第6章 逐次逼近法
第六章 逐次逼近法 §1 线性方程组解的误差分析 因为线性方程组涉及到矩阵和向量，为了对线性方程组的近似解进行误差估计，以及后面研究迭代法解线性方程组的收敛性，需要对向量和矩阵引进范数的概念。
一、向量和矩阵的范数 1．向量的范数
定义 1 如果向量空间n
R 上的某个非负实值函数()N =x x 满足条件：
（1）正定性：0≥x ，当且仅当=0x 时0=x ；
（2）齐次性：c c =x x ，c 为任意实数； （3）三角不等式：+≤+x y x y 。
则称?为n R 上的一个向量范数。
n 维向量空间
12{|(,,,),,1,2,,}n
n i R x x x x R i n ==∈= x x
上常用的三种范数：
（1）向量的2—范数：
2
=
x
；
（2）向量的∞—范数：
1max i i n
x ∞
≤≤=x
； （3）向量的1—范数：
∑==n
i i
x x 1
1。
例1 设(1,2,3,4)T
=--x ，则
214
1max 4,
123410.
i i x ∞
≤≤=====++-+-=x x
x
后面我们研究迭代法解线性方程组时，需要讨论算法的收敛性。为此，先给出算法产生的迭代点列收敛的概念。
定义2 设()
()()1(,,)k k k n
n
x x R =∈ x
，
*
*
*1
(,,)n
n
x x R =∈ x ，若
)
,,2,1(,lim *)(n i x x
i
k i
k ==∞
→，
则称点列()
{}k x 收敛于*
x ，并记作
()*
lim k k →∞
=x x
。
由定义可知：
()
*
lim k k →∞
=x
x ()
*lim k k ∞
→∞
?-=0x
x
，
()
*
lim k k →∞
=x
x ()*1lim k k →∞
?-=0x x ，
()
*
lim k k →∞
=x
x ()
*2
lim k k →∞
?-=0x
x
。
2．矩阵的范数
定义 3 如果矩阵空间n
n R
?上的某个非负实
值函数()N =A A 满足以下条件：
（1） 正定性：0≥A ，且0=?=0A A ；
（2）齐次性：c c =A A ，c 为任意实数； （3）三角不等式：+≤+A B A B ； 则称()N A 为n
n R
?上的一个矩阵范数。
在研究方程组解的误差时，常需要涉及到矩阵乘积的范数以及矩阵与向量乘积的范数，为了研究的方便，我们要求它们之间满足
≤Ax A x ，≤AB A B ，
其中前一个条件称为矩阵范数与向量范数的相容性，后一个条件称为矩阵范数的可乘性。
并非所有的矩阵范数都满足相容性和可乘性，下面用向量范数定义一类矩阵范数，这种矩阵范数满足上述两个条件。
定义 4 设,n n n
R R ?∈∈x A ，给定一种向量范数v x ，相应地定义一个矩阵范数
1
max
max v v
v v
x v
≠===x Ax A Ax
x
，
称之为矩阵A 的算子范数。
性质1 设A 是矩阵A 的一个算子范数，则 （1）≤Ax A x ；(相容性)
（2）≤AB A B ；(可乘性)
（3）=A I 时，1=I 。
定理1 对于矩阵的算子范数，如果1
()
1
11-±≤
-I B B 。
证明 如果B I ±为奇异矩阵，则方程组
0)(=±x B I
有非零解，设为0x ，于是
00Bx x =， 从而
0000x x B Bx Bx x <≤== ，
这是矛盾。 又
1
1
1()()
()()
I I B I B I B B I B ---=±±=±±±，
所以
1
1
)()
(--±=±B I B I B I ，
两边取范数，得
1
11
1
()
()
()1()
,
I B I B I B I B I B B I B ----±=±≤+±≤+±
移项，得
()1)
(11
≤±--B I B ，
因此
B B I -≤
±-11)
(1
。
常用的矩阵算子范数有下述三种： （1）矩阵的行范数：
11
max n
ij
i n
j a ∞≤≤==∑A ；
（各行绝对值之和中最大者）
（2）矩阵的列范数：
111max n
ij
i n
i a ≤≤==∑A ；
（各列绝对值之和中最大者）
（3）矩阵的2-范数（谱范数）：
2=A 。
其中max ()T
λA A 表示T
A A 的最大特征值。 矩阵的F —范数（Frobinous 范数）也是一个常用的范数，它定义为
F
A
=
由于F
=I
，所以F —范数不是算子范数。
例2 设
120121011A ?? ?=-- ?
