浅谈高中数学解析几何中的对称问题

发表时间：2019-12-10T17:34:32.223Z 来源：《教育学文摘》2019年12期作者：龚杨熙

[导读] 新课标改革开展后，我国的教育事业也在不断发展

摘要：新课标改革开展后，我国的教育事业也在不断发展，其中高中数学也乘着改革开放的快车，发展迅猛。在高中数学中，数学解析几何中的对称问题受到了广泛的关注与讨论。研究对称问题不仅能增强我们解决问题的能力，同时可以培养发散思维，锻炼空间想象力等，而且还能提高在日常生活当中的审美能力，提高创新意识。下面我将结合自己的学习理解，对高中数学解析几何中对称问题进行简要分析，希望能在这方面为同学们的学习提供一些帮助。

关键字：高中数学解析几何对称问题

高中数学解析几何中的对称问题，是高中数学的一个重要内容，也是平时学习的难点，它的运用非常广泛，不仅体现在数学应用上，有时还会渗透到物理学科的应用方面。在对称问题中，主要研究的问题有：点关于点对称、点关于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称、曲线关于点对称、曲线关于直线对称等问题。不过在对称问题中，最基础的问题为点关于点，点关于直线的对称问题，线（直线、曲线）关于点的对称问题可转化为点关于点对称。线（直线、曲线）关于直线对称的问题可转化为点关于直线对称。

一、关于点的对称问题

点与点之间的对称问题，在初步接触对称问题时，较为常见，也较为简单。在关于点的对称问题中，也有不同的类型，包括了点与点之间的关系、点与点关于直线对称的关系，线与线关于直线对称的关系，每种不同的关系之间，解题思路既有相同点，也有不同的点，均需要答题者，认真思考，得出答案。下面我将针对不同的种类进行分析。

（一）点关于定点对称问题

这类问题，一般是知道一个点A，知道A点的坐标，给出另外一个中心点Q，告诉Q点的位置坐标，最后让大家求出A点关于Q点对称的点B。这类题的求解办法较为单一统一。例如：已知点A(x1,y1)，已知中心点Q(x0,y0)，求出A点关于Q点对称的点B，在坐标中，这三个点的横纵坐标，应该满足怎么样的条件呢？根据条件可知，Q点为A、B点的中点，于是得2x0=x1+x2，2y0=y1+y2，由此可以得到x2，y2的值，得到B点位置坐标。关于定点对称问题，表面看上去是多个类型题中，最简单的一类题目，但是却是后续题目的基础，在许多不同类型、不一样表述的题目，表面上比较难也很有深度，但是随着理解领悟的加深，基础知识掌握牢固后，大家会发现，运用的知识，大部分仍然是定点对称问题的方法与策略，所以基础知识必须掌握牢固，才能解决其他难题。

（二）线关于点的对称问题

在线关于点的对称问题中，无论是曲线还是直线，都可以把每条线看作是满足某条件的动点的集合，看作是动点沿着一定的限制条件运动形成的轨迹，所以在遇到线关于点对称的问题时，我们不妨设对称曲线上任一点的坐标为A(x,y)，点A关于中心点Q(x0,y0)的对称点为B，根据点与点对称之间的法则，求出对称点B的坐标，利用对称点B在已知曲线上坐标满足方程最终求得是对称曲线的轨迹方程。这样就成功的将线关于点的对称问题转化为点关于点的对称问题，将困难化解。在解决线的问题时，大家需要明白一个道理，就是所有的线都可以看作是满足某个条件的点的集合，无论是直线还是曲线，解题时将点关于点的对称问题掌握好即可。

