比例边界有限元优缺点及其应用

有限元变分原理

1有限元变分原理有限元是求解偏微分方程的数值方法，在数学上属于变分法范畴，是古典的 Ritz－Galerkin方法与分片多项式插值的结合。古典的Ritz－Galerkin方法的试函数是求解域内的连续函数，有限元法的试函数是分片多项式。作为变分法的试函数产生了很大区别：古典的Ritz－Galerkin方法的试函数要求域内的连续或平方可积且满足位移边界条件，试函数定义在泛函分析的Hilbert空间，或称为内积空间。有限元法的试函数要求在单元域内连续或平方可积，且不用考虑位移边界条件，因为有限元是以节点位移参数为未知数，可以直接代入位移边界条件，但是单元间出现了连续性条件，即所谓的平面和三维弹性问题的C0连续，和薄板问题的C1连续等，相对古典的Ritz－Galerkin方法的试函数是一种广义函数。有限元试函数定义在泛函分析的Sobolev空间，或称为广义导数空间。 2 分片检验 2.1分片检验长期以来在有限元收敛理论中的分片检验成为关注的焦点，同时也是一个疑难症。分片检验所以倍受关注，是因为它不仅可以用于检验单元的收敛性还可以用于构造收敛单元，而且十分方便。分片检验的研究大致经历了如下三个里程。第一，1965年Irons提出了不协调元的分片检验条件(Patch Test) [1,2]，这是一个通过数值计算检验单元的收敛性的方法，可以通过对一小片有限元问题的数值计算检验单元的收敛性，也是有限元法中最实用的检验单元收敛性的方法，但是，作为一种数值检验的方法，在数学和力学原理上的提法都不够严密，而有限元的单元收敛性又是不能回避的问题。鉴于这个方法的有效性和实用性，人们一直对其开展系列的理论研究工作。1972年Strang首先给出分片检验的数学描述[3]，后来，这个条件被解释成对一个单元的约束条件，称之为单体条件[4]，这个条件使用很方便，可以做为单体的约束条件构造单元函数，但是，对这个分片检验一直缺少严格的数学证明。第二，1980年Stummel 基于严格的数学理论，建立了不协调元收敛的充分必要条件-广义分片检验[5]，并且，通过举反例证明Irons的分片检验即不充分也不必要[6]。这个严格的理论是整体条件，而非单体条件，应用很困难，只限于用于少量单元的检验，而且需要有相当的泛函分析基础，对于大多数单元无法得到应用，更是无法用于指导构造不协调元，因此深入研究实用的不协调元收敛性条件是十分必要的。此间，还推出了一些实用的充分条件，例如，F-E-M检验[7] 和IPT 检验[8]等，1995年建立了C0类非协调元收敛准则—强分片检验(SPT) [9]，1997年基于加权Sobolev 空间理论，建立了轴对称非协调元收敛准则—强分片检验(ASPT) [10]。但是，数学的严格理论(例如，广义分片检验)难以在力学中应用，实用的力学准则(例如，分

有限元法基本原理与应用

有限元法基本原理与应用班级机械2081 姓名方志平指导老师钟相强摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。 Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method. Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。引言有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计

基于有限元和边界元的噪声分析

half 重登录隐身控制面板搜索状态展区振动博客论坛服务退出振动论坛 → 专题讨论区→ 噪声分析及控制→声学基础理论→[转帖]基于有限元和边界元的噪声分析复制本页地址粘贴我的收件箱 (0) 您是本帖的第42个阅读者标题：[转帖]基于有限元和边界元的噪声分析树形打印收藏推荐提交网摘等级：本科生威望：18 现金：308 经验：1107 魅力：627 文章：109 注册： 2005-07-24 活跃度：活跃等级：①年迈乌龟在线等级： van321 ▼楼主物体受到激励后，必将会产生振动，由物体的振动而引起与之相接触的流体的振动（如空气），从而在流体中产生噪声。对流体的噪声分析可以在频率域内或者时间域内进行，可以采用流体与结构耦合的形式进行分析，也可以只采用流体的形式进行计算分析，可以计算内声场也可以计算外声场，例如对于汽车而言，可以计算内声场，也可以计算外声场。在低频范围内采用边界元或者有限元的方法，在高频内采用统计能量的方法，计算结果包括声场中任意一点处的声学响应，如声压、声强、声功率，还可以是某点处的响应函数，如声压函数、模态贡献量函数，还可以进行一些特殊的分析，如声学传递矢量分析、面板贡献量分析和灵敏*分析，以及高频域内的统计能量分析。如图所示是某轿车的排气系统的有限元声学模型，图所示是该排气系统中消声器的声学模型。 [转帖]基于有限元和边界元的噪声分析

