分式和分式方程讲义

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本次课授课目标

了解分式的有关概念，能利用分式的基本性质进行灵活的化简、计算活求值，能建立方程解决实际

问题

教学重点1、分式的基本性质

2、分式的化简

教学难点

分式方程的实际应用

教学步骤及内容一、错题回顾

二、知识总结

1、分式的概念（例1）

一般地，我们把形如

B

A

的代数式叫做分式，其中 A，B都是整式，且B含有字母。A叫做分式的分子,B叫做分式的分母，对于任意一个分式，分母B都不能为0.

注意：

(1)分式

B

A

中，A,B是两个整式，

B

A

是两个整式相除的商，分数线有括号和除号两个作用，如

n

m

n

m

-

+

可以表示)

(

)

(n

m

n

m-

÷

+；

(2)分式

B

A

中，B一定含有字母，而A可以含有字母，也可以不含字母；

(3)只有当0

≠

B时，分式

B

A

才有意义。

2、分式有（无）意义及分式值为零的条件（例2、

3、4）

分式有意义的条件是分母不为零，分式无意义的条件是分母等于零。分式的值等于零的条件是分式的

分母不为零且分子为零。即对于分式

B

A

，当0

=

B时，分式无意义；当0

≠

B时，分式有意义；当0

0≠

=B

A且时，分式的值为零。

注意：解决有关分式的值为零的问题，由分子等于零求出字母的取值后，一定要代入分母中进行检验，保证分母不等于零。

3、分式的基本性质（例5）

分式的分子和分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示：

M

B

M

A

B

A

M

B

M

A

B

A

÷

÷

=

?

?

=,。其中，M是不等于0的整式。

注意：（1）“M是不等于0的整式”是基本性质的一个约束条件。

（2)分式的基本性质是分式变形的根据。

4、分式的约分和最简分式（例6）

（1）约分：把分式中分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。

（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。

注意：

（1）当分式的分子与分母都是单项式时，可直接约分；

（2）当分式的分子或分母是多项式时，先对多项式进行因式分解，再约去它们的公因式；

（3）当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，先把负号提到分式的前面，再约分；

（4）约分的结果应是最简分式或整式。

5、分式的乘法（例7）

分式的乘法法则：分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示：D

B C A D C B A ??=?。 注意：（1)分式与分式相乘时，若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法法则运算后再约分；若分子、分母都是多项式，可先对分子、分母分解因式，经约分后，再进行乘法运算；若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”参与计算。

（2）运算的结果必须是最简分式或整式。

6、分式的除法(例8）

分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表示：C

B D A

C

D B A D C B A ??=?=÷ 注意：分式的除法运算，抓住“一变一倒”，即变除法为乘法，把除式的分子、分母的位置颠倒，如果除式是整式，应把它的分母看为“1”。

7、分式的乘方运算（例9）

分式的乘方法则：为正整数）n a

b a b n n

n ()(=，就是说，分式的乘方等于把分子、分母分别乘方。 注意：分式乘方时，一定要把分式加上括号；分式乘方运算时，要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。

8、同分母的分式加减法（例10）

同分母的分式加减法法则：同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）。用式子表示：B

C A B C B A ±=±

注意：（1）当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号，合并同类项；

（2）分式相加减的结果应化为最简分式或整式。

9、分式的通分（例11、12）

把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫做分式的通分。这个相同的分母叫做这几个分式的公分母。

注意：1、通分的依据是分式的基本性质，几个分式的公分母通常不止一个，但选取的公分母越简单，运算也就越简单。一般地，我们常选用这几个分式的最简公分母。

2、确定最简公分母的一般方法是：

（1）如果各分母都是单项式，确定最简公分母的方法：①取各分母系数的最小公倍数；②单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，这样得到的积就是最简公分母.

（2）如果各分母都是多项式，就要把它们分解因式，再按照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去求.

10、异分母的分式加减法（例13）

异分母的分式加减法法则：异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再相加（减）。用式子表示：BD

BC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 11、分式方程的概念(例14）

分母中含有未知数的方程叫做分式方程.例如：y

y y x -+=-=3323,51.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）.判断一个方程是不是分式方程，应看这个方程的分母是否含有未知数.

