第三节二项式定理-高考状元之路

第三节二项式定理

预习设计基础备考

知识梳理

1．二项式定理

=+n b a )(

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式，其中的系数 ),,2,1,0(n r c r n =叫做式中的r r n r n b a c -叫做二项展开式的用1+r T 表示，即展开式的第项；=

+1r T

2．二项展开式形式上的特点

(1)项数为.1+n

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为

(3)字母a 按排列，从第一项开始，次数由n 逐渐减1直到零；字母b 按排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．

(4)二项式的系数从 ,,1

n C 一直到,1-n n C

3．二项式系数的性质

(1)对称性；与首末两端的两个二项式系数相等，即.m n n m n c C -=

(2)增减性与最大值：二项式系数,k n C 当时，二项式系数是递增的；当时，二项式

系数是递减的，当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，当n 是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值．

(3)各二项式系数的和：

n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于.2n ，即 .2n =

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即

=+++=+++ 42531

n n n n n C C C C c α

典题热身

1．在62)1(x x

-的展开式中，3x 的系数是( ) 20.A 15.B 20.-c 15.-D

答案：C

2．已知n

ax )1(+的展开式中，二项式系数和为32．各项系数和为243，则a 等于( ) 2.-A 2.B 3.-c 3.D

答案：B

3．（2011．陕西高考）)()24(6R x x x ∈--展开式中的常数项是 ( )

20.-A 15.-B 15.c 20.D

答案：C

4．（2011．山东高考）若6)(x a x -

展开式的常数项为60，则常数a 的值为答案：4

5．若62)1(ax x +的二项展开式中3x 的系数为,2

5则=a （用数字作答）．答案：2

课堂设计方法备考

题型一求展开式中的特定项或特定项的系数

【例l 】已知在n x x )21(33-

的展开式中，第6项为常数项．

(1)求n ；

(2)求含2x 的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项，

题型二求三项展开式中的指定项

【例2】求8)11(x x +

+展开式中的常数项，

题型三求展开式中二项式系数或系数最大项

【例3】已知n x x 223)(+的展开式的二项式系数和比n

x )13(-的展开式的二项式系数和大992，求n x

x 2)12(-的展开式中， (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项，

题型四求展开式中各项或部分项系数和

【例4】已知,)21(7722107x a x a x a a x ++++=- 求：

;)1(721a a a +++

;)2(71a as as a +++

;)3(8420a a a a +++

.||||||||)4(7210a a a a ++++

题型五应用二项式定理证明整除或求余数问题

【例5】(1)求证：)(2221152*-∈++++N n n 能被31整除；

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二

二项式定理（第1课时）一、内容和内容解析内容：二项式定理的发现与证明．内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视．二、目标和目标解析目标：（1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理．（2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用．（3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养．目标解析：（1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法．（2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利

