瞬时速度的极限意义
瞬时速度的极限意义：
根据平均速度的表达式利用微分的方法引出了瞬时速度的定义：为了使描述精确些，可以把取得小一些，物体在从到这样一个较小的时间间隔内，运动快慢的差异也就小一些。越小，运动的描述就越精确。当非常非常小时，我们把称做物体在时刻的瞬时速度。可以说是表示了在时刻之后未来时间间隔内，物体所能具有的速度的大小。当趋近于零时，利用在时间内的位移除以所得到的值就可以看成是在时刻的瞬时速度，因为此时在时间轴上用来表示这一时间段的两个时刻点中其中一个时刻点向时刻点无限靠近，“仿佛”聚合到一个时刻点上了，此时的即近似的表示了在时刻的速度。
加速度的极限意义：
任何运动都可以存在平均加速度，但不是任何运动任意时刻都存在瞬时加速度。由瞬时加速度的定义式：
a=dv/dt可以看出a是一个极限，即速度变化量在时间变化量趋于0时的极限。这个极限不是在任一运动规律任意时刻都存在。存在的条件是速度—时间函数要连续，且其一阶导数存在。其实瞬时加速度就是速度对时间的一阶导数。
物理：《平均速度与瞬时速度》教案
第三节平均速度和瞬时速度 教学目标 1、 知道变速运动，知道变速运动的平均速度和平均速度的计算方法。 2、 知道什么是瞬时速度。 3、 知道平均速度和瞬时速度的区别。 4、 能应用平均速度和瞬时速度解决生活中的物理问题。 教学重点 1、 平均速度的概念和计算。 教学难点 1、 平均速度和瞬时速度的区别。 教学过程 一、平均速度 在我们日常生活中，很少见到匀速直线运动，常见的运动物体的速度是变化的，这种运动叫做变速运动。例如从北京到天津的火车启动和进站时运动得较慢，中间运行时运动得较快，有时还要在中途车站停下来，火车运动的速度是变化的。下面请同学们看书第43页图，分析这四幅图的运动特点。 （学生讨论并回答）教师总结：变速运动的情况比匀速运动复杂，在不要求很精确，只做粗略研究的情况下，也可以用v=t s 求出它的速度。不过这时求出的速度v ，表示的是物体在通过路程s 中的平均快慢程度，应该叫做平均速度。 [板书]一、平均速度：表示运动物体在某一路程内（或某一段时间内）平均快慢程度的物理量。 1.计算公式： t s v =- 师：用平均速度来描述做变速运动物体的快慢，计算时要注意s 是物体运动的全部路程，t 是通过全部路程所需时间，求出的平均速度是表示物体通过这一段路程的平均速度，而不能表示运动中任何一段路程，或任何一段时间内的情况。 在实际应用中，一些做曲线运动的物体运动的快慢，也常用平均速度来描述。通常所
说的某某物体的速度，一般指的就是平均速度。 下面请同学们看书第44页的表，了解一些物体的运动速度。 平均速度的计算方法与我们上节课学习的匀速直线运动中速度的计算方法完全相同，下面我们就来举几个例子，来学习一下平均速度的计算。 例题1：请同学们看书第44页的例题（教师分析并讲解）。 例题2：（投影） 一辆汽车刚启动时，第1秒内运动2m，第2秒内运动4m，第3秒内运动6m，求：（1）汽车在前2秒内的平均速度。 （2）汽车在前3秒内的平均速度 教师在黑板上画一个草图（图4-1），帮助同学分析。 [板图1] 师：前2秒通过的路程是第1秒的2m和第2秒的4m之和，所用的时间是2秒，求平均速度要用汽车前2秒通过的总路程除以2秒，求前3秒的平均速度的方法与求前2秒的平均速度的方法是相同的，用汽车前3秒通过的总路程除以3秒。 请同学们将例2做在练习本上，同时发几片胶片给几位同学。请他们将题目解在胶片上，准备用投影仪将所做结果打在屏幕上，教师巡视，答疑。 教师可选一位在解题中忘记写公式或忘记写单位的同学，或计算有错误的同学，将其答题用投影打在屏幕上，让同学们对照自己的答题指出该同学的错误。再找一位规范做题的同学的答题打在屏幕上，或教师给出一个规范解题的过程打在屏幕上。 投影： 已知：s1=2m，s2=4m，s3=6m 求：（1） - 1 v（2） - 2 v 解：（1） - 1 v = 秒 前2 2 1 t s s+ = s m s m m / 3 2 4 2 = + （2） - 2 v== + + = + + s m m m t s s s 3 6 4 2 3 3 2 1 秒 前 4m/s 答：汽车在前2秒内的平均速度是3m/s。
巧用换元法求解极限
万方数据
巧用换元法求解极限 作者：林群 作者单位：韩山师范学院数学与信息技术系 刊名： 科技信息 英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 年，卷(期)：2009，""(6) 被引用次数：0次 参考文献(3条) 1.华中理工大学教学系高等数学 2.同济大学教学系高等数学 2007 3.吉艳霞用等价无穷小量代换求极限的探讨[期刊论文]-运城教育学院学报 2007(02) 相似文献(10条) 1.期刊论文林清华探讨洛必达法则求解极限-湖北广播电视大学学报2008,28(12) 极限作为重要的思想方法和研究工具贯穿于高等数学课程的始终.本文通过对洛必达法则求极限的深入探讨,针对不同题型归纳总结出具体的化简转化的方法;利用数列极限和函数极限的关系间接地应用洛必达法则求数列未定式,充分体现了洛必达法则应用的广泛性,给求极限提供了强有力的工具. 2.期刊论文王悦关于利用洛必达法则求极限的几点探讨-科技信息2009,""(2) <高等数学>是大学中的基础课程,极限是学生一开始就要接触的最基本的知识.其中有一类未定式的极限不能用"商的极限等于极限的商"这一法则,而要用洛必达法则.洛必达法则内容很简单,使用起来也方便,但在具体使用过程中,一旦疏忽,解题就可能出错.对于初学者来讲,若盲目使用此法则,会导致错误.