北师大版 九年级(上)数学 1.1 菱形的性质与判定 专题训练(含解析)
1.1 菱形的性质与判定专题训练
一．选择题（共10小题）
1．下面性质中，菱形不一定具备的是
A．四条边都相等B．每一条对角线平分一组对角
C．邻角互补D．对角线相等
2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是
A．对角线互相垂直且相等的四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的平行四边形
D．对角线互相平分且垂直的四边形
3．在菱形中，，，则此菱形的面积是
A．48B．96C．60D．120
4．已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的周长是
A．13B．52C．120D．240
5．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为
A．B．C．D．
6．四边形是菱形，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为
A．B．C．4D．8
7．如图，四边形的两条对角线，交于点，，．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是
A．B．C．D．
8．如图，菱形对角线，，则菱形高长为
A．B．C．D．
9．如图，在菱形中，于点，点恰好为的中点，则菱形的较大内角度数为
A．B．C．D．
10．如图，在菱形中，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动的过程中，的长度
A．逐渐增加B．逐渐减小
C．保持不变且与的长度相等D．保持不变且与的长度相等
二．填空题（共8小题）
11．若菱形的周长为20，且较长的对角线的长为8，则较短的对角线的长为
12．如图，已知菱形的边长为2，，则对角线的长为．
13．如图，的对角线、相交于点，则添加一个适当的条件：可使其成为菱形（只填一个即可）．
14．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为．
15．在菱形中，对角线、交于点，点为中点，过点作于点交于点，连接，若，则．
16．如图，菱形中，点为对角线的三等分点且，连接，，，已知，那么菱形的边长为．
17．如图，菱形的对角线相交于点，过点作交的延长线于点，连接．若菱形的面积等于12，对角线，则的长为．
18．如图，在菱形中，，，为中点，为对角线上一动点，连接和，则的最小值是．
三．解答题（共7小题）
19．如图，已知菱形的一条对角线恰好与其边的长相等，求这个菱形各内角的大小．
20．如图，在已知平行四边形中，平分，与相交于点，，与相交于点．求证：四边形是菱形．
21．已知，如菱形，垂直于，且为的中点，已知．求：
（1）的度数；
（2）的长．
22．如图，四边形和四边形都是菱形，点，在上．已知，，求：
（1）的度数；
（2）的度数．
23．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
24．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
25．如图，在等边三角形中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．
（1）连接，当经过边的中点时，试判定四边形的形状并说明理由；（2）当为多少时，四边形是菱形．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下面性质中，菱形不一定具备的是
A．四条边都相等B．每一条对角线平分一组对角C．邻角互补D．对角线相等
解：、菱形的四条边都相等，故此选项不符合题意；
、菱形的每一条对角线平分一组对角，故此选项不符合题意；
、菱形的对角相等，邻角互补，故此选项不符合题意；
、菱形的对角线不一定相等，故此选项符合题意；
故选：．
2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是
A．对角线互相垂直且相等的四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的平行四边形
D．对角线互相平分且垂直的四边形
解：、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；
、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；
、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；
、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；
故选：．
3．在菱形中，，，则此菱形的面积是
A．48B．96C．60D．120解：四边形是菱形，
，，，
，
，
在中，，
，
；
故选：．
4．已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的周长是
A．13B．52C．120D．240
解：菱形中，，，
，，
在中，，
菱形的周长．
故选：．
5．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为
A．B．C．D．
解：菱形，，
，
，
，
，
故选：．
6．四边形是菱形，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为
A．B．C．4D．8
解：四边形是菱形，
，，，
在中，
，
，
，
，
菱形的面积．
故选：．
7．如图，四边形的两条对角线，交于点，，．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是
A．B．C．D．
解：四边形中，，，
四边形是平行四边形，
，
当或时，均可判定四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
当时，
由得：，
，
，
四边形是菱形；
故选：．
8．如图，菱形对角线，，则菱形高长为
A．B．C．D．
解：菱形对角线，，
，
，
，
根据勾股定理，，
菱形的面积，
即，
解得．
故选：．
9．如图，在菱形中，于点，点恰好为的中点，则菱形的较大内角度数为
A．B．C．D．
解：连接，如图：
四边形是菱形，
，，，，
，
，点是中点，
，
是等边三角形，
，
，；
即菱形的较大内角度数为；
故选：．
10．如图，在菱形中，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动的过程中，的长度
A．逐渐增加B．逐渐减小
C．保持不变且与的长度相等D．保持不变且与的长度相等
