函数的基本性质(整理)

卓越个性化教案

【知识点梳理】

一、函数的单调性

1．单调函数的定义

（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有

12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。

（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。

2、单调性的判定方法 （1）定义法

○

1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）； ○

4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；

○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。

（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。

（3）复合函数的单调性的判断：

当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正）

（4）在公共定义域内：

增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

二、函数的奇偶性 1．奇偶性的定义：

（1）偶函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数

()f x 就叫做偶函数。

（2）奇函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函

数()f x 就叫做奇函数。

（3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性。 补充说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： ①其定义域关于原点对称；

②()()f x f x -=或()()f x f x -=-必有一成立。

判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算()f x -，看是等于

()f x 还是等于()f x -，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。

③无奇偶性的函数是非奇非偶函数。 ④函数0)(=x f 既是奇函数也是偶函数。

⑤奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。 ⑥奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．

2、函数的奇偶性判定方法 （1）定义法 （2）图像法 （3）性质法

三、函数的最值 （1）定义：

最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。

最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。 注意：

○

1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ； ○

2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。

（2）利用函数单调性判断函数的最大（小）值的方法：

○

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○

2 利用图象求函数的最大（小）值； ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b )；

如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )；

四、函数的周期性

（1）定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数；

（2）性质：①f (x+T )= f (x )常常写作),2

()2(T

x f T x f -=+

若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期；②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为

|

|ωT 。

【典型例题】 一、函数的单调性 例1．

(1)()(21),f x a x b R =-+设函数是上的减函数则a 的范围为( ) A ．12a ≥ B ．12a ≤ C ．12a >- D ．12

a <

(2)函数2

([0,)y x bx c x =++∈+∞)是单调函数的充要条件是( )

A ．0b ≥

B ．0b ≤

C ．0b >

D ．0b <

(3)已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数,,a b R ∈且0a b +≤,则下列表达正确的是（ ）

A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+

B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-

C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+

D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+-

(4) 如右图是定义在闭区间上的函数()y f x =的图象,该函数的单调增区间为

例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间

（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++

例3．根据函数单调性的定义，证明函数 在 上是减函数．

例 4.设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<

（1）求证：1)0(=f ； （2）证明：R x ∈时恒有0)(>x f ；

（3）求证：)(x f 在R 上是减函数； （4）若()(2)1f x f x ⋅->，求x 的范围。

二、奇偶性

例6． 判断下列函数的奇偶性：

（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·

x

x

-+11； （3）2|2|1)(2

-+-=x x x f ；（4）⎩⎨

⎧>+<-=).

0()

1(),

0()1()(x x x x x x x f

点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。

例7．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），则f （－2）=____ 。

例8．已知()f x 是奇函数，当x ∈（0，1）时，1

()lg

1f x x

=+，那么当x ∈（－1，0）时，()f x 的表达式是 ．

例9．若奇函数()f x 是定义在（1-，1）上的增函数，满足2(2)(4)0f a f a -+-<，试求a 的取值

范围

例10． （普宁市城东中学09）已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若

0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。

三、周期性

例11．已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-。

①证明：(1)(4)0f f +=； ②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式； ③求()y f x =在[4,9]上的解析式。

补充：函数的性质综合题（单调性、奇偶性和周期性） 1． 已知x

x

x f a

-+=11log )(（其中10≠>a a 且） （1）求f(x)的定义域 （2）判断f(x)的奇偶性

（3）函数f(x)的零点是否存在？若存在，试求出其零点；若不存在，请说明理由。

2． 已知函数)2,0(,2

)(∈+

=x x

x x f （1）求证函数在)2,0(上单调递减；

（2）函数)(x f 在)2,2(上单调性如何？试结合（1）进行分析； （3）利用（1）、（2）的结论，试求出函数)(x f 在)2,0(上的最小值。

3． 已知函数)(x f 在R 上是增函数，且对任意的x,y 都满足1)2(),()()(=+=+f y f x f y x f （1）求f(1),f(4)的值；

（2）若2)12()(≤-+x f x f ，求x 的取值范围。

4.已知函数k x f x

+-=

1

32

)(是奇函数 （1）求实数k 的值；

（2）判断f(x)在),0(+∞上的单调性，并给予证明； （3）当λ为何值时，关于方程]2,1[)(在λ=x f 上有实数解？

5．某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y （万元）

与年产量x(吨)之间的函数关系式近似的表示为40003010

2

+-=x x y （1）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润； （2）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本。 （参考：函数上是增函数上是减函数，在区间在区间),[],0()0(+∞>+=a a a x

a

x y ）

6． （番实高一级期中考试）设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f x x 且是定义域为R 的奇函数 （1）求k 值；

