第二讲：古代希腊数学
第二讲古代希腊数学
1、古典时期的希腊数学
公元前600－前300年。
1.1 爱奥尼亚学派（米利都学派）
泰勒斯（公元前625－前547年），被称为“希腊哲学、科学之父”。
1.2 毕达哥拉斯学派
数学：数学研究抽象概念的认识归功于毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯定理，完全数、亲和数，正五角星作图与“黄金分割”，发现了“不可公度量”。
1.3 伊利亚学派
芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系以非数学的形态提出，并进行了辩证的考察。
1.4 诡辩学派（智人学派）
古典几何三大作图问题：三等分任意角、化圆为方、倍立方。
1.5 柏拉图学派
柏拉图不是数学家，却赢得了“数学家的缔造者”的美称，创办雅典学院（前387－公元529），讲授哲学与数学。
1.6 亚里士多德学派（吕园学派）
亚里士多德（公元前384－前322年）是古希腊最著名的哲学家、科学家。集古希腊哲学之大成，把古希腊哲学推向最高峰，堪称“逻辑学之父”，为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础，被后人奉为演绎推理的圣经。
2、亚历山大学派时期
希腊数学黄金时代，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰。
2.1 欧几里得（公元前325－前265年）
公元前300年成为亚历山大学派的奠基人，用逻辑方法把几何知识建成一座巍峨的大厦，成为后人难以跨跃的高峰。
《原本》13卷：由5条公理，5条公设，119条定义和465条命题组成，构成
了历史上第一个数学公理体系。
2.2阿基米德（公元前287－前212年）
数学之神，与牛顿、高斯并列有史以来最伟大的三大数学家之一。
最为杰出的数学贡献是《圆的度量》，把希腊几何学几乎提高到西方17世纪后才得以超越的高峰。墓碑：球及其外切圆柱。
2.3 阿波罗尼奥斯（约公元前262－前190年）
贡献涉及几何学和天文学，最重要的数学成就是《圆锥曲线》，希腊演绎几何的最高成就。《圆锥曲线》全书共8卷，含487个命题。
克莱因（美，1908－1992年）：它是这样一座巍然屹立的丰碑，以致后代学者至少从几何上几乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实可以看成是古希腊几何的登峰造极之作。
3、希腊数学的衰落
背景：罗马帝国简史。
罗马帝国的建立，唯理的希腊文明被务实的罗马文明所取代。同气势恢弘的罗马建筑相比，罗马人在数学领域远谈不上有什么显赫的功绩。从公元前30－公元600年常称为希腊数学的“亚历山大后期”。
3.1 托勒密（埃及，90－165年）
最重要的著作是《天文学大成》13卷，总结了在他之前的古代三角学知识，其中最有意义的贡献是包含有一张正弦三角函数表。三角学的贡献是亚历山大后期几何学最富创造性的成就。
3.2 丢番图（公元200－284年）
希腊算术与代数成就的最高标志是丢番图的《算术》，这是一部具有东方色彩、对古典希腊几何传统最离经叛道的算术与代数著作，创用了一套缩写符号，一种“简写代数”。
亚历山大女数学家希帕蒂娅（公元370－415年）被害预示了在基督教的阴影笼罩下整个中世纪欧洲数学的厄运。
古希腊数学
古代希腊数学 1.古希腊数学的时间 希腊数学一般指从公元前600年至公元400年间 2. 古希腊数学的三个阶段 古典时期的希腊数学（以雅典为中心，公元前600-前339）----哲学盛行、学派林立、名家百出 亚历山大学派时期（以亚历山大里亚为中心，黄金时代，公元前338-前30）----希腊数学的顶峰时期，代表人物：欧几里得，阿基米德，阿波罗尼奥斯 希腊数学的衰落（公元前30-公元前400）----罗马帝国的建立，唯理的希腊文明被务实的罗马文明代替 3.爱奥尼亚学派（米利都学派） 泰勒斯(约公元前625-前547年)----第一位数学家、论证几何学鼻祖 数学贡献：论证数学的开创者 证明的数学定理：1、“圆的直径将圆分成两个相等的部分” 2、“等腰三角形两底角相等” 3、“两相交直线形成的对顶角相等” 4、“两角夹一边分别相等的三角形全等” 泰勒斯定理:半圆上的圆周角是直角 4.毕达哥拉斯学派 毕达哥拉斯（约公元前560-前480） 数的理论：万物皆数 自然数的分类（奇数、偶数、质数、合数、完全数、亲和数）
