郭硕鸿《电动力学》课后答案
郭硕鸿《电动力学》课后答案
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电动力学答案
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：
B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ A A A A )()(2
2
1∇⋅-∇=⨯∇⨯A 解：（1）)()()(c
c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇
B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c
c c c B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=
（2）在（1）中令B A =得：
A
A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，
所以 A A A A A A )()()(2
1
∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯ 即 A A A A )()(2
2
1∇⋅-∇=⨯∇⨯A
2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：
u u f u f ∇=∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， u
u u d d )(A
A ⨯
∇=⨯∇ 证明： （1）
z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=
∇)()()()(z
y x z
u
u f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d
u u
f z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e
（2）
z u A y u A x u A u z y x ∂∂+
∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A z
u
u A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d
u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d
d
)()d d d d d d (e e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++=
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（3）
u A u A u A z
u y u x u u
u z y x z
y x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e A
z
x y y z x x y z y
u u A x u u A x u u A z u u A z u
u A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (
∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=
z
x y y z x x y z y
u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=
)
(u A ⨯∇=
3. 设2
2
2
)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的
距离，r 的方向规定为从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r r r /'r =-∇=∇ ； 3
/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；
0)/(3
=⨯∇r r ；
0)/(')/(3
3
=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。 （2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0
r k E ⋅⋅∇及
)]sin([0
r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0
E 均为常向量。 （1）证明：2
22)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=
○
1 r z z y y x'x r r z
y x /])'()'()()[/1(r e e e =-+-+-=∇ r z z y y x'x r r z
y x /])'()'()()[/1('r e e e -=------=∇ 可见 r r '-∇=∇
○2 3
211d d 1r
r r r r r r r -=∇-=∇⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∇
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3
2'1'1d d 1'r r r r r r r r =∇-=∇⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∇
可见
()()
r r /1'/1-∇=∇
○3 r r r r ⨯∇+⨯∇=⨯∇=⨯∇)/1()/1(])/1[()/(3333r r r r 0301d d 43=⨯-=+⨯∇⎪⎭⎫ ⎝⎛=
r r
r r
r r r r
○
4 r
r r r ⋅∇+⋅∇=⋅∇=⋅∇33331
)/1(])/1[()/(r
r r r
3334=+⋅-=r
r r r r
，
)
0(≠r
（2）解：
○
13])'()'()'[()(
=-+-+-⋅∂∂
+∂∂+∂∂=⋅∇z y x z y x z z y y x x z
y x e e e e e e r
○2 0
'
''
///=---∂∂∂∂∂∂=⨯∇z z y y x x z y x z
y x e e e r
○
3
])'()'()')[(()(z y x z y x
z z y y x x z
a y a x a e e e r a -+-+-∂∂
+∂∂+∂∂=∇⋅
a
e e e =++=z z y y x x a a a
○
4 r a r a a r a r r a )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ 因为，a 为常向量，所以，0=⨯∇a ，
)(=∇⋅a r ，
又0=⨯∇r ，a r a r a =∇⋅=⋅∇∴)()( ○
5 )]sin([)sin()()]sin([000r k E r k E r k E ⋅∇⋅+⋅⋅∇=⋅⋅∇ 0
E 为常向量，
0=⋅∇E ，而
k r k r k r k r k )cos()()cos()sin(⋅=⋅∇⋅=⋅∇，
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所以 )cos()]sin([0
r k E k r k E ⋅⋅=⋅⋅∇
○
6 )]cos()]sin([)]sin([000r k E k E r k r k E ⋅⨯=⨯⋅∇=⋅⨯∇ 4. 应用高斯定理证明f S f ⨯=⨯∇⎰⎰S V
V d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯L
S
ϕϕl S d d 证明：（I ）设c 为任意非零常矢量，则
⎰⎰⨯∇⋅=⨯∇⋅V
V
V V )]([d d f c f c
根
据矢量分析
公式
)()()(B A B A B A ⨯∇⋅-⋅⨯∇=⨯⋅∇， 令其中f A =，c B =，便得
c
f c f c f c f ⋅⨯∇=⨯∇⋅-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()()(
所
以
⎰⎰⎰⨯⋅∇=⨯∇⋅=⨯∇⋅V
V
V
V V V )(d )]([d d c f f c f c ⎰⋅⨯=S c f d )(
f
S c f S c ⎰⎰⨯⋅=⨯⋅=d )d (
因为c 是任意非零常向量，所以
⎰⎰⨯=⨯∇f S f d d V
V
（II ）设a 为任意非零常向量，令a F ϕ=，代入斯托克斯公式，得
⎰⎰⋅=⋅⨯∇l F S F S
d d
（1） （1）式
左
边
为：
⎰⎰⨯∇+⨯∇=⋅⨯∇S
S
S a a S a d ][d )(ϕϕϕ
⎰⎰⋅∇⨯-=⋅⨯∇=S
S
S
