A
A I -≤
+-11
)(1
二、误差分析介绍
定义：如果线性方程组b Ax =中，A 或b 的元素的微小变化，就会引起方程组解的巨大变化，则称该方程组为“病态”方程组，矩阵A 称为“病态”矩阵，否则称方程组为“良态”方程组，矩阵A 称为“良态”矩阵。
1、常数项b 的扰动对方程组解的影响 设常数项b 有误差b δ，解有误差x δ，则
b
A x b A x b A x b x A b b x x A δδδδδδδδδδ?≤?=?=?=?+=+---111)(
又因为
b
A x x A b Ax b b Ax ≤
??≤?=?=1
所以有
b
b
A
A x
x
δδ?
?≤-1
即由常数项产生的相对误差，可能将解的相对误差放大1
-?A A 倍。
2、系数矩阵A 的扰动对方程组解的影响 设系数矩阵A 有误差A δ，解有误差x δ，则
x
A A A A I x x A A A A I x x A x A A I A Ax x A A x A x A x A b
x x A A ???+≤??+-=??-=+?-=+?=?++??=++-------δδδδδδδδδδδδδδδδδδ1111111)()()()(0))((
设11
<-A A δ则有
A
A A A I δδ1
1111
)(----≤
+ 所以有
A
A
A A A
A
A
A x
x
A
A
A A A A A A x
x
x
A A A A I x δδδδδδδδδδδ?
?-?
?≤
?
?-?≤-?≤
?
???+≤---------111
11
1111111)(
即由系数矩阵产生的相对误差，可能将解的相对误差放大1
-?A A 倍。
3、条件数
定义：设A 为非奇异矩阵，?为矩阵的算子范数，则称
1)(-?=A A A cond
为矩阵A 的条件数
4、常用条件数：
1）1
1
11)(-?=A A A cond
2）∞
-∞
∞?=1)(A A A cond 3）)
()
()
(1
)()(min max min max 2
1
2
2A A A A A A A A A
A
A cond T
T T
T
λλλλ==?=- 6.2 解线性方程组的迭代法
一、基本思想
f
Bx x f Bx x b
Ax k k +=?+=?=+)()1(
取初始向量)
0(x
逐步代入迭代式求解
例：求解方程组
???
??=+--=-+-=--2
.453.82102.7210321
321321x x x x x x x x x 解：将方程组同解变形为
???
??++=++=++=84
.02.02.083.02.01.072
.02.01.0213
312321x x x x x x x x x 建立迭代式
???
????++=++=++=+++84.02.02.083.02.01.072
.02.01.0)(2)(1)1(3)
(3)(1)1(2
)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 取初值)0,0,0(),,()
0(3)0(2)
0(1
=x x x 进行迭代求解，得
30000.1,20000.1,10000.1321≈≈≈x x x
二、简单迭代法（Jacobi 迭代法） 1、一般形式
)
,,2,1()(1)
,,2,1()
(1
)
,,2,1(1
)()
1(1
1
n i x a b a x
n i x a b a x n i b x a
n
i
j j k j ij i ii k i
n
i
j j j ij i ii i i
n
j j ij
=-=?=-=?==∑∑∑≠=+≠==
2、矩阵形式
J
k J k f x B x b D x U L D x b x U L Dx b x U L D b
Ax +=?++=?++=?=--?=+--)()1(11)()()(
其中：b D f U L D B J J 11),(--=+=
三、Gauss-Seidel 迭代法
1、思想：每次迭代时充分利用当前最新的迭代值。即在进行第k+1次迭代计算分量
)
1(+k i
x 时，前面的i-1个分量用已经算出的k+1次迭代值，后面的n-i+1个分量则用上次的
迭代值。
2、一般形式
)
,,2,1()(1)
,,2,1()
(1
)
,,2,1(1
)
(1
1
)1()
1(1
1
n i x b x a b a x n i x a b a x n i b x a
n
i j k j
ij i j k j ij i ii k i
n
i
j j j ij i ii i i
n
j j ij
=--=?=-=?==∑∑∑∑+=-=++≠==
3、矩阵形式
G
k G k k k k k k f x B x b L D Ux L D x b Ux Lx Dx b x U L Dx b x U L D b
Ax +=?-+-=?++=?++=?=--?=+--+++)()1(1)(1)1()()1()1()()()()(
其中：b L D f U L D B G G 11)(,)(---=-= 四、迭代法的收敛性
定理：迭代法f Bx x
k k +=+)()
1(对任意f x ,)0(收敛的充要条件是1)(
定理：设x*为线性方程组的精确解，若1
)1()()
(1*---≤
-k k k x x B
B x
x
定理：若线性方程b Ax =中的A 为严格对角占优矩阵，则Jacobi 法和G-S 法均收敛。
6.3 非线性方程的迭代解法
一、简单迭代法
1、迭代法的基本思想
1）将f (x ) = 0化为等价方程)(x x ?=（称)(x ?为迭代函数） 2）建立迭代式)(1k k x x ?=+
3）选取初值0x 产生迭代序列}{k x
4）若*
lim x x k n =∞
