江苏省泰州中学2023届高三下学期一模模拟数学试题+含解析

江苏省泰州中学2022-2023学年度第二学期高三一模模拟试

卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合M ，N 满足()M N N M ⋃⋃=，则（ ） A ．N =∅ B ．M N

C ．M N ⊆

D ．N M ⊆

2．若复数z 满足|34i |

12i z

+=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虛部是（ ） A ．103

-

B ．10i 3

-

C ．2i

D ．2

3．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M ，N 到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（ ）

A ．15π

B ．36π

C ．45π

D ．48π

4．已知平面单位向量a ，b ，c 满足2π

,,,3

a b b c c a 〈〉=〈〉=〈〉=，则32a b c ++=（ ） A ．0

B ．1

C

D

5．记函数()()cos (0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为T ．若π4πT <<，且点π,02⎛⎫

⎪⎝⎭

和直线

3π2x =分别是()y f x =图像的对称中心和对称轴，则T ＝（ ）

A ．

4π3

B ．

5π3

C ．

8π3

D ．

10π

3

6．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a 元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为r ．按复利计算，则小李每个月应还（ ） A ．

()

()

11

11

111

ar r r ++-元 B ．

()

()

12

12

111

ar r r +

+-元

C ．()11

111

a r +元

D ．()12

111

a r +元

7．在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a

b

-=>>的左，右焦点，

过1F 的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于点,A B ，点T 在x 轴上，满足23BT AF =，且2BF 经过1BFT 的内切圆圆心，则双曲线C 的离心率为（ ）

A

B ．2

C

D 8．已知函数()ln x x x

ϕ=

．设s 为正数，则在()

2

(),,(2)s s s ϕϕϕ中（ ） A ．()2

s ϕ不可能同时大于其它两个 B ．(2)s ϕ可能同时小于其它两个

C ．三者不可能同时相等

D 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知

n

x ⎛ ⎝的展开式中共有7项，则（ ）

A ．所有项的二项式系数和为64

B ．所有项的系数和为1

C ．二项式系数最大的项为第4项

D ．有理项共4项

10．一组样本数据12,,,n x x x ⋯的平均数为()0x x ≠，标准差为s ．另一组样本数据

122,,,n n n x x x ++⋯，的平均数为3x ，标准差为s ．两组数据合成一组新数据1212,,,,,,n n n x x x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅，

新数据的平均数为y ，标准差为s '，则（ ） A ．2y x > B ．2y x = C ．s s '>

D ．s s '=

11．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=，且()()()12f x x x x x =---'，12x x <，则（ ） A ．2x 是函数()y f x =的一个极大值点 B ．()()12f x f x <

C ．函数()y f x =在12

23

x x x +=处切线的斜率小于零 D ．1202x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭

12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，中心为O ，以O 为球心的球与四面体11AB CD 的四

，则球O 的半径为（ ）

A B C D 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．某研究机构采访了“一带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词表达对中国的印象，使用频率前12的关键词为：高铁､移动支付､网购､共享单车､一带一路､无人机､大熊猫､广场舞､中华美食､长城､京剧､美丽乡村.其中使用频率排前四的关键词“高铁､移动支付､网购､共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”.从这12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个“新四大发明”关键词的选法种数为___________（用数字作答）. 14．已知π3sin 65α⎛

⎫+= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则πtan 12α⎛⎫-= ⎪⎝

⎭____________.

15．设221:1O x y +=与22

2:(2)4O x y +-=相交于,A B 两点，则AB =________．

16．已知直三棱柱111ABC A B C 中，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，,D E 分别为棱11A C ，AB 的中点，过点1,,B D E 作平面α将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为1212,()V V V V <，则2V =__________；平面α截此三棱柱的外接球的截面面积为__________．

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知数列{}n a 是等差数列，11a =，且1a ，2a ，51a -成等比数列．给定*k ∈N ，记集合

{}*2,k n

n k a

n ≤≤∈N ∣的元素个数为k b ．

(1)求1b ，2b 的值；

(2)求最小自然数n 的值，使得122022n b b b ++⋯+>． 18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin b