a S a d d ϕϕ
⎰⎰∇⨯⋅=⨯∇⋅-=S
S
ϕϕS a S a d d ⎰∇⨯⋅=S
ϕS a d
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（2） （1）式右边为：⎰⎰⋅=⋅l a l a d d ϕϕ （3）
所以 ⎰⎰⋅=∇⨯⋅l a S a d d ϕϕS
（4）
因为a 为任意非零常向量，所以
⎰⎰=∇⨯l S d d ϕϕS
5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为
'd '),'()(V t t V
x x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0
=∂∂+⋅∇t
ρ
J 证明p 的变化率为：⎰=V
V t t
d ),'(d d x J p
证明：方法（I ）
⎰⎰∂∂
==V V
V t t V t t t '
d ]),(['d ),(d d d d x'x'x'x'p ρρ⎰⎰
⋅∇-=∂∂=V V V V t
t '
d )'('d )
,(x'J x'x'ρ
⎰⎰⋅∇-=⋅⋅∇-=⋅V V V 'x V t
'
d )'('d )'(d d 1111J
e 'x J e p
'
d ])'()('[11V 'x 'x V
J J ⋅∇+⋅-∇=⎰
⎰⎰+⋅-=V
x S
V J 'x '
d 'd 1S J 1
因为封闭曲面S 为电荷系统的边界，
所以电流不能流出这边界，故
0'd 1=⋅⎰S
'x S J ， ⎰=⋅V
x V J t
'd d d 1
1
e p
同理 ⎰=⋅V x V J t
'
d d d 22
e p
，
⎰=⋅V x V J t
'
d d d 33
e p
所以
⎰=V
V t 'd d d J p
方法（II ）
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⎰⎰∂∂
==V V
V t t V t t t '
d ]),(['d ),(d d d d x'x'x'x'p ρρ⎰⎰
⋅∇-=∂∂=V V V V t
t '
d )'('d )
,(x'J x'x'ρ
根据并矢的散度公式g
f g f fg )()()(∇⋅+⋅∇=⋅∇得：
J
x J x J x J Jx +⋅∇=∇⋅+⋅∇=⋅∇')(')(')()'(
⎰⎰+⋅∇-=V V V V t
'd 'd )('d d J Jx'p
⎰⎰+⋅-=V V 'd )'(d J Jx S ⎰=V V '
d J
6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量
3
/R ）（R m A ⨯=的旋度等于标量3
/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。 证明：3
/)/1r r r -=∇（
])1
[()]1([)(3
m m r m A ⨯∇⨯∇=∇⨯⨯-∇=⨯⨯∇=⨯∇∴r
r r m
m m m ])1
[()]1([1)(1)(∇⋅∇-∇⋅∇-∇∇⋅+∇⋅∇=r
r r r
m
m ]1
[1)(2r
r ∇-∇∇⋅=
其中
)/1(2=∇r ， （0≠r ） r
1
)(∇∇⋅=⨯∇∴m A ， （0≠r ） 又
)]1
([)(
3r
r ∇⋅-∇=⋅∇=∇m r m ϕ
m
m m m ])1
[()1)(()()1()]1([∇⋅∇-∇∇⋅-⨯∇⨯∇-∇⨯∇⨯-=r
r r r
)
1
)((r
∇∇⋅-=m
所以，当0≠r 时，ϕ-∇=⨯∇A
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7. 有一内外半径分别为1
r 和2
r 的空心介质球，介
质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f
ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。 解：（1）设场点到球心距离为r 。以球心为中
心，以r 为半径作一球面作为高斯面。
由对称性可知，电场沿径向分布，且相同r 处场强大小相同。
当1
r r <时，01
=D ， 01
=E 。 当21r r r <<时， f
r r D r ρππ)(3
443
1
3
2
2-= 2
3
1323)(r
r r D f
ρ-=
∴ ，
2
3
1323)(r r r E f
ερ-=
，
向量式为 r
E 3
31323)(r r r f
ερ-=
当2
r r >时，
f
r r D r ρππ)(3
443
13232-=
2
3
13233)(r r r D f
ρ-=
∴
2
03
13233)(r r r E f
ερ-=
向量式为
r
E 3
03
13233)(r r r f
ερ-=
（2）当2
1
r r r <<时，
)()(20
2202D D E D P ε
εερ-
⋅-∇=-⋅-∇=⋅-∇=p f ρε
ε
εε)1()1(020--=⋅∇-
-=D 当1
r r =时，
)1()()(1
2020212=--=-
⋅-=-⋅-==r r p D D D n P P n ε
ε
εεσ
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当2
r r =时，
f r r p r r r ρεεε
ε
σ2
2
3
13202
023)1()1(2
--=-=⋅==D P n 8. 内外半径分别为1
r 和2
r 的无穷长中空导体圆
柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流f
J ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。 解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂
直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径为r 。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。
当 1
r r < 时，由安培环路定理得：
0,01
1==B H
当 2
1r r r << 时，由环路定理得：
)(22
1
2
2r r J rH f
-=ππ
所以 r r r J H f
2)(21
2
2-= ， f
J r
r r B 2)(21
2
2-=μ 向量式为
r
J e
B ⨯-=-=
f f r
r r J r
r r 2
21221222)
(ˆ2)
(μμθ 当 2
r r > 时，)(221
22
3
r r J rH f
-=ππ 所以 r r r J H f
2)(21
22
3
-= ， f J r
r r B 2)
(21220
3
-=μ
向量式为 r
J e B ⨯-=-=f f r r r J r r r 2
212202122032)
(ˆ2)(μμθ
（2）当 2
1r r r << 时，磁化强度为 r J H M ⨯--=-=f
r
r r 2
2
1
2
2
2)()1()1(
μμ
μμ 所
以
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f M J H H M J )1()1(])1[(
2020-=⨯∇-=-⨯∇=⨯∇=μμ
μμμμ 在 1
r r = 处，磁化面电流密度为 ⎰=⋅=0d 211
l M r
M
πα 在
2
r r = 处，磁化面电流密度为
⎰---=⋅-=f
M
J r
r r r 2
221
2
2
2
2)()1(d 210μμ
παl M 向量式为 f
M
r r r J α
2
2
21
2202)()1(---=μμ
9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度p
ρ总
是等于体自由电荷密度f
ρ的)/1(0
εε--倍。 证明：在均匀介质中 E E P )()1/(0
00εεεεε-=-=
所以 D E P ⋅∇--=⋅∇--=⋅-∇=)/1)(()(0
0εεεεερp
f
f ρεερεεε)/1(]/)[(00--=--=
10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作
用力大小相等方向相反(但两个电流元之间 的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律) 证明: 线圈1在线圈2的磁场中受的力:
21112B l F ⨯=d I d ,
而
⎰⨯=
2
3
12
12
22024l r d I r l B πμ，
⎰⎰⎰⎰
⨯⨯=⨯⨯=∴12
12
31212212
103
12
122211012)
(4)(4l l l l r d d I I r d I d I r l l r l l F πμπμ
)(412