解：连接，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．若菱形的周长为20，且较长的对角线的长为8，则较短的对角线的长为6
解：菱形周长为20，则，
，
，
，
，
故答案为：6．
12．如图，已知菱形的边长为2，，则对角线的长为．
解：连接交于，如图，
四边形为菱形，
，，，
，
，
为等边三角形，
，
．
故答案为：．
13．如图，的对角线、相交于点，则添加一个适当的条件：
或（答案不唯一）可使其成为菱形（只填一个即可）．
解：的对角线，相交于点，当或使其成为菱形．
故答案为：或（答案不唯一）．
14．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为．
解：在菱形中，，
，
，
，
．
故答案为：．
15．在菱形中，对角线、交于点，点为中点，过点作于点交于点，连接，若，则35．
解：四边形是菱形，
，．
垂直平分，
，
，
，
故答案为35．
16．如图，菱形中，点为对角线的三等分点且，连接，，，已知，那么菱形的边长为．
解：如图，连接交于．
四边形是菱形，
，，
，，
，，
，，
．
故答案为．
17．如图，菱形的对角线相交于点，过点作交的延长线于点，连接．若菱形的面积等于12，对角线，则的长为3．
解：四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
，
故答案是：3．
18．如图，在菱形中，，，为中点，为对角线上一动点，连接和，则的最小值是．
解：作点关于的对称点，交于点，连接，则就是的最小值，在菱形中，，，为中点，，
，，点为的中点，
是等边三角形，，
，
，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．如图，已知菱形的一条对角线恰好与其边的长相等，求这个菱形各内角的大小．
解：四边形为菱形，
，，
，
，
为等边三角形，
，
，
即这个菱形各内角的大小分别为，，，．
20．如图，在已知平行四边形中，平分，与相交于点，，
与相交于点．求证：四边形是菱形．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，
又，
四边形为平行四边形，
平分，
，
，
，
，
平行四边形为菱形．
21．已知，如菱形，垂直于，且为的中点，已知．求：（1）的度数；
（2）的长．
解：（1）于，且为的中点，
．
四边形是菱形，
．
．
是等边三角形．
．
（2），是等边三角形，
，，
．
．
22．如图，四边形和四边形都是菱形，点，在上．已知，，求：
（1）的度数；
（2）的度数．
解：（1）四边形是菱形，
，，
，
；
（2），四边形是菱形，
，则，
．
23．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
，
菱形的面积，
，
菱形的面积，
．
24．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
【解答】（1）证明：，
，
是对角线的垂直平分线，
，，
在和中，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，，，
，，，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长．
25．如图，在等边三角形中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．
（1）连接，当经过边的中点时，试判定四边形的形状并说明理由；（2）当为多少时，四边形是菱形．
【解答】（1）解：四边形是平行四边形．
理由：，
，，
为的中点，
，
在和中，
北师大版九年级数学上《菱形的性质与判定》典型例题 (含答案)
《菱形的性质与判定》典型例题 例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求： （1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积． 例2 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于 F ． 求证：.AF AE = 例 3 已知：如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的一点，︒=∠=∠60EAF D ，︒=∠18BAE ，求CEF ∠的度数. 例4 如图，已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形，且DF AD =． 求证：GH 垂直平分CF ．
例 5 如图，A B CD 中，AB AD 2=，E 、F 在直线CD 上，且 CF CD DE ==． 求证：AF BE ⊥． 例6 如图，在Rt △ABC 中， 90=∠ACB ，E 为AB 的中点，四边形BCDE 是平行四边形． 求证：AC 与DE 互相垂直平分
参考答案 例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则ABD ∆是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.2 1BD AC S ⋅= 解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD = E 是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD = ∴ABD ∆是等边三角形，∴DBC ∆也是等边三角形． ∴.120260︒=⨯︒=∠ABC （2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.2 12121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 2 3)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.2 3321212a a a BD AC S =⋅⋅=⋅= 说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点． 例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ∆≅∆，从而可以证得本题的结论． 证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B CD BC ∠=∠=,，且︒=∠=∠90DFC BEC ，∴DCF BCE ∆≅∆，∴DF BE =， AD AB = ， ∴DF AD BE AB -=-， ∴.AF AE = 例3 解答：连结AC . ∵四边形ABCD 为菱形， ∴︒=∠=∠60D B ，AD CD BC AB ===.