排气系统的声学模型

消声器的声学模型 ?声学模态分析声学模态类似于结构模态，声波在流体团中传播时，会引发流体的振荡，流体的振荡也是有一定的固有频率和振动样式（振型），通过声学模态计算可以计算出流体的声学共振频率，防止流体和流体周围的结构产生共振而引发共鸣。图所示是排气系统的声学模态云纹图。

有限元概述

有限元百科名片有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。目录简介 1）物体离散化 2）单元特性分析 3）单元组集 4）求解未知节点位移 5）有限元的未来是多物理场耦合编辑本段简介英文：Finite Element 有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下：编辑本段1）物体离散化将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。编辑本段2）单元特性分析 A、选择位移模式

有限元边界条件和载荷

X边界条件和载荷 10.1边界条件施加的力和/或者约束叫做边界条件。在HyperMesh中，边界条件存放在叫做load collectors的载荷集中。Load collectors可以通过在模型浏览器中点击右键来创建(Create > Load Collector)。经常（尤其是刚开始）需要一个load collector来存放约束（也叫做spc-单点约束），另外一个用来存放力或者压力。记住，你可以把任何约束（比如节点约束自由度1和自由度123）放在一个load collector中。这个规则同样适用于力和压力，它们可以放在同一个load collector中而不管方向和大小。下面是将力施加到结构的一些基本规则。 1.集中载荷（作用在一个点或节点上）将力施加到单个节点上往往会出现不如人意的结果，特别是在查看此区域的应力时。通常集中载荷（比如施加到节点的点力）容易产生高的应力梯度。即使高应力是正确的（比如力施加在无限小的区域），你应该检查下这种载荷是不是合乎常理？换句话说，模型中的载荷代表了哪种真实加载的情形？因此，力常常使用分布载荷施加，也就是说线载荷，面载荷更贴近于真实情况。 2.在线或边上的力上图中，平板受到10N的力。力被平均分配到边的11个节点上。注意角上的力只作用在半个单元的边上。

上图是位移的云图。注意位于板的角上的红色“热点”。局部最大位移是由边界效应引起的（例如角上的力只作用在半个单元的边上），我们应该在板的边线上添加均匀载荷。上述例子中，平板依然承受10N的力。但这次角上节点的受力减少为其他节点受力的一半大小。上图显示了由plate_distributed.hm文件计算得到的平板位移的云图分布。位移分布更加均匀。 3.牵引力（或斜压力）牵引力是作用在一块区域上任意方向而不仅仅是垂直于此区域的力。垂直于此区域的力称为压力。

