2021-2022年高中数学 第二章 推理与证明章末过关检测卷 新人教A版选修2-2

2021年高中数学第二章推理与证明章末过关检测卷新人教A版选

修2-2

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(xx·开封高二检测)根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是(C)

A．归纳推理B．类比推理

C．演绎推理D．非以上答案

解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.

2．余弦函数是偶函数，f(x)＝cos(x＋1)是余弦函数，因此f(x)＝cos(x＋1)是偶函数，以上推理(C)

A．结论正确 B．大前提不正确

C．小前提不正确 D．全不正确

解析：f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．

3．下面四个推理不是合情推理的是(C)

A．由圆的性质类比推出球的有关性质

B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°

C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分

D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行

动物都是用肺呼吸的

解析：A 是类比推理，B 、D 是归纳推理，C 不是合情推理．

4．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (6)>5

2，f (8)>3，

f (10)>7

2

，观察上述结果，可推测出一般结论为(C )

A ．f (2n )＝n ＋2

2

B ．f (2n )>

n ＋2

2

C ．f (2n )≥

n ＋2

2 D ．f (n )>n

2

解析：观察所给不等式，不等式左边是f (2n )，右边是

n ＋2

2

，故选C.

5．下列推理是归纳推理的是(B )

A ．A ，

B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式

C ．由圆x 2

＋y 2

＝r 2

的面积pr 2

，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1的面积S ＝pab

D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

解析：从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.

6．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12

＋1＜1＋1，不等式成立；

(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2＜（k 2＋3k ＋2）＋k ＋2＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1，所以n ＝k ＋1时，不等式成立．

则上述证法(D )

A ．过程全部正确

B ．n ＝1验得不正确

C ．归纳假设不正确

D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确

解析：在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的归纳假设，不是数学归纳法．故选D. 7．下列推理正确的是(D )

A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有：log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y

B ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有：sin(x ＋y )＝sin x ＋sin y

C ．把(ab )n 与(a ＋b )n 类比，则有：(x ＋y )n ＝x n ＋y n

D ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有：(xy )z ＝x (yz )

8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12

＝

n （2n 2＋1）

3

时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是(B )

A ．(k －1)2＋2k 2

B ．(k ＋1)2＋k 2

C ．(k ＋1)2 D.1

3

(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]

解析：n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2…＋22＋12，n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，

∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2

＋k 2

.

9．(xx·江西省六校高三3月联考数学文11)某同学在纸上画出如下若干个三角形：△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……若依此规律，得到一系列的三角形，则在前xx 个三角形中共有▲的个数是(C )

A ．64

B ．63

C ．62

D ．61

解析：前n 个三角形中共有▲的个数是1＋2＋3＋…＋n ＋n ＝

n （n ＋3）

2

，由

n （n ＋3）

2

＝xx ，解得n ＝62，选C.

10．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 分别为a 、b 、c 边所对的角，若a 、b 、c 成等差数列，则∠B 的范围是(B )

A.? ????0，π4

B.? ????0，π3

C.? ????0，π2

D.? ??

??π2，π

解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ，

∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2

＋c 2

－? ???

?a ＋c 22

2ac ＝3（a 2＋c 2）8ac －14≥6ac 8ac －14＝1

2

.

∵余弦函数在? ????

0，π2内单调递减，故0＜∠B ≤π3.故选B.

11．观察数表： 2 3 4 5……第二行 3 4 5 6……第三行 4 5 6 7……第四行 … … … … … … … …

第一列 第二列 第三列 第四列

根据数表所反映的规律，第n 行第n 列交叉点上的数应为(A )

A ．2n －1

B ．2n ＋1

C ．n 2－1

D ．n 2 12．(xx·湖北武汉调研测试)如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模

型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4(从左至右)出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；…；依此类推，则按网络运作顺序第n 行第1个数(如第2行第1个数为2，第3行第1个数为4…)是(D )

A.

n 2－n ＋1

2

B.

n 2＋n ＋1

2

C.

n 2＋n ＋2

2

D.

n 2－n ＋2

2

解析：由题意分析可知，第n 行总共有n 个数字，n ∈N *，∴第n 行中最小的数字为

1＋(1＋2＋…＋n －1)＝1＋

n （n －1）

2

＝

n 2－n ＋2

2

，最大的数字为

n 2－n ＋2

2

＋n －1＝

n 2＋n

2

，而第n 行中第一个出现的数字是行中最小的，即

n 2－n ＋2

2

.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)

13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．

解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．

答案：x ，y 都大于1

14.

2＋23＝2

23， 3＋38＝3

38， 4＋415＝44

15

，…，若 6＋a b

＝

6

a

b

(a ，b 均为实数)，请推测a ＝________，b ＝________． 解析：由2＋23，3＋38，4＋4

15

可以求出3＝22－1，8＝32－1，15＝42－1，所以在6

＋a

b

中，

a ＝6，

b ＝a 2－1＝62－1＝35.