→，则序列中含有满足精度要求的近似根
例：求方程0210)(=+-=x x x f 的一个根
解：
将原方程改为等价方程为：
)
2lg(2100
210+=?+=?=+-x x x x x x 由此得迭代格式：
)2lg(1+=+k k x x
因为f (0) = 1>0 f (1) = -7 <0，则方程在[0, 1]中必有一实根，取初始值x 0 = 1，可逐次算得 x 1 = 0.4771 x 2 = 0.3939 … x 6 = 0.3758
x 7 =0.3758
因为x 6和x 7已趋于一致，所以取x 7 = 0.3758为原方程在[0, 1]内的一个根的近似值。
2、迭代的几何意义
3、迭代过程的收敛性 一个方程的迭代格式并不是唯一的，且迭代也不总是收敛的。如上例中取等价方程为
210-=x x
得迭代格式
2101-=+k x k x
仍取x 0 = 1算得： 82101=-=x
88210210≈-=x
,2108
103-=x
显然，该迭代是散的。
设f(x)=0的 根为α，迭代函数为)(x ?，则有：
)(α?α=
|
|)())(()()()
(1111q x x x x x x x x n n n n n n n n ='=---'=--=-=++++ξ?α
ααξ?αα??α? 即若|q|<1，则n+1次的迭代值比n 次的迭代值要小。
定理：设迭代函数?(x )在[a,b]上具有连续的一阶导数，且满足 （1）当x ∈[a, b]时，?(x )∈[a, b]
（2）)1,0(∈?L ，对],[b a x ∈?有L x ≤)('?
则有
（1）方程x = ? (x )在[a, b]上有唯一的根x *,并且对任意初值x 0∈[a, b]时，迭代序列x k +1=? (x k ) (k = 0, 1, …)收敛于x *。
（2）
k k k x x L
x x --≤
-+1*11
),2,1(10
1*
=--≤-k x x L
L x x k
k
证明：
（1）首先证x *的存在性，再证其唯一性
1）存在性： 令g (x )=x -?(x )
因为?(x )在[a,b]上具有连续的一阶导数 所以?(x )在[a,b]上连续，即g (x ) 在[a,b]上连续 又因为当x ∈[a, b]时，?(x )∈[a, b] 故有
)()(0
)()(≥-=≤-=b b b g a a a g ??
所以存在0)(],,[**=∈x g b a x 即)(**x x ?= 2）唯一性
设*x 满足)(**x x ?=
则))(()()(******x x x x x x -'=-=-ξ??? 即0)](1)[(**='--ξ?x x 又因为1)('<≤L ξ?
0)('1≠-ξ?
所以0**=-x x 即**x x =
3）由微分中值定理及本定理中的条件可得
*11*2***1*)(')()(x x L x x L x x L x x x x x x k k k k
k k -≤≤-≤-≤-=-=-+-+ ξ???
又因为L<1所以
0lim lim 1*1*=-≤-+∞
→+∞
→k k k k k x x L x x
即*
lim x x k k =∞
→
（2）由定理中的条件得
k
k k k k k k k k k k k k x x L x x L x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --=---≥-'--=---=---≥---=-+++****
***1**1**1)1()()()()
(ξ???
即：k k k x x L
x x --≤-+1*
11
（2）
1
111)()
()(---+-≤-'=-=-k k k k k k k k x x L x x x x x x ξ??? 则由前面的结论可得
011
1*1111
x x L
L x x L
L x x L x x k k k k
k k --≤--≤--≤
--+
结论：只要1--k k x x 充分小，就可以保证k x x -*
足够小。因此可用条件
ε<--1k k x x
来控制迭代过程的结束。
局部收敛性：对于保证收敛的条件1)('<≤L x ?，在较大范围的含根区间有时可能不成立。因此，在实际使用迭代法时，常在*
x 邻近范围内考虑。对于迭代函数?(x )，若存在*
x
的一个邻域δ≤-?*
:x x ，迭代过程对于任意的?∈0x 均收敛，则称此迭代具有局部收
敛性。
4、迭代过程的收敛速度
一种迭代格式要具有实用意义，不但需要肯定是收敛的，还要求它收敛得比较快，就是
说要有一定的收敛速度，否则未必有实际意义。
定义：设由某方法确定的序列{x k }收敛于方程的根x *，记),2,1,0(* =-=k x x e k k 表示各步的迭代误差，若存在正实数p ，使得
)0(lim
1
≠=+∞→C C
e e p
k
k k
则称序列{x k }是p 阶收敛的，或称该方法具有p 阶敛速。当p = 1时，称该方法为线性（一次）收敛；当p = 2时，称方法为平方（二次）收敛；当1< p< 2时，称方法为超线性收敛。
由该定义易见，一个方法的收敛速度实际就是绝对误差的收缩率，敛速的阶p 越大，绝对误差缩减得越快，也就是该方法收敛得越快。
定理：对于迭代过程)(1k k x x ?=+，如果迭代函数)(x ?在所求根x *的邻近有连续的二阶导数，且1)(*
<'x ?，则有
（1）当0)(*≠'x ?时，迭代过程线性收敛。
（2）当0)(*
='x ?而0)(*
≠''x ?时，迭代过程平方收敛。 证明： （1）
k
k k k k e x x x x x x e )()
)(()()(*
**
11ξ?ξ???'=-'=-=-=++
0)()(lim lim
*1
≠'='=∞
→+∞→x e e k k
k k ?ξ?