213121*********
10⎰⎰⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=
l l d d r r d d I I l l r r l l π
μ
(1)
同理可得线圈2在线圈1的磁场中受的
力：
)(421
123212132121212
1021⎰⎰⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=l l d d r r d d I I l l r r l l F π
μ
(2)
(1)式中： 0)1
(122
121212221212231212123121212＝一周⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-⋅==⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅l l l l l l l r d r dr d r d d r d d l l r l l r l l
同理(2)式中：
⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅21
03212121l l r d d r l l
)(412213
12
122102112⎰⎰⋅-=-=∴l l d d r I I l l r
F F πμ
11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分
别为1
l 和2
l ，电容率为1
ε和2
ε，今在两板接上电动势为 E 的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度1f ω和2
f ω；
（2）介质分界面上的自由电荷面密度3
f ω。(若介质是漏电的，电导率分别为1σ和2
σ 当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？)
解：忽略边缘效应，平行板电容器内部场强
方向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀，分别设为1
E 和2
E ，电位移分别设为1
D 和2
D ，其方向均由正极板指向负极板。当介质不漏电时，介质内没有自由电荷，
因此，介质分界面处自由电荷面密度为
03=f ω
取高斯柱面，使其一端在极板A 内，另
一端在介质1内，由高斯定理得：
1
1
f D ω=
同理，在极板B 内和介质2内作高斯柱
面，由高斯定理得：
2
2
f D ω-=
在介质1和介质2内作高斯柱面，由高
斯定理得：
2
1D D =
所以有 111εωf E = ， 2
1
2
ε
ω
f E =
由于 E )(d 2
2111221111εεωεωεωl l l l l E f f f +=+=⋅=⎰
所以 =
-=21
f f ωω
E
)
(
2
2
1
1
εεl l +
当介质漏电时，重复上述步骤，可得： 1
1
f D ω=， 2
2
f D ω-=， 3
1
2
f D D ω=- 2
1
3
f f f ωωω--=∴
介质1中电流密度 1
1
1
1
1
1
1
1
1
//εωσεσσf ===D E J 介质2中电流密度 2
3
1
2
2
2
2
2
2
2
/)(/εωωσεσσf f +===D E J
由于电流恒定，2
1J J =，
2
312111/)(/εωωσεωσf f f +=∴
1
1
21
212211223)1()(f f f ωε
σσ
εωεσεσσεω-=-=∴
再由 E 2211l E l E d +=⋅=⎰l E 得
E )(2
2
1
111
1221
12111l l l f f f σ
σ
εωεσεωσεεω+=+= 2
2111
1/σσεωl l f +=
∴
E
2
1121
2l l σσεσ+=
E
)(312f f f ωωω+-=2
1122
1l l σσεσ+-
=E
2
11212213l l f σσεσεσω+-=
E
12.证明：
（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足
1
2
1
2
tan tan ε
ε
θθ= 其中1
ε和2
ε分别为两种介质的介电常
数，1θ和2
θ分别为界面两侧电场线与法线的夹角。
（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲折满足
1
2
12tan tan σ
σ
θθ= 其中1
σ和2
σ分别为两种介质的电导率。
证明：（1）由E 的切向分量连续，得
2
2
1
1
sin sin θθE E =
（1）
交界面处无自由电荷，所以D 的法
向分量连续，即
2
2
1
1
cos cos θθD D =
222111cos cos θεθεE E =
（2）
（1）、（2）式相除，得
1
2
1
2
tan tan ε
ε
θθ= （2）当两种电介质内流有恒定电流时 22
2
1
1
1
,E J E J σσ==
由J 的法向分量连续，得
2
2
2
1
1
1
cos cos θσθσE E =
（3）
（1）、（3）式相除，即得
1
2
1
2
tan tan σ
σ
θθ= 13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分
界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。 证明：（1）设导体外表面处电场强度为E ，其
方向与法线之间夹角为θ，则其切向分量为θsin E 。在静电情况下，导体内部场强处处为零，由于在分界面上E 的切向分量连续，所以
0sin =θE
因此 0=θ
即E 只有法向分量，电场线与导体表
面垂直。
（2）在恒定电流情况下，设导体内表面处电场方向与导体表面夹角为α，则电流密度E J σ=与导体表面夹角也是α。导体外的电流密度0='J ，由于在分界面上电流密度的法向分量连续，所以
0sin =ασE
因此 0=α
即J 只有切向分量，从而E 只有切向
分量，电场线与导体表面平行。
14.内外半径分别为a 和b 的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为f
λ，板间填充电导率为σ的非磁性物质。
（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。 （2）求f
λ随时间的衰减规律。 （3）求与轴相距为r 的地方的能量耗散功率密度。 （4）求长度l 的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率。 解：（1）以电容器轴线为轴作一圆柱形高斯面，其半径为r ，长度为L ，其中
b r a <<
则由高斯定理得：
L
D rL f ⋅=⋅λπ2
（1） 所以
r
D f
πλ2= ，
t
r J f
D
∂∂=λπ21 （2）
再由电流连续性方程得：)/(/2t L t q J rL f
f
∂∂-=∂-∂=⋅λπ （3）
所以 D
f
f J t r J -=∂∂-=λ
π21
（4）
即f
J 与D
J 严格抵消，因此内部无磁
场。
（2）由
E
J σ=f 得：
r
D J f
f λπεσεσ⋅
==2
（5）
联立（2）（4）（5）得0d d =+f
f t
λε
σ
λ （6）
所以
0d d =+
t f
f
ε
σ
λλ t
f Ce
ε
σλ-=
（7）
设初始条件为
f t f
λλ==，则由（7）
式得0
f C λ=
所以，t
f f
e
ε
σλλ
-=0 （8）
（3）
2
2
2⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅==r E p f πελσσ
（9）
（4） 将上式在长度为l 的一段介质内
积分，得
⎰⎰=⋅⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅=V
b
a
f
f
f
a b l r rl r V r P ln 2d 22d 22
2
2
2
πε
σλππελσπελσ （10）
由
2
2
1E w ε= 得：
a b l r rl r V w W f b
a f V ln 4d 2221
d 2122
πελππελε=⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==⎰⎰
所以
t
a b l t W f
f d d ln 2d d λπελ⋅=
（11）
由（6）（10）（11）得 ：t
W P d d -= 即总的能量耗散功率等于这段介质的
静电能减少率。
第二章 静电场
1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2
/r K r P =，电容率为ε。
（1）计算束缚电荷的体密度和面密度： （2）计算自由电荷体密度； （3）计算球外和球内的电势；