北师大九上数学菱形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)
1.1菱形的性质和判定 【菱形的性质】 1．菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形 . 温馨提示： ①菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等； ②菱形是特殊的平行四边形,即当一个平行四边形满足一组邻边相等时,该平行四边形是菱形,不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形； ③菱形的定义既提供了菱形的基本性质,也提供了基本判定方法。 2.菱 形的性质 （1）菱形具有平行四边形的所有性质. （2）菱形的四条边都相等. （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. （4）菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴.菱形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心. 菱形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC ，OB = OD． 菱形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠ADC=∠ABC．∠DAB=∠DCB ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4，∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8． 菱形中的全等三角形： 全等的等腰三角形有：， 全等的直角三角形有： 点拨：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想). 温馨提示： ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②“菱形的对角线互相垂直”这一性质可用来证明两条线段互相垂直,“菱形的每一条对角线平分一组对角”这一性质可用来证明角相等； ③菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形。
1、下列四边形中不一定为菱形的是（） A. 对角线相等的平行四边形 B. 对角线平分一组对角的平行四边形 C. 对角线互相垂直的平行四边形 D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形 2.如图, 3.菱形ABCD A. 28、48 B.20、24 C.28、24 D.20、48 4.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 5.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为( ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 第2题第3题第4题第5题 6.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF． 7.如图，已知E、F分别是?ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长． 8.如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F． （1）求证：AE=CF； （2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．
北师大版 九年级(上)数学 1.1 菱形的性质与判定 专题训练(含解析)
1.1 菱形的性质与判定专题训练 一．选择题（共10小题） 1．下面性质中，菱形不一定具备的是 A．四条边都相等B．每一条对角线平分一组对角 C．邻角互补D．对角线相等 2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是 A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形 3．在菱形中，，，则此菱形的面积是 A．48B．96C．60D．120 4．已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的周长是 A．13B．52C．120D．240 5．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为 A．B．C．D． 6．四边形是菱形，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为
A．B．C．4D．8 7．如图，四边形的两条对角线，交于点，，．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是 A．B．C．D． 8．如图，菱形对角线，，则菱形高长为 A．B．C．D． 9．如图，在菱形中，于点，点恰好为的中点，则菱形的较大内角度数为 A．B．C．D． 10．如图，在菱形中，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动的过程中，的长度 A．逐渐增加B．逐渐减小 C．保持不变且与的长度相等D．保持不变且与的长度相等 二．填空题（共8小题） 11．若菱形的周长为20，且较长的对角线的长为8，则较短的对角线的长为
12．如图，已知菱形的边长为2，，则对角线的长为． 13．如图，的对角线、相交于点，则添加一个适当的条件：可使其成为菱形（只填一个即可）． 14．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为． 15．在菱形中，对角线、交于点，点为中点，过点作于点交于点，连接，若，则． 16．如图，菱形中，点为对角线的三等分点且，连接，，，已知，那么菱形的边长为． 17．如图，菱形的对角线相交于点，过点作交的延长线于点，连接．若菱形的面积等于12，对角线，则的长为．
北师大版九年级数学上册--第一章 1.1《菱形的性质与判定》同步练习题(含答案)
1.1菱形的性质与判定练习 一、选择题 1、如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（ ） A ．AO ＝BO B ．A C ＝A D C ．AB ＝BC D ．OD ＝AC 题1图 题2图 题6图 2、如图，要想证明平行四边形ABCD 是菱形，下列条件中不能添加的是（ ） A ．∠ABD ＝∠AD B B ．A C ⊥B D C ．AB ＝BC D ．AC ＝BD 3、平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别是A （﹣3，0），B （0，2），C （3，0），D （0，﹣2），则四边形ABCD 是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形 4、下列不能判定一个四边形是菱形的是（ ） A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C.四条边都相等的四边形是菱形 D.对角线相等的平行四边形是菱形 5、下列条件：①四边相等的四边形； ②对角线互相垂直且平分的四边形； ③一组邻边相等的四边形； ④一条对角线平分一组对角的平行四边形。其中能判断四边形是菱形的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为（ ） A.75° B.65° C.55° D.50° 7、若菱形ABCD 的周长为16，∠A:∠B=1:2，则菱形的面积为（ ） A.32 B.33 C.34 D.38 题7图 题8图 题9图 8、如图，已知AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ） A.