高考状元的成功之路

2007年高考中以市状元及数学满分进清华的妈妈 ——我的教子经验 1、在吃饭方面：一碗，这是基本量。如他说妈妈我吃不完了，我说好然后让他下桌子，晚上吃时，就把他中午的放在他面前，吃完不够再吃新的。以后再没这问题。不要要求吃饱应七分饱，过量只有害无利，够身体消耗能量就好，这样大脑皮层沟壑多，利于记忆等；少吃肉多吃蔬菜水果，不要身体累积脂肪影响大脑。 2、放学后做作业：规定一时间，到时间就不准他做了，他说家庭作业不做完，明天会被老师罚的，但我告诉他，什么时间做什么事，不能挪用。第二天他一大早就起来做，我同样不准，他是哭着上的学。这以后，他是先做完作业才吃晚饭，这以后，一直到高中毕业，都是以先完成作业为首任。从初中到高中，所有作业都是在学校就完成。当时我是不准我儿子占用他玩和看课外书的时间压力用来做作业的。（好玩吧） 3、教师告状及罚作业（关于批评）：我儿子在小学一年级时也被罚过，我接他放学，等到他做完被罚的作业，同时听着老师数落儿子上课如何不认真、如何和同学发生事情等等。但我看儿子的眼神还是很慈祥，耐心等着儿子完成（内心独白：多写一次正好）。回到家后仔细问情况，属于同学不对的，就不批评他；是自己的问题，但都是轻言细语给他讲怎么样注意及改正。有一点很重要，家长要用道理解除他有可能对老师产生的负面情绪。打击小孩自信心的主要是家长和老师。如小孩在学校挨骂了，当晚当妈妈的要把事情了解清楚化解小孩的情绪，修补他的自信心，人的一生自信心很重要。 4、注意力不集中：是否晚上睡眠不好？是否吃太饱？是否是听不懂课？找出原因，针对原因找解决问题的方法，不能一味骂小孩。如：如果娃娃的身体湿热重，人是不舒服的，自然没精力听课等。如果所有的原因找了都找不出原因，就可以考虑用佛门方法。 5、好玩天性：要给他时间玩，动手本身也等于动脑，没什么不好，家长同小孩制定好课后到睡眠之间的时间，一切按作息表。玩纸牌游戏是一特教老师告诉的方法。我应用和实践了，是成功了的。我儿子在小学时，上课老师布置作业，他都是快速完成的。 6、没事你要小孩多用左手玩抛接物，是锻炼右脑的，为上初中以后作准备的。家长和小孩每天玩一次纸牌加法，抽二张快速在他面前晃一下，让他快说出加出来的数，坚持到三年级时就做一次加法一次减法，五年级以后就不用了。锻炼注意力、快速反映能力、心算能力。7.曾看过一帖：关于小孩子的教育，我一直在思考一些问题，也跟大家交流下哈。我认为：第一，进行时期教育，注重开发思维智力，不强迫他学什么。第二，善待一切生命，教他学会换位思考，已不悦不强加于人。第三，教他在做人做事时以水为榜样，遇事以柔克刚，遇困难绕道前行。第四，学会知足常乐。第五，宁静致远，淡泊名利，放心自由

二项式定理高考题(带答案)

年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C. 2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7 【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为, % 令得，故所求的常数项为 3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________.【答案】决问题的关键． 4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（） A. 2 B. C. D.

【答案】B 5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为 __________． ' 【答案】-132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解：的展开式为：，当，时，，当，时，，据此可得：展开式中项的系数为 . 6.【2017课标1，理6】621 (1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】试题分析：因为666 22 11(1)(1)1(1)(1)x x x x x + +=?++?+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ?=，621(1)x x ?+展开式中含2x 的项为44 262115C x x x ?=，故2x 前系数为 151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.【2017课标3，理4】()()5 2x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为￥ A ．80- B ．40- C ．40 D ．80 【答案】C

二项式定理历年高考试题荟萃

圆梦教育中心二项式定理历年高考试题一、填空题( 本大题共24 题, 共计120 分) 1、(1+2x)5的展开式中x2的系数是。（用数字作答） 2、的展开式中的第5项为常数项，那么正整数的值是. 3、已知,则(的值等于。 4、（1+2x2）(1+)8的展开式中常数项为。（用数字作答） 5、展开式中含的整数次幂的项的系数之和为。（用数字作答） 6、（1+2x2）(x-)8的展开式中常数项为。（用数字作答） 7、的二项展开式中常数项是。(用数字作答). 8、(x2+)6的展开式中常数项是。(用数字作答) < 9、若的二项展开式中的系数为，则。（用数字作答） 10、若(2x3+)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于。 11、（x+）9展开式中x3的系数是。（用数字作答） 12、若展开式的各项系数之和为32，则n= 。其展开式中的常数项为。（用数字作答）

13、的展开式中的系数为。(用数字作答) 14、若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5= 。 15、（1+2x）3(1-x)4展开式中x2的系数为. 16、的展开式中常数项为; 各项系数之和为.（用数字作答） 17、(x)5的二项展开式中x2的系数是____________.(用数字作答) 18、(1+x3)(x+)6展开式中的常数项为_____________. < 19、若x＞0,则(2+)(2-)-4(x-)=______________. 20、已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=______________. 21、记(2x+)n的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝. 22、(x+)5的二项展开式中x3的系数为_____________.(用数字作答) 23、已知(1+x+x2)(x+)n的展开式中没有常数项,n∈N*且2≤n≤8,则n=_____________. 24、展开式中x的系数为.