本文就利用该法则解题中的几点注意作以分析与探讨,并举例说明. 3.期刊论文杨黎霞使用洛必达法则求极限的几点注意-科教文汇2008,""(25) 如果当x→a或x→∞时,两个函数∫(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那么极限lim x→a x→∞∫(x)/F(x)可能存在,也可能不存在,洛必达法则是计算此类未定式极限行之有效的方法,然而,对于本科一年级的初学者来讲,若盲目使用此法则,会导致错误.本文就使用该法则解题过程中的几点注意作了分析与探讨. 4.期刊论文吴维峰.Wu Weifeng对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨-潍坊教育学院学报2008,21(2) 本文对用等价无穷小代换与洛必达法则求函数的极限进行了探讨. 5.期刊论文于祥洛必达法则应用误区的分析-北京电力高等专科学校学报2010,28(2) 洛必达法则是在柯西中值定理的基础之上推出的一种求不定式极限的重要定理,它的应用避免了因机械使用极限四则运算法则"商的极限等于极限的商"而产生的错误.但不可忽视的是由于对洛必达法则的使用不当,在计算不定式极限时同样得不到正确结果,究其因为主要是对洛必达法则的使用条件把握不够准确.本文结合具体例子对洛必达法则应用中易产生的误区进行了探讨和分析. 6.期刊论文夏滨利用洛必达法则求极限的方法与技巧探讨-现代企业教育2008,""(4) 本文主要通过一些典型例题介绍利用洛必达法则求极限的方法与技巧,从而更好地解决未定式问题. 7.期刊论文汤茂林.TANG Mao-lin用洛必达法则求不定式极限的技巧-职大学报2007,""(2) 本文介绍用洛必达法则求不定式极限的技巧. 8.期刊论文张波.李秀菊.赵广华关于"洛必达法则"求未定式极限的几点思考-网络财富2009,""(11) 本文通过洛必达法则的内客,给出了应用此法财的几类需要注意的情况. 9.期刊论文冯志敏.薛瑞使用洛必达法则的实质及其注意事项-中国科技信息2009,""(15) 本文主要总结了洛必达法则在求未定式极限中的应用,需要注意的问题,并深入分析了在使用洛必过法则的时候实质是对无穷小或无穷大进行降阶,从而经过有限次的使用法则将未定式转化成一般的极限问题,再利用极限的四则运算法则求出极限.另外指出在使用的时需要注意条件的满足,与其它求极限的方法如无穷小的替换的结合. 10.期刊论文刘蒲凰洛必达法则应用两则-高等数学研究2004,7(2) 指出洛必达法则在证明二重极限不存在时的一个应用,并指出了洛必达法则的一个推广 本文链接：https://www.360docs.net/doc/4612432003.html,/Periodical_kjxx200906374.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：bac87a45-fe3a-4be7-ae02-9dcd008a87c0 下载时间：2010年8月9日
初中物理 第三节平均速度和瞬时速度
第三节 平均速度和瞬时速度 教学目标 1、 知道变速运动，知道变速运动的平均速度和平均速度的计算方法。 2、 知道什么是瞬时速度。 3、 知道平均速度和瞬时速度的区别。 4、 能应用平均速度和瞬时速度解决生活中的物理问题。 教学重点 1、 平均速度的概念和计算。 教学难点 1、 平均速度和瞬时速度的区别。 教学过程 一、平均速度 在我们日常生活中，很少见到匀速直线运动，常见的运动物体的速度是变化的，这种运动叫做变速运动。例如从北京到天津的火车启动和进站时运动得较慢，中间运行时运动得较快，有时还要在中途车站停下来，火车运动的速度是变化的。下面请同学们看书第43页图，分析这四幅图的运动特点。 （学生讨论并回答）教师总结：变速运动的情况比匀速运动复杂，在不要求很精确，只做粗略研究的情况下，也可以用v=t s 求出它的速度。不过这时求出的速度v ，表示的是物体在通过路程s 中的平均快慢程度，应该叫做平均速度。 [板书]一、平均速度：表示运动物体在某一路程内（或某一段时间内）平均快慢程度的物理量。 1.计算公式： t s v =- 师：用平均速度来描述做变速运动物体的快慢，计算时要注意s 是物体运动的全部路程，t 是通过全部路程所需时间，求出的平均速度是表示物体通过这一段路程的平均速度，而不能表示运动中任何一段路程，或任何一段时间内的情况。 在实际应用中，一些做曲线运动的物体运动的快慢，也常用平均速度来描述。通常所说的某某物体的速度，一般指的就是平均速度。 下面请同学们看书第44页的表，了解一些物体的运动速度。 平均速度的计算方法与我们上节课学习的匀速直线运动中速度的计算方法完全相同，下面我们就来举几个例子，来学习一下平均速度的计算。 例题1：请同学们看书第44页的例题（教师分析并讲解）。 例题2：（投影） 一辆汽车刚启动时，第1秒内运动2m ，第2秒内运动4m ，第3秒内运动6m ，求： （1）汽车在前2秒内的平均速度。 （2）汽车在前3秒内的平均速度 教师在黑板上画一个草图（图4-1），帮助同学分析。 [板图1] 师：前2秒通过的路程是第1秒的2m 和第2秒的4m 之和，所用的时间是2秒，求平均
瞬时速度和瞬时速率-2019年精选教学文档