形数（完全三角形数、正方形数） 不可公度 几何学：基本上建立了所有的直线形理论，包括三角形全等定理、平行线理论、三角形的内角和定理、相似理论等。 毕达哥拉斯定理：在任何直角三角形中，斜边上正方形等于两个直角边上的正 方形之和。（数学中第一个真正重要的定理。） 五角星形与黄金分割 立体几何（正多面体作图）三维空间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面 体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 5.伊利亚学派 芝诺（约公元前490-约前425年） 芝诺悖论：两分法，及运动不存在 阿基里斯追不上乌龟 飞箭不动 6.诡辩学派 希比亚斯、安提丰 古典几何三大作图问题：三等分角：即分任意角为三等分。 化圆为方：即作一个与给定的圆面积相等的正方形。 倍立方: 即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。 7.柏拉图学派 柏拉图（约公元前427-前347年）----充当其他人的启发者和指导者 8.亚里士多德学派
数学历史——论古希腊数学成就
论古希腊数学成就 和埃及、美索不达米亚、印度、中国相比，希腊形成国家要晚一些。但是，从对人类科学文化发展的贡献和影响来看，希腊完全可以和这些最古老的国家比美，它被称为欧洲的文明古国。 公元前五百多年，毕达哥拉斯建立了青年兄弟会，以秘密的形式向会员传授数学知识。一个世纪后，雅典出现了学校，给青年讲授法律、政治、演说和数学方面的知识。新式的学校里没有了那种神秘的色彩，不论教师和学生，什么都可以写出来给人看。这种公开研究，自由争论，促进了一种新的数学思想和方法的产生。 很早以前，人们就知道了边长为3、4、5和5、12、13的三角形为直角三角形。毕达哥拉斯发现了这两套数字的共同之处：最大数的平方等于另外两个数的平方和，即32＋42=52；52＋122=132。这就是说，以直角三角形最长边为边长的正方形面积，等于两个短边为边长的两个正方形面积的和。接着，毕达哥拉斯又研究了这样两个问题：一、这个规律是否对所有的直角三角形都成立？二、符合这一规律的任何三角形是否一定是直角三角形？毕达哥拉斯搜集了许许多多的例子，这就是几何学中的勾股定理为什么又叫做毕达哥拉斯定理的由来。 在希腊之前的漫长年代里，人们已经知道了许多求面积和测角度的知识。可是谁也没有想到过用推理的方法把这些知识联系在一起，找出它们之间的内在关系，并且证明它们是可靠的。这就是说，这时的几何知识还处于零散的、互不联系的状态之中。没有系统，就没有几何学。 大约在公元前三百年，欧几里得写了一套叫做《几何原本》的数学教科书，把希腊人在这方面的成就传给了我们。一千年后，许多希腊著作都散失和毁掉了，而《几何原本》却被译成阿拉伯文，作为穆斯林大学的教本。直到五十年前，欧洲和美洲各国的学校还在用翻译的《几何原本》作教科书。就是今天，初中学校里讲授几何学的主要内容也是来自欧几里得几何学。几何学的建立为测量、建筑、航海、天文，甚至为城市规划、乐器设计等提供了必要的工具。 在毕达哥拉斯时代，希腊人知道的几何法则中有这么两条：一、任何三角形的三个内角和等于两个直角；二、三角形的两个内角相等，它们的对应边也相等。由第一个法则可以得到：如果三角形中有一个角是直角，另一个角是45°，那么
第二章 古代希腊数学
第二章古代希腊数学 希腊数学一般是指从公元前600年至公元600年间，活动与希腊半岛、爱琴海地区、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。 古希腊人也叫海仑人(Hellene)，其历史可以追溯到公元前2000年。当时，作为希腊先民的一些原始部落由北向南挺进，在希腊半岛定居，后来又逐步向爱琴海诸岛和小亚细亚扩张。到公元前600年左右，希腊人已散布于地中海与黑海沿岸的大部分地区，正是在这一带掀起了新的数学浪潮。在这方面，这些海滨移民具有两大优势。首先，他们具有典型的开拓精神，对于所接受的事物，不愿因袭传统；他们身处与两大河谷地区毗邻之地，易于汲取那里的文化。大批游历埃及和美索不达米亚的希腊商人、学者带回了从那里收集的数学知识，在古代希腊城邦社会所特有的唯理主义气氛中，这些经验的算术与几何法则被加工升华为具有初步逻辑结构的论证数学体系。 2.1论证数学的发端 2.1.1泰勒斯与毕达哥拉斯 现在所知最早的希腊数学家是泰勒斯(Thales of Miletus,约公元前625-前547)。泰勒斯出生于小亚细亚（今土耳其）西部爱奥尼亚地方的米利都城，他领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题证明之先河。不过，关于泰勒斯并没有确凿的传记资料流传下来，我们对他在数学上的贡献的最可靠的证据是来自公元5世纪新柏拉图学派哲学家普罗克鲁斯(Proclus,410-485)所著《欧几里得<原本>第一卷评注》一书，《评注》开始部分援引罗德岛的欧多莫斯（Eudemus of Rhodes,约公元前320 ）所撰《几何学史》的内容摘要说：“……（泰勒斯）首先来到埃及，然后将几何研究引进希腊。他本人发现了许多命题，并指导学生研究那些可以推出其他命题的基本原理”。 普罗克鲁斯在《评注》其他地方再次根据欧多莫斯的著作介绍说泰勒斯曾证明了下列四条定理： 1.圆的直径将圆分为两个相等的部分； 2.等腰三角形两底角相等； 3.