《函数的基本性质》知识总结大全
《函数的基本性质》知识总结大全
沛县第二中学数学组 张驰
1.单调性
函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。
⑴函数单调性的定义
一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调_____区间. 如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调_____区间.如果函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么函数()y f x =在区间I 上具有________.
点评 单调性的等价定义：
①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21<-x f x f 0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121>∆∆⇔>--⇔x
y x x x f x f ； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21>-x f x f 0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121<∆∆⇔<--⇔
x y x x x f x f ； ⑵函数单调性的判定方法
①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等. 注意：
①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设12[]x x a b ∈，，且12x x ≠，那么0)]()([)(2121>-⋅-x f x f x x 0)()(2
121>--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是增函数；0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x 0)()(2
121<--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是减函数。 ②导数法（选修）：在()f x 区间()a b ，内处处可导，若总有'()0f x >（'()0f x <），则
()f x 在区间()a b ，内为增（减）函数；反之，()f x 在区间()a b ，内为增（减）函数，且
处处可导，则'()0f x ≥（'()0f x ≤）。请注意两者之间的区别，可以“数形结合法”研究。
点评 判定函数的单调性一般要将式子)()(21x f x f -进行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化处理，以利于判断符号；证明函数的单调性主要用定义法和导数法。
提醒 求单调区间时，不忘定义域；多个单调性相同的区间不一定能用符号“”连接；单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。判定函数不具有单调性时，可举反例。 ⑶与函数单调性有关的一些结论
①若()f x 与()g x 同增（减），则()f x ＋()g x 为增（减）函数，(())f g x 为增函数； ②若()f x 增，()g x 为减，则()f x －()g x 为增函数，()g x －()f x 为减函数，(())f g x 为减函数；
③若函数()y f x =在某一范围内恒为正值或恒为负值，则()y f x =与1()
y f x =
在相同的单调区间上的单调性相反；
④函数()y f x =与函数()(0)y f x k k =+≠具有相同的单调性和单调区间；
⑤函数()y f x =与函数()(0)y kf x k =>具有相同的单调性和单调区间，函数()y f x =与函数()(0)y kf x k =<具有相同单调区间上的单调性相反。
2.奇偶性
函数的奇偶性是研究函数在定义域内的图象是否关于原点中心对称，还是关于y 轴成轴对称，是研究函数图象的结构特点；
⑴函数奇偶性的定义
一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．如果对于_____的x A ∈，都有()f x -=_____，那么函数()y f x =是偶函数. 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．如果对于_____的x A ∈，都有()f x -=_____，那么函数()y f x =是奇函数. 如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，那么函数()y f x =具有________.
注意 具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称，因此，确定函数奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。
⑵图象特征
函数()y f x =为奇（偶）函数⇔函数()y f x =的图象关于原点（y 轴）成中心（轴）对称图形。
注意 定义域含0的偶函数图象不一定过原点；定义域含0的奇函数图象一定过原点；利用函数的奇偶性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上，简化问题。
点评
①函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．
. ②)(x f 是奇函数()()()()()01()
f x f x f x f x f x f x -⇔-=-⇔-+=⇔
=-. ③)(x f 是偶函数()()()()()01()
f x f x f x f x f x f x -⇔-=⇔--=⇔=. ④奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f . ⑤在关于原点对称的单调区间内：
（ⅰ）奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；
（ⅱ）奇函数有相反的最值（极值），偶函数有相同的最值（极值）。
⑥)(x f 是偶函数⇔(||)()f x f x =.
⑶奇偶性的判定方法
若所给函数的解析式较为复杂，应先考虑其定义域并等价变形化简后，再判断其奇偶性.