C A B a

=--. (1)求A ；

(2)

设2a =，当b 的值最大时，求△ABC 的面积．

19．如图，在四棱锥E -ABCD 中，//AB CD ，1

2

AD CD BC AB ===，E 在以AB 为直径的半圆上（不包括端点），平面ABE ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为DE ，BC 的中点．

(1)求证：//MN 平面ABE ；

(2)当四棱锥E -ABCD 体积最大时，求二面角N -AE -B 的余弦值．

20．某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分(笔试得分都在[75,100]内)进行了统计分析，得到如下的频率分步直方图和22⨯列联表．

(1)请完成上面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”

与性别有关；

(2)公司决定：在笔试环节中得分低于85分的员工直接淘汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在[95,100]内的岗位等级直接定为一级(无需参加面试环节)；笔试得分在[90,95)内的岗位等级初定为二级，但有

2

5

的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在[85,90)内的岗位等级初定为三级，但有3

5的概率通过面试环节将三级晋升为二级．若

所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试．已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率．

①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；

①若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率． 参考公式：22

()n ad bc χ-=，.n a b c d =+++

)

0k

0.152.072

21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F P 为椭圆

上的动点.当12F PF ∠取最大值时，12PF F △（1）求椭圆的方程：

（2）若动直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且恒有0OA OB ⋅=，是否存在一个以原点O 为圆心的定圆C ，使得动直线l 始终与定圆C 相切？若存在，求圆C 的方程，若不存在，请说明理由

22．已知函数e 1()e 1

x x f x -=+（e

为自然对数的底数）.

(1)若不等式e 1

()e 1

f x ->

+恒成立，求实数x 的取值范围； (2)若不等式1

()ln 23

f x ax a <+-在(ln 2,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.