两相交的直线形成的对顶角相等； 4.如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全 等。 传说泰勒斯还证明了现称“泰勒斯定理”的命题：半圆上的圆周角是直角。 尽管没有任何第一手文献可以证实泰勒斯的这些成就，但上述间接的记载却流传至今，使泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。 关于泰勒斯，还有一些其他的零星传说。根据这些传说，泰勒斯早年经商，因进行橄榄轧油机生意而发了大财；在埃及，泰勒斯测量过金字塔的高：利用一根垂直立竿，当竿长与影长相等时，通过观测金字塔的日影来确定其高；在巴比伦，泰勒斯接触了那里的天文表和测量仪器，并预报了公元前585年的一次日蚀，等等。 希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯(Pythagoras of Samos,约公元前580-前500)。毕达哥拉斯与泰勒斯一样也是扑朔迷离的传说人物。二者都没有著作留世，我们甚至不知道他们是否写过书面著作。今人对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主要也是通过普罗克鲁斯等
古希腊数学
古希腊数学 稿件提供人:南仓中学高中数学教师王艳刘艳辉 古希腊数学一般指公元前600年至公元后600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部得数学家们所创造得数学。古希腊人得历史可以远溯数千年之久。晚至公元前600年左右，在地中海与黑海沿岸大部分地区已经布满了古希腊人得足迹。这些海滨新移民们，处身于两大河谷得毗邻之地，极易汲取那里得文明。更为重要得就是，她们天生便具有一种开拓进取得精神，厌恶因袭守旧就是她们得作风。所以当大批游历埃及与美索不达米亚得希腊商人、学者带回了新奇得数学知识之后，在古代希腊城邦社会特有得唯理主义气氛中，这些经验得算术与几何方法很快便被加工升华为具有初步逻辑结构得论证数学体系。 1 希腊文明 古代希腊从地理疆城上讲，包括巴尔干半岛南部、小亚细亚半岛西部、意大利半岛南部、西西里岛及爱琴海诸岛等地区。这里长期以来由许多大小奴隶制城邦国组成，直到约公元前325年，亚历山大大帝（ alexander the great）征服了希腊与近东、埃及，她在尼罗河口附近建立了亚历山大里亚城（alexandria ）。亚历山大大帝死后(323b、c、)，她创建得帝国分裂为三个独立得王国，但仍联合在古希腊文化得约束下，史称希腊化国家。统治了埃及得托勒密一世（ptolemy the first）大力提倡学术，多方网罗人才，在亚历山大里亚建立起一座空前宏伟得博物馆与图书馆，使这里取代雅典，一跃而成为古代世界得学术文化中心，繁荣几达千年之久！希腊人得思想毫无疑问地受到了埃及与巴比伦得影响，但就是她们创立得数学与前人得数学相比较，却有着本质得区别，其发展可分为雅典时期与亚历山大时期两个阶段。 从泰勒斯到毕达哥拉斯学派 （1）爱利亚学派 从古代埃及、巴比伦得衰亡，到希腊文化得昌盛， 这过渡时期留下来得数学史料很少。不过希腊数学得 兴起与希腊商人通过旅行交往接触到古代东方得文化 有密切关系。伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊 其她地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来得 经验与文化。在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人得统 治所代替，商人具有强烈得活动性，有利于思想自由 而大胆地发展。城邦内部得斗争，帮助摆脱传统信念。 在希腊没有特殊得祭司阶层，也没有必须遵守得教条， 因此有相当程度得思想自由。这大大有助于科学与哲 学从宗教中分离开来。 米利都就是伊奥尼亚得最大城市，也就是泰勒斯得故乡。泰勒斯生于公元前624年，就是公认得希腊哲学鼻祖。早年就是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来得知识，并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物得根源。 当时天文、数学与哲学就是不可分得，泰勒斯同时也研究天文与数学。她曾预测到一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争。多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。她在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔得高度，使法老大为惊讶。泰勒斯在数学方面得贡献就是开始了命题得证明，它标志着人们对客观事物得认识从感性上升到理性，这在数学史上就是一个不寻常得飞跃。伊奥尼亚学派得著名学者还有阿纳克西曼德与阿纳
