荆州中学2020年高一3月月考数学(理)试卷及答案

荆州中学高一年级下学期第一次质量检测数学卷（理

科）

命题人： 审题人：

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设全集U=R ，A=}02|{2≤-x x x ，B=},cos |{R x x y y ∈=， 则图中阴影部分表示的区间是（ ） A.[0,1]

B.[-1,2]

C.),2()1,(+∞--∞Y

D.),2[]1,(+∞--∞Y 2．若0.5222,ln 2,log sin 5

a b c π

===，则（ ） A ．a b c >>

B ．b a c >>

C ．c a b >>

D ．b c a >>

3．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、

，已知3,3

a b A π

===

，则

角B 等于 （ ）

A. 4π

B. 34π

C. 4

π

或34π D. 以上都不

对

4．若{}n a 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有 （ ）

① {}12+n a ， ② {}2

n a ， ③ {}1n n a a +-， ④ {}2n a n +

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 5．若3log 41x =，则44x x -+=（ ）

A. 1

B. 2

C. 83

D. 10

3

6．设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)===-r r r

a x

b y

c 且//,⊥，则=a b +r r ( )

B.

7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,111a =- ,564a a +=-,n S 取得最小值时n =

（ ） A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

8．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆

正好处在坡度o 15的看台的某一列的正前方，

从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的

仰角分别为o 60和o 30，第一排和最后一排的

距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排

在同一个水平面上．若国歌长度约为50秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为( )（米 /秒）

A ．110

B ．310

C ．12

D ．

7

10

9．将函数()3cos sin f x x x =+的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的函数图像关于y 轴对称，则实数m 的最小值是（ ）

A ．12π

B ．6π

C ．3

π D ．512π

10．在D ABC 中,(cos18,cos72)AB =??u u u v ,(2cos63,2cos27)BC =??u u u v

,则D ABC 面积为

（ ） A ．

4

2 B ．

2

2 C ．

2

3 D ．2

11．已知函数()sin 6f x A x π???=+ ???0,02A π??

?><< ???的部分图象如图所示，,P Q 分

别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为()2,A ，点R 坐标为()2,0.若23

PRQ π

∠=，则函数()y f x =的最大值及?的值分别是( )

A ．3,6π

B ．3,3π

C ．23,6

π

D ．23,3

π

12．已知数列{}n a 是等差数列，且52

a π

=

，若函数2

()sin 22cos 2

x

f x x =+，记56

()n n y f a =，则数列{}n y 的前9项和为( )

A ．0

B ．－9

C ．9

D ．1 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．函数213

log log y x

=（）的定义域为 ． 14．在ABC △中,1,45a B ==?,ABC △的面积=2S ,则ABC △的外接圆的直径为 ．

15.．在边长为1的等边ABC ?中，点P 为边BC 上一动点，则PA PB ?u u u v u u u v

的最小值

为 .

16．设奇函数()x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1],[1,1]x a ∈-∈-都成立，则t 的取值范围是 ．

三、解答题:本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分 ）

已知|a |=1，|b |=2，|a -b ,求:(1)a ?b ；(2) a -b 与a +b 的夹角的余弦值；

18．（本小题满分12分）

已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若{}n a 满足2312a a a =，求数列{||}n a 的前10项的和10S .

19．（本小题满分12分）

在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、

，且满足c =

cos (2)cos 0c B b a C +-=

（1）求角C 的大小; （2）求△ABC 面积的最大值.

20．(本题满分12分)

已知函数f(x)=x x x 22cos 2)cos (sin -+(R x ∈)．

(1)求函数f(x)的周期和递增区间；

(2)若函数m x f x g -=)()(在[0，2

π

]上有两个不同的零点x 1、x 2，求实数m 的取

值范围．

并计算tan(x 1＋x 2)的值． 21．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，点, n

S n n ?

?

??

?

在直线4+=x y 上．数列{}n b 满足2120n n n b b b ++-+=*()n N ∈，且84=b ，前11项和为154.

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；

（2）设?????∈=∈-==).

,2(,),,12(,)(*

*

N l l n b N l l n a n f n n 是否存在*

m N ∈，使得)(3)9(m f m f =+成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知函数??

?

??--=x mx x f 11lg )(为奇函数.

(1)求m 的值，并求f (x)的定义域；

(2)判断函数)(x f 的单调性，不需要证明；

(3)若对于任意???

???∈2,0πθ,是否存在实数λ,使得不等式

恒成立03lg )3

1

sin (cos 2>--+θλθf .若存在,求出实数λ的取值范围;若不存

在,请说明理由.

荆州中学高一年级下学期第一次质量检测数学卷（理科） 参考答案

13、(0,1) 14

、

、1

16

- 16、220t t t ≥≤-=或或

三、解答题;

17、解、（1）由题意：222

727a b a a b b -=?-?+=r r r r r r

2

12471a

b a b -?+

=??=-r r r r

……………………4分

（2）22

()()143a b a b a b -+=-=-=-r r r r r r

a b +===r r ……………………7分

设a b -r r 与a b +r r 的夹角为α，则是()()cos a b a b a b a b α-+===-?+r r

r r r r (10)

分

18、解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，

由题意得1111

333,()(2)8.a d a a d a d +=-??