一般有限元原理

一般有限元原理一、基本理论有限元单元法是数值计算方法中发展较早、应用最广的一种方法。利用有限元法，可以解决经典的传统的方法难以解决或无法求解的许多实际问题。其优点是部分地考虑边坡岩土体的非均质、不连续的介质特征，考虑岩土体的应力应变特征，可以避免将坡体视为刚体，过于简化边界条件的缺点，能够接近实际从应力应变的角度分析边坡的变形破坏机制。对了解边坡的应力分布及应变位移变化很有利。有限单元法实质是变分法的一种特殊的有效形式，其基本思想是：把连续体离散化为一系列的连接单元，每个单元内可以任意指定各种不同的力学形态，从而可以在一定程度上更好地模拟地质体的实际情况，特殊的节理元，可以有效地模拟岩土体中的结构面。在大多数情况下岩土体材料应采用非线形模型，其中包括岩体弹塑性、蠕变、不抗拉特性以及结构面性质的影响。下面简要叙述有限元法的求解过程和原理。有限单元法的基本原理 1.有限单元法的实施步骤有限元的重要步骤归纳起来，主要有以下几步：（1）建立离散化的计算模型，包括以一定型式的单元进行离散化，按照求解问题的具体条件确定荷载及边界条件；（2）建立单元的刚度矩阵；（3）由单元刚度矩阵组集总体刚度矩阵，并建立系统的整体方程组；（4）引入边界条件，解方程组，求得节点位移；（5）求各单元的应变、应力及主应力。 2位移模式与单元类型在一般的有限单元法问题中，我们常以位移作为未知数，称为位移法。为保证解的收敛性，要求位移模式必须满足以下三条：（1）位移模式必须能包含单元的刚体位移。即当节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内不会有应变。（2）位移模式必须能包含单元的常应变，即与位置坐标无关的那部分应变。

边界元与有限元

边界元与有限元边界元法boundary element method 定义：将力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解的数值方法。所属学科：水利科技(一级学科) ；工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科) ；工程力学（水利）(三级学科) 边界元法（boundary element method）是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少,数据准备简单等优点.但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。简介边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。又称边界积分方程-边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，

内燃机零部件有限元计算中边界条件处理的研究

内燃机零部件有限元计算中边界条件处理的研究 * 孙军汪景峰桂长林 (合肥工业大学机械与汽车工程学院合肥 230009) 摘要:有限元方法已经成为内燃机零部件应力和变形计算的主要手段,但是目前在内燃机零部件有限元分析中采用的边界条件是否合理,有无必要采用更符合实际的边界条件?本文以曲轴为例,模拟实际状况,采用不同的边界条件进行了有限元计算。计算结果表明,边界条件处理对曲轴有限元分析结果影响很大。因此,为了提高内燃机零部件有限元计算结果的精度,非常有必要根据实际情况确定边界条件。关键词:边界条件有限元内燃机中图分类号:TK412.4 文献标识码:A 文章编号:1671-0630(2005)03-0006-03 Study on Boundary Condition in Finite Ele ment Calculation for Parts of Internal Co mbustion Engi ne Sun Jun ,W ang Jingfeng ,Gui Changlin H efeiUn i v ersity of Techno l o gy (H efei 230009) Abst ract :The fi n ite ele m ent m et h od has beco m e the m a i n m eans to calcu late t h e stress and de f o r m ation o f parts for inter na l co m bustion engine .Bu,t whether the boundary conditi o ns used i n FE ana l y sis on parts o f i n -ter nal co m busti o n eng ine are reasonable ?Is it necessary to use the boundary condition ,wh ich ism ore adapta -b le to the facts ?As an exa m p le ,the crankshaft is ca lculated by FE usi n g d ifferent boundary conditi o ns that si m ulate factual conditi o ns .The resu lts sho w t h at the boundary conditi o ns have i m portant effects on the results of FE analysis o f crankshaf.t Therefo re ,it is necessary to choose boundary cond itions acco r d i n g to factua l con -d iti o n i n o r der to i m prove the prec isi o n of calcu l a ti n g resu lts for parts o f i n ternal co m bustion eng i n e .K eyw ords :Boundary conditi o n ,F i n ite ele m en,t I C eng i n e 前言随着有限元计算技术的进步,有限元方法目前已经成为内燃机零部件应力和变形计算的主要手段。内燃机零部件的有限元分析,类似于其他问题的有限元分析,边界条件的处理是否合理直接影响计算结果的精确性。本文以曲轴为例,分析目前采用的边界条件是否合理,有无必要采用更符合实际的边界条件。目前在曲轴有限元计算中,载荷边界条件的处理(重点是作用在轴颈表面的力处理)基本采用的是定型模式,其假设作用在轴颈上的载荷(其与曲轴轴承油膜压力对应)为分布载荷,沿轴线方向均布或呈抛物线分布,沿圆周方向呈余弦分布 [1~4] 。这种处理方法简单易行,但其属于较理想的状况,因为实际曲轴轴承的油膜压力分布规律复杂,且随时间变化。沿轴向抛物线型的油膜压力分布规律仅适合于无限短且轴颈轴线与轴承孔中心线平行的滑动轴承,实际的曲轴轴承为有限长轴承,且由于受到诸多因素的影响,如载荷作用下轴的变形、轴承的制造与装配误差和轴的热变形 * 基金项目:国家自然科学基金资助项目(50175023) 作者简介:孙军(1960-),男,硕士,研究方向,内燃机现代设计理论与方法。第34卷第3期2005年6月小型内燃机与摩托车 S MALL I N TERNAL COM B UST I O N ENG I N E AND MOTORCYCLE Vo.l 34No .3 June .2005