瞬时速度和瞬时速率1.车启动后，某时刻速度计示数如图所示．由此可知此时汽车() A．行驶了70 h B．行驶了70 km C．速率是70 m/s D．速率是70 km/h 2.关于匀速直线运动，下列说法中正确的是() A．瞬时速度不变的运动，一定是匀速直线运动 B．速率不变的运动，一定是匀速直线运动 C．对于匀速直线运动来说，路程就是位移 D．瞬时速度的方向始终保持不变的运动，一定是匀速直线运动 3.关于瞬时速度，下列说法中正确的是() A．瞬时速度是物体在某一段时间内的速度 B．瞬时速度是物体在某一段位移内的速度 C．瞬时速度是物体在某一位置或某一时刻的速度 D．瞬时速度是指物体在某一段路程内的速度 4.在变速运动中，瞬时速度可以理解为() A．其大小表示在某一时刻运动的快慢程度 B．其大小表示物体经过某一位置时运动的快慢程度 C．它是表示物体运动快慢程度的标量 D．某时刻的瞬时速度不可能等于物体某段的平均速度 5.(多选)关于速度与速率，下列说法正确的是() A．瞬时速度简称速率 B．瞬时速度的大小叫瞬时速率
C．瞬时速度的方向就是物体运动的方向 D．速度是矢量，速率是标量 6.(多选)下列关于瞬时速度和瞬时速率的理解正确的是() A．瞬时速度能精确地描述质点运动的快慢 B．瞬时速度指质点在某一时刻或某一位置的速度 C．瞬时速度的大小叫瞬时速率 D．瞬时速率等于路程与时间的比值 7.(多选)对于各种速度或速率，下列说法中正确的是() A．速率是速度的大小 B．瞬时速度的方向就是物体运动的方向 C．速度是矢量，平均速度是标量 D．平均速度的方向就是物体运动的方向 8.(多选)一辆汽车向东行驶，在经过路标甲时速度表指示为50 km/h，行驶一段路程后，汽车向北行驶，经过路标乙时速度计指示仍为50 km/h，则下列说法中正确的是() A．汽车经过甲、乙两路标时的速度相同 B．汽车经过甲、乙两路标时的速度不同 C．汽车经过甲、乙两路标时的速率相同，但运动方向不同 D．汽车向东行驶和向北行驶两过程的平均速度相同 9.(多选)关于瞬时速度的说法中正确的是() A．瞬时速度可以精确地描述物体做变速运动的快慢，但不能反映物体运动的方向 B．瞬时速度等于运动的物体在一段非常短的时间内的平均速度 C．瞬时速度的方向与位移的方向相同 D．某物体在某段时间内的瞬时速度都为零，则该物体在这段时间内静止 10.(多选)物体某时刻的速度是5 m/s，对此速度正确的理解是()
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 瞬时速度与瞬时加速度 同步检测(二)
1.1.3《瞬时变化率——导数》同步检测 (二) 一、基础过关 1．下列说法正确的是________(填序号)． ①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线； ②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在； ③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在； ④若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在． 2．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是________． 3．已知f (x )＝1x ，则当Δx →0时，f (2＋Δx )－f (2)Δx 无限趋近于________． 4．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则此切线方程为____________． 5．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________. 6．设一汽车在公路上做加速直线运动，且t s 时速度为v (t )＝8t 2＋1，若在t ＝t 0时的加速度 为6 m/s 2，则t 0＝________ s. 二、能力提升 7．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12 x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 8．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可 能是________．(填序号) 9．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________. 10．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x 在x ＝1处的导数．
平均速度和瞬时速度(教)
第二讲速度变化的快慢 1.变速直线运动：在相等的时间里，物体的位移不相等的直线运动叫做变速直线运 动。 （1）研究：轿车启动过程和制动过程，照片记录了每隔2秒轿车所处的位置。 问：这两个过程轿车做匀速直线运动吗？为什么？ 答：不是。因为轿车在相等的时间里位移不相同。 （2）判断：用频闪摄影技术拍摄运动员前空翻过程中，运动员重心的投影的运动是匀速直线运动还是变速直线运动？ 图1－20所示的照片是怎样拍摄出来的？ 这是一张频闪照片，即连续在相等的时间间隔内曝光所得，每二次闪光的时间间隔相等 答：是变速直线运动。因为重心的投影在相等的时间里位移不相同。 2．平均速度 结论：B的平均快慢与A的平均快慢相同。 即从总体上讲，A的运动平均快慢用B的平均快慢来 代替，其效果是相等的。 做变速直线运动的物体所经过的位移△S与所用 时间△t之比叫做这一位移或这一时间内的平均速度。 单位: m/s km/h cm/s 等; 国际单位: m/s。 （1）上述轿车启动和制动过程中，问：如何比较这两个过程的快慢？ 答：变速直线运动→匀速直线运动；“平均速度”体现了等效替代的思想；粗略的描述变速直线运动。