高三数学二项式定理

二项式定理 1．知识精讲：（1）二项式定理：()n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110（* ∈N n ）其通项是=+1r T r r n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ），知4求1，如：555 156b a C T T n n -+== 亦可写成：=+1r T r n r n a b a C )( ()()()n n n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=---ΛΛ（*∈N n ）特别地：()n n n r n r n n n n n x C x C x C x C x +++++=+-ΛΛ101（* ∈N n ）其中，r n C ——二项式系数。而系数是字母前的常数。例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++Λ等于（） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 解：设n n n n n n n C C C C S 13 21393-++++=Λ，于是： n n n n n n n C C C C S 333333 3221++++=Λ=133333 32210 -+++++n n n n n n n C C C C C Λ 故选D 例2．（1）求7 (12)x +的展开式的第四项的系数；（2）求91 ()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数解：（1）7 (12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==， ∴7 (12)x +的展开式的第四项的系数是280．（2）∵9 1()x x -的展开式的通项是9921991 ()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-， ∴923r -=，3r =， ∴3x 的系数339(1)84C -=-，3 x 的二项式系数3984C =．（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即ΛΛ,,,,22110k n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---==== ②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果

高考状元学习的十种经验总结

高考状元学习的十种经验总结中考决定了你去什么样的高中，而高考决定了你去什么样的大学，和什么样的人继续努力未来。所以，高考一定是你人生中的转折点，它能带你离开这个地方，这个县城，去看看外面的世界有多大多精彩，去改变自己的命运。这就是高考，它能让你人生的轨迹大不同。高三、高考和未来一个人一定要有梦想，有目标。有了对未来的向往，才有努力与不断前进的动力，去改变自己的未来。而学习就是改变一个人命运的最佳途径之一。而对于现在的你们，将要面对最后也是最佳的一次改变自己命运的机会——高考。你们的面前就抱着这样的一个机会，就看你自己去不去把握。而高三就是为了高考而全身心投入的一年，这一年每天所支出的24小时就是为了将知识装进大脑，不断积累，然后在高考那两天爆发，所以今年非常重要，你哪一年懒惰都可以，但今年懒惰就会造成非常严重的后果;你哪一年努力都可以，但今年努力就会对未来产生非常大的影响不要把补课就当补课，认为补课不重要学校说开学就好好学，说补课就不好好学，难道你的学习状态是由别人决定的么，学习是给自己学的，分数是自己得的，大学通知书是自己拿的，未来是自己争取的，不要再高考还没到来，你已将把自己决定权的一半叫了出去，一定要坚定自己的内心。而且不论怎么样，一年之后高考就在那里，躲避时没有用的，还不如做好充分的准备，去迎接那场试炼。高效学习法，每天过电影

说一个很简单的例子，当你在上课只是听听，还伴随着些许的走神的时候，有一些人不仅在专心听讲，而且在老师说和自己记笔记的时候已经把这些东西记住，并且对整节课在自己的脑中形成了基本框架，进行了总结。所以看着下课很轻松，其实上课的时候已经完成了任务，你在愁着作业半天写不完，有些人已经提前进入下一阶段了。这就是学习效率的差距，在学习过程中已经差距这么明显了，分数当然很有差距了。提高效率的方法第一是要专注，学就是学，休息就是休息，不要开小差。第二是充分利用时间，提高白天的效率，晚上任务就少了，不一定要熬夜，但知识已经在你脑海里过了很多遍，每天都会很充实。早读任务明确早读时候主要是三个任务。第一个是昨天老师讲过的需要记忆的和虽然当天记过但没有记住的，第二个是今天老师要求记住的，比如昨天布置得今天要提问的之类，第三个是固定任务，就是每天都要做的，比如语文基础64篇，英语文章之类，每天都要重复记忆的。及时解决问题一节课下了，把这节课的问题解决了，如果早上问题没解决，那就12点下课再留一会，去问问老师或者同学。问老师问题的时候，不一定非要是本班的老师，只要是这个科目的就可以问他，一定要大胆，老师也是很乐意帮助你的学会安排,计划落实到每天每周每天有每天的计划，这计划里面最基础的是老师布置的，这是老师针对每个学生都需要掌握的内容而布置的，在完成这些任务的过程中要发现自己哪些地方不足，就在自己的计划里把这些知识再巩固一遍，看看书或者多做做题，如果计划没完成就晚上加班，通常

二项式定理高考题含答案

二项式定理高考真题一、选择题 1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ D ）（A ）42 （B ）35 （C ）28 （D ）21 2.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x )5的展开式中，x 2的系数等于（ B ）（A ）80 （B ）40 （C ）20 （D ）10 3.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在的二项展开式中，的系数为（ D ） (A)10 (B)-10 (C)40 (D)-40 4.（2011.天津高考理科.T5）在6 的二项展开式中，2 x 的系数为（ C ）（A ）15 4- （B ）15 4 （C ）38- （D ）3 8 5.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）821?? ? ??+x x 的展开式中常数项为( B ) (A)1635 (B)835 (C)435 (D)105 6.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）5)31(x -的展开式中3x 的系数为( A ) (A)270- (B)90- (C)90 (D)270 7. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)()()8411++x y 的展开式中22x y 的系数是 ( D ) 8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ D ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40