1．D 【分析】

利用并集和子集的定义即可求解 【详解】

由()M N N M ⋃⋃=可得,M N M N M ⋃⊆⊆，故D 正确；

当{}{}1,1,2N M ==，所以{}{}{}()1,211,2M N N M ⋃⋃=⋃==，故ABC 不正确 故选：D 2．D 【分析】

根据复数的运算法则求得z 即可求得虚部. 【详解】 由已知

|34i |12i z +=-，故()5

5=12i =12i 12i

z z -⇒=+-， 故z 的虛部是2. 故答案为：D 3．C 【分析】

为(1218)+ 的圆柱体积的一半，即可求解答案. 【详解】

如图为圆柱的轴截面图，过M 作容器壁的垂线，垂足为F, 因为MN 平行于地面，故30MNF ∠=︒ ，

椭圆长轴上的顶点M ，N 到容器底部的距离分别是12和18， 故18126NF =-= ,

在Rt MFN △中，

tan 30MF NF ︒==⨯，

(1218)+ 的圆柱体积的一半，

即为2

130452

ππ⨯⨯⨯= ，

故选：C. 4．C 【分析】

根据2π

,,,3

a b b c c a 〈〉=〈〉=〈〉=可得b c a +=-，替换a ，利用数量积的运算即可求解. 【详解】

如图，设,a OA =，,b OB =c OC =， 因为2π

,3

b c 〈〉=

，所以平行四边形OCDB 为菱形， 则ODB △为正三角形，所以1OD =，且,OA OD 反向，

所以b c a +=-，所以323()222a b c b c b c b c b c ++=--++=--=+， 因为2

2

2

2π1244cos 14411332b c b c b c ⎛⎫

+=++=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭

， 所以23b c +=， 故选:C. 5．A 【分析】

求出对称中心和对称轴之间的距离关系，根据周期的取值范围即可确定周期的值 【详解】 解：由题意

在()()cos (0)f x x ωϕω=+>中，

设对称点和与对称轴在x 轴上的交点间的距离为x 对称中心：()1π

πZ 2

x k k ωϕ+=+

∈

对称轴：()2πZ x k k ωϕ+=∈ 由几何知识得，12x x x =-

解得：42

T T

x K =+⋅（K 为属于*N 的参数） ①π4πT <<，且点π,02⎛⎫

⎪⎝⎭和直线3π2x =分别是()y f x =图像的对称中心和对称轴

①3ππ

π4222

T T x K =

+⋅=-= 解得：()4π

N 21

T K K *=

∈+ ①π4πT << ①1K =,4π3

T = 故选：A. 6．A 【分析】

小李的还款x 元每月要产生复利，小李的贷款a 元每月也要产生复利.这是本题的关键所在. 【详解】

设每月还x 元，按复利计算，则有

()()()()2

1011

11111x r r r a r ⎡⎤+++++++=+⎣

⎦

即()()

()11

11111111r x a r r ⎡⎤⨯-+⎣⎦=+-+ 解之得()

()

11

11

111

ar r x r +=+-，

故选：A 7．C 【分析】

根据双曲线的定义先推出2ABF △为正三角形，然后根据余弦定理解决. 【详解】

23BT AF =，①2AF BT ∥，①2212,AF B TBF AB AF ∠=∠=，

①2BF 经过1BFT 内切圆圆心，①2BF 为1F BT ∠的角平分线，

①122F BF TBF ∠=∠．①22ABF BF A ∠=∠，①2AB AF =， 21112a AF AF AB AF AF =-=-=，122,4AF a AF a ∴==，

12122236a BF BF AF BF a BF =-=-=-①24BF a =，于是224AB AF BF a ===， ①2ABF △为正三角形，122

3

F AF π∠=．

12F AF 中，由余弦定理，222144162242c a a a a ⎛⎫

=+⋅⋅⋅- ⎝-⎪⎭

①e

故选：C.

8．D 【分析】

利用导数分析函数()x ϕ的单调性和最值，并结合2,,2s s s 的大小关系，通过赋值或分类讨论分析判断. 【详解】 ①()2

1ln x

x x ϕ-'=

，则当0e x <<时，()0x ϕ'>，当e x >时，()0x ϕ'<， 故()x ϕ在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，则()()1e e

x ϕϕ≤=，且()()ln 2

242ϕϕ==，

对A ：若2e s =，则2s s ==()()22

(),(2)s s s s ϕϕϕϕ<<，A 错误；

对B 、C ：当01s <≤时，则2022e s s s <≤<≤<，故()2

()(2)s

s s ϕϕϕ≤<；

当12s <<时，则224s s <<<，故()()()(2)24s s ϕϕϕϕ=<<； 当2s =时，则224s s ==，故()()()2

2()(2)4s s s ϕϕϕϕϕ====；

当2s >时，则242s s <<，故()()2

2s s ϕϕ>；

综上所述：(2)s ϕ不可能同时小于()

()2

,s s ϕϕ，B 、C 错误；

对D ：构建()()26ln 146x x f x x x +=+-+，则()()()32

0123x f x x x '=-<++当()0,2x ∈时恒成立， 故()f x 在()0,2上单调递减，则()()00f x f <=，

令1x =，可得()71ln 2010f =-<，则7ln 210<，

故

ln 21

2e

<<，即()02,4x ∃∈，使得()0f x =

反证：假设()

2(),,(2)s s s ϕϕϕ()2

,,22,4s s s ∈，

显然不成立，假设不成立，D 正确. 故选：D. 【点睛】

关键点点睛：在比较ln 2()()26ln 146x x f x x x +=+-+，结

合导数分析判断. 9．ACD 【分析】

由题意可得6n =，对于A ，所有项的二项式系数和为2n ，对于B ，令1x =可求出所有项的系数和，对于C ，由二项式展开式的系数特征求解即可，对于D ，求出二项式展开式的通项公式，可求出所有的有理项 【详解】