有限元法与有限差分法的主要区别

有限元法与有限差分法的主要区别有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有La grange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插

IDESA有限元分析_第6篇第26章基于几何施加边界条件

第26章MasterFEM 教程:定义边界条件前面的教程简单介绍了仿真分析的流程。本篇将介绍更多高级定义边界条件的内容（载荷和约束）。用户将学会: ?创建约束和约束集。 ?创建载荷和载荷集。 ?创建边界条件集。 ?解算定义以上边界条件的模型。 ?创建均布载荷。 ?解算定义以上边界条件的模型。 ?比较不同工况下的结果。开始前必备知识：熟悉MasterFEM界面和创建零件。熟悉在模型文件中管理零件。熟悉拉伸特征和旋转特征的布尔运算。熟悉仿真分析流程。熟悉自由网格划分。设置1/3 如果还没有运行一个新的模型文件,创建一个新文件并命名。 ·1·

·2· File Open 打开模型文件菜单确信用户是在以下工作状态和任务当中 : 设置工作单位为毫米(mm) Options Units 设置2/3 工作内容：按照以下尺寸草绘封闭形状的图形。提示 : 为什么：这个零件代表了典型机构连杆的应力集中部位。

工作内容: 命名零件提示：命名菜单设置3/3 工作内容：创建一个和零件关联的有限元模型（FEM1）。提示保存模型文件。 File Save 警告！如果软件提示用户保存模型文件，用户应选择：No 记住：只有教程中提示保存模型文件，而不是软件提示保存的时候，用户才可以执行保存文件操作。为什么：在上一次保存以后的错误操作不能撤销恢复,用户可以选择重新打开文件，恢复到上一次保存时的状态。提示： ·3·

重新打开模型文件的快捷键：按Control-Z。创建约束和约束集1/3 工作内容：全约束以下高亮表面。怎样做：表面上定义约束的菜单 OK 创建约束和约束集2/3 注意事项：会产生约束符号。在几何边缘、表面、顶点的约束用不同的颜色和符号表示。 ·4·

对有限元法有限差分法边界元法和模拟电荷法的粗略总结

对有限元法、有限差分法、边界元法和模拟电荷法的粗略总结: 有限元法（finite element method）：将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。缺点是有限元必须同时对所有域内节点和边界节点联立求解，待求未知数多，要求解的方程规模大，导致输入数据多，计算的准备工作量大。有限差分法（finite difference method）：直接从微分方程出发，将求解区域划分为网格，近似地用差分、差商代替微分、微商，于是无限度的问题化成有限自由度的问题。这种方法在解决规则边界的问题时极为方便，但是正是由于这种限制而增加了它的局限性，即对于非规则边界的问题适用性较差。边界元法（boundary element method）：边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。模拟电荷法（charge simulation method）：在实际工程计算中，电极表面上连续分布的束缚电荷的分布情况是未知的，不能直接由给定的边界条件解出。如果在计算场域之外设置n个被称为模拟电荷的离散电荷来等效代替这些待求的连续电荷分布，则根据等值替代前后条件不变的前提条件，即可求得各模拟电荷的量值，从而使场域内任意一点的电位与场强便可由各模拟电荷所产生的场量叠加而获得，以此作为原场的逼近解。相比较于有限元法和有限差分法，模拟电荷法的优点是无需封边、使计算问题的维数降低一维、能直接求解出场域内的任意点的场强、计算精度高。

