菱形的性质及判定典型题(精选)

板块一、菱形的性质

【例1】 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为

【例2】 在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是

【例3】 如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则

1∠= 度．

图2

1

C

B

A

【例4】 如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD

的边长是______．

【例5】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，

证明：AB 与EF 互相平分．

E F

D

B

C

A

菱形的性质 及判定

P H

F

E D

C

B

A

【例6】 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周

长为24，则OH 的长等于 ．

图1

H

O D

C B

A

【例7】 如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，

，于点E ，则DE 的长为

【例8】 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．

【例9】 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为

【例10】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）

A ．5

B ．10

C ．6

D ．8

图2

D

C

B

A

【例11】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则

FPC ∠=（ ）

A ．35︒

B ．45︒

C ．50︒

D ．55︒

图3

E D

P C

F B

A

【例12】 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口

与折痕所成的角α的度数应为（ ）

A ．15︒或30︒

B ．30︒或45︒

C ．45︒或60

︒ D ．30︒或60︒

【例13】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．

【例14】 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．

【例15】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚

线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）

A ．210cm

B ．220cm

C ．240cm D

．280cm

图1

D

C

B

A

【例16】 已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，

的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是

【例17】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和

BD ，求两条小路的长和花坛的面积．

图2

【例18】 如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，

则PE PC

+的最小值为

D

B

【例19】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．

F

E

D

C

B

A

【例20】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：

CEF ∠的度数．

F

E

D

C

B

A

板块二、菱形的判定

【例21】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件

是 ．

D

C

A

B

【例22】 如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形

BEDF 是菱形

F

E

D

C

B

A

【例23】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，

CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．

E

D

C

B A

【例24】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .

求证：四边形AFCE 是菱形.

O

D

E

F

C

A

B

【例25】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在

AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．

C'D

C

B A E

【例26】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证

明：AB 与EF 互相平分

A

B C

D

E

F P P

F E

D

C B A

【例27】 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与

点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．

G

F E D

C

B

A

【例28】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．

分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DM EP 是菱形．

P

M

F E D

G C

B

A

【例29】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD

于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．

H F D

E

C

B

A

【例30】 如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将M AB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动

到点'M 的位置

⑴画出平移后的三角形；

⑵连结'MD MC MM ，

，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；

⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？

M'

M

D

C B

A

【例31】 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．

⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应

的条件．

⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．

F

E

D

C

B

A

三、与菱形相关的几何综合题

【例32】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点

除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .

⑴求证四边形AEPM 为菱形

⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？

M

P

F

A

B

C

D

E

【例33】 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中

点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG

PC

的值．

小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

⑴ 写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PG

PC

的值；

⑵ 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边

AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）

．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

⑶ 若图1中()2090ABC BEF αα∠=∠=︒<<︒，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问

题中的其他条件不变，求

PG

PC

的值（用含α的式子表示）． 图2

A

B C

D

E

F

G P

四、中位线与平行四边形

【例34】 顺次连结面积为20的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一

个 ，其面积为 ．

【例35】 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ≠，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，

要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还满足的一个条件是 ，并说明理由．

H

G

F

E D C

B

A

【例36】 在四边形ABCD 中，AB CD =，P ，Q 分别是AD 、BC 的中点，M ，N 分别是对角线AC ，BD

中点，证明：PQ 与MN 互相垂直．

Q P

M

N

C

B D A

【例37】 四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD

上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小 C ．线段EF 的长不变

D ．线段EF 的长与点P 的位置有关

P F

R

E

D

C

B

A

【例38】 如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，CE AD ⊥于E ，M 为BC 的中点，14cm AB =，

10cm AC =，则ME 的长为 ．

M E

D

C

B

A

【例39】 如图，四边形ABCD 中，AB CD =，E F ，分别是BC AD ，的中点，连结EF 并延长，分别交BA CD ，

的延长线于点G H ，

，求证：BGE CHE ∠=∠ A

B

H G F

E

D

C

B

A

【例40】 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求

证：MN BC ∥．

N

M

E

F

C

B

A

【例41】 如图，四边形ABCD 中，E F ，

分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（ ） A ．2AD BC EF +> B ．2AD BC EF +≥ C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤

A

D

F

E

D

C

B

A

【例42】 已知如图所示，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的四边的中点，求证：四边形EFGH 是平

行四边形．

H

G

F

D

C B

A

【例43】 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，AD E ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、

DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．

Q

E

P N

M

D

C

B

A

【例44】 如图，四边形ABCD 中，AB CD E F G H =，，，，分别是AD BC BD AC ，，，的中点，求证：EF GH ，

相互垂直平分

A

B

G

H G

F

E

D

C

B

A

【例45】

ABC ∆的三条中线分别为AD 、BE 、CF ，H 为BC 边外一点，且BHCF 为平行四边形，求证：AD EH ∥．

A

B

C

D

E F

H

【例46】 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上取一点E ，使1

3

B E D E =，连接AE 并延长与D

C 的延长线交

于F ，则2CF AB =．

图1

C

A

E

D

B

F

【例47】 如图，ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 、H 是AC 的三等分点，连结并延长EG 、

FH 交于点D ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．

H

G

F

E

D

C

B

A

【例48】 如图，在四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，BD AC =，BD 和AC 相交于点O ，

MN 分别与AC 、BD 相交于E 、F ，求证：OE OF =．

F

E O

N

M D C

B

A

【例49】 如图，线段AB CD ，

相交于点O ，且A B C D =，连结AD BC ，，E F ，分别是AD BC ，的中点，EF 分别交AB CD ，

于M N ，，求证：OM ON = A

C

F

E

O N M D

C

B A

【例50】 如图，梯形ABCD 中，AD BC AB CD =∥，，对角线AC BD ，

相交于点O ，60AOD ∠=︒，E F G ，，分别是OA OB CD ，

，的中点，求证：EFG ∆是等边三角形

A B

E

F

O G

F

E D

C

B

A

【例51】 如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．

O

E F

L

H

N

M

D

C

B A

【例52】 如图，O 是平行四边形ABCD 内任意一点，E F G H ，，，分别是OA OB OC OD ，，，的中点．若

DE ，CF 交于P ，DG ，AF 交于Q ，AH ，BG 交于R ，BE ，CH 交于S ，求证：PQ SR ．

S

R Q

P

H G

O

E

F

D

C

B A