（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。 解：（1）P ⋅-∇=p
ρ2
2
2
2
/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=∇⋅+⋅∇-=⋅∇-=r r r
)(1
2
P P n -⋅-=p
σR K R
r r
/=⋅==P e
（2）)/(0
0εεεε-=+=P P E D 内
2
0)/()/(r K f εεεεεερ-=-⋅∇=⋅∇=P D 内
（3）)/(/0
εεε-==P D E 内内
r r f
r KR
r V
e e D E 2
002
00
)(4d εεεεπερε-=
=
=
⎰外
外 r
KR
r
)(d 00εεεεϕ-=
⋅=⎰∞r E 外外 )(ln d d 0
0εε
εεϕ+-=
⋅+⋅=⎰⎰∞r R K R
R r
r E r E 外内内
（4）
⎰⎰⎰∞
-+
-=⋅=R R r r
r R K r r r K V W 4
22
002
22022
202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D
2
0)
)(1(2εεεεπε-+=K R
2. 在均匀外电场中置入半径为0
R 的导体球，试
用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0
Φ；
（2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0
E 方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。
当0
R R >时，电势ϕ满足拉普拉斯方程，通解
为
∑++
=n
n n n
n n P R
b R a )(cos )(1
θϕ
因为无穷远处 0
E E →，
)(cos cos 10
θϕθϕϕRP E R E -=-→
所以 0
ϕ=a ，0
1
E a -=，)
2(,0≥=n a n
当 0
R R →时，0
Φ→ϕ
所以 0
10
1
000)(cos )(cos Φ=+-∑+n
n n n P R b
P R E θθϕ
即： 0
02010000/,/R E R b R b =Φ=+ϕ
所
以
)
2(,0,),(3
010000≥==-Φ=n b R E b R b n ϕ
⎩⎨
⎧≤Φ>+-Φ+-=)()
(/cos /)(cos 00
02
3
0000000R R R R R R E R R R E θϕθϕϕ
（2）设球体待定电势为0
Φ，同理可得
⎩⎨
⎧≤Φ>+-Φ+-=)()
(/cos /)(cos 00
02
3
0000000R R R R R R E R R R E θϕθϕϕ
当 0
R R →时，由题意，金属球带电量Q
φθθθϕθεϕεd d sin )cos 2cos (d 2
000
000000
R E R E S n
Q R R ⎰⎰+-Φ+
=∂∂-==
)
(40000ϕπε-Φ=R 所以
0004/)(R Q πεϕ=-Φ
⎩⎨
⎧≤+>++-=)(4/)
(cos )/(4/cos 000023
00000R R R
Q R R R R E R Q R E πεϕθπεθϕϕ
3. 均匀介质球的中心置一点电荷f
Q ，球的电容
率为ε，球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。
提示：空间各点的电势是点电荷f
Q 的电势R Q f
πε4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。 解：（一）分离变量法
空间各点的电势是点电荷f
Q 的电势R Q f
πε4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加。设极化电荷产生的电势为ϕ'，它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形式为：
）（）（内θϕcos 1
n
n
n n
n
n
P R
b
R a ∑++=' ）（）（外θϕcos 1
n n
n n
n n P R d R c ∑++
='
当∞→R 时，0→'外
ϕ，0=∴n
c 。 当0→R 时，内
ϕ'为有限，0=∴n
b 。 所以 ）（内θϕcos n n n
n P R a ∑=' ， ）
（外
θϕcos 1
n n
n n P R d
∑+='
由于球对称性，电势只与R 有关，所以
)1(,0≥=n a n
)1(,0≥=n d n
a ='内
ϕ， R d /0
='外ϕ
所以空间各点电势可写成R Q a f
πεϕ40+=内
5 电动习题答案 郭硕鸿 第五章
第五章 电磁波的辐射 1. 若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分,写出E 和B 的这两部分在真空中所满足的方程式,并证明电场的无旋部分对应于库仑场。 解: 首先将电磁场分成两部分: (1) (2)(3)L T L T L T E E E B B B J J J ?=+?=+??=+? 其中角标L 表示纵场角标T 表示横场。所以有: ????????? ??=??=??=??=??=??=??T ) 9(0 )8(0)7(0 )6(0)5(0 )4(0 T T L L L J B E J B E 将 （1）（3） 代入电荷守恒定律有: 0)(0=??++???=??+??T t J J t J L ρρ （10） 由（9）得:
0L J t ρ???+=?? 将（1）（2）（3）代入真空中的麦氏方程组得 ()(11) ()()(12)()0(13) ()(14) 000000E E L B B L E E L t B B L E E L B B J J L L t t ρεμμμεμε? ??+=?T ???+?T ??+=-?T ?? ???+=?T ? ???T ??+=+++?T T ??? 由(11) 及(7)式得: 0ερ =??L E (15) 由(13)及(8)式得: 0B L =?? (16) 由（5）、（16）及横场定义（8）知0L B = 将(16)及(4)式代入(12)得 t B E ??- =??T T (17) 将(5)式代入(10)式得: 0)(0=????+??L L E t J ε 0L (E )0L J t ε????+=? (18) 由（8）式及（4）式得
电动力学第六章 郭硕鸿第三版
第六章 狭义相对论 主要内容：讨论局限于惯性系的狭义相对论的时空理论，相对论电动力学以及相 对论力学 一．狭义相对论基本原理： 1、相对性原理（伽利略相对性原理的自然扩展） （1）物理规律对于所有惯性系都具有完全相同的形式。 （2）一切惯性系都是等价的，不存在绝对参照系 2、光速不变原理 真空中光速相对任何惯性系沿任何一个方向大小恒为c ，且与光源运动速度无关。 二．洛仑兹变换： 坐标变换：2x 'y 'y z 'z v t x t '⎧ ==⎪⎪ ⎪ =⎪ ⎪ ⎨=⎪ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎩ 逆变换： 2x y y 'z z 'v t 'x t ⎧ =⎪⎪⎪ =⎪⎪⎨=⎪ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎩ 速度变换：2 1x x x u v u vu c -'== - ， 2 1y x u c '= - ， 2 1z x u c '= - 三．狭义相对论的时空理论： 1．同时是相对的：在某一贯性参考系上对准的时钟，在另一相对运动的贯性参考系观察是不对准的。 2．运动长度缩短：沿运动方向尺度收缩。其中v 是物体相对静止系的速度； l l = 3．运动时钟延缓：运动物体内部发生的自然过程比静止的钟测到的静止物
体内部自然过程经历的时间延缓。 2 2 1c t ν τ-∆= ∆ ⑴ 运动时钟延缓：τν ∆>∆∴<-t c 112 2 只与速度有关，与加速度无关； ⑵ 时钟延缓是相对的，但在广义相对论中延缓是绝对的； ⑶ 时钟延缓是时空的另一基本属性，与钟的内部结构无关； ⑷ 它与长度收缩密切相关。 四．电磁场的洛仑兹变换: 112233 32()()γγ'=⎧⎪'=-⎨⎪'=+⎩E E E E vB E E vB 11 2232 3 322()()γγ⎧⎪'=⎪ ⎪ '=+⎨⎪ ⎪ '=-⎪⎩ B B v B B E c v B B E c 五．相对论力学： 1．运动质量： m = 2 ．相对论动量： p m v == 3．质能关系：物体具有的能量为 24 W m c c = 4 ．相对论动能：()2 2 2 000T W W m c m m c =-==- 5．相对论力学方程： dp F dt dW F v dt = ⋅= 本章重点：1、狭义相对论基本原理、洛仑兹变换并熟练利用洛仑兹变换解决具 体问题 2、理解同时的相对性和尺缩、钟慢效应，并会利用相关公式计算.