9. (2011·重庆高考理科·T4)n x )31(+(其中n N ∈且6≥n )的展开式中5x 与6x 的系数相等,则=n ( B ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 10．（2011·陕西高考理科·T4）6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是（C ）（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20 二、填空题 11. （2013·天津高考理科·Ｔ10）6x ? ? 的二项展开式中的常数项为 15 . 12.（2011·湖北高考理科·T11）的展开式中含的项的系数为 17 . 13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）)20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为 0 . 14.（2011·四川高考文科·Ｔ13） 91)x +（的展开式中3x 的系数是 84 （用数字作答）. 15.(2011·重庆高考文科·T11)6)21(x +的展开式中4x 的系数是 240 . 16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设2121221021)1x a x a x a a x ++++=-Λ（，则 1110a a += 0 . 17.（2011·广东高考理科·Ｔ10）的展开式中，的系数是___84___ (用数字作答) 18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若6 x ? ??的展开式的常数项为60，则常数a 的值为 4 . 19.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）若n x x )1 (+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中2 1x 的系数为__56_____.

高中数学 2二项式定理(带答案)

二项式定理一．二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即 1(0,1,2, ,).r n r r r n T C a b r n -+== 4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C ++ += （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释）性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 02 213 21 12.r r n n n n n n n C C C C C C +-++ ++ =++ ++ = （令1,1a b ==-即得）性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）

高考状元的成功之路

高考状元的成功之路高考结束后，各省市的状元都总结了自己成功的经验，大体涵盖了高考复习考试的各个环节。我们通过研究发现，各个状元考生所采用的基本方法大同小异：虽然具体形式千差万别，但指导思想都是一致的，且都符合复习考试的规律。一、养成良好的学习习惯这是最重要的一个环节，包含的内容也最广泛。制订计划，定期小结：学习一定要有计划性，要明确自己每月、每周甚至每天所要完成的任务，并严格按计划进行。计划要根据实际情况制订。要定期对自己的复习进行总结，以便在复习中保持清醒和客观，知道自己的不足。上课认真听讲：也就是向课堂要效率。争取当堂听，当堂记，当堂理解。课上把老师讲的内容消化透，课下才能更充分地进行复习。听讲的同时要认真记笔记。笔记应有选择地记，简明扼要。勤于思考，善于思考：这一条应贯穿于听课、做作业、复习等各个阶段。比如：做完一道题后应有一个反思的过程，要弄清这道题考的是什么，用了哪些方法，为什么用这样的方法，这样才能达到举一反三、触类旁通的效果。又如：学习时不仅要将课本中各知识点记住，还要通过思考，抓住各知识点之间的内在联系，甚至要注意到不同学科之间的渗透，以便形成清晰的知识网络。合理安排时间：学会根据作业的重要程度做出适当安排，将自己状态最佳的时间段优先分配给重要的作业，比如需要思考的作业、典型性的试题、课后第一次巩固练习。学会见缝插针利用好空余时间，经过日积月累，效果也很可观。此外，要给休息、业余爱好、娱乐留出一些时间。二、善于运用考试技巧掌握考试时间：高考前应通过做模拟试题来熟悉试卷结构，了解时间分配，从而找到最佳的解题节奏。遇到难以解答的试题，不要耗费过多的时间。每分必争：高考绝大多数试题都是容易题或中档题。要冷静应答，决不轻易放弃每一个得分的机会。做理科试题时，即使得不出答案，也要尽量清晰地将思路展现给阅卷人。答题规范：学会用学科术语表达，不要使用俗语。复习时要经常将自己的答案和标准答案对比，发现表述中不严谨之处就及时改正。

(完整版)二项式定理高考题(带答案)

1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C. 2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7 【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为 , 令得，故所求的常数项为 3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】

决问题的关键． 4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（） A. 2 B. C. D. 【答案】B 5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________．【答案】-132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解：的展开式为：，当，时，，当，时，