???
则
{}{}1max (110),(221),(011)5,max (120),(121),(011)4,A A ∞=++++++==++++++=
下面计算矩阵A 的2-范数：
110120201221121091011011112T
A A -??????
??? ?=--=- ??? ?
??? ?---??????
2
3
2
det()
2
01091
1
1
2
(2)(9)(9)(2)1338250
T
I A A λλλλλλλλλλλ---=
---=------=-+-= 它的三个根分别为
1239.1428, 2.9211,0.9361λλλ===
因此
2 3.0237A =≈
还可以算出
3.6056F A ==≈。
二、线性方程组解的误差分析 考虑线性方程组
b Ax = （6.1）
其中n
n R
A ?∈为非奇异矩阵，0≠b 。
本节不考虑求解过程中的舍入误差，仅考虑当线性方程组的系数矩阵或右端项有误差时，这些误差对方程组解的影响。
定理2 设b Ax =，A 为非奇异矩阵，0≠b ，且
A 和b 分别有扰动A δ和b δ。若A 的扰动A δ很
小，使11
<-A A
δ，则有
)
(
11
1
A
A
b
b
A
A
A
A
A A x
x
δδδδ+
-≤
--。
证明 扰动后的方程组（实际求解的方程组）为
b b x x A A δδδ+=++))((
将b Ax =代入上式，整理后有
))(()()(1
11x A A x A A b A x δδδδδ-----=
将上式两端取范数，应用向量范数的三角不等式及矩阵和向量范数的相容性，有
x A A
x A A
b A
x δδδδδ1
1
1
---++≤，
整理后，得
)()1(1
1
x A b A x A A
δδδδ+≤---。
假定A δ
足够小，使得11
<-A A
δ，则
)
(11
1
x A b A
A
A x δδδδ+-≤
--。
利用b A x ≤
1
，两边除以x ，得
)
(
11
1
A
A
b
b
A
A
A
A
A A x
x
δδδδ+
-≤
--。
推论 设b Ax =，A 为非奇异矩阵，0≠b ，则有
（1）当
A 是精确的而b 有误差b δ时，
b b
A
A
x x
δδ1
-≤。
（2）当b 是精确的而A 有误差A δ，且
11
<-A A
δ时，
A
A
A
A
A A
A
A x
x
δδδ1
1
1---≤
。
从定理2可以看出，当
A A 1
-很大时，方程
组（6.1）的输入数据A 或b 的微小变化，能够引起方程组解的巨大变化，此时称方程组是病态方程组，否则称方程组为良态的。病态方程组对应的系数矩阵称为病态矩阵。
通常，记
1
cond()A A
A -=
称为矩阵
A 的条件数。
线性方程组解的误差是由两方面原因产生的：一是输入数据的误差，二是计算过程中的舍入误差。下面的定理给出了解的误差的一种度量。
定理3 设b Ax =，A 非奇异，0≠b ，x 为方程组的精确解，
x 为求得的近似解，其剩余
向量为x A b r -=，则有误差估计
b r A x
x x )
(cond ≤-。
证明 由b Ax =，得
x A b ≤，
即
b A x ≤1。 （1）
又
r x A b x A Ax x x A =-=-=-)(
两边左乘1
A -，得
r A x x 1
-=-
两边取范数，得
r A
x x 1
-≤-。 （2）
联合（1）、（2），得
b r A b
r A A
x
x x )
(cond 1
=≤
--。
从上述误差估计式可以看出，当系数矩阵的条件数很大时，即使残差向量r 的范数很小，也不
能保证解的相对误差很小。
三、矩阵的条件数与病态方程组 1．矩阵的条件数 定义 设
A 为非奇异矩阵，称
1
cond()v v v
A A
A -=
为矩阵
A 的-v 范数下的条件数。
从方程组的误差分析可以看出，
A A 1
-越大，
解对原始数据的误差就越敏感，当A
A
1
-很大时，
即使不考虑计算过程的舍入误差，仅输入误差就使
求解结果有较大的误差。更为糟糕的是，
当
A
A 1-很大时，很多求解方程组的算法是数值不稳定的，譬如，即使采用选主元的高斯消去法，也不能有效求解病态方程组。因此，当A A 1
-较大时，称方
程组是病态的，并称相应的系数矩阵
A 是病态矩
阵。
应该注意的是：所谓矩阵是病态的，是针对解线性方程组（包括求逆矩阵）而言的。譬如对于矩
阵的加法运算，
A A 1
-的大小对结果的精确性就没
有直接影响。
通常使用的条件数有：
（1）
1
cond()A A A -∞∞∞
=
（2）
A 的谱条件数
1
222
cond()A A
A -==，
特别，当A 为对称矩阵时，1
2cond()n A λλ=
，其中
n λλ,1分别为A 的绝对值最大和最小特征值。
例如：（1）Hilbert 矩阵
)
,,2,1,(1
1
n j i j i a ij =-+= ????????