大学所有课程课后答案
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电动力学第一章 郭硕鸿第三版
第一章 一．主要内容：电磁场可用两个矢量—电场强度 ),,,(t z y x 和磁感应强度 ),,,(t z y x B 来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出 E , B 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。完成由普通物理到理论物理的自然过渡 知 识 体 系： 库仑定律： 30()4V x r E x dV r r r r r D r 电磁感应定律：L S d dl dS dt r r r r Ñ t 介质极化规律：0D P r r r 毕——萨定律： L r r dV J B 30 4 0 r 介质磁化规律：0 r r r D J t r r r 能量守恒定律能量密度 12 w D H B r r ，能流密度：H S 二．内容提要： 1．电磁场的基本实验定律： （1）库仑定律： 对静电场： 3 0()4V x r E x dV r r r r r 对n 个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量 和，即： 涡旋电场假设 位移电流假设 边 值 关 系
3 11 0()4n n i i i i i i Q r E x E r r r r r 对于场中的一个点电荷，受力 F Q E r r （2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） 闭合线电流 ： L r r l Id B 304 闭合体电流： L r r dV J B 30 4 （3）电磁感应定律 L S i S d dt d l d t ①感生电场为有旋场（i E r 又称漩涡场）,与静电场S E r 本质不同。 ②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。 （4）电荷守恒的实验定律 V s dV t s d J t J ①反映空间某点 与J r 之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。 ② 若空间各点 与t 无关，则0,0J t r 为稳恒电流，电流线闭合。 稳恒电流是无源的（流线闭合）， ，J r 均与t 无关，它产生的场也与t 无关。 2、介质中的麦克斯韦方程
郭硕鸿《电动力学》课后答案
电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=?? A A A A )()(2 21??-?=???A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=?? B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???= （2）在（1）中令B A =得： A A A A A A )(2)(2)(??+???=??， 所以 A A A A A A )()()(21??-??=??? 即 A A A A )()(22 1 ??-?= ???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?= ?d d )( ， u u u d d )(A A ? ?=??， u u u d d )(A A ??=?? 证明： （1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ??+??+??= ?) ()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ??+??+??= d d d d d d u u f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ??+??+??=??)()()()(A z u u A y u u A x u u A z y x ??+??+??=d d d d d d u u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (A e e e e e e ??=??+??+???++= （3）u A u A u A z u y u x u u u z y x z y x d /d d /d d /d ///d d ??????=??e e e A z x y y z x x y z y u u A x u u A x u u A z u u A z u u A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d ( ??-??+??-??+??-??= z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([]) ()([??-??+??-??+??-??= )(u A ??= 3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-= 为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为
电动力学第二章郭硕鸿第三版
第二章 静 电 场 静电场： 静止电荷或电荷散布不随时间变化产生的 电场 一．主要内容 ：应用电磁场基本理论解决最简单的问题：电荷静止或电 荷散布不随时间变化，产生的场不随时间变化的 静电场问题。 本章研究的主要问题是 ：在给定自由电荷散布及介质和导体散布的状况下怎样求解静电场。 因为静电场的基本方程是矢量方程， 求解很难， 其实不直接求解静电场的场强，而是经过静电场的标势来求解。 第一依据静电场知足的麦克斯韦方程，引入标势，议论其知足的微分方程和边值关系。在后边几节中陆续研究求解：分别变量法、镜像法和格林函数法。最 后议论局部范围内的电荷散布所激发的电势在远处的睁开式。 知识系统： 1.静电场的微分方程： E 0 v 2 v 引入电势 ： E D 边值关系： n E 2 E 1 0, 1 S 2 S r r r 2 1 n D 2 D 1 2 n 1 n S 1 r r S 静电场的能量： W W 1 dV 2 E DdV 2 V 2.静电边值问题的组成： 2 ——微分方程 1 1 S 2 S 2 1 边值关系 2 1 n S n S 或 S n S ——界限条件 (由独一性定理给出 ) 3．静电边值问题的基本解法： （ 1）镜像法 （ 2）分别变量法 条件：电势知足 拉普拉斯 方程： 2 （ 3）电多极矩
