积分换元法解题技巧研究

华北水利水电大学

课题名称：积分换元法解题技巧研究

专业：岩土工程

班级：

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2013年6月09日

摘要：换元法是积分应用中的一种重要解题方法，也是一种重要的数学思想。论文主要讨论了第一换元法、第二类换元法、二重积分换元法以及三重积分换元法的解题方式与技巧，同时也介绍了解题中应该注意的事项，以便能够准确而高效地运用积分换元法的解题技巧。关键词：积分换元法、解题技巧、应用举例

英文题目

Reasearch on Problem Solving Skills Change Element Method Integration

Abstract:Change element method is an important method of solving the integral application ,also is a kind of important mathematics thought .This paper mainly discuss the first element method ,second kinds of method, the double integral method and the method of three integral problem-solving methods and techniques, and items that should be noticed in problem solving is also introduced, in order to problem-solving skills to accurately and efficiently using integral method.

Key words:for example, integral method ,technique,application

1. 引言

积分的换元法是积分中的重要解题技巧，省时且省力。凑微分法是将新的变量设为原来的积分变量的函数，而第二类换元法则是讲原来对的积分变量设为新的变量的函数。二重、三重积分换元法是计算二重、三重积分的一个重点，同时也是一个难点。论文介绍了二重、三重积分换元法的定理，极坐标代换及其应用举例。根据积分的特点，选择恰当的解题方法即可。 2. 研究问题及成果

2.1第一换元法与第二换元法的

（1）第一类换元法（凑微法）:是对应于链式求导法则的积分方法 令 F ’(u)=f(u)，u=g(x) 由

（2）第二类换元法：x=g(u)是连续函数的导函数 g ’(u)0 则

※常见的几种配元形式：

(1) (2)

(3)

(4) (5) （3）两者的联系与区别

两种换元法本质上采用的是同一个公式：

=dx x g F )]([d )(')(')

()(x g u F dx

x dg du u dF =???+=+==C x g F C u F du u f x d x g x g f )]([)()()()(')]([≠C )]([)()(')([)(f 1+=+==??-x g F C u F du u g u g f dx x ??++=

+)()(1

)(f b ax d b ax f a dx b ax n n n n dx x f n dx x x f )(1

)(1??=-?n n n n dx x

x f n dx x x f 1

)(11)(?=??=x d x f xdx x f sin )(sin cos )sin (??-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos

两种换元法的不同：

第一类换元法是从左向右进行变换，他的关键部分在于准确找到凑微分的对象。

第二类换元法反向使用公式，此处关键的步骤在于“置身事外”。 但是第二类换元法本身的应用不是拘泥于函数本身的化简，而是从“旁观者”的角度来理解，将被积函数中比较复杂而不容易化简的部分，采用各种方法将这部分变得简单。 2.2第一换元法与第二换元法的应用举例 （1）第一类换元法应用举例

例1. (u=x+2) =

例2. (u=sinx) = =e 例3.

(u=lnx)

= = = = 例4. (u=e )

??=du u f x g u dx x g x g f )()()(')]([dx x ?

+99

2）（)2()2(99++?x d x c ++=

100

2x 100）

（?xdx e x cos sin ?x d e x sin sin c x +sin ?dx x x

ln ln ?)(ln ln ln x xd ?udu ln c u u u +-ln c x x x +-ln )ln(ln ln ?dx e e x x cos x

= = 例5.

(u=)

=2

=2[]

2

2

（2）第二类换元法应用举例 ①.三角代换： 例6. (a>0) 解：令x=asint (-),则有 dx=acostdt

=

=

=

= ②.根式代换： 例7.

解：令x=t 原

式

=

=6

=6

?x x de e cos c e x +sin ?

dx x

x

tan arc x ?x d x arctan ?-u ud u u arctan arctan =

??

?

???+-?

du

u u u u 21arctan =c x x arc x +??

????

+-)1ln(21dx x a ?-222

2π

π

≤

≤t dx

x a ?

-2

2dt

t a

?2

2

cos

dt t a ?+)2cos 1(2

2

c t a t a t a ++)]cos )(sin ([212

c x a x a x a +-+2222

arcsin 2dx x x x x

?

+)

(3

3

6dt

t t t t t ?+5

2362)(dt

t t ?+)1(1C x x C t t t t ++=++-=+-?1

ln 6)1ln (ln 6)1116

6

（

③.倒代换（分母中积分变量次数高于分数的次数）： 例8.

解：令x=(-1

例9. =

=

例10． =

（2） 乘积化和差

例11.

= =

（3） 假分式用除法 .