（2）课堂练习 1、图1-23是用高速摄影机拍摄的8mm 直径的子弹射过一只苹果时的照片，子弹的平 均速度是900m/s。请你估计，子弹穿过苹果的时间。 解：先测得照片中子弹的直径为2mm,其实际直径为8mm. 故比例为4:1．再分别测得照片中苹果的直径和子弹的长 度为16mm、8mm．按比例实际尺寸分别为６４mm、 32mm. 则子弹穿过苹果的位移为s = ( 64+32 ) mm = 0.096 m t = s / v = (0.096/900) s = 1.0×10-4 s 2、物体由A沿直线运动到B，前一半时间是做速度为v1 的匀速运动，后一半时间是做速度为v2的匀速运动，则在整个运动时间内的平均速度是＿＿＿＿．(v1t+v2t)/2t=(v1+v2) / 2 3、汽车沿笔直的公路从A地出发到B地，C是AB的中点，汽车在AC段上的平均速 度为V1，在CB段上的平均速度为V2，则汽车从A到B的平均速度多大？ 解： 小结：平均速度与速度的平均是不同的。 4、一个在森林中迷路的人用２小时走了１０km路程仍回到原处，他在２小时内的平 均速度是＿＿＿km/h，平均速率是＿＿＿＿km/h. 0；5. 3、瞬时速度 运动物体在某一时刻的速度，或经过某一位置时的速度，叫做瞬时速度。它能确切地描述做变速运动的物体在任何时刻(或任一位置)的运动快慢和运动方向。 下面所说的速度中，哪些是平均速度？哪些是瞬时速度？ （1）返回地面的太空舱以8m/s的速度落入太平洋中（瞬时速度） （2）经过提速后的列车速度达到80km/h（平均速度） （3）一架失事飞机撞向山坡时的速度达100m/s（瞬时速度） （4）由于堵车，在隧道内的车速仅为1.2m/s，比人步行还慢（平均速度） 瞬时速度的深入理解：瞬时速度不变的运动是匀速直线运动；匀速直线运动的平均速度等于瞬时速度。某段时间或某段位移内的速度变化越小,这段时间内的运动就越接近于匀速
数学分析求极限的方法
求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 " 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有
()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x 例2：x x x -→ππ sin lim 解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim 0 ==-→→t t x x t x ππ ~ 例3：求() 11 sin 21 lim --→x x x 解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221 21lim lim =--?+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1 1(lim 来求极限 e x x =+∞ →)1 1(lim 的另一种形式为e =+→α α α1 )1(lim .事实上，令 .1 x =α∞→x .0→?α所以=+=∞ →x x x e )11(lim e =+→ααα1 0)1(lim 例4: 求x x x 1 )21(lim +→的极限 解：原式=221 210)21()21(lim e x x x x x =?? ?+????+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即.1) () (lim =→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →.
第讲 平均速度和瞬时速度公式的辨析
第4讲平均速度和瞬时速度公式的辨析 【概念辨析】 一、平均速度与平均速率的区别与联系 跟位移和路程关系相类似，平均速度的大小一般不等于平均速率，只有向直线运动中，平均速度的大小才等于平均速率。在这种情况下也不能说成平均速度就是平均速率，这是因为平均速度有方向，平均速率无方向 二、平均速度与瞬时速度的比较 （1）平均速度是与某一过程中的一段位移、一段时间对应，而瞬时速度是与某一位置、某一时刻对应。 （2）平均速度粗略描述运动的快慢和方向，方向与所对应时间内位移的方向相同；瞬时速度精确描述运动的快慢和方向，方向与物体所在位置的运动方向一致。 （3）在匀速直线运动中，各点的瞬时速度都相等，所以任意一段时间内的平均速度等于任一时刻的瞬时速度。 【对点题组】 1．下面关于瞬时速度和平均速度的说法正确的是( ) A．若物体在某段时间内每时刻的瞬时速度都等于零，则它在这段时间内的平均速度一定等于零 B．若物体在某段时间内的平均速度等于零，则它在这段时间内任一时刻的瞬时速度一定等于零 C．匀速直线运动中任意一段时间内的平均速度都等于它任一时刻的瞬时速度 D．变速直线运动中任意一段时间内的平均速度一定不等于它某一时刻的瞬时速度 2．三个质点A、B、C同时从N点出发，同时到达M点，三质点的运动轨迹如图所示，下列说法正确的是（） A．三个质点从N到M的平均速度相同 B．B质点从N到M的平均速度方向与任意时刻瞬时速度方向相同