二、点关于线的对称问题

在解决点关于线的对称问题中，相比较点，要复杂很多，需要利用更多几何性质，譬如轴对称的性质，在前面的学习中知道，两个图案在关于直线对称时，可以观察到，图案相应两点的连线会被该直线垂直平分，所以在解决关于线之间的对称问题时，要将此问题简化，回到线关于点，点关于点之间的对称问题中，在应用这个办法求解时，需要注意的问题是，点关于线的对称问题需要满足两个条件，第一是两个对称轴对称的点，连接起来，应该垂直于对称轴所在直线。第二是：两个对称点的中点应该在对称轴上。在解决线关于线的对称问题时，只要能将点关于线的问题处理好，线关于线的对称问题也可以迎刃而解，在高中数学对称问题中，关于曲线C，直线L的对称问题，最终都可以化归为点与点之间的对称问题，在解决此类问题时，需要打开思维，充分利用点关与点对称、点关与线对称的处理方法，融会贯通，举一反三，不断提升自己的解题能力。

三、实际应用

实践出真知，理论知识无论有多丰富，只有回归到实际问题中，才能体现其真正的价值，只有在解决问题的过程中，才能真正发现是否将理论知识熟练的掌握运用。应用举例：（线关于线对称问题）已知两直线L1,L2，两直线关于直线L0对称，L0方程为：2x-2y+1=0，其中L1的方程为3x-2y+1=0，求L2的方程？分析：在这道题目中，虽然是线关于线对称的问题，但是仍然可以转化为点关与点的对称问题，在解题过程中，可以在L1上，随意找出一点A(x1, y1)关于直线对称点设为B(x2,y2)，利用A,B两点关于L0对称，求出对称点B的坐标，同理再求出一个对称点的坐标，就可以求出对称线的方程。如果是求曲线关于直线的对称曲线则可设对称曲线上任一点的坐标A(x, y), A(x, y)关于直线对称点设为B(x0,y0)，利用A,B两点关于L0对称，求出对称点B的坐标,利用对称点B在已知曲线上代入曲线方程即可求得对称曲线的轨迹方程。除了这一类型题目以外，还有许多与这类题目相关的问题，但是万变不离其宗。

这篇文章主要是从点关与点对称，点关于线对称的角度出发，简要分析讨论了解析几何中对称问题。要想真正解决这类问题，首先要深刻理解基础知识，灵活把握线与点之间的对称关系，有的题目还存在图形，此时也不能忽视图形的重要性，在许多题型例如直线、圆、椭圆的对称问题中，图形均可以反映出大量的解题信息，解题时需要抓住图形中的细节，数形结合，解决难题。参考文献：

[1]许悦. 高中数学解析几何中对称问题分析[J]. 2018(2).

[2]苏明亮. 高三数学复习中要善于借“题”发挥——解析几何中与对称相关的试题分析[J]. 高中数学教与学, 2016(8).

高中数学中对称性问题总结.doc

对称性与周期性函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。

平面解析几何中的对称问题

平面解析几何中的对称问题新林市第一中学 515031 对称性是数学美的重要表现形式之一，在数学学科中对称问题无处不在。在代数、三角中有对称式问题；在立体几何中有中对称问题对称体；在解析几何中有图象的对称问题。深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力，有助于提高学生的数学素质。在平面解析几何中，对称问题的存在尤其普遍。平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜。本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨，以求斧正。平面解析几何中的对称问题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线的对称问题简称点线对称；曲线关于点的对称问题简称线点对称；曲线关于直线的对称问题简称线线对称。一、点点对称定理1平面上一点),(y x M 关于点),(00y x P 的对称点为)2,2(00' y y x x M --，特别地，点 ),(y x M 关于点)0,0(P 的对称点为),('y x M --。证明：显然 ),(00y x P 为线段'MM 的中点，设),('''y x M ，由中点坐标公式有： ??? ????+=+=22' 0'0y y y x x x ，即???-=-=y y y x x x 0' 0'22 ，故)2,2(00' y y x x M --。例１若点 A 关于点)1,2(- B 的对称点为)2,4( C ，求点A 的坐标。解：设 ),(y x A ，由定理１有)212,4)2(2(-?--?A ，即)0,8(-A 。二、点线对称定理1平面上一点),(00y x M 关于直线)0(,0:2 2 ≠+=++B A C By Ax l 的对称点为： -+++- 022000',)(2(y B A C By Ax A x M )) (22 200B A C By Ax A +++。证明：先证明一般情况，即0,0≠≠ B A 的情况。 ),(' y x ，线段'MM 交直线l 于点与点),('y x M 关于直线l 对称，故),(Q Q y x Q 为线段' MM 的中点且l MM ⊥'， X 于是有： ),(y x M