即为线性收敛
（2）
k
k k k k k e x x x x x x x x x x x e 2
)
()()(!
2)
())(()()
()(*2****
**
11ξ??ξ?????''=
--''+-'+=-=-=++
02)(2)(lim lim *21≠''=''=∞→+∞→x e e k k
k k ?ξ? 即为平方收敛 二、牛顿迭代法
牛顿法是求解方程f (x ) = 0的一种重要的迭代法。它是一种将非线性方程f (x ) = 0逐步线性化的方法，是解代数方程和超越方程的有效方法之一。
1、牛顿法的迭代公式 设方程f (x ) = 0的一个近似根x 0，把f (x )在x 0处作Taylor 展开，
+-''+
-+=200000)(!
2)
())((')()(x x x f x x x f x f x f 取前两项来近似代替f (x )（称为f (x )的线性化），则得近似的线性方程
0))((')()(000=-+≈x x x f x f x f
设0)('0≠x f ，解之得
)
(')
(000x f x f x x -
=
取x 作为原方程f (x ) = 0的近似根x 1，即
)
(')
(0001x f x f x x -
=
重复用上述方法得
)
(')(1112x f x f x x -
=
由此，得迭代公式
)
(')
(1k k k k x f x f x x -
=+
该式称为求解f (x ) = 0的牛顿迭代公式，其迭代函数为：
)
(')
()(x f x f x x -
=? 2、牛顿法的几何意义
设x k 为x *的近似值，过曲线y= f (x ) 上对应点（x k , f (x k )）作f (x ) 的切线，其切线方程为 ：
))((')(k k k x x x f x f y -+=
求此切线方程和x 轴的交点，即得x *的新的近似值x k +1必须满足方程
0))((')(=-+k k k x x x f x f
即：
)
(')
(1k k k k x f x f x x -
=+
由图可知，只要初值取得合适，序列{x k }就会很快收敛于x *。 因为牛顿法有这一明显的几何意义，所以牛顿法也称为切线法。 3、牛顿法的收敛性
例：用牛顿迭代法建立求平方根)0(>c c 的迭代公式
解：
设c x x f -=2
)(
由牛顿法公式得迭代函数为：
x
c
x x x f x f x x 2)(')()(2--
=-=? 则迭代公式为
k
k k k x c
x x x 221
--
=+
或 ???
? ??+=+k k k x c x x 211 三、弦割法
牛顿迭代法虽然有较高的收敛速度，但要计算导数值f’ (x k )，这对复杂的函数f (x )是不方便的，因此构造即有较高的收敛速度，又不含f (x )的导数的迭代公式是十分必要的。
1、单点弦割法 为避免导数的计算，用差商
b
x b f x f a x a f x f ----)
()()()(或
来替代牛顿迭代法公式中的导数f’ (x )，于是得
)()
()()()()(x f b f x f b
x x x x f a f x f a x x x ---=---
=或
按上式进行迭代计算就称单点弦截法。
1、)()(x f x f '''与同号
过A 、B 两点作弦AB ，其方程为： a
b a f b f a x a f y --=--)()()(
令y=0，得与x 轴交点x 1为：
)()
()(1a f b f a f b
a a x ---
=
设y=f (x )上横.坐标为x 1的点为A 1为，过A 1、B 两点作弦A 1B ，与x 轴的交点x 2为：
)()
()(11112x f b f x f b
x x x ---
=
如此，取初值x 0=a ，则迭代格式为
)()
()(1n n n n n x f b f x f b
x x x ---
=+
其计算序列收敛于方程的根 2、)()(x f x f '''与异号 取初值x 0=b ，则迭代格式为
)()
()(1n n n n n x f a f x f a
x x x ---
=+
其计算序列收敛于方程的根
2、双点弦割法
如果导数f’(x n )改用
11)
()(----n n n n x x x f x f 来代替，则迭代公式为：
)()
()()
(111--+---
=n n n n n n n x x x f x f x f x x
由该公式确定的迭代法称双点弦截法。
双点弦截法的几何意义是用弦AB 与x 轴交点的横坐标，代替曲线y = f (x )与x 轴交点
的横坐标x *的近似值。 四、牛顿下山法
1、主要问题
牛顿法的收敛性一般依赖于初始值x 0的选取，如果x 0偏离x *较远，则牛顿法可能发散。 例：用牛顿法求方程f (x ) = x 3 – x – 1 = 0的根（x * = 1.32472） 解：由牛顿法公式得迭代函数为：
1
31
)(')()(2
3----=-=x x x x x f x f x x ?
