (2)子样的极小值(最小顺序统计量)小于10的概率为多少？ (3) 子样的极大值(最大顺序统计量)大于15的概率为多少？ 解： ( ) ∑==n I i X n X N X 1 2 1,,~σμ 第六章数理统计的基本概念 一、教学要求 1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。 2．了解分布、t分布和F分布的定义和性质，了解分位数的概念并会查表计算。 3．掌握正态总体的某些常用统计量的分布。 4．了解最大次序统计量和最小次序统计量的分布。 本章重点：统计量的概念及其分布。 二、主要内容 1．总体与个体 我们把研究对象的全体称为总体(或母体)，把组成总体的每个成员称为个体。在实际问题中，通常研究对象的某个或某几个数值指标，因而常把总体的数值指标称为总体。设x为总体的某个数值指标，常称这个总体为总体X。X的分布函数称为总体分布函数。当X为离散型随机变量时，称X的概率函数为总体概率函数。当X为连续型随机变量时，称X的密度函数为总体密度函数。当X服从 正态分布时，称总体X为正态总体。正态总体有以下三种类型： (1)未知，但已知； (2)未知，但已知； (3)和均未知。 2．简单随机样本 数理统计方法实质上是由局部来推断整体的方法，即通过一些个体的特征来推断总体的特征。要作统计推断，首先要依照一定的规则抽取n个个体，然后对这些个体进行测试或观察得到一组数据，这一过程称为抽样。由于抽样前无法知道得到的数据值，因而站在抽样前的立场上，设有可能得到的值为，n维随机向量()称为样本。n称为样本容量。(）称为样本观测值。 如果样本()满足 （1）相互独立； (2) 服从相同的分布，即总体分布； 则称()为简单随机样本。简称样本。 设总体X的概率函数(密度函数)为，则样本（)的联合概率函数(联合密度函数为) 3. 统计量 完全由样本确定的量，是样本的函数。即：设是来自总体X 的 一个样本，是一个n 元函数，如果 中不含任何总体的未知参数， 则称 为一个统计量，经过抽样后得到一组样本观测值 ， 则称 为统计量观测值或统计量值。 4. 常用统计量 （1）样本均值： （2）样本方差： （3）样本标准差： 它们的观察值分别为： 这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差和样本标准差。 （4）样本（k 阶）原点矩 1 1,1,2,n k k i i A X k n ===∑L （5）样本（k 阶）中心矩 1 1(),2,3,n k k i i B X X k n ==-=∑L 其中样本二阶中心矩21 1(),n k i i B X X n ==-∑又称为未修正样本方差。 （6）顺序统计量 将样本中的各个分量由小到大的重排成 (1)(2)()n X X X ≤≤≤L 则称(1)(2)(),,n X X X L 为样本顺序统计量，()(1)n X X -为样本的极差。 （7）样本相关系数： 1 ()()()() n n i i i i i xy x y x x y y x x y y r S S =----= = ∑∑ 其中：,x y 分别为数据,i i x y 的样本均值，,x y S S 分别为样本a 标准差。 5、直方图与箱线图 （1）直方图 先将所有采集的数据进行整理，得到顺序统计量，找出其中的最小值(1)x ，最大值()n x ，即所有的数据都落在区间(1)(),n x x ????上， 现取区间(1)(),n x k x k ??-+?? （其概率统计简明教程 第六章 数理统计的基础知识
数理统计的基础知识
智轩考研数学红宝书2010精华习题完全解答---概数第六章 数理统计的基本概念
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