++=? 解得12,3,a d =??=-?或14,

3.a d =-??=?

所以由等差数列通项公式可得

23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.

故35n a n =-+，或37n a n =-. ……………………６分 （Ⅱ）当35n a n =-+时，2a ，3a 不满足1a 2312a a a =；

当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 满足1a 2312a a a =. 故37,1,2,

|||37|37, 3.n n n a n n n -+=?=-=?

-≥?

记数列{||}n a 的前n 项和为n S .

当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=；

当3n ≥时，

234||||||n n S S a a a =++++L 5(337)(347)(37)n =+?-+?-++-L

2(2)[2(37)]311

510222

n n n n -+-=+

=-+.

所以10105S = (12)

分

19．解：（1） 由正弦定理得：

∴ sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C +-= ……………2分 ∴ sin 2sin cos 0A A C -=

∵ sin 0A ≠∴ 1

cos 2

C = (4)

分

∴ 3

C π

= ……………………………………………………………………

6分

（2）由正弦定理得

sin sin sin sin 3

a b c A B C π

===得， 4sin ,4sin ,a A b B ==又23A B π+=

，23

B A π=-，…………………………… 8分 ∴△ABC

面积12sin sin sin()23

S ab C A B A A π

===-，

化简得：)6

S A π

=- (10)

分 当3

A π

=时，S

有最大值，max S =。 (12)

分

20、解：(1)f(x)=)4

2sin(22cos 2sin cos 2)cos (sin 22π

-=-=-+x x x x x x (R x ∈)．

由224222πππππ+≤-≤-k x k ?8

38π

πππ+≤≤-k x k (Z k ∈)，

∴函数f(x)的周期为π=T ，递增区间为[8

π

π-

k ，8

3π

π+

k ](Z k ∈)；………6分 (2)∵方程0)()(=-=m x f x g 同解于m x f =)(；

在直角坐标系中画出函数f(x)=)42sin(2π-x 在[0，2

π

]上的图象，

由图象可知，当且仅当1[∈m ，)2时，方程m x f =)(在[0，2π]上的区间[4π，8

3π

)

和 (

83π，2π]有两个不同的解x 1、x 2，且x 1与x 2关于直线8

3π

=x 对称，即83221π=+x x ，∴4

321π

=

+x x ；故1)tan(21-=+x x ． ……………12分 21、解：（1）由题意，得

4+=n n

S n

，即n n S n 42+=． 故当2n ≥时，1n n n a S S -=-=n n 42+-)1(4)1(2---n n 32+=n ． 注意到1n =时，511==S a ，而当1n =时，54=+n ， 所以， 32+=n a n *()n N ∈．

又2120n n n b b b ++-+=，即211n n n n b b b b +++-=-*()n N ∈，

所以{}n b 为等差数列，于是

1542)

(1184=+b b ． 而84=b ，故208=b ，34

8

20=-=d ， 因此，43)4(34-=-+=n n b b n ，

即43)4(34-=-+=n n b b n *()n N ∈． ……………………6分

（2）?????∈=-∈-=+=)

,2(43)

,12(32)(*

*

N l l n n N l l n n n f ① 当m 为奇数时，9+m 为偶数．

此时2334)9(3)9(+=-+=+m m m f ，96)(3+=m m f 所以96233+=+m m , *3

14

N m ?=

(舍去) ② 当m 为偶数时，9+m 为奇数．

此时，2123)9(2)9(+=++=+m m m f ，129)(3-=m m f ， 所以129212-=+m m ，*7

33

N m ?=

（舍去）

． 综上，不存在正整数m ，使得)(3)9(m f m f =+成立． …………12分

22解. (1)∵函数??

?

??--=x mx x f 11lg )(为奇函数，)()(x f x f -=-∴在定义域内恒成立

即2

2211,11lg )11lg(x x m x mx x mx -=-∴??

? ??---=++在定义域内恒成立， 111-==-=∴m m m （舍去），即或，011>-+x

x

故函数的定义域是)1,1(-.

-----------------4分

(2) )1(11lg )(<<-??

?

??-+=x x x x f ，任取1121<<<-x x

设)1(11)(<<--+=x x

x

x u ，)1)(1()(21111)()(2121221121x x x x x x x x x u x u ---=-+--+=

- ∵1121<<<-x x ，0)()(21<-x u x u ，∴)(lg )(lg 21x u x u >

),()(21x f x f <∴即)(x f 在定义域内单调递增 ------7

分

(3)假设存在实数λ,使得不等式恒成立03lg )3

1

sin (cos 2>--+θλθf

恒成立)21

(3lg )31sin (cos 2f f =>-+θλθ

由（1），（2）知:131sin cos 212<-+<θλθ 对于任意??

?

???∈2,0πθ

???

????>-+-<-+-?2131sin sin 1131sin sin 122

θλθθλθ, 当θ=0时成立；

当??

?

??∈2,0πθ时，令sinθ=t,

??????

?>+-<+-?65

33

2613122λλλλt t t t 即33265<<λ -----12分