(4)格林函数法 二．内容概要： 1．静电场的电势及其微分方程： （ 1）电势和电势梯度 因为静电场为无旋场 ,即 E 0 ，因此能够引入标量函数，引入后 E 电势差：空间某点电势无物理意义，但两点间电势差存心 义选空间有限两点 P Q Q Q P E dl P 参照点： （ 1）电荷散布在有限地区，往常选无量远为电势参照点0(Q) P E dl P （2）电荷散布在无穷地区不可以选无量远点作参照点，不然积分将无量大。电荷散布在有限地区时的几种状况的电势 （1）真空中点电荷 r r Q Qr (P)P 4 0 r 3dl 4 0r Q 无穷大平均线性介质中点电荷： 4 r （2）电荷组： n Q i (P) i 1 40 r i （ 3）连续散布电荷：无量远处为参照点 ( x ) dV (P) V4 0 r （ 2）电势知足的微分方程和边值关系
大学课本习题答案---应该说如果下面还找不到的那么肯定答案还没出了
应该说如果下面还找不到的那么肯定答案还没出了 统计学课后答案（第二版，贾俊平）? ... 200903/ ? 大学物理实验绪论课指导书? ... 200903/ ? 《材料力学》课后答案? ... 200903/ ? MBA入学复试政治题目及参考答案(2008年) ? ... 200903/ ? 《管理学》笔记（周三多、第四版）? ... 200903/ ? 《管理学》罗宾斯复学资料? ... 200903/ ? 《管理定律》完整版第三部分? ... 200903/ ? 《管理定律》完整版第二部分? ... 200903/ ? 《管理定律》完整版第一部分? ... 200903/ ? 《公共管理学》笔记（陈振明版）? ... 200903/ ? 《点集拓扑讲义》题解（熊金城，高教版）? ... 200903/ ? 大学IT课后习题答案? ... 200903/ ? 《微机计算机基本原理与接口技术》课后答案（陈红卫版）? ... 200903/ ? 中科院《高等代数》考试大纲? ... 200903/ ? 中科院《数学分析》考试大纲? ... 200903/ ? 考研数学全分析——第三章一元函数微分学（经典）? ... 200903/ ? 考研数学全分析——第二章一元函数的连续性（经典）? ... 200903/ ? 考研数学全分析——第一章极限（经典）? ... 200903/ ? 新视野大学英语读写教程1课后答案（第二版）? ... 200903/ ? 新视野大学英语读写教程2课后答案（第二版）? ... 200903/ ? 《思想道德修养与法律基础》课后答案（ 08修订版）? ... 200903/ ? 《马克思主义基本原理概论》课后答案（最新版）? ... 200903/ ? 最感人的句子（圣经）? ? 微机原理（第2版）课后答案? ... 200903/ ? 《物理化学》课后答案（第四版）? ... 200903/ ? 《光学教程》课后答案（第三版）? ... 200903/ ? 《电动力学》课后答案（第三版）郭硕鸿版? ... 200903/ ? 《数字图像处理》课后答案B部分（第二版）? ... 200903/ ? 《数字图像处理》课后答案A部分（第二版）? ... 200903/ ? 《操作系统概念》课后答案（英文原版）? ... 200903/ ? 《复变函数论》课后答案? ... 200903/ ? 毛邓三课后答案? ... 200903/ ? 姜楠：资产评估(第二版)习题答案? ... 200903/ ? 《财务管理》习题答案（第二版）? ... 200903/ ? 《旅游法规教程》课后答案? ... 200903/ ? 《网络营销》课后答案? ... 200903/ ? 《现代营销礼仪》课后答案(第二版) ? ... 200903/ ? 《饭店管理概论》课后答案? ... 200903/ ? 《旅游资源学》课后答案? ... 200903/ ? 《市场调查与分析实训》课后答案? ... 200903/ ? 《房地产经济学》课后答案? ... 200903/ ? 会计从业《基础会计》课后答案? ... 200903/ ? 《计算机组成原理》课后答案（第四版）? ... 200902/
电动力学复习题库01
参考教材：郭硕鸿编，《电动力学》（第三版），人民教育出版社，2008年。 电动力学复习题库 石东平收集整理 重庆文理学院 电子电气工程学院物理系 2008年12月
一、单项选择题 1. 学习电动力学课程的主要目的有下面的几条,其中错误的是( D ) A. 掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解 B. 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力，为以后解决实际问题打下基础 C. 更深刻领会电磁场的物质性，加深辩证唯物主义的世界观 D. 物理理论是否定之否定，没有绝对的真理，世界是不可知的 2. =⨯⋅∇)(B A （ C ） A. )()(A B B A ⨯∇⋅+⨯∇⋅ B. )()(A B B A ⨯∇⋅-⨯∇⋅ C. )()(B A A B ⨯∇⋅-⨯∇⋅ D. B A ⨯⋅∇)( 3. 下列不是恒等式的为（ C ）。 A. 0=∇⨯∇ϕ B. 0f ∇⋅∇⨯= C. 0=∇⋅∇ϕ D. ϕϕ2∇=∇⋅∇ 4. 设222)()()(z z y y x x r '-+'-+'-=为源点到场点的距离，r 的方向规定为从源点指向场点，则 （ B ）。 A. 0=∇r B. r r r ∇= C. 0=∇'r D. r r r '∇= 5. 若m 为常矢量，矢量3m R A R ⨯=标量3m R R ϕ⋅=，则除R=0点外，A 与ϕ应满足关系（ A ） A. ▽⨯A =▽ϕ B. ▽⨯A =ϕ-∇ C. A =ϕ∇ D. 以上都不对 6. 设区域V 内给定自由电荷分布)(x ρ，S 为V 的边界，欲使V 的电场唯一确定，则需要给定（ A ）。 A. S φ或S n ∂∂φ B. S Q C. E 的切向分量 D. 以上都不对 7. 设区域V 内给定自由电荷分布()ρx ,在V 的边界S 上给定电势s ϕ或电势的法向导数 s n ϕ∂∂，则V 内的电场（ A ） A ． 唯一确定 B. 可以确定但不唯一 C. 不能确定 D. 以上都不对 8. 导体的静电平衡条件归结为以下几条,其中错误的是( C ) A. 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面 B. 导体内部电场为零 C. 导体表面电场线沿切线方向 D. 整个导体的电势相等 9. 一个处于x ' 点上的单位点电荷所激发的电势)(x ψ满足方程（ C ） A. 2()0x ψ∇= B. 20()1/x ψε∇=- C. 201 ()()x x x ψδε'∇=-- D. 201()()x x ψδε'∇=- 10. 对于均匀带电的球体，有（ C ）。 A. 电偶极矩不为零，电四极矩也不为零 B. 电偶极矩为零，电四极矩不为零 C. 电偶极矩为零，电四极矩也为零 D. 电偶极矩不为零，电四极矩为零 11. 对于均匀带电的长形旋转椭球体，有（ B ） A. 电偶极矩不为零，电四极矩也不为零 B. 电偶极矩为零，电四极矩不为零 C. 电偶极矩为零，电四极矩也为零 D. 电偶极矩不为零，电四极矩为零