直线中的对称问题—4类对称题型

直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点（1）关于点的对称点的坐标, （2），关于点对称，求点坐标. 解：由题意知点是线段的中点, 所以易求（1）（2）. 因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ① 又与垂直，且斜率都存在即有② 由①②解得，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标. 三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3．求直线：关于点的对称直线的方程. 解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为，故所求直线方程为. 法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程. 四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程. 例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程. 解：在：上任取一点直线的斜率为3

高中数学中的“对称图形”题型及解法浅探

高中数学中的“对称图形”题型及解法浅探 “对称性”是数学美的一种体现，也是历年高考题中的常见题型，理解和掌握“对称图形”的基本规律和解题方法是十分必要的. 一、本身具有对称性的图形如“三角函数的图像，圆锥曲线”等，此类问题可直接应用对称轴方程加以解决. 例1：如果y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=- 对称，那么A=（） A. B.- C.1 D.-1 解：∵y=sin2x+cos2x= sin（2x+φ），其中tanφ=a ∴2x+φ=kπ+ ？圯x= + - =- ∴φ=kπ+ 即：a=tan（kπ+ ）=-1，故选D. 例2：曲线x +y +2 -2 =0关于（） A.直线x= 对称 B.直线y=-x对称 C.点（-2，）中心对称 D.点（，0）对称解：将方程配方得：（x+ ）+（y- ）=4， ∴曲线是以（-2，）为圆心，2为半径的圆.由圆自身的对称性可知应选B. 评析：1.对于y=sinx直接应用对称轴方程x=kπ+ （k

∈Z）求解，方法简明扼要. 2.对于圆，过圆心的任意直线都是对称轴，圆心是对称中心. 3.关于y=f（x）其图像存在对称性，有一般的结论：f （x+a）=f（b-x）恒成立？圳y=f（x）的图像关于x= 对称. 二、两个图形关于点对称两个图形关于点对称的此类问题可借中点公式极易解决. 例3：设曲线C的方程是y=x -x将C沿x轴、y轴的正方向分别平行移动T、S个单位长度后，得曲线C ，（1）写出C 的方程；（2）证明C 和C关于点（，）对称. 解析：（1）由题意：C ：y-S=（x-T）-（x-T）. （2）设M（x，y）是C上的任意点，M′（x′，y′）是M关于（，）的对称点，由中点公式：x=T-x′，y=x-y′，代入C得：y′-S=（x′-T）-（x-T） ∴M在曲线C 上. 反过来，同样可以证明：C 上的任意点关于（，）对称的点也在C上. 因此，C 与C关于点（，）对称. 评析：关于成中心对称的两个图形，上例实质是求中心

高中数学中对称性问题

标准文档实用文案对称性与周期性函数对称性、周期性的判断 1.函数()yfx?有()()faxfbx???（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()axbxab?????），则()fx的图像关于2abx??轴对称；当ab?时，若()() (()(2))faxfaxfxfax?????或，则()fx关于xa?轴对称； 2.函数()yfx?有()()fxafxb???（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()xaxbab?????），则()fx是周期函数，其周期Tab??；当ab?时，若 ()()fxafxa???，则()fx是周期函数，其周期2Ta?； 3.函数()yfx?的图像关于点(,)Pab对称?()(2)2 (()=2(2))fxfaxbfxbfax?????或；函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称? ()=(2) fxfax??( ()=())faxfax???或； 4.奇函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称?()yfx?是周期函数，且2Ta?是函数的一个周期；偶函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称?()yfx?是周期函数，且 4Ta?是函数的一个周期； 5.奇函数()yfx?的图像关于直线xa?对称?()yfx?是周期函数，且4Ta?是函数的一个周期；偶函数()yfx?的图像关于直线xa?对称?()yfx?是周期函数，且2Ta?是函数的一个周期； 6.函数()yfx?的图像关于点(,0)Ma和点(,0)Nb对称?函数()yfx?是周期函数，且2()Tab??是函数的一个周期； 7.函数()yfx?的图像关于直线xa?和直线xb?对称?函数()yfx?是周期函数，且 2()Tab??是函数的一个周期。标准文档

