电动力学第五章 郭硕鸿第三版

第五章 电磁波的辐射

主要内容：本章讨论高频交变电流辐射的电磁场的规律

知识体系：

⎪⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨⎧=B ⋅∇=⋅∇∂∂+=⨯∇∂B ∂-=E ⨯∇0

)(00

ερεμE t E J B t ,A B A E t ϕ∂=∇⨯=-∇-

∂

22

022

2

2

2

2

11A A J c t c

t

μϕρϕε∂∇-=-∂∂∇-

=-

∂

其解：

V d r

c

r t x J t x A V '

-'=⎰

),(4),(0

πμ

(,)

(,)4V

r x t c x t dV r

ρμϕπ

'-'=

⎰

设电荷、电流分布为随时间做正弦或余弦变化，即：

⎪⎩⎪⎨⎧'=''='--t i t i e

x t x e x J t x J ωωρρ)(),()(),( 将此式代入推迟势A

的公式后得到（c

k ω=）：

t

i ikr

e V d r

e

x J V d r c r t x J t x A ωπ

μπμ-''='-'=

⎰

⎰])(4[

)

/,(4),(00

令 ])(4[)(0

V d r

e

x J x A ikr ''=⎰

π

μt

i e

x B t x A t x B ω-=⨯∇=)(),(),( ， 如果讨论0=J 的区域有关系式：),(),(t x B k ic

t x E ⨯∇=。

电偶极辐射：当λ<<'≈x l 时，=

'⋅x n k λ

πx n '

⋅

2π2<<，上式可以仅取积分中的第一项，有：

00()()44ikR ikR e

e A x J x dV p R

R μμππ⋅

''=

=⎰

，此式代表的是偶极辐射。

210A c t

ϕ∂∇⋅+=∂

由此我们得到在R l <<<<λ条件下偶极辐射的磁感应强度：

利用),(),(t x B k

ic

t x E ⨯∇=得到偶极辐射的磁感应强度：

若选球坐标，让..p

沿z 轴，则：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧==

θ

φ

θπεθπεe e

p R c t x E e e

p R c t x B ikR

ikR

sin 41),(sin 41

),(..2

0..3

讨论：（1）电场沿经线振荡，磁场沿纬线振荡，传播方向、电场方向、磁场方向

相互正交构成右手螺旋关系；

（2）电场、磁场正比于R

1，因此它是空间传播的球面波，且为横

电磁波（TEM 波），在∞→R 时可以近似为平面波； （3）要注意如果λ>>R （

R

11

>>

λ

）不能被满足，可以证明电场不再与传播方

向垂直，即电力线不再闭合，但是磁力线仍闭合。这时传播的是横磁波（TM 波） 辐射能流、角分布和辐射功率 ● 平均能流密度矢量：0

2

2

3

2

012

32p

S E

H n c R

*

Re()sin θπε=⨯=

● 角分布： 2S sin θ∝ ● 平均功率：P=Ω

⎰

d R S 2

=

4

3

02

12ωπεc

p ，与电磁波的频率4次方成正比。

重点：电磁势及方程,电偶极辐射场、平均能流、平均功率的计算 难点：达朗贝尔方程的解，辐射场的计算