C．到达M点的瞬时速率一定是A的大 D．三个质点从N到M的平均速率相同 3.成都二十中正在举行班级对抗赛，张明同学是短跑运动员，在百米竞赛中，测得他在6s 末的速度为9.5 m/s，12.5 s末到达终点的速度为9.8 m/s，则他在全程中的平均速度为（） A．9.5 m/s B．9.8 m/s C．10. m/s D．8.0m/s 4.公路上用单点测速仪测车速，但个别司机由于熟知测速点的位置，在通过测速点前采取刹车降低车速来逃避处罚，却很容易造成追尾事故，所以有些地方已开始采用区间测速，下列说法正确的是( ) A．单点测速测的是汽车的瞬时速率 B．单点测速测的是汽车的平均速率 C．区间测速测的是汽车的瞬时速率 D．区间测速测的是汽车的平均速率 5.使公路交通有序、安全，路旁立了许多交通标志．如下图所示，甲图是限速标志，表示允许行驶的最大速度是80 km/h；乙图是路线指示标志，表示到杭州还有100 km.上述两个数据的物理意义是() A．80 km/h是平均速度，100 km是位移
数学分析求极限的方法
求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .00 x g x f x g x f x x x x x →→→± = ± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?= ? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) ()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 ) ()() ()(lim lim lim x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、 0等情况，都不能直接用四则运算法则， 必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 例1：求2 42 2 lim --- →x x x 解：原式=()() ()022 22lim lim 2 2 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()() 1sin lim =→x g x g x x 或()() 1sin lim =∞ →x g x g x
北师大八年级物理《平均速度与瞬时速度》单元练习题及答案
北师大版平均速度与瞬时速度练习题及答案 快速热身 1、填单位并完成下列单位换算：： (1)正常运动的客车速度是40 ； (2)骑自行车的速度是5 ； (3)人步行的速度为 m/s，它表示的物理意义是。 (4)3.6 m/s= km/h (5)36km/h= m/s (6) 10 5cm/s= m/s 2、一个物体做匀速直线运动，当它通过5m的路程时用了2s，则该物体的速度大小为，此物体在1s末速度的大小；它通过75m路程 所需的时间为。在平直的公路上，甲、乙、丙三人顺 风行驶但甲感觉顺风，乙感觉逆风，丙感觉无风，有此判断三人 中骑车速度最大的是。物体运动快慢可以用 路程随时间变化的图线来表示，某汽车在公路上匀速行使的路程 随时间变化图线如图5，则汽车的速度大小是米/秒 3．A、B两地相距1000米，某同学先以8米/秒的速度跑到中点， 再以6米/秒的速度跑到终点。则他在整个过程中的平均速度为 米/秒。 4、一人沿平直的蓄水大坝散步，上坝后第一分钟走了50m，第二分钟走了40m，连续走完180m长的大坝共用了4min，下列说法中正确的是（） A. 他走180m路程的即时速度是0.75m/s B. 他在第二分钟内，一定是匀速行走的 C. 他在第一分钟和最后一分钟的平均速度一定相等 D.他走180m路程的平均速度是0.75m/s．下面是用手表和卷尺测量某 5．一列火车以V1的速度通过一段路程S1后，又以V2的速度通过另一段路程S2，则这列火车在全程的平均速度为（）A：（V1+ V2）/2 B：（S1+ S2）/（V1+ V2） C：（S1×S2）/ V1×V2 D：（S1+ S2）/（（S1/ V1）+（S2/ V2）） 6．从匀速直线运动的速度公式：V==S/t 可知（） A：速度与路程成正比 B：速度与时间成反比 C：速度于路程或时间无关 D：速度与路程成正比，与时间成反比 7．摩托车与自行车都作匀速直线运动，摩托车的速度大于自行车的速度，则摩托车通过的路程一定比自行车（）A：长 B：短 C：一样长 D：不能确定 8．下列说法正确的是（） A：汽车在1秒钟内通过了10米的路程，在10秒钟内通过的路程是100米，则它一定作匀速直线运动 B：在行驶的汽车里坐着两个人，其中一个人为参照物，则另一个人是运动的
速度平均速度瞬时速度习题精选(有答案)
“速度平均速度瞬时速度”补充练习题 一、填空题： 1、职业运动员进行12min的体能跑测试和田径比赛中的百米赛跑，同样是比较快慢，前者是＿＿＿一定的条件下，比较＿＿＿的长短，后者是在＿＿＿＿一定的条件下，比较＿＿＿＿的长短。【时间路程路程时间】 2、平均速度是反映做______ 运动的物体运动快慢的物理量，它只能对运动做______描述，从______运动的平均速度的观点出发，看龟兔赛跑的典故，其结果表示______的平均速度大于______的平均速度,汽车速度计所表示出的速度是速度。【变速粗略变速龟兔瞬时速度】 3、一物体做变速运动，全程48m，前一半路程用12s，后一半路程用8s，则前一半路程的平均速度为＿＿＿＿＿m/s，后一半路程的平均速度为＿＿＿＿m/s，全程平均速度为＿＿＿＿m/s。【2；3； 2.4】 4、甲、乙两车做匀速直线运动，若两车在相同时间内经过的路程之比是2∶1，则速度之比是______，若两车经过相同路程所用的时间之比是1∶2，则速度之比是______ 【2：1 2：1】 5、全国铁路大提速给人们的出行带来 极大的便利。