?
??
-++=1211
11113
121
1211
n n n n n H n
3cond()784A ∞=
7
6cond() 2.910A ∞=?
8
7cond()9.8510A ∞=?，
可见，n 越大，n H 病态越严重。
（2）Pascal 矩阵： Pascal 矩阵的元素为：
),,2,()
,,2,1(5.01,,111n j i a a a a n i a a j i j i ji ij i i =+=====--
当矩阵的阶数n 较大时，Pascal 矩阵也是严重病态的。
例2 1
0.990.990.98A ??= ???
计算2cond()A 。
解 矩阵
A 是对称矩阵，所以
1
2cond()n A λλ=
，
其中n λλ,1分别为A 的绝对值最大和最小特征值。
计算A 的特征根。
det()0E A λ-=
得
12
1.9800505040.000050504λλ=??=-? 从而
1
22cond ()392061
A λλ=≈>>
这说明矩阵A 是病态的。实际上，A 的两行几乎
线性相关。
2．病态方程组的判断
如何判断矩阵的病态是一个非常困难的问题。
第三章 一微分方程的解的存在定理
第三章 一阶微分方程的解的存在定理 教学目的 讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理 教学要求 掌握存在与唯一性定理及其证明，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性与可 微性定理，解对参数的连续性定理，了解奇解及其求法。 教学重点 几个主要定理的条件及其证明 教学难点 逐次逼近法的应用及其思想；应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解；奇解及其求法 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 课题导入 在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。解决了几个特殊的方程。但是，对许多微分方程，为22'y x y +=，不可能通过初等积分法求解，这就产生了一个问题，一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？或者说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？当有解时，农的解是否是唯一的呢？毫无疑问，这是一个很基本的问题，不解决这个问题对微分方程的进一步研究，就无从谈起，本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定理， §3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法 教学目的 讨论Picard 逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理。 教学要求 熟练掌握Picard 逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理及其证明，会用Picard 逼近法求近似解， 教学重点 Picard 存在唯一性定理及其证明
教学难点 逐次逼近分析法的应用及其思想. 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 一． 存在唯一性定理 1．定理1，考虑初值问题 ),(y x f dx dy = （3.1） 00)(y x y = 其中f(x,y)在矩形区域 R ： b y y a x x ≤-≤-||,||00 （3.2） 上连续，并且对y 满足Lipsthits 条件：即存在常数L>0，使对所有 R y x y x ∈),(),,(21常存成立， |||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤- 则初值问题（cauchy 问题）（3.1）在区间h x x ≤-||0上解存在唯一，这里 |),(|max ),, min(),(y x f M M b a h R y x ∈== 证明思路：1.初值问题（3.1）的解存在等价一动积分方程?+=x x dy y x f y y 0 ),(0（3.5）的连续解。 2.构造（ 3.5）所得解函数序列{)(x n ?} 任取一连续函数)(0x ?，b y x ≤-|)(|00?代入（3.5）左端的y ，得 ?+=x x dx x x f y x 0 ))(,()(01??)(x n ?)(x n ? Λ2,1,))(,()(0 01=+=?+n dx x x f y x x x n n ?? 3.函数序列{)(x n ?}在|,|00h x h x +-上一致收敛到)(x ?。这里为3 ?∞→∞ →+x x n n n dx x x f y x 0 ))(,(lim )(lim 0?