当被积函数

是假分式时，应先进行除法再积分。 例12. dx x

x ?

-2

4

1t

1dt t 2

1

C x C t dt t dt t t t +=+=--=-

?-??

1arccos arccos 11)1(1112

2

2

4xdx x x xdx x cos cos sin cos sin 4252??=x d x x sin )sin 1(sin 222-?C x x x ++-753sin 71

sin 52sin 31????+=+=）x xd dx dx x xdx 2(2cos 41

2122cos 1cos 2C x x ++2sin 4

1

2??++-=

dx x x xdxdx x ])23cos()23[cos(21

2cos 3cos 21

?+dx x x )5cos cos （C x x ++5sin 10

1

sin 21?.Q P )(,P(x))()

(的次数）

的次数不低于的多项式，是型（其中x x Q dx x Q x P ）

x Q x ()

(P dx x x x x dx x x x x )1

533(15322

2234??++-+=+-++

=

=

（4） 三项式配方法.

例13. =

（5） 裂项（分母乘积）

例14. 例15. =-

2.4二重积分的换元法

定理：设f(x,y)在xoy 平面上的闭区域D 上连续，如果变换T ： x=x(u,v), y=y(u,v)

将uov 平面上的闭区域D ’变为xoy 平面上的闭区域D ，且满足： （1） x =x(u,v), y=y(u,v)在D ’上具有一阶连续偏导数； （2） 在D ’上雅可比行列式J(u,v)=

; （3） 变换T 是D ’与D 之间的一个一一对应；

??+-++-+dx x x d x x x 2

222211)1(1123233C x x x x +-+-+arctan 5)1ln(2

3

233222.____)(1

2先配方再积分型dx c bx ax ?++)1(2

)1(1

32122+++=++??

x d x dx x x C x

x ++)1(

arctan 2

1C x x dx x

x dx x x +-=+=??cot tan )sin 1cos 1(sin cos 12222dx x x dx x x dx x x )5121(31)5)(2(110

712----=--=+???

C x x +-+-5ln 3

12ln 3

1

0)

,()

,(≠??v u y x

则有，

雅可比行列式，是以n 个n 元函数的偏导数为元素的行列式，常记为

使用变换公式的注意事项：

（1） 换元后要求定限简单，积分容易；

（2） 选择什么样的换元公式取决于积分区域的形状和被积函数的

形式；

（3） 如果雅可比式J(u,v)只在D ’内个别点上或者一条曲线上为零，

而在其他点上不为零，则上述换元公式仍成立；

（4） 使换元后的积分区域D ’不分块，换元后的被积函数易于积出。

对极坐标变换公式的解释：

J

例

16：计算D ：x=0,y=0,x+y=2所围成的平面闭区域。

解：令u=y-x,v=y+x

则x=

,y=, x=0u=v

dudv v u J v u y v u x f dxdy y x f D

D ????='

).()],(),,([),()

,,()

,,(2121n n x x x u u u ???

??==θρθρsin cos y x ()ρθ

ρθθ

ρθθ

ρ

θρ

θρθρ=-=????????=??=

cos sin sin cos ),(),(y y

x

x

y x ，????=D

D

d d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(,e

D

dxdy x

y x y ??+-2u -v 2

u

v +→

y=0u=-v x+y=-2v=2

J 故=

例17：计算，

其中D 为椭圆所围成的闭区域。

解：作广义极坐标变换

D D ’={（0} J=

=

=ab

J 在D ’内仅当=0时为零，故换元公式仍成立。

=ab =

例18：计算,D:x+y=1,x=0,y=0. 解： 令{ J=

D ’:x+y=1 1 X=0u-v=0 Y=0v=0

→→()21-2

12

121

21

-)

,()

,(v ,==??=

v u y x u dxdy e

x

y x y ??+-D

??D

e =dudv v

u

21

-()1201202121----=-=???e e vdv e e du e dv v v v u

??

--D

dxdy b

y a x 22

22112222=+b y a x ?

?

?==θρθ

ρsin cos b y a x ?→?

),θρπθρ20,1≤≤≤≤),(),θρ??y x （θ

ρθθ

ρθ

cos sin sin cos b b a a -ρρ??

-D

2222x -1dxdy b y a ??-'

21D ρρθρd ab π32

dD e y

x y y x 2

)(D

+??

+??

?=-=?=+=v

y v

u x v x u y y 11

01

-1,(),(==??）v u y x =?u ??