高中数学中的对称性问题

高中数学中的对称性与周期性一、函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 7函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。二、关于点对称 (1) 点关于点的对称点问题若点A 11(,)x y , B 22(,)x y , 则线段AB 中点M 的坐标是( 1212 ,22 x x y y ++)；据此可以解求点与点的中心对称，即求点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点' M 的坐标(,)x y ，利用中点坐标公式可得 00, 22 x x y y a b ++= =，解算的' M 的坐标为00(2, 2)a x b y --。

高中平面解析几何知识点总结

高中平面解析几何知识点总结一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： α tan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0 x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12 x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0 x ，常设其方程为 x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点 00(,) x y ，常设其方程为 00 ()y k x x y =-+或 x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．

高中数学-函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像

函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像 (一)复习指导单调性：设函数y ＝f (x )定义域为A ，区间M ?A ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称f (x )在区间M 上是增函数，当Δy =f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称f (x )在区间M 上是减函数．如果y ＝f (x )在某个区间M 上是增(减)函数，则说y =f (x )在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y =f (x )的单调区间．函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f (x 1)与f (x 2)的大小．利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的．对于y =f [φ(x )]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u =φ(x )，然后分别根据u =φ(x )，y =f (u )在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律．此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述．奇偶性： (1)设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=－f (x )，则这个函数叫做奇函数；设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=f (x )，则这个函数叫做偶函数．函数的奇偶性有如下重要性质： f (x )奇函数?f (x )的图象关于原点对称． f (x )为偶函数?f (x )的图象关于y 轴对称．此外，由奇函数定义可知：若奇函数f (x )在原点处有定义，则一定有f (0)=0，此时函数f (x )的图象一定通过原点．周期性：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T )=f (x )成立，则函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．关于函数的周期性，下面结论是成立的． (1)若T 为函数f (x )的一个周期，则kT 也是f (x )的周期(k 为非零整数)． (2)若T 为y =f (x )的最小正周期，则 | |ωT 为y =Af (ωx +φ)+b 的最小正周期，其中ω≠0．对称性：若函数y =f (x )满足f (a －x )=f (b +x )则y =f (x )的图象关于直线2 b a x += 对称，若函数y =f (x )满足f (a －x )=－f (b +x )则y =f (x )的图象关于点( 2 b a +，0)对称．函数的图象：函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用． (1)利用平移变换作图：

高中数学解题方法系列：解析几何中对称问题的常见求解方法

高中数学解题方法系列：解析几何中对称问题的常见求解方法解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。但这部分知识是解析几何中重要的基础内容，也是近年来的高考热点之一。对称点、对称直线的求法，对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。这就要求教师在讲完直线、曲线部分后，需对对称问题进行适当的归纳、总结。使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。本文谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。一、关于点对称。 1、点关于点对称。①点(,)P a b 关于原点的对称点坐标是(,)a b --；②点(,)P a b 关于某一点00(,)M x y 的对称点的坐标，利用中点坐标式求得为00(2,2)x a y b --。 2、直线关于点对称。① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线。设所求直线上一点为(,)P x y ，则它关于原点的对称点为(,)Q x y --，因为Q 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；② 直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。它的求法分两种情况：1、当 00(,)M x y 在1l 上时，它的对称直线为过M 点的任一条直线。2、当M 点不在1l 上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)P x y ，则它关于M 的对称点为00(2,2)Q x x y y --，因为Q 点在1l 上，把Q 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程。解法（二）：在1l 上取一点11(,)P x y ，求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标。再由12l l K K =，可求出直线2l 的方

解析几何里面的对称性问题

解析几何里面的对称性问题 1. 点关于点对称的求法直线关于点对称的求法（可转化为点关于点对称求解；注意判断点是否在直线上）点关于直线对称的的求法直线关于直线对称的求法（分平行和相交2种情况讨论）点关于点的对称点A′的坐标是变式1-1点关于点的对称点A′的坐标是变式1-2过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y ＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程．