如判断函数()f x =法；②图像法；③结论法等. 点评 定义法判定函数的奇偶性先求定义域，看其是否关于原点对称，若对称，再求()f x -，接着考察()f x -与()f x 的关系，最后得结论.判断函数不具有奇偶性时，可用反例。
⑷与函数的奇偶性有关的一些结论
①若()f x 与()g x 同奇（偶），则()f x ±()g x 为奇（偶）函数，()f x ()g x 和
()()f x g x 为偶函数，(())f g x 为奇（偶）函数；
②若()f x 与()g x 一奇一偶，则()f x ()g x 和()()
f x
g x 为奇函数，(())f g x 为偶函数； ③定义域关于原点对称的函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和的形式。
⑸函数按奇偶性分类
①奇函数非偶函数，②偶函数非奇函数，③既是奇函数又是偶函数，④非奇非偶函数。
点评既奇又偶的函数有无数个。如()0f x =定义域关于原点对称即可。如函数()f x ＝
。
3.周期性
函数的周期性是研究一些函数图象在定义域内具有某种一定的周期变化规律；
⑴函数周期性的定义
一般地，对于函数()f x ，如果存在一个________的常数T ，使得定义域内的________ x 值，都满足()________f x T +=，那么函数()f x 称为周期函数，________常数T 叫做这个函数的周期。如果一个周期函数()f x 的所有的周期中存在一个________的____数，那么这个数叫做函数()f x 的最小周期正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
点评 ①非零常数T 是周期函数本身固有的性质，与自变量x 的取值无关；②若非零常数T 是函数()f x 的周期，则非零常数T 的非零整数倍（nT n Z ∈，，且0)n ≠也是函数()f x 的周期；③若函数()f x 的周期为T ，则函数()y Af x ωϕ=+（其中A ，ω，ϕ为常
数，且0A ≠，0ω≠）的周期为||
T ω；④定义中的等式()f x T +=()f x 是恒等式；⑤函数()f x 的周期是T ⇔()f x T +=()f x 。
⑵三角函数的周期
①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ； ④|
|2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ； ⑶函数周期的判定
①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）④结论法。
⑷与周期有关的一些结论
①)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f 的周期为a 2；
②()f x 是偶函数,其图像又关于直线x a =对称⇒()f x 的周期为2||a ；
③()f x 奇函数,其图像又关于直线x a =对称⇒()f x 的周期为4||a ；
④()f x 关于点(,0)a ,(,0)b ()a b ≠对称⇒()f x 的周期为2||a b -；
⑤()f x 的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称⇒函数()f x 的周期为2||a b -； ⑥()f x 的图象关于点)0,(a 中心对称，直线b x =轴对称⇒)(x f 周期为4b a -； ⑦()f x 对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=-
⇒()f x 的周期为2||a ； ⑧函数()f x 满足1()()1()
f x f x a f x ++=-，且a 为非零常数⇒()f x 的周期为4||a ； ⑨函数()f x 满足()()()2f x a f x a f x +=+-（a 为非零常数）⇒()f x 的周期6||a 。 点评 注意对称性与周期性的关系。
4.对称性
函数的对称性是研究函数图象的结构特点（即函数图象关于某一点成中心对称图形或关于某一条直线成轴对称图形）；
⑴函数对称性的定义
如果函数()y f x =的图象关于直线x a =成____对称或点()a b ，成______对称，那么()y f x =具有对称性。
注意 利用函数的对称性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上，简化问题。 ⑵函数图象对称性的证明
证明函数()y f x =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；
⑶与对称性性有关的一些结论
①函数()y f x =的图象关于直线x a =成轴对称⇔()()f a x f a x -=+。特别地，当0a =时，函数()y f x =为偶函数。
②函数()y f x =的图象关于点()a b ，成中心对称⇔()()2f a x f a x b -++=。特别地，当0a =且0b =时，函数()y f x =为奇函数。
点评 函数奇偶性是函数对称性的特殊情况。
③若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线
2a b
x +=对称； ④函数()0k y b k x a
=+≠-的图象关于点()a b ，中心对称。 5.有界性
函数的有界性是研究函数图象在平面直角坐标系中的上下界情况，重点是通过研究函数的最大（小）值（值域）来研究有界性问题。
⑴函数最大（小）值的定义
一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．如果存在0x A ∈，使得对于____的x A ∈，都有()f x ____0()f x ，那么称0()f x 为()y f x =的最大值，记为__________；如果存在0x A ∈，使得对于____的x A ∈，都有()f x ____0()f x ，那么称0()f x 为()y f x =的最小值，记为__________.