（2）若0

3

)1(22+∞-+==-在且x mf a a x g f x x ，上的最小值为-2，求m 的值。

7. 函数2

1)(x

b ax x f ++=

是定义在（-1,1）上的奇函数，且52

)21(=f （1）求f(x)的解析式；

（2）证明函数）上是增函数在（,11)(-x f ； （3）解不等式：0)()1(<+-t f t f

【巩固练习】

一、选择题

1. 下列函数中，既是奇函数又是偶函数的是

A. y=x+1

B. 3x y = x

y C 1

.= x y D 3log .= 2．在区间)0,(-∞上为增函数的是

（ ）

A ．1=y

B ．21+-=

x

x

y C ．122---=x x y D ．21x y +=

3．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 （ ）

A ．2-≥b

B ．2-≤b

C ．2->b

D ． 2-

4．已知函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，则下列各点中，不在函数y=f （x ）图象上的点是（ ）

A.（-a ，f （a ））

B.（-a ，f （-a ））

C.（-a ，-f （-a ））

D.（a ，f （-a ））

5．若奇函数f （x ）在[a ，b]上是增函数，且最小值为1，则f （x ）在[-b ，-a]上是（ ）

A.增函数且最小值是-1

B.增函数且最大值是-1

C.减函数且最小值是-1

D.减函数且最大值是-1

6．设32)1()(2

++-=mx x m x f 为偶函数，则f （x ）在区间（-5，-2）上是（ ）

A.增函数

B.减函数

C.不具有单调性

D.单调性由m 确定

7． 已知R 上的奇函数的解集为则不等式上单调递增，且在0)(,0)2()0,()(≤=--∞x f f x f （） A. ]2,2[- B. ]2,0[]2,(⋃--∞ ),2[]2,.(+∞⋃--∞C ),2[]0,2.[+∞⋃-D 二、填空题

8．以下五个函数：（1）)0(1≠=x x

y ；（2）14+=x y ；（3）x y 2=；（4）x y 2log =； （5）)1(log 22++=x x y ，其中奇函数是____ __，偶函数是__ ____，非奇非偶函数是

_________

9. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当x>0时，32)(2

--=x x x f ，则当x<0时，f(x)=

10．定义在[-1，1]上的函数y=f （x ）是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2

>-+--a f a a f ，则实数a 的取值范围是_______。

11．已知a x f x

+-=

1

31

)(是奇函数，则常数a=_________。

12. 已知定义在R 上的偶函数f(x)满足：)()2(x f x f =+,且在区间[-1,0]上是增函数

下列关于f(x)的判断，正确的有

①f(x)是周期函数；②f(x)的图像关于直线x=1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)=f(0)

三、解答题

13．若f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，它们有相同的定义域， 且1

1

)()(-=+x x g x f ，求f （x ），g （x ）的表达式。

14．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：（1）()f x 是奇函数；

（2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围。

15．已知函数[]2

()22,5,5f x x ax x =++∈-.

① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；

② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数。

16. 定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当x ＞0时，1)(>x f ，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）.

（1）求证：f （0）=1；

（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0；

（3）求证：f （x ）是R 上的增函数；

（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.

17．（本小题10分）已知函数1

2121)(++-=x x f (1) 证明：函数f (x )是奇函数. (2) 证明：对于任意的非零实数x 恒有x f (x )<0成立.

18．（本小题13分）已知二次函数,)(2c ax x x f +-=（其中．．0c >）

（1）试讨论函数)(x f 的奇偶性.

（2）当)(x f 为偶函数时，若函数()()f x g x x

=，试证明：函数)(x g 在),0(c 上单调递减，在),(+∞c 上单调递增；

19．（本小题满分13分）

上的是定义在已知R )(x f 单调．．

函数，:,总有对任意的实数n m ；)()()(n f m f n m f ⋅=+1)x (f 00x <<>时，且.

（1）证明：f(0)=1且x<0时f(x)>1;

（2）

.a 412x)-f (a 1)x (f 16

1)4(f 2的取值范围恒成立的参数对任意实数时，求使当x ≤⋅-=