求直线关于点对称的直线方程. 变式2-1求直线l：2x－3y＋1＝0关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．求点关于直线：的对称点的坐标. 变式3-1求点关于直线：的对称点的坐标. 已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( ) A． x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0 变式4-1已知直线，直线，直线与直线关于直线对称，求直线的方程. 能力提高已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2）直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；（3）直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．

变式光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．

2．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为 ( ) A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0

高中数学点线对称问题

对称问题专题【知识要点】 1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题. 设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有 x x y y -'-'·k =－1， 2 y y +'=k ·20x x +'+b ，特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）. 3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：（1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法：设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足 x x y y --·k =－1， 2 0y y +=k ·20x x ++b ，代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）；（2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）；（3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）；（4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）；（5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）. 【典型例题】【例1】求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程. 剖析：由平面几何知识可知若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：（1）若a 、b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；（2）若点A 在直线a 上，那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时AB ⊥l ，并且AB 的中点D 在l 上；（3）a 以l 为轴旋转180°，一定与b 重合.使用这些性质，可以找出直线b 的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程. 2x +y －4=0， 3x +4y －1=0，可求出x ′、y ′. 从中解出x 0、y 0，解：由解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上

浅谈解析几何中的对称问题

浅谈解析几何中的对称问题解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称；线（直线或曲线）关于点成中心对称；点关于线成轴对称；线（直线或曲线）关于线成轴对称。无论是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年对称问题也是高考的热点之一。这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。一、中心对称：即关于点的对称问题定义：把一个图形绕某个点旋转180o 后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。这个点叫做对称中心。性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。 1．点关于点对称例1．求P （3，2）关于M （2，1）的对称点P ’的坐标。分析：由中心对称的性质得M 点是PP ’的中点，可求P ’（1，0）。小结：P （x 0,y 0）???????→?的对称点，（关于点)b a M P ’（2a －x 0,2b －y 0）（依据中点坐标公式）。特例P （x 0,y 0）?????→?关于坐标原点对称 P ’（－x 0, －y 0）。 2．直线关于点对称例2．求直线l 1:x ＋y －1=0关于M （3，0）的对称直线l 2的方程。分析：思路一：在直线l 2上任取一点P （x ，y ），则它关于M 的对称点Q （6－x, －y ），因为Q 点在l 1上，把Q 点坐标代入直线l 1中，便得到l 2的方程：x ＋y －5=0。思路二：在l 1上取一点P （1，0），求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标（5，0）。再由k l1=k l2，可求出直线l 2的方程x ＋y －5=0。思路三：由k l1=k l2，可设l 1：Ax ＋By ＋C=0关于点M （x 0,y 0）的对称直线为Ax ＋By ＋C ’=0且 2 200B A C By Ax +++= 2 2' 00B A C By Ax +++，求出C ' 及对称直线l 2的方程x ＋y －5=0。小结：直线关于点对称的情形：（1）直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线。设所求直线上一点为(,)P x y ，则它关于原点的对称点为(,)Q x y --，因为Q 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；（2）直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。它的求法分两种情况： 1、当00(,)M x y 在1l 上时，它的对称直线为过M 点的任一条直线。 2、当M 点不在1l 上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)P x y ，

解析几何中的对称问题

解析几何中对称问题的常见求解方法关键词：对称点、对称直线解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。但这部分知识是解析几何中重要的基础内容，也是近年来的高考热点之一。对称点、对称直线的求法，对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。这就要求教师在讲完直线、曲线部分后，需对对称问题进行适当的归纳、总结。使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。一、关于点对称。 1、点关于点对称。①点(,)P a b 关于原点的对称点坐标是(,)a b --；②点 (,) P a b 关于某一点00(,)M x y 的对称点的坐标，利用中点坐标式求得为 00(2,2)x a y b --。 2、直线关于点对称。① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线。设所求直线上一点为(,)P x y ，则它关于原点的对称点为(,)Q x y --，因为Q 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0 Ax By C +-=；② 直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。它的求法分两种情况：1、当00(,)M x y 在1l 上时，它的对称直线为过M 点的任一条直线。2、当M 点不在1l 上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)P x y ，则它关于M 的对称点为 00(2,2)Q x x y y --，因为Q 点在1l 上，把Q 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的