在桂林北到南宁之间约437km的铁道线上，运行着两对“城际快速列车”N801／N802次和N803／N804次。下面是N801次快速列车的运行时刻表。 请根据列车时刻表计算：N801次列车由桂林北到柳州全程的平均速度大约是m/s。（保留一位小数）【34.9】 6、甲、乙两辆汽车通过的路程之比是6∶5，它们运动的时间之比是4∶3；两车运动速度之比是______. 【9∶10】 7、为测定某轿车在平直路面上行驶的速 度，小明同学利用数码相机拍摄了一张 在同一张底片上多次曝光的照片，如图 10所示．已知拍摄时间间隔设定为1s， 轿车车身长为3.6m。 （1）轿车在AC段做运动，这段时间内的速度大小为m/s； （2）轿车在CF段做运动，CD、DF两段相比较，汽车通过________段的平均速度大运动，此段的平均速度等于。【1）匀速直线、9（2）减速、CD，6.3m/s】 8、汽车以25m/s的速度匀速行驶，司机突然发现前方有紧急情况，经过0.5s（从发现情况到开始制动刹车，司机的反应时间）开始制动刹车，又经过4.5s滑行60m车停止，则从发现情况到完全停止的这段时间内汽车的平均速度为＿＿＿＿m/s。【14.5】 二、选择题： 1、甲、乙、丙、丁四人分别以3.7km/h、62m/min、96cm/s、1m/s的速度步行相同的路程，所需时间最长的是（）【C】 A、甲 B、乙 C、丙 D、丁 2、下列说法正确的是（）【C】 A、瞬时速度就是物体在直线运动中某一时刻的速度； B、平均速度就是物体在运动过程中各段速度
3.求瞬时速度和加速度
1 一、求瞬时速度 求解依据：做匀变速直线运动的物体，一段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。 表达式：v v t =2 平均速度的两种表达形式 t x v = 20t v v v += 求中间点的瞬时速度 t x v t = 2 例如 OB OB A t x v = 求端点的瞬时速度（以O 点为例） （1）先求A v 和B v ，然后根据 2 B O A v v v += 求出A v （2）先求A v 和加速度a ，OA A O at v v -= 相比两种解法，第一种简单。 二、求加速度依据：做匀变速直线运动的物体，在相邻相等时间间隔内的位移差为恒量。 表达式 2 a T x =? 逐差法求加速度 4段 21132T a x x =- 2 2242T a x x =- 2 2 1a a a += 6段 2 1143T a x x =- 22253T a x x =- 23363T a x x =- 3 3 21a a a a ++= 1.偶数段逐差法求加速度 例 如图所示，某同学在做“研究匀变速直线运动”实验中，由打点计时器得到表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点的时间间隔为T =0.10s ，其中x 1=7.05cm 、x 2=7.68cm 、x 3=8.33cm 、x 4=8.95cm 、 x 5=9.61cm 、x 6=10.26cm ，则A 点处瞬时速度的大小是_______m/s ，小车运动的加速度计算表达式为________________，加速度的大小是_______m/s 2（计算结果保留两位有效数字）。 2.奇数段变偶数段逐差法求加速度 （01年全国）一打点计时器固定在斜面上某处，一小车拖着穿过打点计时器的纸带从斜面上滑下，如图所示．打出的纸带的一段如图所示． 已知打点计时器使用的交流电频率为50H Z ，利用纸带图给出的数据可求出小车下滑 的加速度a = ． 4.00m/s 2 （3.90～4.10 m/s 2）
初中物理备课参考 平均速度与瞬时速度
第三节 平均速度与瞬时速度 1.平均速度 平均速度表示运动物体在某一段路程（或某一段时间内）运动的快慢程度.用v 表示平均速度，用s 表示路程，用t 表示时间，则平均速度的公式是：v = t s . （1）在实际应用中，一些做曲线运动的物体的快慢程度，也常用平均速度描述； （2）通常说的某物体的速度一般指的是平均速度.平均速度要和路程段或时间段相对应，因此，平均速度只有在指明是哪一段路程或哪一段时间内的平均速度时才有意义； （3）变速直线运动中，运动物体在全路程上的平均速度不一定等于运动物体在各段路程上的平均速度的平均值（即平均速度不一定等于速度的平均值）. 1.某同学从家走到学校，先以1m ／s 的速度行走了500m 后，再以1.5m ／s 的速度走完剩下的500m.求这位同学从家走到学校的平均速度. 【解析】 根据速度公式可知，全程的平均速度应等于总路程除以该同学通过总路程所用的总时间.因此，根据题意可得： 前500m 所用时间为 t 1= 1v s =s m m /1500=500s 后500m 所用时间为 t 2= 2v s =s m m /5.1500≈500s 通过1000 m 的总时间为 t ＝t 1+t 2＝833.3s 全程的平均速度为 v = t s 2=s m 3.8331000≈1.2m ／s 【答案】1.2m ／s. 2.一个做直线运动的物体，某时刻速度是10m/s ，那么这个物体 ( ) A.在这一时刻之前0.1s 内位移一定是1m B.在这一时刻之后1s 内位移一定是10m C.在这一时刻起10s 内位移可能是50m D.如果从这一时刻起开始匀速运动，那么它继续通过1000m 路程所需时间一定是100s 【解析】 某时刻速度是10m/s 指的是该时刻的瞬时速度，不能说物体从此时起以后运动的快慢情况，以后做直线运动或匀变速直线运动，或非匀变速直线运动均可能。所以选项A 、B 均错。如果从某时刻（速度为10m/s ）起质点做非匀变速直线运动，从这一时刻起以后的10s 内位移可能为50m ，所以选项C 正确，如果从这一时刻起物体做匀速直线运动，那么经过1000m 路程所需时间t=100s 。 【答案】C 、D 。 3.一物体沿直线运动，先以3m/s 的速度运动60m ，又以2m/s 的速度继续向前运动60m ，物体在整个运动过程中平均速度是多少？ 【解析】 根据平均速度的定义公式，x 为总位移，t 为总时间，等于前一段位移与后一段位移所用时