因为

n

x ⎛

⎝的展开式中共有7项，

所以6n =，

对于A ，所有项的二项式系数和为6264=，所以A 正确，

对于B ，令1x =，则所有项的系数和为6

111264

⎛⎫

-= ⎪⎝⎭，所以B 错误，

对于C ，由于二项式的展开项共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，所以C 正确，

对于D ，6

x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为3662

16612r r

r r r r r T C x C x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝，当0,2,4,6r =时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，所以D 正确，

故选：ACD 10．BC 【分析】

由平均数与标准差的定义求解判断． 【详解】 由题意322nx n x

y x n

+⋅=

=， 2

2

2

2

2

2

121()()()n

n k k ns x x x x x x x nx ==-+-+

+-=-∑，

同理222

2

2

2

21

1

(3)9n

n

k

k k n k n ns x

n x x

nx =+=+=

-⋅=

-∑∑

两式相加得22

2

2

1

210n

k k ns x nx ==-∑，

222

2

2

2

2

1

1

22(2)8n

n

k

k k k ns x n x x nx =='=-⋅=-∑∑，

所以2222ns ns '>，s s '>． 故选：BC ． 11．AB 【分析】

根据导数符号与单调性的关系，以及极值的定义逐项分析判断. 【详解】 令0f

x

，解得12x x x <<，则()f x 在()12,x x 上单调递增，

令()0f x '<，解得2x x >或1x x <，则()f x 在()()12,,x x -∞+∞,上单调递减， 故2x 是函数()y f x =的一个极大值点，()()12f x f x <，A 、B 正确； ①121223x x x x +<

<，则12203x x f +⎛⎫

'> ⎪⎝

⎭，故函数()y f x =在1223x x x +=处切线的斜率大于零，C 错误； 又①12122x x x x +<

<，则()()12122x x f x f f x +⎛⎫

<< ⎪⎝⎭

，但无法确定函数值的正负，D 错误； 故选：AB. 12．BC 【分析】

根据正四面体性质可求得球心O 到正四面体每个面的距离d ；当正四面体每个面截得的

曲线为一个圆时，可求得小圆的半径r ，由222R r d =+可求得R ；当正四面体每个面截得的

曲线为三段等差的圆弧时，可得πcos 3⎛= ⎝⎭构造函数()πcos 3f r ⎛= ⎝⎭

利用导数可求得()f r 在()0,∞+上单调递增，可确定其唯一零点r =由222R r d =+可求

得结果. 【详解】

由题意可知：四面体11AB CD 为正四面体，设球O 的半径为R ；

正方体棱长为1，∴， 设球心O 到正四面体各个面的距离为d ，

正四面体体积11114111323V =-⨯⨯⨯⨯⨯=，表面积142S =⨯=

3V d S ∴=

=

①若正四面体的一个面截球如图所示，

设小圆半径为r ，则12π4r ==，解得：r =

222548R r d ∴=+=，解得：R =

①若正四面体的一个面截图如图所示，

每个面截球所得的曲线长为14=，MQ ∴，

设小圆半径为r ，1O 为正四面体侧面的中心，E 为MN 中点，

1QO M ∴∠=

113

O E =1

2π3

QO N ∠=， 1π3

MO E ∴∠=

π6cos 3r ⎛∴== ⎝

⎭

令(

)πcos 3f r ⎛=

⎝⎭(

)πsin 3f r ⎛'∴=- ⎝⎭，

2630636r -=

>恒成立，()f r ∴在()0,∞+上单调递增，

又ππcos 031222f ⎛⎫=

-=-= ⎪⎝⎭⎝⎭，r ∴

=， 222512R r d ∴=+

=

，解得：

R = 综上所述：球O 故选：BC. 【点睛】

关键点点睛：本题考查球的截面截球所得曲线相关问题的求解，解题关键是能够通过分类讨论的方式，确定正四面体各个侧面截球所得曲线的不同情况，从而根据不同情况下曲线长度来求解截面圆的半径. 13．164 【分析】

从这12个关键词中选择3个不同的关键词，分为包含一个、二个、三个“新四大发明”关键词的情况计算可得答案. 【详解】

把12个的关键词分为两组：高铁、移动支付、网购、共享单车一组，余下的为一组， 从这12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个“新四大发明”关键词的情况有

32112

44848164++=C C C C C 种.