注意 ①函数最大（小）值应该是某一个函数值；②函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，最大（小）值不同于极大（小）值。
⑵值域与最值
注意函数的最值与函数的值域的区别和联系，理解值域和最值是考察函数的有界性问题。 ⑶与函数最值有关的几个结论
①若函数()y f x =在区间[]a b ，上为单调增函数，则min ()y f a =，max ()y f b =； ②若函数()y f x =在区间[]a b ，上为单调减函数，则min ()y f b =，max ()y f a =； ③若函数()y f x =在区间[]a c ，上为单调增函数，在区间[]c b ，上为单调减函数，则max ()y f c =；
④若函数()y f x =在区间[]a c ，上为单调减函数，在区间[]c b ，上为单调增函数，则min ()y f c =。
⑷恒成立问题的处理方法
恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布问题。如：①方程()k f x =有解k D ⇔∈(D 为()f x 的值域)；②不等式()a f x ≥恒成立⇔a ≥
[()]f x 最大值,不等式()a f x ≤恒成立[()]a f x ⇔≤最小值。
6.极值
函数的极值是研究函数在其定义域内的某一局部上的性质。这与函数的最值所研究的问题角度有所不同。
⑴极值的定义
设函数()y f x =在0x x =及其附近有定义，如果0()f x 的值比0x 附近的所有各点的函数值都大（小），则称0()f x 是函数()y f x =的一个极大（小）值。极大值和极小值统称为极值。取得极值的点称为函数的极值点，极值点是自变量的取值，极值是指函数值。 ⑵极值的求法
①图像法；②导数法。
7.零点与不动点
7.1函数的零点
⑴定义 一般地，我们把使函数()y f x =的值为_____的实数x 称为函数()y f x =的零点.
点评
函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根。从图象上看，函数()y f x =的零点，就是它的图象与x 轴交点的横坐标。利用函数的零点、方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标这三者之间的联系，可以解决很多函数与方程的问题。这就是高考的热点内容——函数与方程的思想运用。
⑵函数零点的存在性
一般地，若函数()y f x =在区间[]a b ，上的图象是一条连续不间断的曲线，且()f a ⋅ ()f b ﹤______，则至少存在一个实数()c a b ∈，，使得()0f c =，此时实数c 为函数()y f x =的零点.
点评
若函数()y f x =在区间[]a b ，上的图象是一条连续不间断的单调曲线，且()f a ()f b ﹤0，则有惟一的实数()c a b ∈，，使得()0f c =。
7.2不动点
方程()f x x =的根叫做函数()y f x =的不动点，也是函数()y f x x =-的零点。
7.3函数、方程与不等式三者之间的关系
一般地，不等式()0f x >的解集为函数()y f x =的图象在x 轴上方部分的点的横坐标组成的集合；不等式()0f x <的解集为函数()y f x =的图象在x 轴下方部分的点的横坐标组成的集合；
点评
利用函数图象并结合函数的零点，可求不等式()0f x <或()0f x >的解集；利用函数图象并结合相应方程的解，可求不等式()()f x g x <或()()f x g x >的解集等；
7．4基本方法
求函数零点和不动点的方法
⑴直接法（通过解方程（组））；⑵图像法；⑶二分法。
点评 注意函数上述几大性质相互之间的联系。
函数的基本性质 知识总结
《函数的基本性质》知识总结 1.单调性 函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。 ⑴函数单调性的定义 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调_____区间. 如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调_____区间.如果函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么函数()y f x =在区间I 上具有________. 单调性的等价定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21<-x f x f 0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121>∆∆⇔>--⇔x y x x x f x f ； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21>-x f x f 0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121<∆∆⇔<--⇔x y x x x f x f ； ⑵函数单调性的判定方法 ①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等. 注意： ①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设12[]x x a b ∈，，且12x x ≠，那么0)]()([)(2121>-⋅-x f x f x x 0)()(2 121>--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是增函数；0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x 0)()(2 121<--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是减函数。 ②导数法（选修）：在()f x 区间()a b ，内处处可导，若总有'()0f x >（'()0f x <），则()f x 在区间()a b ，内为增（减）函数；反之，()f x 在区间()a b ，内为增（减）函数，且处处可导，则'()0f x ≥（'()0f x ≤）。请注意两者之间的区别，可以“数形结合法”研究。 判定函数的单调性一般要将式子)()(21x f x f -进行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化处理，以利于判断符号；证明函数的单调性主要用定义法和导数法。 提醒 求单调区间时，不忘定义域；多个单调性相同的区间不一定能用符号“U ”连接；单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。判定函数不具有单调性时，可举反例。 ⑶与函数单调性有关的一些结论 ①若()f x 与()g x 同增（减），则()f x ＋()g x 为增（减）函数，(())f g x 为增函
《函数的基本性质》知识总结大全
《函数的基本性质》知识总结大全 函数的基本性质是数学中非常重要的一部分内容，对于理解和应用函数有着重要的作用。以下是《函数的基本性质》的知识总结大全： 1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数可以取值的所有实数的范围，值域是指函数实际取值的范围。函数的定义域和值域可以用图像来表示。 2. 奇偶性：如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)为奇函数。 3. 函数的图像：函数的图像是指函数在坐标平面上的显示，可以通过画图来表示函数的特点。可以通过图像来判断函数的增减性、极值、特殊点等。 4. 单调性：如果函数f(x)在定义域上是递增的，则称函数f(x)为增函数；如果函数f(x)在定义域上是递减的，则称函数f(x)为减函数。 5. 极值：如果函数在某一点上的函数值比它邻近的点上的函数值都大（或小），则称这个点为函数的极大值点（或极小值点）。极大值和极小值统称为极值。 6. 零点：函数的零点是指函数在定义域上满足f(x) = 0的实数x的值。 7. 对称轴：如果函数的图像关于某一直线对称，则这条直线称为函数的对称轴。