答案：6 35

15．如图，对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：

仿此，52的“分裂”中最大的数是________，53的“分裂”中最小的数是________． 解析：依题意推知：

因此52的“分裂”中最大的数为9，53的“分裂”中最小的数为21. 答案：9 21

16．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类

比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16

T 12

成等

比数列．

解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每

4项的积的商成等比数列．即T 4，T 8T 4，T 12T 8，

T 16

T 12

成等比数列．

答案：T 8T 4

T 12

T 8

三、解答题(本大题共6小题，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)

17．(本小题满分11分)如图所示，设SA 、SB 是圆锥SO 的两条母线，O 是底面圆心，

C 是SB 上一点，求证：AC 与平面SOB 不垂直．

证明：假设AC ⊥平面SOB ，因为直线SO 在平面SOB 内，所以SO ⊥AC ，因为SO ⊥底面圆O ，所以SO ⊥AB ，因为AB ∩AC ＝A ，所以SO ⊥平面SAB .

所以平面SAB ∥底面圆O ，这显然与平面SAB 与底面圆O 相交矛盾，所以假设不成立，即AC 与平面SOB 不垂直．

18．(本小题满分11分)已知：A ，B 都是锐角，且A ＋B ≠90°，(1＋tan A )(1＋tan

B)＝2.求证：A＋B＝45°.

证明：∵(1＋tan A)(1＋tan B)＝2，

展开化简为tan A＋tan B＝1－tan A tan B.

∵A＋B≠90°，tan(A＋B)＝tan A＋tan B

1－tan A tan B

＝1.

又∵A，B都是锐角，∴0°

∴A＋B＝45°.

19．(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0，2c＞a＋b，求证：c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab.

证明：要证c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab，

只需证－c2－ab＜a－c＜c2－ab，

即证|a－c|＜c2－ab，

只需证(a－c)2＜(c2－ab)2，

只需证a2－2ac＋c2＜c2－ab，即证2ac＞a2＋ab，因为a＞0，所以只需证2c＞a＋b.

因为2c＞a＋b成立．

所以原不等式成立．

20．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长都是有理数，求证：

(1)cos A是有理数；

(2)对任意正整数n, cos nA和sin A·sin nA是有理数．

证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知

cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 2

2AB ·AC

是有理数．

(2)用数学归纳法证明 cos nA 和sin A ·sin nA 都是有理数．

①当n ＝1时，由(1)知cos A 是有理数，从而有sin A ·sin nA ＝1－cos 2A 也是有理数．

②假设当n ＝k (≥1)时，cos kA 和sin A ·sin kA 都是有理数． 当n ＝k ＋1时，

由cos(k ＋1)A ＝cos A ·cos kA －sin A ·sin kA ， sin A ·sin(k ＋1)A

＝sin A ·(sin A ·cos kA ＋cos A ·sin kA )

＝(sin A ·sin A )·cos kA ＋(sin A ·sin kA )·cos A ，由①和归纳假设，知cos(k ＋1)A 和sin A ·sin(k ＋1)A 都是有理数．

即当n ＝k ＋1时，结论成立．

综合①②可知，对任意正整数n ，cos nA ，sin A ·sin nA 是有理数． 21．(本小题满分12分)已知a 、b ∈R，求证：|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥|a ＋b |

1＋|a ＋b |

.

证明：设f (x )＝

x

1＋x

，x ∈[0，＋∞)．设x 1、x 2是[0，＋∞)上的任意两个实数，且0≤x 1

则f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 2－x 11＋x 1＝x 2－x 1

（1＋x 1）（1＋x 2）

.

因为x 2>x 1≥0，所以f (x 2)>f (x 1)．

所以f (x )＝x

1＋x 在[0，＋∞)上是增函数．(大前提)

由|a |＋|b |≥|a ＋b |≥0(小前提) 知f (|a |＋|b |)≥f (|a ＋b |) 即

|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥|a ＋b |

1＋|a ＋b |

成立．

22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1

a n

－1，且a n >0，

n ∈N *.

(1)求a 1，a 2，a 3；

(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．

解析：(1)a 1＝S 1＝a 12＋1a 1

－1，即a 2

1＋2a 1－2＝0，

∵a n >0，∴a 1＝3－1.

S 2＝a 1＋a 2＝a 22＋1

a 2－1，即a 22＋2

3a 2－2＝0，∴a 2＝5－ 3. S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 32＋1

a 3

－1，

即2a 23＋25a 3－2＝0，∴a 3＝7－ 5. (2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *. 下面用数学归纳法证明：

①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立．

②假设n ＝k (k ∈N *

)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立．

当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝?

????a k ＋12＋1a k ＋1－1－? ????a k 2＋1a k －1＝a k ＋12＋1

a k ＋1

－2k ＋1. ∴a 2k ＋1＋2

2k ＋1a k ＋1－2＝0. ∴a k ＋1＝2（k ＋1）＋1－2（k ＋1）－1.即当n ＝k ＋1时猜想也成立． 综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．