浅谈高中数学解析几何中的对称问题

浅谈高中数学解析几何中的对称问题发表时间：2019-12-10T17:34:32.223Z 来源：《教育学文摘》2019年12期作者：龚杨熙 [导读] 新课标改革开展后，我国的教育事业也在不断发展摘要：新课标改革开展后，我国的教育事业也在不断发展，其中高中数学也乘着改革开放的快车，发展迅猛。在高中数学中，数学解析几何中的对称问题受到了广泛的关注与讨论。研究对称问题不仅能增强我们解决问题的能力，同时可以培养发散思维，锻炼空间想象力等，而且还能提高在日常生活当中的审美能力，提高创新意识。下面我将结合自己的学习理解，对高中数学解析几何中对称问题进行简要分析，希望能在这方面为同学们的学习提供一些帮助。关键字：高中数学解析几何对称问题高中数学解析几何中的对称问题，是高中数学的一个重要内容，也是平时学习的难点，它的运用非常广泛，不仅体现在数学应用上，有时还会渗透到物理学科的应用方面。在对称问题中，主要研究的问题有：点关于点对称、点关于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称、曲线关于点对称、曲线关于直线对称等问题。不过在对称问题中，最基础的问题为点关于点，点关于直线的对称问题，线（直线、曲线）关于点的对称问题可转化为点关于点对称。线（直线、曲线）关于直线对称的问题可转化为点关于直线对称。一、关于点的对称问题点与点之间的对称问题，在初步接触对称问题时，较为常见，也较为简单。在关于点的对称问题中，也有不同的类型，包括了点与点之间的关系、点与点关于直线对称的关系，线与线关于直线对称的关系，每种不同的关系之间，解题思路既有相同点，也有不同的点，均需要答题者，认真思考，得出答案。下面我将针对不同的种类进行分析。（一）点关于定点对称问题这类问题，一般是知道一个点A，知道A点的坐标，给出另外一个中心点Q，告诉Q点的位置坐标，最后让大家求出A点关于Q点对称的点B。这类题的求解办法较为单一统一。例如：已知点A(x1,y1)，已知中心点Q(x0,y0)，求出A点关于Q点对称的点B，在坐标中，这三个点的横纵坐标，应该满足怎么样的条件呢？根据条件可知，Q点为A、B点的中点，于是得2x0=x1+x2，2y0=y1+y2，由此可以得到x2，y2的值，得到B点位置坐标。关于定点对称问题，表面看上去是多个类型题中，最简单的一类题目，但是却是后续题目的基础，在许多不同类型、不一样表述的题目，表面上比较难也很有深度，但是随着理解领悟的加深，基础知识掌握牢固后，大家会发现，运用的知识，大部分仍然是定点对称问题的方法与策略，所以基础知识必须掌握牢固，才能解决其他难题。（二）线关于点的对称问题在线关于点的对称问题中，无论是曲线还是直线，都可以把每条线看作是满足某条件的动点的集合，看作是动点沿着一定的限制条件运动形成的轨迹，所以在遇到线关于点对称的问题时，我们不妨设对称曲线上任一点的坐标为A(x,y)，点A关于中心点Q(x0,y0)的对称点为B，根据点与点对称之间的法则，求出对称点B的坐标，利用对称点B在已知曲线上坐标满足方程最终求得是对称曲线的轨迹方程。这样就成功的将线关于点的对称问题转化为点关于点的对称问题，将困难化解。在解决线的问题时，大家需要明白一个道理，就是所有的线都可以看作是满足某个条件的点的集合，无论是直线还是曲线，解题时将点关于点的对称问题掌握好即可。二、点关于线的对称问题在解决点关于线的对称问题中，相比较点，要复杂很多，需要利用更多几何性质，譬如轴对称的性质，在前面的学习中知道，两个图案在关于直线对称时，可以观察到，图案相应两点的连线会被该直线垂直平分，所以在解决关于线之间的对称问题时，要将此问题简化，回到线关于点，点关于点之间的对称问题中，在应用这个办法求解时，需要注意的问题是，点关于线的对称问题需要满足两个条件，第一是两个对称轴对称的点，连接起来，应该垂直于对称轴所在直线。第二是：两个对称点的中点应该在对称轴上。在解决线关于线的对称问题时，只要能将点关于线的问题处理好，线关于线的对称问题也可以迎刃而解，在高中数学对称问题中，关于曲线C，直线L的对称问题，最终都可以化归为点与点之间的对称问题，在解决此类问题时，需要打开思维，充分利用点关与点对称、点关与线对称的处理方法，融会贯通，举一反三，不断提升自己的解题能力。三、实际应用实践出真知，理论知识无论有多丰富，只有回归到实际问题中，才能体现其真正的价值，只有在解决问题的过程中，才能真正发现是否将理论知识熟练的掌握运用。应用举例：（线关于线对称问题）已知两直线L1,L2，两直线关于直线L0对称，L0方程为：2x-2y+1=0，其中L1的方程为3x-2y+1=0，求L2的方程？分析：在这道题目中，虽然是线关于线对称的问题，但是仍然可以转化为点关与点的对称问题，在解题过程中，可以在L1上，随意找出一点A(x1, y1)关于直线对称点设为B(x2,y2)，利用A,B两点关于L0对称，求出对称点B的坐标，同理再求出一个对称点的坐标，就可以求出对称线的方程。如果是求曲线关于直线的对称曲线则可设对称曲线上任一点的坐标A(x, y), A(x, y)关于直线对称点设为B(x0,y0)，利用A,B两点关于L0对称，求出对称点B的坐标,利用对称点B在已知曲线上代入曲线方程即可求得对称曲线的轨迹方程。除了这一类型题目以外，还有许多与这类题目相关的问题，但是万变不离其宗。这篇文章主要是从点关与点对称，点关于线对称的角度出发，简要分析讨论了解析几何中对称问题。要想真正解决这类问题，首先要深刻理解基础知识，灵活把握线与点之间的对称关系，有的题目还存在图形，此时也不能忽视图形的重要性，在许多题型例如直线、圆、椭圆的对称问题中，图形均可以反映出大量的解题信息，解题时需要抓住图形中的细节，数形结合，解决难题。参考文献： [1]许悦. 高中数学解析几何中对称问题分析[J]. 2018(2). [2]苏明亮. 高三数学复习中要善于借“题”发挥——解析几何中与对称相关的试题分析[J]. 高中数学教与学, 2016(8).