电动力学第四章郭硕鸿第三版
1 •自由空间（介质）：指P =0 , J =0的无限大空间. … - cB \ E = 卫 ;:t 、' H 「B k 2 B =0 i T -----定态波亥姆霍兹方程 基本解: Ex —Eoe^ B x,t 二B o e ikx " 性质: （1） B 与E 的关系: B 」E E 0 -B ， E, B,k 构成右手螺旋关系 (2) B 与E 同位相; (3) ，振幅比为波速 （因为E,B,k 相互垂直, k B E )。 © 能量密度：吨&D + H"推 4B 2 第四章电磁波的传播 电磁波：随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场， 电磁场在空间互相激发， 在空间以波动的形式存在，就是电磁波 主要内容：研究电磁场在空间存在一定介质和导体的情况下的波动情况 ；在真 空与介质，介质与介质，介质与导体的分界面上，电磁波会产生反射、折射、 衍射和衰减等，这些本质上是边值问题。电磁波在空间传播有各种各样的形式, 最简单、最基本的波型是平面电磁波。 知识体系: 麦氏方程为: D =0 B = 0 平面电磁波的能量和能流 定态波 ＜耳 B
电场能等于磁场能，能量密度平均值为
1 . 良导体：「‘: o , J =匚E 2 B k 2 B =0 +— — ct '、、D =0 E 二 os k i ： 2. 电磁波在界面反射和折射 n 汉（E 2 - E — ）= 0 fx （H 2 _H — ）=0 A. 入射波，反射波，折射波波矢量位于同 k 二k , （反射定律） si n T v — “2 卩 2 fs7 n 2 B. ----------- = — = —| fc 」—=n 21 =— J 知巴 」平面， （折射定律） 3. 谐振腔 定态波: P 2E +k 2 E =0 帝E =0 « H =-亠京汇E 在求解中主要用到 n £ E = 0 斤 5 =«"（「般未知） （1）解为: m n P 二 A 1 xsi n ysin - z L L 2 L 3 m n P =A sin xcos y sin ■ L m n P =A sin xsi n ycos z n E = 0 ■：En ；：n s =0 • N 彳 N N A 平均值：S = —ReE” H i= 2 - 基本解：E x,t 二巳』""二巳汀匕」", 两个独立常数由激励谐振的信号强度来确定 1 2 2 o n E z
电动力学——矢量和张量课件
矢量和张量 vectors and tensors 中山大学理工学院黄迺本教授 (2005级,2007年3月) 如果不理解它的语言,没有人能够读懂宇宙这本书,它的语言就是数学. ——Galileo 经典电动力学的研究对象 ——电磁相互作用的经典场论 ——狭义相对论 ——电动力学的相对论协变性 主要数学工具 微积分、线性代数、矢量与张量分析、数学物理方程、级数等. 教材和参考书 教材：郭硕鸿《电动力学》（第二版）高等教育出版社，1997 参考书： [1]黄迺本，方奕忠《电动力学（第二版）学习辅导书》，高等教育出版社，2004 [2]J.D.杰克孙《经典电动力学》人民教育出版社，1978 [3]费恩曼物理学讲义，第2卷，上海科技出版社，2005 [4]朗道等《场论》人民教育出版社，1959 [5]蔡圣善等《电动力学》（第二版），高等教育出版社，2003 [6]尹真《电动力学》（第二版），科学出版社，2005 [7]Daniel R Frankl,ELECTROMAGNETIC THEORY,Prentice-Hall,Inc.,1986 矢量和张量
目录(contens) 1.矢量和张量代数(the algebra of vectors and tensors) 2.矢量和张量分析(the analysis of vectors and tensors) 3.δ函数(δ function) 4.球坐标系和柱坐标系 1 矢量和张量代数 在三维欧几里德空间中，按物理量在坐标系转动下的变换性质，可分为标量（零阶张量），矢量（一阶张量），二阶张量，及高阶张量.（见郭硕鸿，电动力学，P258）分为： 0 阶张量，即标量(scalar)，在3维空间中，只有30 = 1个分量.标量是 空间转动下的不变量. 例如，空间中任意两点之间的距离r ，就是坐标系转动下的不变量.温度、任一时刻质点的能量、带电粒子的电荷、电场中的电势，等等,都是标量. 1阶张量，即矢量(vector)，在3维空间中，由31 = 3个分量构成有序集 合. 例如，空间中任意一点的位置矢量r ，质点的速度v 和加速度a ,作用力F 和 力矩M ,质点的动量p 和角动量L 、电流密度J ,电偶极矩p ,磁偶极矩m ,电场强度E ,磁感应强度B ,磁场矢势A ，等等都是矢量. 2阶张量(tow order tensor )，在3维空间中，由32 = 9个分量构成有序 集合. 例如，刚体的转动惯量→→I ,电四极矩→→ D ,等. 3阶张量，在3维空间中，由33 = 27个分量构成有序集合. 矢量表示 印刷——用黑体字母，如 r , A 书写——在字母上方加一箭头，如 A r , 正交坐标系的基矢量 正交坐标系(如直角坐标系,球坐标系,柱坐标系)基矢量321,e e e ,的正交性可表示为 ⎩⎨⎧≠===⋅j i j i ij 01δj i e e (1.1) 一般矢量A 有三个独立分量A 1，A 2，A 3，故可写成
郭硕鸿电动力学习题解答完全版(1_6章)