逐次逼近式AD转换原理
一、逐次逼近式AD转换器与计数式A/D转换类似，只是数字量由“逐次逼近寄存器SAR” 产生。SAR使用“对分搜索法”产生数字量，以8位数字量为例，SAR首先产生8位数字量的一半，即10000000B,试探模拟量Vi的大小，若Vo>Vi，清除最高位，若Vo 第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解 的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 2dy y dx = 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1 x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。 定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ， 2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件 00()x y ?= （3.3） 第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。 解 函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题?????=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。 因为逐次逼近函数序列为 ?-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10， 此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ?=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， | 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=?， ?? +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值 a ab b 21 2= 。 此时，)21,min()2, min(a a ab b a h ==，当且仅当a a 21 = ，即22==b a 时，h 取得最大值为 2 2 。 评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的b y a x D y x f M M b a h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),, min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列? -+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10的构造过程的理 解。 例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。 1） 2 1 0,0)0(cos 2 2≤ ≤=+='x y x y y ，。 2） 32 2 )2 1 (0,0)0(≤≤=+='x y y x y ， 。 | 证 1） 以原点为中心作闭矩形区域1,2 1 :≤≤ y x D 。 易验证2 2 cos ),(x y y x f +=在区域D 上满足解的存在唯一性定理的条件，求得 2cos m ax 22),(=+=∈x y M D y x ，则2 1 )21,21min(==h 。 因此初值问题 ?? ?=+='0 )0(cos 2 2y x y y 的解在]21,21[- 上存在唯一，从而在区间]2 1 ,0[上方程 cos 22， x y y +='满足条件0)0( =y 的解存在唯一。 2） 以原点为中心作闭矩形区域b y a x D ≤≤,:。 易验证x y y x f +=2 ),(在D 上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得 22),(m ax b a x y M D y x +=+=∈， 第三章 逐次逼近法 1.1内容提要 1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为： 1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。 2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为： 1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。 3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。 4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)( Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+1 11)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式 f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111 )(])1[()( 三种迭代方法当1)( §3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法 一、教学目的：讨论Picard逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理。 二、教学要求：熟练掌握Picard逼近法，理解解的存在唯一性定理的条件、结论 及证明思路，会用Picard逼近法求近似解。 三、教学重点：Picard存在唯一性定理及其证明。 四、教学难点：解的存在唯一性定理的证明。 五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 七、教学过程： 3.1.1．