高中数学中对称性问题5

平面解析几何中的对称问题

平面解析几何中的对称问题李新林汕头市第一中学 515031 对称性是数学美的重要表现形式之一，在数学学科中对称问题无处不在。在代数、三角中有对称式问题；在立体几何中有中对称问题对称体；在解析几何中有图象的对称问题。深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力，有助于提高学生的数学素质。在平面解析几何中，对称问题的存在尤其普遍。平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜。本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨，以求斧正。平面解析几何中的对称问题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线的对称问题简称点线对称；曲线关于点的对称问题简称线点对称；曲线关于直线的对称问题简称线线对称。一、点点对称定理1 平面上一点),(y x M 关于点),(00y x P 的对称点为)2,2(00' y y x x M --，特别地，点 ),(y x M 关于点)0,0(P 的对称点为),('y x M --。证明：显然 ),(00y x P 为线段'MM 的中点，设),('''y x M ，由中点坐标公式有： ??? ????+=+=22'0'0y y y x x x ，即???-=-=y y y x x x 0' 0'22 ，故)2,2(00' y y x x M --。例１若点 A 关于点)1,2(- B 的对称点为)2,4( C ，求点A 的坐标。解：设 ),(y x A ，由定理１有)212,4)2(2(-?--?A ，即)0,8(-A 。二、点线对称定理1 平面上一点),(00y x M 关于直线)0(,0:2 2 ≠+=++B A C By Ax l 的对称点为： -+++- 22000',)(2(y B A C By Ax A x M )) (22 200B A C By Ax A +++。证明：先证明一般情况，即0,0≠≠B A 的情况。如图（一）,设),('y x M ，线段'MM 交直线l 于点 ),(Q Q y x Q ，由点),(00y x M 与点),('y x M 关于直线l 对称，故),(Q Q y x Q 为线段 'MM 的中点且l MM ⊥'， X 于是有： ),(y x M