原式=

例19：计算二重积分

,其中D 是双曲线xy=1和xy=2，直

线y=x 和y=4x 所围成的第一象限内的区域。

解：根据积分区域D 的特点，令u=xy,v=，则积分区域D 变换为D ’

则 2.5三重积分换元法

定理：设变换T ：x=x(u,v,w),y=(u,v,w),z=(u,v,w),将uvw 空间中的有界闭区域变成xyz 空间的有界闭区域，且满足： (1) x=x(u,v,w),y=(u,v,w),z=(u,v,w) ;

(2) ,(u,v,w)； (3) 变换T ： 若f(u,v,w)R(),则有

1.利用柱坐标计算三重积分

)1(4

1),(2

100D

-==????e dv e u

v du dudv J v u f u u

dxdy y x

??D

22

x

y ??

???==uv y v u x ()()()

v

v u u

v v

u

uv v u y x v u J 2121212

1-

21

,,,3==??=2ln 37

2121412212

2

2

??????===dv v u du dudv v u dxdy y x D

D uvw Ωxyz Ω∈uvw Ω0),,(),,(),,(≠??????????????????=??=

w

z v

z u

z w y

v y u

y

w x v x u

x

w v u z y x w v u J ∈uvw Ωuvw Ωxyz Ω→∈Ωdudvdw w v u z y x w v u z w v u y w v u x f dxdydz z y x f uvw

)

,,()

,,()]

,,(),,,(),,,([),,(xyz

??=??????

ΩΩ

柱坐标与直角坐标的关系为]

所以，

2.利用球面坐标计算三重积分 球面坐标与直角坐标系的关系为：

()

所以

=

例20：计算I=,其中,

.

解： 为了使积分区域变得简单，作坐标变换 x-y=u , x-z=v , x+y+z=w

于是

??

?

??===z z r y r x θθsin cos r z r z y x z r J =??=

)

,,()

,,(),,(θθ??????ΩΩ=z

r dz

rdrd z r r f dxdydz

z y x f θθθθ),sin ,cos (),,(xyz

??

?

??===?θ?θ?cos sin sin cos sin x r z r y r πθπ?20,0,0≤≤≤≤+∞<≤r ?θ?sin )

,,()

,,(2r r z y x =?????Ωxyz

),,(dxdydz

z y x f θ???θ?θ??θ

d drd r r r r f r sin )cos ,sin sin ,cos sin (2???Ωdv z y x z y x ???Ω

++++2)cos()（{10),,(x ≤-≤=Ωy x z y }10,10≤++≤≤-≤z y x z x Ω???

?

?

????

+=++-=++=)2-u 31)2(31)(31x w v z w v u y w v u （

J(x,y,z)== = I= ’={(u,v,w)｜} I=

例21：求,其中为椭球体.

解： 把分式看作一个整体，那么积分区域就可以看成一个球面，作如下坐标变换

即

于是 J （x,y,z ）=

=abc I=

=abc

=

（该题所用的变换称为广义球坐标变换）。

3.结束语：通过对积分换元法的第一类换元法是将非

)

,,()

,,(w v u z y x ??3

13231313132313131--

31dudvdw w w dudvdw z y x J w w ??????Ω

Ω

=

2

2)cos(31),,()cos(Ω10,10,10≤≤≤≤≤≤w v u ∴1sin 6

1)cos(31102

1010=???dw w w dv du dv c z b y a x )22

2222++???Ω

（Ω1x 222222≤++c z b y a ?????????===?ρθ?ρθ?ρcos sin sin cos sin x

c

z b

y

a ?????===?ρθ?ρθ?ρcos sin sin cos sin x c z

b y a 0

sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin )

,,()

,,?

ρ?

θ?ρθ?ρθ

?θ?ρθ?θ

?θ?ρc c b b b a a a z y x --=??（?ρsin 2θ?ρρd d d abc ???Ω

4ρρ??θππ

d d d ???1

40

20

sin πabc 5

4

公式化向公式化转化的过程，第二类换元法是寻求一种变换，过渡到前者。前者是基础，后者是前者的拓展。二重与三重积分换元是还原法中的发展与推广，使得解题更加简便而高效。因此，定积分的换元法在定积分的计算中是必不可少的，

参考文献

[1]同济大学数学教研室，高等数学（第二版）（上册），北京：高等教育出版社，1982.5。

[2]候风波，应用数学（理工类），北京：科学出版社，2007.9。

[3]陶筱平等，应用高等数学，北京：北京工业大学出版社，2010（转载自论文之家https://www.360docs.net/doc/383153808.html,，请保留此标记。）.8。

[4]吴良大，高等数学教程，北京：清华大学出版社，2007.7。

[5]萧树铁扈志明，微积分（上）（修订版），北京：清华大学出版社，2008.4。