1有限元法简介

1有限元法简介 1.1有限单法的形成在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。其中的第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。我们把这类问题，称为离散系统。如图1-1所示平面桁架结构，是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。尽管离散系统是可解的，但是求解图1-2所示这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术。图1-1 平面桁架系统

图1-2 大型编钟“中华和钟”的振动分析及优化设计（曾攀教授）第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统。图1-3 V6引擎的局部下面是热传导问题的控制方程与换热边界条件： t T c Q z T z y T y x T x ??=+??? ??????+??? ? ??????+??? ??????ρλλλ （1- 1）初始温度场也可以是不均匀的，但各点温度值是已知的： () 00 x,y,z T T t == （1- 2）通常的热边界有三种，第三类边界条件如下形式： ()f T-T h n T λ=??- （1- 3）尽管我们已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答，例如，图1-3所示V6引擎在工作中的温度分布。这为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。 1956年M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp 在纽约举行的航空学会年会上介

(完整版)有限元法的基本原理

第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。 2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。 2.1.1 微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组 12()()()0A A A ?? ?== ? ??? u u u M （在Ω内）（2-1）域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。同时未知函数u 还应满足边界条件 12()()()0B B B ?? ?== ? ??? u u u M （在Γ内）（2-2）要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。所以在以上两式中采用了矩阵形式。以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下： ()()()0A k k q x x y y φφφ????=++=???? （在Ω内）（2-3）

0()0q B k q n φφφφφ?-=Γ?=??-=Γ???（在上）（在上）（2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k 是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度/K μ）；φ和q 是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n 是有关边界Γ的外法线方向；q 是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。在上述问题中，若k 和q 只是空间位置的函数时，问题是线性的。若k 和q 是φ及其导数的函数时，问题则是非线性的。由于微分方程组（2-1）在域Ω中每一点都必须为零，因此就有 1122()(()())0u d v A u v A u d ΩΩ Ω≡++Ω≡? ?T V A L （2-5）其中 12v V v ?? ?= ? ??? M （2-6）其中V 是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。式（2-5）是与微分方程组（2-1）完全等效的积分形式。我们可以说，若积分方程对于任意的V 都能成立，则微分方程（2-1）必然在域内任一点都得到满足。同理，假如边界条件（2-2）亦同时在边界上每一点都得到满足，对于一组任意函数，下式应当成立 1122 ()(()())0u d v B u v B u d ΓΓΓ≡++Γ≡??VB L 因此积分形式 ()()0u d u d ΓΓ Ω+Γ=??T T V A V B 对于所有的V 和V 都成立是等效于满足微分方程（2-1）和边界条件（2-2）。我们把（2-7）式称为微分方程的等效积分形式。 2.1.2等效积分的“弱”形式在一般情况下，对（2-7）式进行分部积分得到另一种形式： ()()()()0T T v d v d ΩΓ Ω+Γ=??C D u E F u （2-8）其中C ，D ，E ，F 是微分算子，它们中所包含的导数的阶数较（2-7）式的低，这样对函数u 只需要求较低阶的连续性就可以了。在（2-8）式中降低连续性要求是以提高V 和V 的连续性要求为代价的，由于原来对V 和V （在（2-7）式中）并无连续性要求，但是适当提高对其连续性的要求并不困难，因为它们是可以选择的已知函数。这种降低对函数u 连续性要求的作法在近似计算中，尤其是在有限单元法中是十分重要的。（2-8）式称为微分方程