则迭代格式为：
1
31
2
31----=+k k k k k x x x x x 取初值x 0 = 0.6，则
9.171
31
2
003001=----=x x x x x 显然x 1比x 0更偏离所求根x * 2、解决方法
在迭代过程中附加一项要求，保证函数的绝对值单调下降，即：
)()(1k k x f x f <+
满足这种要求的算法称为牛顿下山法
3、牛顿下山法迭代公式的构造
将牛顿的迭代公式修改为
)
(')
(1k k k k x f x f x x λ
-=+
其中10≤<λ称为下山因子，其选取应使)()(1k k x f x f <+成立。 4、下山因子的选取
下山因子的选择采取逐步探索的过程，开始时可简单地取λ = 1，然后逐步分半减少，即可选取 ,21,21,
12
=λ，一旦)(()1k k x f x f <+则称为“下山成功”，否则称“下山失败”，此时，需另选择初值进行计算。
例：用牛顿法求方程f (x ) = x 3 – x – 1 = 0的根 解：由牛顿法公式得迭代函数为：
1
31
)(')()(2
3----=-=x x x x x f x f x x ? 则迭代格式为：
1
31
2
31----=+k k k k k x x x x x 取初值x 0 = 0.6，用牛顿下山法计算结果如下表：
k λ
x k 0 1 0.6 1 1/25 1.14063 2 1 1.36681 3 1 1.32628 4
1
1.32472
结论：牛顿下山法不但放宽了初值x 0的选取，且有时对某一初值，虽然用牛顿法不收敛，但用牛顿下山法却可能收敛。
6.5 迭代法的加速
一、松弛法
1、思想：将)
1(+k i
x 和)
(k i
x 进行加权平均作为第K+1次的迭代值，则可能产生更精确的
近似值，从而加快迭代速度。
2、方法：
n i a x a
x a d x
ii n
i j k j
ij
i j k j
ij i k i ,,2,1,/)(?1
)
(1
1
)
1()
1( =-
-=∑∑+=-=++（预测）
)?(?)1()()1()
()
1()
()
1(k i k i k i
k i k i
k i
x x
x x
x x -+=+-=+++ωω（加工） ω称为松弛因子，可证明要保证迭代格式收敛必须要求0<ω<2 ω<1：低松弛法
ω=1：高斯-塞德尔法 ω>1：超松弛法 二、Aitken 加速
问题：已知迭代式)(1k k x x ?=+，如何以此迭代式为基础，建立速度更快的迭代式。 思想：对已有的迭代式进行误差估计，将估计值加到1+k x 中，可能产生更精确的近似值。
1、迭代公式的加工
)
()
)(()
()()(11ααξ?α??α?-=-'=-=-=++n n n n n n x q x x x x x
整理得：
n n x q
q x q ---=
+1111α
二、埃特金法
目的：构造不含导数的加速公式。
方法：利用两次迭代，然后将迭代式相比去掉导数
)(~1k k x x ?=+ )~(1k k x x ?=+
k
k k k k k x x x x x x t x x t x x x x --=--≈--++++*1
**1*1*1*~)()~(~
第三章 一微分方程的解的存在定理
第三章 一阶微分方程的解的存在定理 教学目的 讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理 教学要求 掌握存在与唯一性定理及其证明，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性与可 微性定理，解对参数的连续性定理，了解奇解及其求法。 教学重点 几个主要定理的条件及其证明 教学难点 逐次逼近法的应用及其思想；应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解；奇解及其求法 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 课题导入 在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。解决了几个特殊的方程。但是，对许多微分方程，为22'y x y +=，不可能通过初等积分法求解，这就产生了一个问题，一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？或者说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？当有解时，农的解是否是唯一的呢？毫无疑问，这是一个很基本的问题，不解决这个问题对微分方程的进一步研究，就无从谈起，本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定理， §3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法 教学目的 讨论Picard 逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理。 教学要求 熟练掌握Picard 逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理及其证明，会用Picard 逼近法求近似解， 教学重点 Picard 存在唯一性定理及其证明
教学难点 逐次逼近分析法的应用及其思想. 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 一． 存在唯一性定理 1．定理1，考虑初值问题 ),(y x f dx dy = （3.1） 00)(y x y = 其中f(x,y)在矩形区域 R ： b y y a x x ≤-≤-||,||00 （3.2） 上连续，并且对y 满足Lipsthits 条件：即存在常数L>0，使对所有 R y x y x ∈),(),,(21常存成立， |||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤- 则初值问题（cauchy 问题）（3.1）在区间h x x ≤-||0上解存在唯一，这里 |),(|max ),, min(),(y x f M M b a h R y x ∈== 证明思路：1.初值问题（3.1）的解存在等价一动积分方程?+=x x dy y x f y y 0 ),(0（3.5）的连续解。 2.构造（ 3.5）所得解函数序列{)(x n ?} 任取一连续函数)(0x ?，b y x ≤-|)(|00?代入（3.5）左端的y ，得 ?+=x x dx x x f y x 0 ))(,()(01??)(x n ?)(x n ? Λ2,1,))(,()(0 01=+=?+n dx x x f y x x x n n ?? 3.函数序列{)(x n ?}在|,|00h x h x +-上一致收敛到)(x ?。这里为3 ?∞→∞ →+x x n n n dx x x f y x 0 ))(,(lim )(lim 0?