求极限的方法总结
求极限的方法总结 1．约去零因子求极限 例1：求极限11lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】4)1)(1(lim 1) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x 习题：2 33 lim 9x x x →-- 22121lim 1x x x x →-+- 2．分子分母同除求极限 例2：求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 【说明】∞∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除．．．．．．．．x ．的最高次方；．．．．．．且一般．．．x ．是趋于无穷的．．．．．． ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 习题 3232342 lim 753x x x x x →∞+++- 2324n 1lim n n n n n →∞+++- 1+13l i m 3n n n n n +→∞++（-5)（-5) n n n n n 323)1(lim ++-∞→
3．分子(母)有理化求极限 例1：求极限) 13(lim 22+-++∞→x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例2：求极限30 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】 x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 习题：2 lim 1 x x x x →∞ +-+ 12 13lim 1 --+→x x x 4.用函数的连续求极限（当函数连续时，它的函数值就是它的极限值．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ） 22 034lim 2x x x x →+++ 【其实很简单的】 5.利用无穷小与无穷大的关系求极限 例题 3 3lim 3x x x →+- 【给我最多的感觉，就是：当取极限时，分子不为 0而分母为0时 就取倒数！】 6. 有界函数与无穷小的乘积为无穷小 例题 s i n l i m x x x →∞ , arctan lim x x x →∞
时瞬时速度与瞬时加速度
高中数学教学案 第三章 导数及其应用 第3课时瞬时速度与瞬时加速度 教学目标： 1.理解瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时 速度与瞬时加速度的过程.理解平均变化率的几何意义；理解△x 无限趋近于0的含义； 2.运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度. 教学重点： 瞬时速度与瞬时加速度的定义 教学难点： 瞬时速度与瞬时加速度的求法 教学过程： Ⅰ.问题情境 Ⅱ.建构数学 1.平均速度： 2.位移的平均变化率： 3.瞬时速度： 4.瞬时加速度： Ⅲ.数学应用 例1：一跳水运动员从10m 高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的，假设t s 后运动员相对于水面的高度为()105.69.42++-=t t t H ，试确定2=t s 时运动员的速度. 练习：一质点的运动方程为52+=t s （位移单位：m ，时间单位：s ），试求该质点在3=t s 的瞬时速度.
例2：设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设t s 时的速度为()32+=t t v ，求0t t =s 时轿车的加速度. 练习：1.一块岩石在月球表面上以s m /24的速度垂直上抛，t s 时达到的高度为2240.8h t t =-（单位：m ）. （1）求岩石在t s 时的速度、加速度； （2）多少时间后岩石达到最高点. 2.质点沿x 轴运动，设距离为xm ，时间为t s ，1052 +=t x ，则当t t t t ?+≤≤00时，质点的平均速度为；当0t t =时，质点的瞬时速度为；当t t t t ?+≤≤00时，质点的平均加速度为；当0t t =时，质点的瞬时加速度为. Ⅳ.课时小结 Ⅴ.课堂检测 Ⅵ.课后作业 书本P 64 1,2
2010-2-28 函数极限换元法