解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程dy = dx 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0 y=是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 =或更一般地，函数 y x 2 0 0() c<1 x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足 01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 一．存在性与唯一性定理： 1、 显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。 定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式 1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=， 在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件00()x y ?= （3.3） 第四节电力系统低频减载 一、概述 1）事故情况下，系统可能产生严重的有功缺额，因而导致系统频率大幅度下降。2）所缺功率已经大大超过系统热备用容量，只能在系统频率降到某值以下，采取切除相应用户的办法来减少系统的有功缺额，使系统频率保持在事故允许的限额之内。 3）这种办法称为按频率自动减负荷。中文简拼为“ZPJH”，英文为UFLS（Under Frequency Load Shedding）。 二、系统频率的事故限额 （1）系统频率降低使厂用机械的出力大为下降，有时可能形成恶性循环，直至频率雪崩。 （2）系统频率降低使励磁机等的转速也相应降低，当励磁电流一定时，发送的无功功率会随着频率的降低而减少，可能造成系统稳定的破坏。 发生在局部的或某个厂的有功电源方面的事故可能演变成整个电力系统的灾难。 （3）电力系统频率变化对用户的不利影响主要表现在以下几个方面： ①频率变化将引起异步电动机转速的变化，有这些电动机驱动的纺织、 造纸等机械产品的质量将受到影响，甚至出现残、次品。 ②系统频率降低将使电动机的转速和功率降低，导致传动机械的出力降 低。 ③国防部门和工业使用的测量、控制等电子设备将因为频率的波动而影 响准确性和工作性能，频率过低时甚至无法工作。“电力工业技术管 理法规”中规定的频率偏差范围为±0.2~±0.5Hz。 （4）汽轮机对频率的限制。频率下降会危及汽轮机叶片的安全。因为一般汽轮机叶片的设计都要求其自然频率充分躲开它的额定转速及其倍率值。系统频率下降时有可能因机械共振造成过大的振动应力而使叶片损伤。容量在300MW 以上的大型汽轮发电机组对频率的变化尤为敏感。例如我国进口的某350MW机组，频率为48.5Hz时，要求发瞬时信号，频率为47.5Hz时要求30s跳闸，频率为47Hz时，要求0s跳闸。进口的某600MW机组，当频率降至47.5Hz时，要求9s跳闸。 （5）频率升高对大机组的影响。电力系统因故障被解列成几个部分时，有的区域因有功严重缺额而造成频率下降，但有的区域却因有功过剩而造成频率升高，从而危及大机组的安全运行。例如美国1978年的一个电网解列，其中1个区域频率升高，六个电厂中的14台大机组跳闸。我国进口某600MW机组，当频率升至52Hz时，要求小于0.3s跳闸。 （6）频率对核能电厂的影响。核能电厂的反应堆冷却介质泵对供电频率有严格要求，如果不能满足，这些泵将自动断开，使反应堆停止运行。 综上所述，运行规程要求电力系统的频率不能长时期的运行在49.5～49Hz 以下；事故情况下不能较长时间的停留在47Hz以下，瞬时值则不能低于45Hz。 逐次逼近式转换原理公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 一、逐次逼近式AD转换器与计数式A/D转换类似，只是数字量由“逐次逼近寄存器SAR”产生。SAR使用“对分搜索法”产生数字量，以8位数字量为例，SAR首先产生8位数字量的一半，即B,试探模拟量Vi的大小，若Vo>Vi，清除最高位，若Vo (３)在最高位确定后，SAR又以对分搜索法确定次高位，即以低7位的一半y1000000B(y为已确定位) 试探模拟量Vi的大小。在bit6确定后，SAR以对分搜索法确定bit5位，即以低6位的一半yy100000B(y为已确定位) 试探模拟量Vi的大小。重复这一过程，直到最低位bit0被确定。 (4)在最低位bit0确定后，转换结束，“控制电路”发出“转换结束”信号EOC。该信号的下降沿把SAR的输出锁存在“缓冲寄存器”里，从而得到数字量输出。从转换过程可以看出：启动信号为负脉冲有效。转换结束信号为低电平。 ? 我觉得，这有点像数学中的二分法，如给一个数a，先用8'b1000000（设为b）与a相比较，如果a大于b，则保留最高位1，即原来的范围变成了0-7'b1111111（第8位已确认）。之后的过程都是这样，重复执行就可以了。 根据以上理论，举个例子，例如满量程应该是5V，所以，第一次DA输出，输入电压与比较，输入电压大，故而取之间，即最高位保留1。然后在新的范围内取中间电压，即，依此类推。。。。 第三章 逐次逼近法 1.1 1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为： 1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。 2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为： 1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。 3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。 4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)( Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式 f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111 )(])1[()( 三种迭代方法当1)( ∑ ≠-，于是 第6章 逐次逼近法 [教学目的与要求] 1．理解方程求根数值解法的基本思想； 2．