△ABD 与△ABC 的周长相等 B.△ABD 与△ABC 的面积相等 C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍 9、如图，菱形ABCD 的周长为16，∠ABC=120°，则AC 的长为（ ） A.34 B.4 C.32 D.2 二、填空题 1、一个菱形的边长为5，一条对角线长为6，则这个菱形另一条对角线长为________。 2、菱形的两条对角线长分别为4cm 和6cm ，它的面积是________cm 2。 3、如右图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OA=OC,OB=OD ，添加一个条件使四边形ABCD 是菱形，那么所添加的条件可以是________（写出一个即可）。 4、如图，已知菱形ABCD 的一个内角∠BAD=80°，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在CD 上，且DE=DO ，
1.1 菱形的性质和判定 课时练习(含答案解析)
北师大版数学九年级上册第一章第一节菱形的性质与判定课时练习 一、单选题（共15题） 1.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接△EF，则的AEF的面积是（） A．43B．33C．23D．3 答案：B 解析：解答：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠B=∠D=60°， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°， ∴AE=AF， ∵∠B=60°， ∴∠BAD=120°， ∴∠EAF=120°-30°-30°=60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE=EF，∠AEF=60°， ∵AB=4， ∴AE=23 ∴EF=AE=23 过A作AM⊥EF，
∴AM=AE•sin60°=3， ∴△AEF的面积是： 11 EF AM=×23×3=33 22 故选：B． 分析:首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积 2.如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG ∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF 与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（） A．6.5B．6C．5.5D．5 答案：C 解析：解答:∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD， ∵EG∥AD，FH∥AB， ∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形， ∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG， ∵AE=AF， ∴OE=OF=AE=AF， ∵AE=AF， ∴BC-BH=CD-DG，即OH=HC=CG=OG， ∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形， ∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12， ∴4AE-4（8-AE）=12， 解得：AE=5.5， 故选C 分析:根据菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得出AF=FO=OE=AE和OH=CH=GC=GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，再解答即可
北师大版初三上册数学菱形的性质与判定同步练习(附解析)
北师大版初三上册数学1 1．1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 1．有一组__邻边__相等的平行四边形是菱形． 2．菱形是__轴__对称图形，菱形的四边__相等__，菱形的对角线__互相垂直__． 知识点一：菱形的定义 1．已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，那个条件是(B) A．AB＝CD B．AB＝BC C．AD＝BC D．AC＝BD 2．如图，在▱ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴▱ABCD是菱形__有一组邻边相等的平行四边形是菱形__．(请在横线上填上理由)知识点二：菱形的性质 3．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则那个菱形的周长为(A) A．20B．16C．12D．10 4．(易错题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(B) A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC ,第4题图),第5题图) 5．如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是(C) A．四边形ABCD是平行四边形 B．AC⊥BD C．△ABC是等边三角形 D．∠CAB＝∠CAD 6．在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是( C) A．10 B．12 C．15 D．20
7．菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长是(C ) A．3 B．4 C．8 D．83 8．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD 边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于(A) A．3.5 B．4 C．7 D．14 9．(2021·烟台)如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接OB.若∠DAC＝28°，则∠OBC 的度数为(C) A．28°B．52° C．62°D．72° 10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB ＝5，AO＝4，求BD的长． 解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且BO＝DO.在Rt△AOB 中，∵AB＝5，AO＝4，由勾股定理，得BO＝3，∴BD＝6 11．(2021·上海)如图，已知AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是(B) A．△ABD与△ABC的周长相等 B．△ABD与△ABC的面积相等 C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍 ,第11题图),第12题图) 12．如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝__5__． 13．如图是依照四边形的不稳固性制作的边长均为15 cm的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，则∠1＝__120__°. ,第13题图),第14题图)