函数极限的换元法 函数极限的换元法是一种相当实用的方法. 正如积分换元法在积分计算中有着十分广泛的应用，函数极限的换元法在函数极限的计算中也有着十分广泛的应用. 运用函数极限的换元法，我们能够很快地求出许多复杂函数的极限. 下面就来介绍并证明函数极限换元法的有关定理. 一、x 趋向于,,∞+∞-∞ 这个法则的内涵是很丰富的，它其实上包含18个具体的法则. 首先必须指 出的是，000,,,,,t t t +- ∞+∞-∞都是形式上的符号， 我们必须把它们代入后再理解. 之所以这么做，是为了法则表示的简洁，从而应用起来更有效率. 法则1告诉我们的是，把K 任意取定一个符号，然后再把T 任意取定一个符号，所得到的命题是成立的. 也就是说，法则1告诉我们有18条法则是成立的. 下面的法则2和法则3会采用类似的记法. 二、x 趋向于000,,x x x +- 这类情形的换元法法则比较复杂. 我们有法则2和法则3. 需要指出的是， 为了形式上的简洁和记忆的方便，我们说x 向于0x + 是指x 从右边趋向于x 0，也就 该法则中有三个特别定义的符号，即(K), UF (T )与R [K , g (t ), t 0]. 形式上，当 K =x 0, 0x +, 0x - 时，(K )=x 0. 规定UF (T )是一个集合，当T =t 0时UF (T )表示t 0的某一个去心领域；当T =0t +时UF (T )表示t 0的某一个去心右领域；当T =0t -时UF (T )表示t 0的某一个去心左领域；当T =∞时UF (T )表示∞的某个邻域；当T =+∞时UF (T )表示+∞的某个邻域；当T =-∞时UF (T )表示-∞的某个邻域. 规定R [K , g (t ), x 0]是 一个命题公式. 当K =x 0时，表示命题g (t )≠x 0；当K =0x + 时，表示命题g (t )>x 0；当 K =0x - 时，表示命题g (t )< x 0. 法则2实际上也包含了18个具体的法则. 这些具体的法则在证明的时候将会一一列出来. 法则2中定义了3个计算机程序意义上的“函数”，这样做，可以把18个具体的法则用比较精炼的语言叙述出来，形式上简洁，记忆方便，运 0不讨论了. 我们来分析一下三个法则的共同特点. 三个法则都要求所求极限存在，也就是说，这三个法则一般情况下是不能用来判断函数极限存在性的，而是用来在已经知道极限存在的情况下去计算函数极限的值. 其次，三个法则都是把计算0 lim ()x x f x →转化为计算lim [()]t T f g t →. 法则1和法则2总共包含36种具体情况，一般 情况下，这两条法则就已经足够解决许多极限的计算问题.
平均速度与瞬时速度
第4课时 平均速度与瞬时速度 教学目标 1、知道什么是变速运动。 2、知道什么是瞬时速度和平均速度，掌握平均速度的计算方法。 3、知道平均速度和瞬时速度的区别。 4、能应用平均速度和瞬时速度解决生活中的物理问题。 知识梳理 1. 变速直线运动 定义：在相等时间内通过的位移不相等的直线运动。 解释：物体在一条直线上运动，如果在相等的时间内，通过的路程不相等，这种运动就叫做变速直线 运动。 2. 平均速度 定义：质点的位移S 与所用的时间t 之比。 解释：平均速度表示的是运动的物体在某一段路程内（或某一段时间内）的快慢程度。 计算方法：用v 来表示平均速度，用s 表示路程，用t 表示时间，则平均速度的公式是：t s v 。 3. 瞬时速度 定义：运动物体在某一时刻的速度，或经过某一位置时的速度。 解释：瞬时速度反映的是物体在运动过程的某一时刻或者某一位置的运动情况，能精确表示任一时刻质点运动快慢和方向 教学设计 一、变速直线运动 [问题设计] 火车沿着笔直的铁轨进站，这时候火车的速度会有一个什么变化？出站时呢？飞行员从空中跳伞降落，在降落到地面的这段过程中，速度又有什么变化？ [要点提炼] 1、变速直线运动的特点
做变速直经运动的物体，在相等的时间内位移不相等，所以它没有恒定的速度。在通过某段路程中，速度有能增大，有可能减小，也可能一会增大，一会减小。 2、在实际生活中，绝大部分运动都是变速运动。 [延伸思考] 如果物体通过某一段路程做了变速运动，那么该物体是否在这段路程内速度一直在变化？ 二、平均速度 [问题设计] 乌龟和兔子又进行了一次赛跑，龟兔同时从同一地点沿同一条道路向同一目标前进，兔子半途睡了一觉，醒来时发现乌龟离目标很近了，撒腿就跑，结果龟兔同时到达终点，那么到底是乌龟的平均速度快还是兔子的平均速度快？ 答案：由于兔子和乌龟经过了同一段路程，而且所花的时间相同，因此它们的平均速度一样快。 [要点提炼] 1．平均速度指的是通过某段路程所需要的时间，所用时间越短，平均速度就越快，反之就越慢。 2．平均速度可以用路程除以时间的公式t s v ，来计算。 说明：(1)这里的时间t 指的是通过某段路程所花的一个总时间，包括在途中静止的那段时间。 (2)计算时只能用总路程除以总时间，绝不能取通过某段路程各个速度的平均值。 [延伸思考] 一位同学以3 m ／s 的速度跑完全程的一半后，立即又用5 m ／s 的速度跑完另一半路程. 问该同学跑完全程的平均速度是多大？ 解题思路：有关求平均速度的问题应该弄明白，求的是哪一段路程或者哪一段时间上的平均速度，本题中要求的是全程的平均速度，必须用全程的路程除以跑完全程所用的时间。 三、瞬时速度 [问题设计] 汽车在一般的公路上行驶时，仪表盘上的速度计显示速度会不断发生变化，这里显示的速度是什么速度? 小明百米赛跑时,起跑的速度为8m/s,中途的速度是9m/s,最后冲刺的速度是10m/s,这几个速度都是什么速度？小明的平均速度为多少？ [要点提炼] 1、平均速度反应的是物体在运动过程中某一瞬间的速度，速度会发生改变，但并非不同的时间速度都不一样。 2、平均速度和瞬时速度的区别与联系