掌握根的隔离的基本方法、二分法求根的基本思想与过程； 3．理解简单迭代法的基本思想、迭代函数的收敛性； 4．掌握埃特金迭代法； 5．掌握牛顿迭代法与插值法； 6．掌握迭代法的控制条件 [重点与难点] 重点：二分法、迭代法的基本思想、埃特金和牛顿迭代法。 难点：收敛性、迭代法的控制条件。 [教学安排] [授课内容] 本章主要问题： 求方程f(x) =0的根 (1) 多项式方程：五次或五次以上的代数方程，没有求根公式。 (2) 超越方程：难以找到精确解。 解决方法： 确定一个初始的近似根，然后再将初始的近似根逐步加工成满足精度要求的结果。为此，需两个条件。 (1)初始近似根x 0 (2)由近似值x k 获得近似值x k+1的方法或公式 6.1 基本概念 一、向量范数 1、向量范数 定义：对于n 维向量空间中任意一个向量x ，若存在唯一一个实数R x ∈与x 对应，且满足 1）正定性：;00,,0=?=∈?≥x x R x x n 且 2）齐次性： ;,R R x x x n ∈∈??=ααα， 3）三角不等式：.,n R y x y x y x ∈?+≤+， 则称x 为向量x 的范数。 2、常用的向量范数 1）1-范数 n x x x x +++= 211 2）2-范数 21 2 2 22 12 )(n x x x x +++= 3）∞-范数 i n i x x ≤≤∞ =1max 4）p-范数(p ≥1) p p n p p p x x x x 1 2 1 ) (+++= 例：求向量T x )1,3,4,1(-=的各种常用范数 解： 94211=+++=x x x x 33) (2 1 2 422212 =+++=x x x x 4max 4 1==≤≤∞ i i x x 二、矩阵范数 1、矩阵范数 定义：对于空间n n R ?中任意一个矩阵A ，若存在唯一一个实数R A ∈与A 对应，且 满足 1）正定性：;00,,0=?=∈?≥A A R A A n 且 2）齐次性： ;,R R A A A n ∈∈??=ααα， 3）三角不等式：.,n n R B A B A B A ?∈?+≤+， 4) .,n n R B A B A AB ?∈??≤， 则称A 为矩阵A 的范数。 2、算子范数 毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用 邹添杰 05级数学与应用数学基地班 指导老师：尹小玲 2006年8月 摘要 本文用毕卡逐次逼近法及数学分析知识，证明“隐函数存在定理”和一阶方程初值问题解的非局部存在性定理。 一·毕卡逐次逼近法证明隐函数存在定理 定理1· 设),(y x F 满足下列条件： （I ）y ,F F x 在b y y a x x D ≤-≤-00,：上连续； （II ）0),(00=y x F （通常称为初始条件） （III ）对D y x ∈?),(，恒有0),(y ≠y x F ； （IV ）在D 上 ) ,() ,(y x y x F y x F 条件满对Lipchitz y ：即对D 上任意两点),(),(21y x y x ， ，不等式 212y 2x 1y 1x ) ,() ,(),(),(y y L y x F y x F y x F y x F －－≤ (1) 恒成立，L 是与),(1y x 和),(2y x 无关的正常数（常数Lipchitz ）。 则在区间0),(0＝上y x F h x x ≤-唯一确定一个隐函数)(x y ?=，满足)(00x y ?＝。这个函数在h x x ≤-0上连续可微。其中 }, min{M b a h = ……（2） ),() ,(max y x ),(y x F y x F M D y x ∈= (3) 证明：若0),(＝y x F 在h x x ≤-0上能唯一确定可导的隐函数)(x y ?=，则有 0))(,(＝x y x F ,方程两边对x 求导，得 0·'=+y F F y X 。 由0≠y F ，得 ) ,() ,(y x ' y x F y x F y ＝－ 。 第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理(2课时） 一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的 等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理. 二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理. 三、难点:向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质． 四、教学方法:讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合． 六、教学过程: １ 课题引入 在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是,在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质. 例如,已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v 123(,,,)(,,,) (,,,)x y z v f t x y z v f t x y z v f t x y z =??=??=? 且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ,求该质点的运动轨迹。 因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz v dt =, 所以这个问题其实就是求 一阶微分方程组 123(,,,)(,,,) (,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =??=??=? 的满足初始条件 00(),x t x = 00(),y t y = 00()z t z = 的解(),(),()x t y t z t . 另外，在n 阶微分方程 (１.１2） ()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 中，令(1)121,, ,n n y y y y y y --'''===就可以把它化成等价的一阶微分方程组 逐次逼近法 逐次逼近式A/D是比较常见的一种A/D转换电路，转换的时间为微秒级。