故答案为：164. 14．7- 【分析】

根据同角三角函数基本关系求出πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭、πtan 6α⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭的值，再利用两角差的正切公式计

算πππtan tan 1264αα⎡⎤⎛

⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求解.

【详解】

因为π,π2α⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，所以π2π7π,636α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，

因为π3sin 065α⎛

⎫+=> ⎪⎝

⎭，所以π2π,π63α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，

所以π4cos 65α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，

所以π3sin π365tan 4π6cos 546ααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+=

==- ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝

⎭， 所以ππ3tan tan 1πππ644tan tan 73ππ1264111tan tan

464αααα⎛⎫+--- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+-=

==- ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦-⨯++ ⎪⎝

⎭， 故答案为：7-. 15

【分析】

先求出两圆的公共弦所在的直线方程，然后求出其中一个圆心到该直线的距离，再根据弦长、半径以及弦心距三者之间的关系求得答案. 【详解】

将22

1:1O x y +=和222:(2)4O x y +-=两式相减：

得过,A B 两点的直线方程：1

4

y = ， 则圆心1(0,0)O 到14y =

的距离为14

，

所以AB ==

，

16． 17

6

269

π 【分析】

取AC 中点1D ，取1AD 中点F ，连,EF DF ，1EF DB ，求出棱台的体积1V ，再由柱体体

积减去台体体积可得2V ；

利用向量法求出外接球球心到平面α距离d ，从而求出小圆的半径，即可得到答案； 【详解】

取AC 中点1D ，取1AD 中点F ，连,EF DF ，1EF DB

∴平面α为平面1DB EF ，1111A B D S =△，1

4

AEF S =

△ 11117123426V ⎛⎫=++⨯= ⎪⎝⎭，21717222266

V =⨯⨯⨯-=，

=

如下图建系，(0,0,0)B ，1(0,0,2)B ，(1,1,2)D --，(0,1,0)E -，

设平面α的法向量(,,)n x y z =，

100

n B D n DE ⎧⋅=⎨

⋅=⎩，0

20x y x z --=⎧∴⎨-=⎩，不妨设1z =，则2,2-==y x ，(2,2,1)n =- ∴球心(1,1,1)M --到平面α距离11

3

MB n d n

⋅=

=

， r ∴==

2

269S r ππ==．

故答案为：

176，269

π 17．(1)12b =，23b =； (2)11 【分析】

（1）利用等比数列的性质求得{}n a 公差，得通项公式n a ，写出1,2k =时的集合可得元素个数，即12,b b ；

（2）由（1）可得n b ，然后分组求和法求得和12n b b b ++

+，用估值法得10n =时和小于2022，

11n =时和大于2022，由数列的单调性得结论．

【详解】

（1）设数列{}n a 的公差为d ，由1a ，2a ，51a -成等比数列，得2

152(1)a a a -=，

21(141)(1)d d ⨯+-=+，解得1d =，所以n a n =，

1k =时，集合*{|12,}n n n ≤∈≤N 中元素个数为12b =， 2k =时，集合*{|24,}n n n ≤∈≤N 中元素个数为23b =；

（2）由（1）知21k

k b k =-+，

2122(12)(1)2(21)12222

n n

n n n n n b b b n -+++

+=-+=--+-，

10n =时，22(21)22n

n n --+=2001<2022，11n =时，22(21)22

n

n n --+=4039>2022，

记12n n T b b b =+++，显然数列{}n T 是递增数列，

所以所求n 的最小值是11.

18．(1)π

4

(2)125

【分析】

（1）由正弦定理，三角形内角和和三角函数公式化简等式，即可得出A .