8. 周期性：如果函数f(x)在一个定义域上的每一个x都有 f(x+T) = f(x)成立，其中T>0，则称函数f(x)为周期函数，T称为函数的周期。 9. 常用函数：常用函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，这些函数有着特殊的性质和应用。 10. 复合函数：复合函数是指由两个函数构成的新函数，其中一个函数的输出是另一个函数的输入。复合函数的求值需要按照函数的定义进行计算。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质 基础知识： 1.奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也 一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f (－x )与f (x )的关系； ③作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴成轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2.单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 《函数的基本性质》知识总结大全 第一篇：《函数的基本性质》知识总结大全 《函数的基本性质》知识总结 1.单调性 函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。 ⑴函数单调性的定义 一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I⊆A．如果对于区间I 上是单调增函数，I称为内的______两个值x1，x2，当x1 x1，x2，当x1 ∈M,当x1 函数的基本性质要点总结 研究一种函数就要研究它的性质，单调性与奇偶性是函数最重要的基本性质。 一、单调性 要点1:增函数、减函数定义及图象特征 一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于定义域Ｉ内某个区间上的任意 两个自变量的值，，当＜时，都有f（）＜f（），那么就说f（x）在这个区间上是增函数。减函数的定义类似。 反映在图象上，若是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左到右是 上升（下降）的。 关于函数单调性的理解： （1）函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言 有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数；还有的函数是 非单调的，如常数函数y=c，又如函数。 （2）函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数 值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质。 因此，若要证明在[a，b]上是递增的，就必须证明对于区间[a，b]上任意 的两点x 1、x 2 ，当x 1 ＜x 2 时都有不等式f (x 1 )＜f (x 2 )成立。 若要证明在[a，b]上不是单调递增的，只须举出反例就足够了。即只要找 到两个特殊的x 1、x 2 ，若a≤x 1 ＜x 2 ≤b，有f (x 1 )≥f (x 2 )即可。 （3）函数单调性定义中的x 1、x 2 ，有三个特征：一是任意性，即“任意取x 1 、x 2 ”， “任意”二字决不能丢掉。证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小， 通常规定x 1＜x 2 ；三是同属一个单调区间，三者缺一不可。 要点2：单调性与单调区间 如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间就叫做y＝f（x）的单调区间。 关于单调区间的书写：函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义，书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。 若函数在其定义域内的两个区间A、B上都是增（减）函数，一般不能简单认为 在A∪B上是增（减）函数。如在（－∞，0）上是减函数，在（0，＋∞） 函数的基本性质知识点总结 函数的基本性质 函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质。如果对于函数f(x)定义 域内的任意x都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于 函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性。如果函 数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。 判断函数奇偶性的步骤如下： 1.首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称。 2.确定f(-x)与f(x)的关系。 3.若f(-x) =f(x)或f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(-x) =-f(x)或f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数。 函数的简单性质包括： 1.图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称。 2.在公共定义域上，奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。 函数的单调性 函数的单调性是函数的局部性质。一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）。必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。 对于复合函数y=f[g(x)]，其中u=g(x)，A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g:x→u=g(x)的象集。 1.若函数u=g(x)在区间A上单调增（或单调减），且函数y=f(u)在区间B上也单调增（或单调减），则复合函数 y=f[g(x)]在区间A上单调增（或单调减）。 2.若函数u=g(x)在区间A上单调增（或单调减），且函数y=f(u)在区间B上单调减（或单调增），则复合函数y=f[g(x)]在区间A上单调减。 4.判断函数单调性的方法步骤： ①任取区间D内的两个不同点x1和x2，且x1 函数的基本性质知识点归纳与题型总结 0＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数． 4)因为f(x)有意义，则x＞0，所以f(x)的定义域不关于原 点对称。 所以f(x)为非奇非偶函数． 二、知识归纳 1．函数的单调性 1)单调递增 对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递增 函数． 2)单调递减 对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递减 函数． 3)严格单调性 如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，有 f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格单调函数． 