高中数学直线中对称问题归类解析

直线中对称问题归类解析直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。 1、点关于点的对称例1已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （o x ，o y ）。分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （o x ，o y ），则由中点坐标公式得 ?????=+=+-12 3122o o y x 解得???-==14o o y x 所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。 2、直线关于点的对称例2求直线043:1=--y x l 关于点P （2，－1）对称的直线2l 的方程。解法1：（用点到直线距离公式）分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为03=+-b y x 。解：由直线2l 与043:1=--y x l 平行，故设直线2l 方程为03=+-b y x 。由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得1 316134 1622+++=+-+b 解得10-=b ，或4-=b （舍）。则直线2l 的方程为0 103=--y x 评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。解法2:（利用中点坐标法）分析：设已知直线1l 上任意点A （a ，b ），对称点P(x 0，y 0)即为中点坐标，则对称点A ’(a x -02，b y -02)在与已知1l 的对称直线2l 上，两直线平行，可设为03=+-b y x ，带入即可求出2 l 解：设A （1，-1）在直线043:1=--y x l 上，关于点P （2，-1）的对称点A ’(3，-1) 把点A ‘(3,-1)带入直线03=+-b y x 得b=-10.则直线2l 为0 103=--y x 解法3：（利用图像平移法）分析：取已知直线上与对称点P 相同的横坐标或纵坐标，求出点A 坐标，根据AP 之间距离可得AA ‘之间距离’，已知两直线平行，可让原直线根据方向平移既得直线

高中数学中的对称性问题

高中数学中的对称性一、关于点对称 (1) 点关于点的对称点问题若点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点'M 的坐标(,)x y ，则P 为M 'M 的中点，利用中点坐标公式可得00, 22 x x y y a b ++==，解算的'M 的坐标为00(2, 2)a x b y --。例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点'M 的坐标是. ① 点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点'M 的坐标; ② 点M 00(,)x y 关于原点的对称点' M 的坐标. (2) 直线关于点对称 ① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线设所求直线上一点为(,)M x y ，则它关于原点的对称点为'(,)M x y --，因为'M 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=； ② 直线1l ：0Ax By C ++=关于某一点(,)P a b 的对称直线2l 解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)M x y ，则它关于P 的对称点为' (2,2)M a x b y --，因为'M 点在1l 上，把'M 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程即为(2)(2)0A a x B b y C -+-+=。

解法（二）：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点(,)P a b 的对称直线为'0Ax By C ++= =求设'C 从而可求的及对称直线方程。 (3) 曲线关于点对称曲线1:(,)0C f x y =关于(,)P a b 的对称曲线的求法：设(,)M x y 是所求曲线的任一点，则M 点关于(,)P a b 的对称点为(2,2)a x b y --在曲线(,)0f x y =上。故对称曲线方程为(2,2)0f a x b y --=。二、关于直线的对称 (1) 点关于直线的对称 1) 点(,)P a b 关于x 轴的对称点为'(,)P a b - 2) 点(,)P a b 关于y 轴的对称点为'(,)P a b - 3) 关于直线x m =的对称点是'(2,)P m a b - 4) 关于直线y n =的对称点是'(,2)P a n b - 5) 点(,)P a b 关于直线y x =的对称点为'(,)P b a 6) 点(,)P a b 关于直线y x =-的对称点为'(,)P b a -- 7) 点(,)P a b 关于某直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标解法设对称点为'(,)P x y ，由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22 a x b y ++把中点坐标代入L 中得到022a x b y A B C ++? +?+=①；再由'PP B K A =得b y B a x A -=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。