，据此可得：展开式中项的系数为 . 6.【2017课标1，理6】621 (1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】试题分析：因为666 22 11(1)(1)1(1)(1)x x x x x + +=?++?+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ?=，621(1)x x ?+展开式中含2x 的项为44 262115C x x x ?=，故2x 前系数为 151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.【2017课标3，理4】()()5 2x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 A ．80- B ．40- C ．40 D ．80 【答案】C 【解析】 8.【2017浙江，13】已知多项式() 1x +3 ()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则 4a =________，5a =________．

高考数学《二项式定理》

二项式定理主标题：二项式定理副标题：为学生详细的分析二项式定理的高考考点、命题方向以及规律总结。关键词：二项式定理，二项式系数，项系数难度：2 重要程度：4 考点剖析： 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 命题方向： 1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题． 2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n项； (2)求二项展开式中的特定项； (3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数．规律总结： 1个公式——二项展开式的通项公式通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点： (1)C r n a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项； (2)通项公式中a，b的位置不能颠倒； (3)通项公式中含有a，b，n，r，T r＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”． 3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”； (2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； (3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．

知识梳理 1．二项式定理二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *) 二项展开式的通项公式 T r ＋1＝C r n a n －r b r ，它表示第r ＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C 0 n ，C 1n ，…，C n n 2.二项式系数的性质 (1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －k n . (2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2 ＋1项的二项式系数最大，最大值为2n n C ；当n 为奇数时，第n ＋1 2项和n ＋3 2项的二项式系数最大，最大值为21 -n n C 或21 +n n C . (3)各二项式系数和：C 0 n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ， C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2 n －1.

历年高考状元经验之谈

历年高考状元经验之谈２006年广西普通高考理科状元——广西柳州高级中学陈亚玲第一、上课认真听讲,紧跟老师步伐。老师说到哪里就要跟到哪里,她们得建议与指导很重要,特别就是新课程与考后得讲评、当然我也知道很多同学会在老师上复习课得时候写自己得作业,原则上提倡这样做,但就是各人有各人得学习方法吧。还有,一般来说,老师会在每学期开学时公布整学期得教学安排,以方便同学们预习与复习,所以我们还要了解老师一周得教学计划,细致掌握复习课每课时得重点,然后整理笔记。在考后得讲评课上,要注意老师给我们指出得问题,诸如容易忽略得知识点、重复题型得处理、考场心态以及各种特殊考点得解决办法等,都值得我们去思考与反思。另外,一定要相信我们得老师、我并不就是怀疑同学们得能力,但就是,比起老师来说,我们仍然相差太多太多,因为我们一般只能经历一次高考,可她们大都已经身经百战了、光凭这一点,就足以赢得我们得十二分得尊重与信任、更何况她们得内涵,她们得学识,她们对问题得分析力度,在现阶段应该远在我们之上、这就就是说,坚定不移跟好老师得步伐对于我们得成功起决定性作用。第二、把握自习时间,提高效率,快乐学习。要知道,每个人得学习时间都相差无几,其实,成绩得差距就差在效率上、进入高三后,由于课业繁重,自习课越来越少,这就需要我们利用好自习课得每一分甚至每一秒钟,达到效率取胜得目得、我认为,分时间段自习,不失为一个好方法。首先,要有一块手表;其次,把四十分钟分段,好两个二十分钟或四个十分钟,这要按情况来定;然后把任务分配到每个时间段里,并明确得写在纸上,每完成一个就在其后画一张笑脸,及时勉励自己、如果一整天状态都极好,就奖励自己——晚饭与同学去嘬一顿。快乐学习,适当得奖励,可就是“炼狱高三”得润滑剂啊、如果计划实在完不成,就适当调整一下,并且在不断得调整之中找到适合自己得任务量与与之相对应得时间、这样效率也会提高、在这里,我想强调一点就是:绝对不提倡开夜车、或者这么说,您多熬那几分钟成绩也不会好到哪里去,少熬那几分钟也不会差到哪里去。与其剥削自己得睡眠时间来做无用功,不如养足精神提高学习效率。吃好,睡好,才能学得好！第三、适当调整心态。高三就是个心浮气躁得阶段、您会认为自己很多都懂了,但就是似乎有很多又就是不懂得、一考得不好,就会心烦,觉得前途一片黑暗;一考得好,又觉得自己似乎该掌握得都掌握了,还有那几个月怎么熬啊、记得当初我保送北京大学以后,整天无所事事,不知道自己坐在教室里有什么意义。在课堂上想瞧大学得书籍,总觉得不能融入群体而瞧不去,又没耐心认真听老师讲课。考试成绩不算差,但也好不到哪里去。3、４月份基本上过得就是混混沌沌得日子,没有目标并为之奋斗得生活就是黑暗得。眼瞧这么下去也不就是办法,虚度光阴啊,于就是我经常找我得班主任与校长谈话,具体谈什么已经不记得了,但就是从谈话中获得得思维清晰,豁然开朗就是我最大得财富,突然间明白自己要做什么了,明白自己得路应该怎样走、那种心情得愉悦与平与在我5月份认真复习起了决定性得作用。