4)单调性判定 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则 ①当f'(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上单调递增； ②当f'(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上单调递减； ③当f'(x)＝0时，函数f(x)在x处取极值． 2．函数的极值 1)极值定义 设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果对于x0的任何一个邻域内的x值，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)，而x0就称为函数f(x)的一个极值点． 2)判别极值的方法 ①一阶导数法 设函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)＝0，则 1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值； 2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值； 3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法． ②二阶导数法 设函数f(x)在点x0处二阶可导，则 1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值； 函数的基本性质知识点总结 函数的基本性质 基础知识： 1.奇偶性 （1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系； ③作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称； ②设() g x的定义域分别是12,D D，那么在它们 f x，() 的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 2.单调性 （1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 函数的基本性质总结 一、单调性 1. 定义：在定义域内，任意21x x <，都有()()21x f x f <，则()x f 在定义域内是单调递增的；任意21x x <，都有()()21x f x f >，则()x f 在定义域内是单调递减的。 2. 判断方法： ①定义法及其变形： ()()0)()(2121>--x f x f x x 或 0)()(2121>--x x x f x f 是增函数 ()()0)()(2121<--x f x f x x 或0)()(2 121<--x x x f x f 是减函数 ②图像法 ③导数法 ④复合函数法：同增异减 ⑤单调性的运算性质 增函数+增函数=增函数 增函数-减函数=增函数 减函数+减函数=减函数 减函数-增函数=减函数 二、奇偶性 1、定义：在定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=，称函数)(x f 是偶函数； 在定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f --=，称函数)(x f 是奇函数。 2、判断方法： ①定义法：定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要条件 ②图像法:图像关于原点对称是奇函数，图像关于y 轴对称是偶函数 3、常见结论 奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数⨯奇函数=偶函数 偶函数⨯偶函数=偶函数 奇函数⨯偶函数=偶函数 ①函数)(a x f y +=是偶函数，则)(x f 关于a x =对称 ②函数)(a x f y +=是奇函数，则)(x f 关于)0,(a 对称 ③若函数)(x f y =是奇函数，且在0=x 处有定义，则0)0(=f ④奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，最值相反；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，最值相同。 函数的基本性质(总结版) -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 函数的基本性质 基础知识： 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 2．单调性 《函数的基本性质》知识总结大全 沛县第二中学数学组 张驰 1.单调性 函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。 ⑴函数单调性的定义 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调_____区间. 如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调_____区间.如果函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么函数()y f x =在区间I 上具有________. 点评 单调性的等价定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有 0)()(21<-x f x f 0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121>∆∆⇔>--⇔x y x x x f x f ； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有 0)()(21>-x f x f 0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121<∆∆⇔<--⇔x y x x x f x f ； ⑵函数单调性的判定方法 ①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等. 注意： ①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设12[]x x a b ∈，，且12x x ≠，那么 0)]()([)(2121>-⋅-x f x f x x 0)()(2 121>--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是增函数；0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x 0)()(2121<--⇔ x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是减函数。 ②导数法（选修）：在()f x 区间()a b ，内处处可导，若总有'()0 f x > 《函数的基本性质》知识点总结《函数的基本性质》知识点总结「篇一」 《函数的基本性质》知识点总结 基础知识： 1.奇偶性 （1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。 注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系； ③作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称； ②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 2.单调性 （1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1《函数的基本性质》知识总结大全
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