九年级数学上册第一章1菱形的性质与判定《菱形》知识讲解及例题演练(含解析)(新)北师大版
菱形 【学习目标】 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 【要点梳理】 要点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称 中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）. 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘 积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题】 类型一、菱形的性质 1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数． 【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AE F为等边三角形，从而∠AEF ＝60°．
2019秋北师大版九年级数学上册拓展训练：1.1菱形的性质与判定含答案
1 菱形的性质与判定 基础闯关全练 拓展训练 1.(2017湖南益阳中考)下列性质中菱形不一定具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.既是轴对称图形又是中心对称图形 答案 C A.菱形的对角线互相平分,此选项不符合题意;B.菱形的对角线互相垂直,此选项不符合题意;C.菱形的对角线不一定相等,此选项符合题意;D.菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,此选项不符合题意.故选C. 2.(2017山东聊城中考)如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是( ) A.AB=AC B.AD=BD C.BE⊥AC D.BE平分∠ABC 答案D∵DE∥BC,EF∥AB,∴四边形DBFE是平行四边形,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,又DE∥BC,∴∠CBE=∠DEB,∴∠ABE=∠DEB,∴BD=DE,∴▱DBFE是菱形. 3.(2014黑龙江牡丹江(农垦)中考)如图,在菱形ABCD中,E是AB边上一点,且∠A=∠EDF=60°,有下列结论:①AE=BF;②△DEF 是等边三角形;③△BEF是等腰三角形;④∠ADE=∠BEF,其中正确结论的个数是( ) A.3 B.4 C.1 D.2
答案 A 连接BD,∵四边形ABCD是菱形, ∴∠A+∠ADC=∠A+∠ABC=180°,AB=AD, 又∠A=60°,∴∠ADC=∠ABC=120°,△ABD是等边三角形,∴AD=BD,∠ADB=∠ABD=∠A=60°,∴∠DBF=60°,∴∠A=∠DBF,∵∠ADE+∠EDB=∠EDB+∠BDF=60°,∴∠ADE=∠BDF ,∴△ADE≌△BDF(ASA).∴AE=BF,ED=FD,又∠EDF=60°,∴△DEF为等边三角形. ∴∠DEF=60°,∴∠AED+∠BEF=120°,∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°,∴∠ADE=∠BEF,由题意知BE不一定等于BF.综上可知①②④正确,③不正确,故选A. 4.(2016青海中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC=8,BD=6,则菱形ABCD的高DH= . 答案 解析∵四边形ABCD为菱形, ∴AC⊥BD,OA=AC=4,OB=BD=3. 在Rt△AOB中,AB==5. ∵S菱形ABCD=AC·BD=×8×6=24,S菱形ABCD=AB·DH=5DH,∴5DH=24,解得DH=. 5.(2016江苏淮安中考)已知,如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为边CD、AD的中点,连接AE、CF,求证:△ADE≌△CDF. 证明∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD, ∵E、F分别是CD、AD的中点, ∴DE=DC,DF=AD, ∴DE=DF, 在△ADE和△CDF中, ∴△ADE≌△CDF(SAS).
北师大版九年级数学上《菱形的性质与判定》典型例题（含答案）
北师大版九年级数学上《菱形的性质与判定》典型例题（含答 案） 《菱形的性质与判定》典型例题 例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求： （1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积． 例2 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于F ． 求证：.AF AE = 例 3 已知：如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的一点，?=∠=∠60EAF D ，?=∠18BAE ，求CEF ∠的度数. 例4 如图，已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形，且DF AD =．求证：GH 垂直平分CF ． 例 5 如图，ABCD中，AB =，E、F在直线CD上，且 AD2 =．
DE= CF CD 求证：AF BE⊥． 例6 如图，在Rt△ABC中，ο ∠ACB，E为AB的中点，四边形BCDE = 90 是平行四边形． 求证：AC与DE互相垂直平分 参考答案 例1 分析（1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则ABD ?是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.2 1BD AC S ?= 解（1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD = E Θ是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD = ∴ABD ?是等边三角形，∴DBC ?也是等边三角形． ∴.120260?=??=∠ABC （2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分，∴.2 12121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 2
北师大版九年级上册数学1 1菱形的性质与判定练习题(附答案)
北师大版九年级上册数学菱形的性质与判定练习题（附答案） 一、单选题 1.下列命题中正确的是（） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 与直径垂直的直线是圆的切线 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 联结等腰梯形四边中点的四边形是菱形 2.菱形的周长为，高为，则该菱形两邻角度数比为（） A. 5:1 B. 4:1 C. 3:1 D. 2:1 3.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是边AB上的动点，过点P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，连接CP，CQ，则△CPQ面积的最大值是（） A. B. C. D. 4.如图，在平面直角坐标系中，已知点，若平移点到点，使以点为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( ) A. 向左平移（）个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移1个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 5.下列说法中，错误的是( ) A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 二、填空题