有限元法的基本思想及计算步骤

有限元法的基本思想及计算步骤有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多，其中最主要的计算步骤为： 1）连续体离散化。首先，应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次，进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。 2）单元分析。所谓单元分析，就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。现以三角形单元为例说明单元分析的过程。如图1所示，三角形有三个结点i，j，m。在平面问题中每个结点有两个位移分量u，v和两个结点力分量F x，F y。三个结点共六个结点位移分量可用列阵(δ)e表示： {δ}e=[u i v i u j v j u m v m]T 同样，可把作用于结点处的六个结点力用列阵{F}e表示： {F}e=[F ix F iy F jx F jy F mx F my]T 应用弹性力学理论和虚功原理可得出结点位移与结点力之间的关系

有限元计算原理与方法..

1.有限元计算原理与方法有限元是将一个连续体结构离散成有限个单元体，这些单元体在节点处相互铰结，把荷载简化到节点上，计算在外荷载作用下各节点的位移，进而计算各单元的应力和应变。用离散体的解答近似代替原连续体解答，当单元划分得足够密时，它与真实解是接近的。 1.1. 有限元分析的基本理论有限元单元法的基本过程如下： 1.1.1.连续体的离散化首先从几何上将分析的工程结构对象离散化为一系列有限个单元组成，相邻单元之间利用单元的节点相互连接而成为一个整体。单元可采用各种类型，对于三维有限元分析，可采用四面体单元、五西体单元和六面体单元等。在Plaxis 3D Foundation 程序中，土体和桩体主要采用包含6个高斯点的15节点二次楔形体单元，该单元由水平面为6 节点的三角形单元和竖直面为四边形8节点组成的，其局部坐标下的节点和应力点分布见图3.1，图3.1 15节点楔形体单元节点和应力点分布界面单元采用包含9个高斯点的 8个成对节点四边形单元。在可能出现应力集中或应力梯度较大的地方，应适当将单元划分得密集些；

若连续体只在有限个点上被约束，则应把约束点也取为节点：若有面约束，则应把面约束简化到节点上去，以便对单元组合体施加位移边界条件，进行约束处理；若连续介质体受有集中力和分布荷载，除把集中力作用点取为节点外，应把分布荷载等效地移置到有关节点上去。最后，还应建立一个适合所有单元的总体坐标系。由此看来，有限单元法中的结构已不是原有的物体或结构物，而是同样材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。因此，用有限元法计算获得的结果只是近似的，单元划分越细且又合理，计算结果精度就越高。与位移不同，应力和应变是在Gauss 积分点(或应力点)而不是在节点上计算的，而桩的内力则可通过对桩截面进行积分褥到。 1.1. 2. 单元位移插值函数的选取在有限元法中，将连续体划分成许多单元，取每个单元的若干节点的位移作为未知量，即{}[u ,v ,w ,...]e T i i i δ=，单元体内任一点的位移为{}[,,]T f u v w =。引入位移函数N (x,y,z )表示场变量在单元内的分布形态和变化规律，以便用场变量在节点上的值来描述单元内任一点的场变量。因此在单元内建立的位移模式为： {}[]{}e f N δ= （3-1）其中：12315[][,,......]N IN IN IN IN =，I 为单位矩阵。按等参元的特性，局部坐标(,,)ξηζ到整体坐标,,x y z （）的坐标转换也采用与位移插值类似的表达式。经过坐标变化后子单元与母单元(局部坐标下的规则单元)之间建立一种映射关系。不管内部单元或边界附近的单元均可选择相同的位移函数，则为它们建立单元特性矩阵的方法是相同的。因此，对于15节点楔形体单元体内各点位移在整体坐标系,,x y z （）下一般取：