高考状元学习的十种经验总结

高考状元学习的十种经验总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

二项式定理高考试题及其答案总

二项式定理历年高考试题荟萃(一) 一、选择题 ( 本大题共 58 题) 1、二项式的展开式中系数为有理数的项共有………（） A.6项 B.7项 C.8项 D.9项 2、对于二项式（＋x3）n（n∈N），四位同学作出了四种判断：…（） ①存在n∈N，展开式中有常数项； ②对任意n∈N，展开式中没有常数项； ③对任意n∈N，展开式中没有x的一次项； ④存在n∈N，展开式中有x的一次项. 上述判断中正确的是（A）①与③（B）②与③（C）②与④（D）④与① 3、在（+x2）6的展开式中，x3的系数和常数项依次是…………（）（A）20，20 （B）15，20（C）20，15 （D）15，15 4、（2x3－）7的展开式中常数项是……………………………………………………… （） A.14 B.－ 14 C.42 D.－42 5、已知(x－)8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是……………………………………………………………() (A)28 (B)38 (C)1或 38 (D)1或28

6．若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是…………（） A.8 B.9 C.10 D.12 7 .(2x+)4的展开式中x3的系数是……………………………………() A.6 B.12 C.24 D.48 8、（－）6的展开式中的常数项为…………………………………（） A.15 B.－ 15 C.20 D.－20 9、（2x3－）7的展开式中常数项是…………………………………………（） A.14 B.－ 14 C.42 D.－42 10、若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是………………（） A.8 B.9 C.10 D.12 11、若展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则n等于 A．4 B．6 C．8 D．10 12、的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（） A.4项 B.3项 C.2项 D.1项

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=，变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

高考状元学习心得精选3篇

高考状元学习心得精选3篇高考状元学习心得一:2013高考状元学习心得盘点四川理科状元郭怡辰:第一秘诀提前学半个学期知识提起长期保持成绩领先的秘诀,郭怡辰表示,就是比别人先一步,比别人快一步。“通常开学前的一两周,我就会把半个学期的东西看完,这样就比别人领先了半个学期。”郭怡辰对“第一”的称号并不那么在意,他用射击比赛比喻学习中的竞争,“学习跟射击一样,都是自己打自己的,按自己的步骤来就是了。”对郭怡辰来说,自主学习能力是他的强项,别人需要1个月完成的作业,他一个星期就能完成:“他高三在校外走读,学习非常自觉,常常自学大学教材。”班主任罗翠平说,郭怡辰的知识面很广,在全班每周两次的综艺节目上,他主讲时政新闻,头头是道,在辩论赛上,语言犀利。“他不是读死书的人。” 北京理科状元清华附中朱宸卓:非常享受自己在自习室读书的时间朱宸卓在同学眼中是个开朗、热情的大男孩,初中学习成绩也一直拔尖。提起学习经验,朱宸卓显得非常淡定、有规划。他说,虽然在重点班,清华附中没有给学生很大的压力,自己的父母也给了自己很大的成长空间,同时对自己也非常的信任。相对于其他同学晚上的“加班加点”、“秉烛夜读”,朱宸卓更愿意高效利用黄金时间,“我基本每天用两个小时来完成学习的剩余作业,然后可以自由的做一些自己喜欢的事情”。日常生活中,朱宸卓非常喜爱体育活动。就算在高考复习期间,他也坚持每周打两次球,乒乓球、网球都不落下。北京高考文科状元张韵凝:喜欢三毛会弹古筝北京2013年高考文科状元被北京四中张韵凝摘得,总分695。曾获“我与航天”全国青少年载人航天征文活动一等奖。状元的诞生除了自身的天赋和努力,老师的培养也非常重要。在张韵凝的班主任陈年年老师看来,张韵凝有两个特点非常好。一是心特别静,愿意为目标作出努力。心里事儿比较少的人才能更强大。二是很爱读书,尤其偏爱文学类图书。她喜欢的作者有村上春树、三毛等人。因为喜欢三毛,张韵凝报了北大提前批的西班牙语(三毛的丈夫荷西是西班牙人)。河北高考文科状元于潇:一步一个脚印不断进步 “这个孩子特别坚强,很有韧性。”班主任宁可说,于潇的目标比较高,但有时成绩不太理想,所以身体和心理的压力都很大,“但是她特别坚强,都挺过来了。”在第一次和第二次模拟考试的时候,于潇的成绩在年级70名左右,而第三次模拟考试,成绩在150名左右,能有今日文科夺冠的成绩,宁可认为,主要归功于于潇的坚强。宁可是于潇的政治老师,让他印象深刻的是,于潇对每道题都很关注,力求一分不丢。他介绍说,为了对接高考,衡水中学一直采用网上阅卷的形