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B，菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，其对角线BD的长为________. 7.如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，请再添加一个条件：________，使四边形ABCD成为菱形（不再标注其它字母）。 8.菱形ABCD中，∠B=60°，延长BC至E，使得CE=BC，点F在DE上，DF=6，AG平分∠BAF，与线段BC 相交于点G，若CG=2，则线段AB的长度为________． 9.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，BF=6，则四边形ABEF 的面积为________ 。 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为________． 三、解答题 11.求证：顺次连接一个等腰梯形的各边中点，所得到的四边形是菱形． 12.如图（1），在∆ABC中，AB=BC=5，AC=6，∆ABC沿BC方向平移得到△ECD，连接AE、AC和BE相交于点O。 （1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由； （2）如图（2）,P是线段BC上一动点，（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积.
2023学年九年级上学期数学同步精讲精练(北师大版)1-1 菱形的性质与判定(习题)(含详解)
1.1菱形的性质与判定 分层训练提分要义 【基础题】 1．下列说法中，错误的是（） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分D．对角线互相垂直 3.下列命题中，正确的是( ) A.两邻边相等的四边形是菱形 B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D.对角线垂直的四边形是菱形 4. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（） A.30°和150° B.45°和135° C.60°和120° D.80°和100° 5．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6cm，8cm B. 3cm，4cm C. 12cm，16cm D. 24cm，32cm 6. 如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（） A.108° B.72° C.90° D.100° 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（）
A．AB＝AD B．OE 1 2 AB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO 8．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( ) A.4 B.8 C.12 D.16 8．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．9.已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为（） A．2B．2C．4D．2 10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝． 【中档题】 11.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则S四边形EHFG÷S菱形ABCD的值为（）
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1-1菱形的性质与判定》解答专项练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》 解答专项练习题（附答案） 1．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若AD＝3，CD＝，且∠ADC＝45°，求平行四边形的面积； （3）在（2）的条件下求菱形AECF的周长． 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．（1）求证：AE＝CF． （2）若BE＝ED时，求证：四边形EBFD是菱形． 3．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H． （1）求证：BD＝EF； （2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形； （3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．
4．如图，点E、F分别在▱ABCD的边BC、CD上，BE＝DF，∠BAF＝∠DAE．求证：▱ABCD 是菱形． 5．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF． （1）求证：四边形AFED是菱形； （2）若AD＝4，∠DAB＝60°，求四边形AFED的面积． 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD垂直平分对角线AC，垂足为点O．（1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠DBC＝30°，BC＝2，求四边形ABCD的面积． 7．在▱ABCD中，AE平分∠BAD，O为AE的中点，连接BO并延长，交AD于点F，连接EF，OC． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若点E为BC的中点，且BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长．
北师大版2020九年级数学上册1.1菱形的性质与判定自主学习优生训练题4(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册1.1菱形的性质与判定自主学习 优生训练题4（附答案详解） 1．已知菱形的周长为24，一条对角线的长为8，则该菱形的面积是（） A．40B．325C．165D．85 2．如图，把一张正方形纸对折两次后，沿虚线剪下一角，展开后所得图形一定是( ) A．三角形B．菱形C．矩形D．正方形 3．用尺现作图的方法在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法错误的是（）A．B． C．D． 4．菱形的周长为20 cm，两邻角的比为1：2，则较长的对角线长为( ) A．5 cm B．4 cm C．53cm D．43cm 5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是3cm、4cm，AE⊥BC于点E，则AE 的长是（） A．6 5 cm B． 12 5 cm C． 24 5 cm D．23cm 6．如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（） A．5 B．12 5 C． 24 5 D． 48 5 7．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC BD, BO DO ⊥=,那么下列条件中不能判定四边形ABCD是菱形的为（）