12、分式方程的解法（例15）

解分式方程的一般步骤：

（1）在方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；

（2）解这个整式方程；

（3）检验.可代入分式方程检验，也可代入最简公分母检验.

解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程，再利用整式方程的解法求解.而转化的关键是去掉分式方程中的分母，去分母一般是用分式方程中各分母的最简公分母去乘以分式方程的两边.

13、分式方程的增根（例16、17）

解分式方程时，我们需把分式方程化为整式方程，这时整式方程的根就有可能不是原分式方程的根（这样的根使原分式方程的分母为零），这样的根我们就称为分式方程的增根.

14、列分式方程解决实际问题的一般步骤（例18）

列分式方程解简单的实际问题的过程与列一元一次方程解实际问题的过程基本相同.简单地可分为：审、设、列、解、检、答六个方面.具体来讲就是：

（1）审：弄清题意；

（2）设：设未知数；

（3）列：根据题目中等量关系列出分式方程；

（4）解：解分式方程；

（5）检：检验，包括两个方面：一是检验是否为所列分式方程本身的根，二是检验是否符合实际意义；

（6）答：写出答案（包括单位名称）.

三、例题讲解

1、下列式子是分式的是（ ）

A.

2x B.)1(1

-≠+x x x C.y x +2 D.πx 2、若分式1

2+x x 有意义，则x 的取值范围是____________. 3、当_______=x 时，分式123-x 无意义。 4、当_______=a 时，分式

2312++-a a a 的值为零。

5、把分式y

x x +2的x 和y 都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.不变 D.缩小2倍

6、约分：

（1）z xy y x 5421812- （2）22)

(2)(4a b c b a c -- （3）99622-+-x x x

7、计算：

（1）b a a b ?-22 (2)b a cd c ab 222342-? (3)2

39322+-?-+x x x x x

8、计算：

（1）432

432y x y x -÷ （2）x x x x x x +-÷-+-2221112 （3))(222b ab b a b a -÷+-

9、计算：

（1）2)2(a b - (2)322222)2(8)2(y

m y x mn xy -?÷-

10、计算：

（1）a c b a c b -++ （2）2422---x x x （3）y

x y x y xy y y x y x -+-++-+2

2222

11、分式xy

y x x y 41,3,22的最简公分母是___________. 12、通分：

（1）2

26,31x y xy - （2）621,912--x x

13、计算：

（1）

211+-x x （2）31922+--m m m （3）111-++a a

14、下列选项是分式方程的是（ )

A.

7513x x -+- B.654+-=y y C.)0,0,(≠≠=+b a b a x b a a x 为常数， D.0121=++y

15、解方程

（1）

213132=+-+-x x x （2）21482-=+-x x x

16、解方程：

32121---=-x x x

17、若方程

8717=----x

x m x 有增根，求m 的值.

18甲乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲乙两人每天共加工35个玩具，求甲乙两人每天各加工多少个玩具？

四、中考链接

1、当=x ________时，分式2

3-x 无意义. 2、若分式1

12+-x x 的值为0，则实数x 的值为________. 3、计算：(1) b a a b ?23 (2)b

a b a b ab a b a +-÷++-2222222

4、计算：（1）1112+-+a a a （2）2

44422---++x x x x x

5、先化简，再求值：

1

21)111(

22+-+÷-+-+x x x x x x x ，其中2=x

6、解方程：

13

26-+=-x x x

7、甲队修路120m 与乙队修路100m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10m ，求甲队每天修路多少米？

五、巩固提高

1、约分：（1）4

4422++-x x x （2）x x x +-221

2、当2,1=-=y x 时，求分式xy

y x x --222的值.

3、计算：（1）34244622--?+--x x x x x （2）xy

x y x y xy x y x 93396922222++÷++-

4、计算：（1)

a b a b a b a -+-+2 (2)342+-x x

5、化简求值：4)223(

2-÷--+x x x x x x ，其中3-=x .

6、解方程：

121=--x

x x

7、轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米，所用的时间，恰好与它在静水中航行80 千米所用的时间相等，水的流速是3千米/时.求轮船在静水中的速度.

上次作业完成情况□优秀□良好□一般□未做授课老师评价：

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