逐次逼近式AD转换原理
一、逐次逼近式AD转换器与计数式A/D转换类似，只是数字量由“逐次逼近寄存器SAR” 产生。SAR使用“对分搜索法”产生数字量，以8位数字量为例，SAR首先产生8位数字量的一半，即10000000B,试探模拟量Vi的大小，若Vo>Vi，清除最高位，若VoVi，“控制电路”清除最高位，若Vo常微分方程考研讲义第三章一阶微分方程解的存在定理
第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解 的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程
2dy y dx = 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1 x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。 定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ， 2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件 00()x y ?= （3.3）
【典型例题】 第三章 一阶微分方程的解的存在定理
第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。 解 函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题?????=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。 因为逐次逼近函数序列为 ?-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10， 此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ?=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， | 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=?， ?? +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值
a ab b 21 2= 。 此时，)21,min()2, min(a a ab b a h ==，当且仅当a a 21 = ，即22==b a 时，h 取得最大值为 2 2 。 评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的b y a x D y x f M M b a h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),, min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列? -+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10的构造过程的理 解。 例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。 1） 2 1 0,0)0(cos 2 2≤ ≤=+='x y x y y ，。 2） 32 2 )2 1 (0,0)0(≤≤=+='x y y x y ， 。 | 证 1） 以原点为中心作闭矩形区域1,2 1 :≤≤ y x D 。 易验证2 2 cos ),(x y y x f +=在区域D 上满足解的存在唯一性定理的条件，求得 2cos m ax 22),(=+=∈x y M D y x ，则2 1 )21,21min(==h 。 因此初值问题 ?? ?=+='0 )0(cos 2 2y x y y 的解在]21,21[- 上存在唯一，从而在区间]2 1 ,0[上方程 cos 22， x y y +='满足条件0)0( =y 的解存在唯一。 2） 以原点为中心作闭矩形区域b y a x D ≤≤,:。 易验证x y y x f +=2 ),(在D 上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得 22),(m ax b a x y M D y x +=+=∈，
常用降维动态规划
常用降维动态规划 1 逐次逼近动态规划（DPSA） 逐次逼近动态规划是求解多维问题的有效方法之一，它的基本思想是把带有若干决策变量的问题分解成仅带有1个决策变量的若干个子问题，每个子问题比原来的总问题具有较少的状态变量，从而大大节省状态存储量及计算工作量，便于计算机求解。对于多库联调优化问题，在确定初始可行调度线后采用DPSA求解的过程如下： （1）先假定第2个到最后一个水库的调度过程全部固定，对第1个水库进行优化，这时相当于单库优化调度，可以通过常规动态规划找到第1个水库的最优调度过程，此时其它水库仅进行简单的水务计算即可。计算完成后用最优结果替代初始解中第1个水库的调度过程。 （2）假定第1个，第3个到最后一个水库的调度过程全部固定，求第2个水库的最优过程，这也相当于单库优化调度，同样通过常规动态规划找到第2个水库的最优调度过程。并将其最优结果替代初始解中第2个水库的调度过程。 （3）依次类推，直至最后一个水库计算完成。此时初始可行解依次被各次的单库最优结果替代，一轮计算完成。 （4）以上一轮最优结果为基础，重新依次计算单个电站的最优过程，并替换总体最优结果，反复轮流优选，直至收敛。 DPSA的思想是通过减少每次参与计算的电站数目，达到降维效果，其搜索结果精度与初始状态序列有关，因此它不能保证在所有情况下都收敛到真正的总体最优解，求解过程中可以从多个不同的初始状态(库群初始调度过程)开始，求得多个最优值，然后选择最好的结果。 2 增量动态规划（DDDP） DDDP是用逐次逼近方法寻优，每次寻优只在某个状态序列附近的小范围内，用动态规划法进行搜索。其搜索流程是先根据一般经验或常规方法获得初始状态序列作为初始调度线，然后在该初始状态序列的上下各变动一个小范围，这个变动范围成为增量，形成一个带状“廊道”，接着在该廊道内用常规的动态规划寻优，可求得一条新的更接近于最优的状态序列。这样就完成了一轮寻优，然后在
第三章、逐次逼近法