有限元在传热学中的应用

有限元在传热学中的应用 ——温度场的有限元分析摘要：热分析在许多工程应用中扮演着重要角色。有限元法是热分析中常用，高效的数值分析方法。利用有限元法可以求解传热学中温度场的重要参数，在材料成型中，在铸造这一块有着重大意义。 1、有限元法的应用：有限元法是随着电子计算机的发展迅速发展起来的一种现代计算方法，首先在连续力学领域——飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后也很广泛用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续问题。在传热学中，如果导热物体的几何形状不规则，边界条件复杂，很难有解析解。解决这类问题的最好办法就是数值解法，而数值解法中最具实用性和使用最广泛的就是有限单元法。 2、有限元数值解法的基本思路：将连续求解区域减走势只在节点处相连接的一组有限个单元的组合体，把节点温度作为基本未知量，然后用插值函数以节点温度表示单元内任意一点处温度，利用变分原理建立用以求解节点未知量（温度）是有限元法方程，通过求解这些方程组，得到求解区域内有限个离散点上的温度近似解，并以这些温度近似解代替实际物体内连续的温度分布。随着单元数目的增加，单元尺寸的减少。单元满足收敛要求。近似解就可收敛于精确解。 3、有限元数值解法的基本步骤有限元法在工程实际中应用的广泛性和通用性，体现在分析许多工程问题是，如力学中的位移场和应力场分析，传热学中的温度场分析，流体力学中的流场分析，都可以归结为给定边界条件下求解其控制方程的问题，虽然各个问题中的物理性质不同，却可采用同样的步骤求解。具体步骤为（1）：结构离散。（2）：单元分析。（3）：整体分析。（4）：边界条件处理与求解。（5）：结果后处理。有限元分析实际问题的主要步骤为：建立模型，推倒有限元方程式，求解有限元方程组，数值结果表述。 4、用于传热学的意义有限元法作为具有严密理论基础和广泛应用效力的数值分析工具，近年来，以由弹性平面问题扩展到空间问题，板壳问题。从固体力学扩展到流体力学、传热学等连续介质力学领域；它在工程技术中的作用，已从分析和校核扩展到优化设计。并和计算机辅助设计相结合，形成了完整的计算机辅助设计系统。它解决了传热学中边界条件复杂或呈非线性，有均匀内热源等传统方法无法求解的问题。温度场方程

有限元法的概述

有限元法的概述有限元方法(Finite Element Method)是力学，数学物理学，计算方法，计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物。在人类研究自然界的三大科学研究方法(理论分析，科学试验，科学计算)中，对于大多数新型领域，由于科学理论和科学实践的局限性，科学计算成为一种最重要的研究手段。在大多数工程研究领域，有限元方法是进行科学计算的重要方法之一;利用有限元方法几乎可以对任意复杂的工程结构进行分析，获取结构的各种机械性能信息，对工程结构进行评判，对工程事故进行分析。有限元法在设计过程中有极为关键的作用。人们对各种力学问题进行分析求解，其方法归结起来可以分为解析法(Analytical Method)和数值法(Numeric Method).如果给定一个问题，通过一定的推导可以用具体的表达式来获得问题的解答，这样的求解方法就称为解析法。但是由于实际结构物的复杂性，除了少数极其简单的问题外，绝大多数科学研究和工程计算问题用解析法求解式极其困难的。因此，数值法求解便成为了一种不可替代的广泛应用的方法，并取得了不断的发展，如有限元法，有限差分法，边界元方法等都是属于数值求解方法。其中有限元法式 20 世纪中期伴随着计算机技术的发展而迅速发展起来的一种数值分析方法，它的数学逻辑严谨，物理概念清晰，应用非常广泛，能活灵活现处理和求解各种复杂的问题。有限元方法采用矩阵式来表达基本公式，便于计算机编程，这些优点赋予了它强大的生命力。有限元方法的实质是将复杂的连续体划分成为有限多个简单的单元体，化无限自由度问题为优先自由度问题，将连续场函数的(偏)微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。用有限元方法分析工程结构的问题时，将一个理想体离散化后，如何保证其数值的收敛性和稳定性是有限元理论讨论的主要内容之一，而