（2）根据正弦定理将b 转化为关于B 的三角函数式，利用三角变换和正弦函数的性质

可求其最值，从而求出,b c ，即可求出△ABC 的面积 【详解】 （1）由题意 在△ABC 中，

()sin sin b

C A B a

=--，πA B C ++=， 由正弦定理得，

sin sin b B a A

= ①()sin sin πsin sin b

C A B a A B C b B

a A ⎧=--⎪⎪++=⎨⎪⎪=

⎩

，整理得到sin 2cos sin sin B

A B A =，

而B 为三角形内角，故sin 0B >，故sin 21A =，而()20,2πA ∈， 故π22

A =

即π4A =.

（2）由题意及（1）得

在△ABC 中，2a =，π

4

A =

，故外接圆直径2πsin 4

a

R ==，

故2sin 2sin sin 4b R B R C B B π⎤⎛

⎫==+ ⎪⎥⎝⎭⎦

))sin sin cos 2sin cos B B B B B =++=+，

()B ϕ=+，

其中cos ϕϕ=

=

π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 因为3π0,4B ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭，故3π,4B ϕϕϕ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭

，而3π3π5π,444ϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，

故()sin B ϕ+的最大值为1，此时π2

B ϕ+=，

故sin cos B ϕ==

cos sin B ϕ==

故b ==

，

且

)πsin sin sin cos 4C B B B ⎛

⎫=+=+= ⎪⎝⎭

故c ==

此时1112sin 225

ABC

S

bc A ===. 19．(1)证明见解析

【分析】

（1）取EC 的中点的F ，连接MF ，NF ，证得//MF DC ，得到//MF AB ，利用线面平行的判定定理得到MF ∥平面ABE ，同理得到//NF 平面ABE ，证得平面//MNF 平面ABE ，进而得到//MN 平面ABE .

（2）过E 作EO AB ⊥交AB 于O ，证得EO ⊥平面ABCD ，取CD 的中点G ，连接OG ，以O 为原点，分别以AB 为x 轴，以OE 为y 轴，以OG 为z 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面AEN 和平面ABE 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】

（1）证明：如图所示，取EC 的中点的F ，连接MF ，NF ， 因为M ，F 分别为ED 和EC 的中点，所以//MF DC ， 因为//AB DC ，所以//MF AB ，

因为AB ⊂平面ABE ，MF ⊄平面ABE ，所以MF ∥平面ABE ， 同理可得//NF 平面ABE ， 因为MF NF F =，MF ⊂平面MNF ，NF ⊂平面MNF ，

所以平面//MNF 平面ABE ，

因为MN ⊂平面MNF ，所以//MN 平面ABE .

（2）解：如图所示，过E 作EO AB ⊥交AB 于O ，

因为平面EAB ⊥平面ABCD ，平面EAB ⋂平面ABCD AB =，EO ⊂平面ABE ， 所以EO ⊥平面ABCD ，故EO 为四棱锥E -ABCD 的高，

要使四棱锥E -ABCD 体积最大，则E 为弧AEB 的中点，所以O 与AB 的中点， 取CD 的中点G ，连接OG ，因为//AB CD ，1

2

AD DC CD AB ===

，所以OG AB ⊥， 因为EO ⊥平面ABCD ，所以EO AB ⊥，EO OG ⊥，所以EO ，AB ，OG 两两垂直， 以O 为原点，分别以AB 为x 轴，以OE 为y 轴，以OG 为z 轴建立空间直角坐标系， 设1

2

AD DC CD AB a ===

=

，所以AE EB =， 可得()0,,0A a -，(),0,0E a

，30,4N a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则(),,0AE a a =

，70,4AN a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面AEN 的一个法向量(),,n x y z =，则00AE n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩

，可得0

704

ax ay ay +=⎧⎪

⎨=⎪

⎩， 令1x =，则平面AEN

的一个法向量为1,n ⎛=- ⎝⎭

， 平面ABE 的一个法向量为()0,0,1m =

，则73

3cos ,55m n m n m n

⋅<>===

由图可知二面角N AE B --的平面角为锐角， 所以二成角N AE B --

20．(1)表格见解析，没有； (2)①310

；①925.

【分析】