第三章 逐次逼近法 1.1内容提要 1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为： 1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。 2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为： 1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。 3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。 4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)( Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+1 11)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式 f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111 )(])1[()( 三种迭代方法当1)(算法分析与设计实验二：动态规划法
题目：用动态规划法实现求两序列的最长公共子序列。 程序代码 #include #include //memset需要用到这个库 #include using namespace std; int const MaxLen = 50; class LCS { public: LCS(int nx, int ny, char *x, char *y) //对数据成员m、n、a、b、c、s初始化{ m = nx; //对m和n赋值 n = ny; a = new char[m + 2]; //考虑下标为0的元素和字符串结束标记 b = new char[n + 2]; memset(a, 0, sizeof(a)); memset(b, 0, sizeof(b)); for(int i = 0; i < nx + 2; i++) //将x和y中的字符写入一维数组a和b中a[i + 1] = x[i]; for(int i = 0; i < ny + 2; i++) b[i + 1] = y[i]; c = new int[MaxLen][MaxLen]; //MaxLen为某个常量值 s = new int[MaxLen][MaxLen]; memset(c, 0, sizeof(c)); //对二维数组c和s中元素进行初始化 memset(s, 0, sizeof(s)); } int LCSLength(); //求最优解值（最长公共子序列长度） void CLCS() //构造最优解（最长公共子序列） { CLCS(m, n); //调用私有成员函数CLCS(int,int) } private: void CLCS(int i, int j); int (*c)[MaxLen], (*s)[MaxLen]; int m, n;
§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法
§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法 一、教学目的：讨论Picard逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理。 二、教学要求：熟练掌握Picard逼近法，理解解的存在唯一性定理的条件、结论 及证明思路，会用Picard逼近法求近似解。 三、教学重点：Picard存在唯一性定理及其证明。 四、教学难点：解的存在唯一性定理的证明。 五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 七、教学过程： 3.1.1．解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程dy = dx 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0 y=是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 =或更一般地，函数 y x
2 0 0() c<1 x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足 01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 一．存在性与唯一性定理： 1、 显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。 定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式 1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=， 在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件00()x y ?= （3.3）
第三章第四节 电力系统低频减载
第四节电力系统低频减载 一、概述 1）事故情况下，系统可能产生严重的有功缺额，因而导致系统频率大幅度下降。2）所缺功率已经大大超过系统热备用容量，只能在系统频率降到某值以下，采取切除相应用户的办法来减少系统的有功缺额，使系统频率保持在事故允许的限额之内。 3）这种办法称为按频率自动减负荷。中文简拼为“ZPJH”，英文为UFLS（Under Frequency Load Shedding）。 二、系统频率的事故限额 （1）系统频率降低使厂用机械的出力大为下降，有时可能形成恶性循环，直至频率雪崩。 （2）系统频率降低使励磁机等的转速也相应降低，当励磁电流一定时，发送的无功功率会随着频率的降低而减少，可能造成系统稳定的破坏。 发生在局部的或某个厂的有功电源方面的事故可能演变成整个电力系统的灾难。 （3）电力系统频率变化对用户的不利影响主要表现在以下几个方面： ①频率变化将引起异步电动机转速的变化，有这些电动机驱动的纺织、 造纸等机械产品的质量将受到影响，甚至出现残、次品。 ②系统频率降低将使电动机的转速和功率降低，导致传动机械的出力降
低。 ③国防部门和工业使用的测量、控制等电子设备将因为频率的波动而影 响准确性和工作性能，频率过低时甚至无法工作。“电力工业技术管 理法规”中规定的频率偏差范围为±0.2~±0.5Hz。 （4）汽轮机对频率的限制。频率下降会危及汽轮机叶片的安全。因为一般汽轮机叶片的设计都要求其自然频率充分躲开它的额定转速及其倍率值。系统频率下降时有可能因机械共振造成过大的振动应力而使叶片损伤。容量在300MW 以上的大型汽轮发电机组对频率的变化尤为敏感。例如我国进口的某350MW机组，频率为48.5Hz时，要求发瞬时信号，频率为47.5Hz时要求30s跳闸，频率为47Hz时，要求0s跳闸。进口的某600MW机组，当频率降至47.5Hz时，要求9s跳闸。 （5）频率升高对大机组的影响。电力系统因故障被解列成几个部分时，有的区域因有功严重缺额而造成频率下降，但有的区域却因有功过剩而造成频率升高，从而危及大机组的安全运行。例如美国1978年的一个电网解列，其中1个区域频率升高，六个电厂中的14台大机组跳闸。我国进口某600MW机组，当频率升至52Hz时，要求小于0.3s跳闸。 （6）频率对核能电厂的影响。核能电厂的反应堆冷却介质泵对供电频率有严格要求，如果不能满足，这些泵将自动断开，使反应堆停止运行。 综上所述，运行规程要求电力系统的频率不能长时期的运行在49.5～49Hz 以下；事故情况下不能较长时间的停留在47Hz以下，瞬时值则不能低于45Hz。