其优点是速度较高、功耗低，在低分辩率（<12位）时价格便宜，但高精度（>12位）时价格很高。采用逐次逼近法的A/D转换器是由一个比较器、D/A转换器、缓冲寄存器及控制逻辑电路组成，如图所示。逐次逼近式AD转换器原理图基本原理是从高位到低位逐位试探比较，好像用天平称物体，从重到轻逐级增减砝码进行试探。逐次逼近法转换过程是：初始化时将逐次逼近寄存器各位清零；转换开始时，先将逐次逼近寄存器最高位置1，送入D/A转换器，经D/A转换后生成的模拟量送入比较器，称为Vo，与送入比较器的待转换的模拟量Vi进行比较，若Vo 第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。 解 函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题?????=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。 因为逐次逼近函数序列为 ?-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10， 此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ?=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=?， ?? +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数 b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值 a ab b 21 2= 。 第六章 逐次逼近法 §1 线性方程组解的误差分析 因为线性方程组涉及到矩阵和向量，为了对线性方程组的近似解进行误差估计，以及后面研究迭代法解线性方程组的收敛性，需要对向量和矩阵引进范数的概念。 一、向量和矩阵的范数 1．向量的范数 定义 1 如果向量空间n R 上的某个非负实值函数()N =x x 满足条件： （1）正定性：0≥x ，当且仅当=0x 时0=x ； （2）齐次性：c c =x x ，c 为任意实数； （3）三角不等式：+≤+x y x y 。 则称?为n R 上的一个向量范数。 n 维向量空间 12{|(,,,),,1,2,,}n n i R x x x x R i n ==∈= x x 上常用的三种范数： （1）向量的2—范数： 2 = x ； （2）向量的∞—范数： 1max i i n x ∞ ≤≤=x ； （3）向量的1—范数： ∑==n i i x x 1 1。 例1 设(1,2,3,4)T =--x ，则 214 1max 4, 123410. i i x ∞ ≤≤=====++-+-=x x x 后面我们研究迭代法解线性方程组时，需要讨论算法的收敛性。为此，先给出算法产生的迭代点列收敛的概念。 定义2 设() ()()1(,,)k k k n n x x R =∈ x ， * * *1 (,,)n n x x R =∈ x ，若 ) ,,2,1(,lim *)(n i x x i k i k ==∞ →， 则称点列() {}k x 收敛于* x ，并记作 ()* lim k k →∞ =x x 。 由定义可知： () * lim k k →∞ =x x () *lim k k ∞ →∞ ?-=0x x ， 第三章数据采集系统基本原理 第一节数据采集系统基本组成 ⒈传感器:将被测的物理量转换成电压信号送至仪器输入电路。 ⒉仪器输入电路：传感器与仪器之间的匹配电路，它作为传感器的输出负载必须具有足够高的输入阻抗，同时它的输出信号作为仪器的输入信号，要求它具有非常小的输出阻抗。仪器输入电路对共模干扰信号具有很强的抑制能力，即具有很高的共轭抑制比。 图3-1 数据采集系统的基本组成框图 ⒊低噪声前置放大器：对检测到的微弱电信号给以固定增益的放大，由于该放大器位于仪器一系列电路的前端，它的噪声是仪器整体系统噪声的主要提供者，因此任何电子仪器测量系统的前置放大器都必须是低噪声电路。 ⒋电模拟滤波器 ①低切滤波器：用来去除低频干扰信号，在地震勘探工作中低频干扰信号主要是指面波信号。 ②高切滤波器：它用来去除高频干扰，在数字信息采集系统中，一般都设置采样开关，这样高切滤波器主要用来去除信号中不满足采样定理的假频成分，假频信号的频率是信号中比折叠频率还高的高频成分。 ③陷波器：它用来除去50Hz的工业频率干扰。 ⒌多路采样开关：在一个采样周期之内，对全部各路信号按先后顺序分别采 样一次，将多路系统转换为单路系统，实现多路合一；同时将连续的模拟信号转换为离散的模拟子样脉冲。 ⒍模数转换器：则将每一个子样脉冲电压转换为二进制代码。 ⒎数据记录系统：将二进制代码按照国际专业技术组织的规定，进行编排和编码，编排主要是将一定长度的二进制数据编排成便于计算机数据处理的字节形式；编码则是为了数据写读的方便，针对数码“1”和“0”对磁带剩余磁通的变化方式所作出的规定。 第二节 输入电路和低噪声前置放大器 一、差动放大器输入电路 A 1和A 2的输出分别为V 1和V 2，它们可表示为 2111i W FO i W FO V R R V R R V ?-????? ??+= ，1221i W FO i W FO V R R V R R V ?-????? ? ?+= 放大器A 3具备输入平衡条件，它的输出V 0表示为 ()()2121021i i f F W FO f F V V R R R R V V R R V -?????? ? ?+-=-?- = 闭环增益为：f F W FO i i F R R R R V V V K ???? ? ?+-=-= 21210 由于该电路具有很高的输入阻抗和共模抑制比，许多数字地震仪的输入电路都采用了该形式的电路。常微分方程考研讲义第三章一阶微分方程解的存在定理
【典型例题】 第三章 一阶微分方程的解的存在定理
第三章、逐次逼近法
§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法
第三章第四节 电力系统低频减载
逐次逼近式转换原理(终审稿)
第三章逐次逼近法
第6章 逐次逼近法
毕卡逐次逼近法
第三章 一阶线性微分方程组 第一讲一阶微分方程组及解的存在唯一性定理
逐次逼近与积分AD区别
典型例题第三章一阶微分方程的解的存在定理
第6章 逐次逼近法
第三章数据采集系统基本原理