(完整word版)高考数学二项式定理专题复习专题训练)

二项式定理 1.二项式定理：)*()(011111100N n b a C b a C b a C b a C b a n n n n n n n n n n n ∈++???++=+---. 2.二项式定理的说明：（1）()n a b +的二项展开式是严格按照a 的降次幂（指数从n 逐项减到0）、 b 的升次幂（数从0逐项减到n ）排列的，其顺序不能更改，且各项关于a 、b 的指数之和等于n 。所以()n a b +与()n b a +的二项展开式是不同的。（3）二项式项数共有(1)n +项，是关于a 与b 的齐次多项式。（4）二项式系数：展开式中各项的系数为1-r n C ，1,...,3,2,1+=n r . （5）二项式通项：展开式中的第r 项记作r T ，）（1,...,3,2,11 11+==--+-n r b a C T r r n r n r ，共有(1)n +项。（6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是 012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ?????? 项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。如：n n r r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ）（）（）（）（）（----n r 2221110+???++???+++=---的第2项的二次项系数为1n C ，而第2项的系数为1 n C -. （7）常见二项式：令1,,a b x ==)*()1(111100N n x C x C x C x C x n n n n n n n n n ∈++???++=+--；令1,,a b x ==-)*()1()1(221100N n x C x C x C x C x n n n n n n n n ∈-+???++-=-. 3.二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等：即k n n k n n n n n n n C C C C C C --=???==,,,110 .

高三数学-二项式定理

10.3二项式定理强化训练【基础精练】 1．在二项式(x 2－1 x )5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( ) A ．－10 B ．10 C ．－5 D ．5 2．(2009·北京高考)若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝ ( ) A ．45 B ．55 C ．70 D ．80 3．在( 1x ＋ 51 x 3 )n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数是 ( ) A ．330 B ．462 C ．682 D ．792 4．如果? ?? ?? 3x 2－2x 3n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 ( ) A ．10 B ．6 C ．5 D ．3 5．在? ? ??? 2x －y 25的展开式中，系数大于－1的项共有 ( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 6．二项式41(1)n x +-的展开式中，系数最大的项是 ( ) A ．第2n ＋1项 B ．第2n ＋2项 C ．第2n 项 D ．第2n ＋1项和第2n ＋2项 7．若(x 2＋1 x 3)n 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________． 8．（ x ＋2 x 2)5的展开式中x 2的系数是________；其展开式中各项系数之和为________．(用数字作答) 9．若? ? ? ??2x － 229 的展开式的第7项为214，则x ＝________. 10．已知(x － 124 x )n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．

(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项． 11．设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求： (1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5； (4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2. 【拓展提高】 1．在(3x－2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项．

第三节 二项式定理-高考状元之路

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二

高考状元的成功之路

二项式定理高考题(带答案)

二项式定理历年高考试题荟萃

高三数学 二项式定理

高考状元学习的十种经验总结

二项式定理高考题含答案

高中数学 2二项式定理(带答案)

高考状元的成功之路

(完整版)二项式定理高考题(带答案)

高考数学 《二项式定理》

历年高考状元经验之谈

高考状元学习的十种经验总结

二项式定理高考试题及其答案总

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

高考状元学习心得精选3篇

(完整word版)高考数学二项式定理专题复习专题训练)

高三数学-二项式定理

第三节二项式定理-高考状元之路

高三数学二项式定理

高考数学《二项式定理》