逐次逼近式转换原理(终审稿)
逐次逼近式转换原理公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
一、逐次逼近式AD转换器与计数式A/D转换类似，只是数字量由“逐次逼近寄存器SAR”产生。SAR使用“对分搜索法”产生数字量，以8位数字量为例，SAR首先产生8位数字量的一半，即B,试探模拟量Vi的大小，若Vo>Vi，清除最高位，若VoVi，“控制电路”清除最高位，若Vo(３)在最高位确定后，SAR又以对分搜索法确定次高位，即以低7位的一半y1000000B(y为已确定位) 试探模拟量Vi的大小。在bit6确定后，SAR以对分搜索法确定bit5位，即以低6位的一半yy100000B(y为已确定位) 试探模拟量Vi的大小。重复这一过程，直到最低位bit0被确定。 (4)在最低位bit0确定后，转换结束，“控制电路”发出“转换结束”信号EOC。该信号的下降沿把SAR的输出锁存在“缓冲寄存器”里，从而得到数字量输出。从转换过程可以看出：启动信号为负脉冲有效。转换结束信号为低电平。 ? 我觉得，这有点像数学中的二分法，如给一个数a，先用8'b1000000（设为b）与a相比较，如果a大于b，则保留最高位1，即原来的范围变成了0-7'b1111111（第8位已确认）。之后的过程都是这样，重复执行就可以了。 根据以上理论，举个例子，例如满量程应该是5V，所以，第一次DA输出，输入电压与比较，输入电压大，故而取之间，即最高位保留1。然后在新的范围内取中间电压，即，依此类推。。。。
第三章逐次逼近法
第三章 逐次逼近法 1.1 1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为： 1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。 2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为： 1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。 3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。 4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)( Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式 f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111 )(])1[()( 三种迭代方法当1)( ∑ ≠-，于是
第6章 逐次逼近法
第6章 逐次逼近法 [教学目的与要求] 1．理解方程求根数值解法的基本思想； 2．掌握根的隔离的基本方法、二分法求根的基本思想与过程； 3．理解简单迭代法的基本思想、迭代函数的收敛性； 4．掌握埃特金迭代法； 5．掌握牛顿迭代法与插值法； 6．掌握迭代法的控制条件 [重点与难点] 重点：二分法、迭代法的基本思想、埃特金和牛顿迭代法。 难点：收敛性、迭代法的控制条件。 [教学安排] [授课内容] 本章主要问题： 求方程f(x) =0的根 (1) 多项式方程：五次或五次以上的代数方程，没有求根公式。 (2) 超越方程：难以找到精确解。 解决方法： 确定一个初始的近似根，然后再将初始的近似根逐步加工成满足精度要求的结果。为此，需两个条件。 (1)初始近似根x 0 (2)由近似值x k 获得近似值x k+1的方法或公式 6.1 基本概念 一、向量范数 1、向量范数 定义：对于n 维向量空间中任意一个向量x ，若存在唯一一个实数R x ∈与x 对应，且满足 1）正定性：;00,,0=?=∈?≥x x R x x n 且
2）齐次性： ;,R R x x x n ∈∈??=ααα， 3）三角不等式：.,n R y x y x y x ∈?+≤+， 则称x 为向量x 的范数。 2、常用的向量范数 1）1-范数 n x x x x +++= 211 2）2-范数 21 2 2 22 12 )(n x x x x +++= 3）∞-范数 i n i x x ≤≤∞ =1max 4）p-范数(p ≥1) p p n p p p x x x x 1 2 1 ) (+++= 例：求向量T x )1,3,4,1(-=的各种常用范数 解： 94211=+++=x x x x 33) (2 1 2 422212 =+++=x x x x 4max 4 1==≤≤∞ i i x x 二、矩阵范数 1、矩阵范数 定义：对于空间n n R ?中任意一个矩阵A ，若存在唯一一个实数R A ∈与A 对应，且 满足 1）正定性：;00,,0=?=∈?≥A A R A A n 且 2）齐次性： ;,R R A A A n ∈∈??=ααα， 3）三角不等式：.,n n R B A B A B A ?∈?+≤+， 4) .,n n R B A B A AB ?∈??≤， 则称A 为矩阵A 的范数。 2、算子范数
毕卡逐次逼近法
毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用 邹添杰 05级数学与应用数学基地班 指导老师：尹小玲 2006年8月 摘要 本文用毕卡逐次逼近法及数学分析知识，证明“隐函数存在定理”和一阶方程初值问题解的非局部存在性定理。 一·毕卡逐次逼近法证明隐函数存在定理 定理1· 设),(y x F 满足下列条件： （I ）y ,F F x 在b y y a x x D ≤-≤-00,：上连续； （II ）0),(00=y x F （通常称为初始条件） （III ）对D y x ∈?),(，恒有0),(y ≠y x F ； （IV ）在D 上 ) ,() ,(y x y x F y x F 条件满对Lipchitz y ：即对D 上任意两点),(),(21y x y x ， ，不等式 212y 2x 1y 1x ) ,() ,(),(),(y y L y x F y x F y x F y x F －－≤ (1) 恒成立，L 是与),(1y x 和),(2y x 无关的正常数（常数Lipchitz ）。 则在区间0),(0＝上y x F h x x ≤-唯一确定一个隐函数)(x y ?=，满足)(00x y ?＝。这个函数在h x x ≤-0上连续可微。其中 }, min{M b a h = ……（2） ),() ,(max y x ),(y x F y x F M D y x ∈= (3) 证明：若0),(＝y x F 在h x x ≤-0上能唯一确定可导的隐函数)(x y ?=，则有 0))(,(＝x y x F ,方程两边对x 求导，得 0·'=+y F F y X 。 由0≠y F ，得 ) ,() ,(y x ' y x F y x F y ＝－ 。