8．如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF ；②△DEF 是等边三角形；③△BEF 是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF ，其中结论正确的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．1 D ．2 9．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝70°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于（ ） A ．75° B ．70° C ．60° D ．55° 10．如图，AC BD 、是菱形ABCD 的对角线，E F 、分别是边AB AD 、的中点，连接EF ，EO FO 、，则下列结论错误的是（ ） A ．=EF DO B ．EF AO C ．四边形EOFA 是菱形 D ．四边形EBOF 是菱形 11．顺次连接四边形的各边中点，所得四边形是菱形，则该四边形的对角线_______． 12．如图,在直角坐标系中,菱形ABCD 的顶点坐标C(-1,0)、B(0,2)、D(n,2),点A 在第二象限.直线y=-12 x+5与x 轴、y 轴分别交于点N 、M.将菱形ABCD 沿x 轴向右平移m 个单位.当点A 落在MN 上时，则m+n= ________
2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1-1菱形的性质与判定》寒假自主巩固提升训练(附答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》 寒假自主巩固提升训练（附答案） 1．关于菱形，下列说法错误的是（） A．四条边相等B．对角线互相垂直C．四个角相等D．对角线互相平分2．如图，将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE，连接AD，下列结论正确的是（） A．AD＝AB B．四边形ABCD是平行四边形 C．AD＝2AC D．四边形ABCD是菱形 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为（） A．（5，4）B．（8，4）C．（5，3）D．（8，3） 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣2），则菱形ABCD的面积为（） A．16B．32C．8D．16 5．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（） A．B．C．4D．
6．如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC 7．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（） A．B．C．12D．24 8．如图，菱形ABCD的周长为16，∠C＝120°，E，F分别为AB，AD的中点，则EF的长为（） A．B．C．4D．8 9．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，已知∠A＝134°，则∠BEC的大小为（） A．23°B．28°C．62°D．67° 10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（） A．3B．4C．5D．6
专题1 1菱形的性质与判定 新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题
初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版） 专题1.1 菱形的性质与判定 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020春•海安市期中）下列性质中，菱形所具备而平行四边形却不一定具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线相等 C．邻角相等D．邻边相等 【分析】根据平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分；菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角进行解答即可． 【解析】菱形具备但平行四边形不一定具有的是邻边相等， 故选：D． 2．（2020春•锡山区期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC 【分析】由点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点， 根据三角形中位线的性质，可得EG＝FH=1 2 AB，EH＝FG=1 2 CD，又由当EG＝FH＝GF＝EH时，四边 形EGFH是菱形，即可求得答案． 【解析】∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点， ∴EG＝FH=1 2 AB，EH＝FG=1 2 CD，
菱形的性质与判定(知识讲解)-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练(北师大版)
专题1.1 菱形的性质与判定（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理与判定定理. 【要点梳理】 要点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 特别说明：：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 特别说明：：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 特别说明：：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题】 类型一、利用菱形的性质求角 1．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AH垂直BC，点E是AH上一点，延
长AH 至点F ，使FH=EH ， （1）求证：四边形EBFC 是菱形； （2）如果BAC ∠=ECF ∠，求证：AC CF ⊥． 【分析】 （1）根据题意可证得△BCE 为等腰三角形，由AH△CB ，则BH=HC ，从而得出四边形EBFC 是菱形； （2）由（1）得△2=△3，再根据△BAC=△ECF ，得△4=△3，由AH△CB ，得△3+△1+△2=90°，从而得出AC△CF ． 证明：（1）△AB=AC ，AH△CB ， △BH=HC ． △FH=EH ， △四边形EBFC 是平行四边形． 又△AH△CB ， △四边形EBFC 是菱形． （2）证明：如图， △四边形EBFC 是菱形． △△2＝△3＝12 △ECF ． △AB=AC ，AH△CB ， △△4＝12 △BAC ． △△BAC=△ECF ， △△4=△3． △AH△CB △△4+△1+△2=90°． △△3+△1+△2=90°． 即：AC△CF ． 【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握． 【变式1】如图,BD 是菱形ABCD 的对角线,∠A ＝30°． (1)请用尺规作图法,作AB 的垂直平分线EF,垂足为E,交AD 于F;(不要 求写作法,保留