1. 根据算符∇的微分性与矢量性 推导下列公式 ∇(Ar ⋅ Br) = Br × (∇× Ar) + (Br ⋅∇)Ar + Ar × (∇× Br) + (Ar ⋅∇)Br Ar × (∇× Ar) = 1 ∇Ar 2 − (Ar ⋅∇)Ar 2 解 1 ∇(Av ⋅ Bv) = Bv × (∇× Av) + (Bv ⋅∇)Av + Av × (∇× Bv) + (Av ⋅∇)Bv 首先 算符∇是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题 ∇将作用于 Av 和Bv 又∇是一个矢量算符 具有矢量的所有性质 因此 利用公式 cv × (av ×bv) = av ⋅(cv ⋅bv) − (cv ⋅av)bv 可得上式 其中右边前两项是 ∇作用于 v v A 后两项是∇作用于 B v v 2 根据第一个公式 令 A B 可得证 2. 设 u 是空间坐标 x y z 的函数 证明 ∇f (u) = df ∇u du ∇⋅ Ar(u) = ∇u ⋅ dAr du r ∇× Ar(u) = ∇u × . dA du 证明 1 ∇f (u) = ∂f (u) er x + ∂f (u) er y + ∂f (u) er z = df du ⋅ e x + r ∂u er y + df ∂ur ⋅ ⋅ e z = df ∇u ∂u ∂x ∂y ∂z du ∂y du ∂z du 2 ∂Ar y (u) ∂y dAr y (u) du ∂Ar x (u) + ∂x + ∂Ar z z(u) = dAr x (u) ⋅ ∂u + ⋅ ∂u + dAr z (u) ⋅ ∂u r ∂z = ∇u ⋅ du ∇⋅ Ar(u) = dA ∂z du ∂x ∂y dz 3 r r r e z ∂ e e ∂Ar y )er x + (∂Ar − ∂z ∂Ar ∂Ar x )er z = ∂y r r x y ∇× Ar(u) = = (∂ x − ∂ )e y + ( y − ∂x ∂ ∂ A A r z z ∂x ∂y A y (u) A z (u) ∂z ∂y ∂z ∂x r r r A x(u)
电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理
电动力学答案 第一章电磁现象的普遍规律 1.根据算符的微分性与向量性，推导下列公式： (A B) B ( A) (B )A A ( B) (A )B A ( A) 1 A2 (A )A 2.设u是空间坐标x,y,z的函数，证明: f(u) A(u) 证明： df u du dA u - du A(u) u 3.设r . (x x')2(y y')2(z z')2为源点 x的距离，r的方向规定为从源点指向场点。 dA du x'到场点
(1)证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系： r 'r r/r ；(1/r)'(1/r) r/r (r/r3) 0 ； (r/r3)'(r/r3)0，(r 0)。 (2 )求r ，r ，(a)r ，(a r) E g sin(k r)]及 [E°si n(k r)］，其中a、k及E0均为常向量。 5 . 个电荷系统的偶极矩定义为 4.应用高斯定理证明dV V 讦S f，应用斯托克斯p(t) v (x',t)x'dV'，利用电荷守恒定律 (Stokes )定理证明dS : dl S L
V 6.若m是常向量，证明除R 0点以外，向量A （m R）/R3 的旋度等 于标量m R/ R3的梯度的负值，即 A ，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原 点指向场点。 7. 有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的电容率为 ，使介质球内均匀带静止自由电荷f，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。 证明p的变化率为：dp dt J(x',t)dV
9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度 总是等于体自由电 荷密度f的(1 0 / )倍。 8.内外半径分别为r i和a的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均 匀自由电流J f，导体的磁导率为，求磁感应强度和 磁化电流。 10.证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向 相反(但两个电流元之间 的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律)
电动力学复习考试题库_2012
《电动力学》复习考试题库 （2012春重建） 64学时，4学分；每周2次，每次2学时 总评成绩：平时30%，期末考试70% 教材和主要参考资料 （1） 郭硕鸿，电动力学（第三版），北京：高等教育出版社， 2008年6月（普通 高等教育“十一五”国家级规划教材，黄迺本、李志兵、林琼桂 修订） （2） 黄迺本，方奕忠，电动力学（第3版）学习辅导书，高等教育出版社; 第3版（ 2009 年1月） （3） J. D. Jackson, Classical Electrodynamics ( 3rd ed.), John Wiley & Sons, Inc., 1999. 高等教育出版社影印，2004. 《电动力学》第1，2，3章和附录（矢量分析）共4讲 0.矢量分析 填空题 试计算)(r a ⋅∇= ，其中a 为常矢量，r 为矢径。 试计算r 1∇= ，其中r 为矢径。 单项选择题 下列计算正确的是（ ）
A ． 30r r ⎛⎫∇⋅= ⎪⎝⎭ B. 342r r r r ⎛⎫∇⋅=- ⎪⎝⎭ C. 33r rr r ⎛⎫∇⋅=- ⎪⎝⎭ D. 323r r r r ⎛⎫∇⋅=- ⎪⎝⎭ k 为常矢量，下列计算正确的是( ) A. k r k r e k e ⋅⋅∇=⋅ B. r k r k e k e ⋅⋅=∇ C. r k r k e r e ⋅⋅⋅=∇ D. r k r k e r e ⋅⋅=∇ 名词解释和简答题 证明题 计算题 1.电磁现象的普遍规律 填空题 电荷守恒定律的微分形式为_________________________。
3 / 20 位移电流与 电流按同一规律激发磁场。 电荷系统单位体积所受电磁场作用的力密度为 =f 。 介质中的电磁场可引入电位移矢量D =____________ _，磁场强度H =_________________，在各向同性线性介质中，有D =____ ______，H =__________ ___，其中ε和μ分别为介质的介电常（电容率）数和磁导率。 介质中束缚电荷体密度与极化强度矢量的关系为 。 极化强度为 P 的电介质中，极化电荷体密度 ρp = ；在介质的表面上极化电荷面密度 σp= 。 已知电位移矢量z y x e z e y e x D 323++=，则电荷密度为 。 介电常数分别为 ε1和 ε2两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，分界面上电场线的曲折满足 。 欧姆定律的微分形式是 。 电磁场和电荷系统的能量转化与守恒定律的微分形式为__________________________。 真空中电磁场的能量密度w = _____________________，能流密度=S _______________________。 真空中若一均匀电场的电场能量密度与一磁感强度为0.5T 的均匀磁场中的磁场能量密度相等，该电场的电场强度为____________________________. 单项选择题