动态规划算法原理与的应用
动态规划算法原理 及其应用研究 2012年5月20日摘要：动态规划是解决最优化问题的基本方法，本文介绍了
动态规划的基本思想和基本步骤，并通过几个实例的分析，研究了利用动态规划设计算法的具体途径。关键词：动态规划多阶段决策 1.引言 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一■ 个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten ）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部 关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhause）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数学性质做出了巨大的贡献。 动态规划问世以来，在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。在经济管理方面，动态规划可以用来解决最优路径
第三章 一阶线性微分方程组 第一讲一阶微分方程组及解的存在唯一性定理
第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理(2课时） 一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的 等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理. 二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理. 三、难点:向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质． 四、教学方法:讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合． 六、教学过程: １ 课题引入 在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是,在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质. 例如,已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v
123(,,,)(,,,) (,,,)x y z v f t x y z v f t x y z v f t x y z =??=??=? 且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ,求该质点的运动轨迹。 因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz v dt =, 所以这个问题其实就是求 一阶微分方程组 123(,,,)(,,,) (,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =??=??=? 的满足初始条件 00(),x t x = 00(),y t y = 00()z t z = 的解(),(),()x t y t z t . 另外，在n 阶微分方程 (１.１2） ()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 中，令(1)121,, ,n n y y y y y y --'''===就可以把它化成等价的一阶微分方程组
逐次逼近与积分AD区别
逐次逼近法 逐次逼近式A/D是比较常见的一种A/D转换电路，转换的时间为微秒级。其优点是速度较高、功耗低，在低分辩率（<12位）时价格便宜，但高精度（>12位）时价格很高。采用逐次逼近法的A/D转换器是由一个比较器、D/A转换器、缓冲寄存器及控制逻辑电路组成，如图所示。逐次逼近式AD转换器原理图基本原理是从高位到低位逐位试探比较，好像用天平称物体，从重到轻逐级增减砝码进行试探。逐次逼近法转换过程是：初始化时将逐次逼近寄存器各位清零；转换开始时，先将逐次逼近寄存器最高位置1，送入D/A转换器，经D/A转换后生成的模拟量送入比较器，称为Vo，与送入比较器的待转换的模拟量Vi进行比较，若Vo典型例题第三章一阶微分方程的解的存在定理
第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。 解 函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题?????=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。 因为逐次逼近函数序列为 ?-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10， 此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ?=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=?， ?? +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数 b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值 a ab b 21 2= 。
实验三-动态规划法求多段图问题
本科实验报告 课程名称：算法设计与分析 实验项目：动态规划法求多段图问题实验地点： 专业班级：学号：学生姓名： 指导教师：
实验三动态规划法求多段图问题 一、实验目的 1.掌握动态规划算法的基本思想 2.掌握多段图的动态规划算法
3.选择邻接表或邻接矩阵方式来存储图 4、分析算法求解的复杂度。 二、实验内容 设G=(V,E)是一个带权有向图，其顶点的集合V被划分成k>2个不相交的子集Vi，1 #include #include #include #define MAX 100 #define n 12 #define k 5 int c[n][n]; void init(int cost[]) //初始化图{ int i,j; for(i=0;i<13;i++) { for(j=0;j<13;j++) { c[i][j]=MAX; } } c[1][2]=9; c[1][3]=7; c[1][4]=3; c[1][5]=2; c[2][6]=4; c[2][7]=2; c[2][8]=1; c[3][6]=2; c[3][7]=7; c[4][8]=11;