古希腊数学(雅典时期)
抽象化的数学精神 ——古希腊数学分析与讨论 岭南学院经济学类 2012级4班苏博学号：12327203 在古希腊人的科学成就中，数学可谓是最抽象也是最迷人的科学体系。 古希腊数学可大致分为两个阶段，第一阶段是公元前600-公元前300的雅典时期，第二阶段是公元前300-641的亚历山大时期。本次讨论稿中将着重讨论雅典时期的古希腊数学。 这一时期始于泰勒斯为首的伊奥尼亚学派，其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。伊奥尼亚学派否认神是世界的创造者，认为水是万物之基，崇尚自然规律，并对数学的一些基本定理做了科学论证。 “数学之父”泰勒斯在数学方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想。命题的证明，就是借助一些公理或真实性业经确定的命题来论证某一命题真实性的思想过程。它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。这在数学史上是一次不寻常的飞跃。在数学中引入逻辑证明，它的重要意义可以从下面这几个方面看出来：一、保证命题的正确性，使理论立于不败之地；二、揭露各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；三、使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑。证明命题是希腊几何学的基本精神，而泰勒斯是希腊几何学的先驱。 《普罗克洛斯概要》写道：“泰勒斯是到埃及去将这种学问(几何学)带回希腊的第一人．他自己发现了许多命题，又将好些别的重要原理透露给他的追随者。他的方法有些是具有普遍意义的，也有一些只是经验之谈。”普罗克洛斯指出他发现的命题有： (1)圆的直径将圆平分(2)等腰三角形两底角相等(3)两直线相交，对顶角相 等(4)有两角夹一边分别相等的两个三角形全等(5)对半圆的圆周角是直角 历史学家强调他证明了(至少是企图证明)这些命题．在数学中引入证明的 思想，这是难能可贵的．从此数学从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立的、演绎的科学。 稍后有毕达哥拉斯领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以万物皆数作为信条，毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序。毕达哥拉斯学派对古希腊数学发展的最重大推动作用，是其将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊独立的地位，这在当时，是非常难得的。 希腊人将数学抽象化，使之成为一种科学，持使用演绎证明。与之相比，古代中国的数学研究更多从实际出发，从《九章算术》可以看出，中国算学一般遵循小农经济体积下生产、政治等的实际需要，具有浓厚的应用数学的色彩。我想是自由贸易的经济体制催生了希腊人对数学的独立追求，从而演变成现代的数学科学（而并没有从中国起源）。 总括而言，希腊数学的成就是辉煌的，更重要的是：希腊数学产生了数学精神，即数学证明的演绎推理方法。数学的抽象化以及自然界依数学方式设计的信念使数学成为了一门独立的科学，现代的数学也由此而催生。 参考书目及期刊文摘：《西方的遗产》、《古今数学思想》、《张顺燕——数学的美与理》、《古希腊罗马哲学》，《梁宗巨著世界数学史简编》、《数学汇编》、《数
四大文明古国与古希腊数学起源与发展的异同
四大文明古国与古希腊数学起源与发展的异同 古希腊文明属于海洋文明，受希腊岛屿星罗棋布，平原面积狭小，土壤贫瘠，海岸线长,多优良港口的地理环境影响，希腊农业发展条件不足，商业发展条件的得天独厚，希腊文明的产生发展基于其高度发达的海外贸易；四大文明古国的文明类型属于大河文明，因为四大文明古国均发源于大河流域，古埃及的尼罗河，古巴比伦的两河流域，古印度的印度河、恒河，古中国的黄河，因为大河流域水源充足，土壤肥沃，对农业的发展极其有利，故四大文明古国文明属于农业文明，大河文明 四大古国更接近史前文明．而且他们的文明似乎完全从自己产生出来的． 而古希腊的文明其实开始的要晚，大多学习阿拉伯和亚洲的东西，然后他们才开始兴盛的，数学和文明大多承继了亚洲，虽然他们的文明辉煌灿烂，但古老悠久估计算不上了，从传承上来讲，古希腊和古罗马的文明集成了古埃及、古巴比伦和古印度的文明 而他们两者之间最明显的区别就是：四大文明古国是东方文明，而古希腊是西方文明 科技： 古希腊：在古希腊科学的发展中，原始数学始终沿着神秘性和数量性的双重功能统一性继承的轨道向前发展。古希腊数学与神秘性的结合，使得他们从宗教、哲学的层次追求数学的绝对性以及解释世界
的普遍性地位，这正是古希腊数学完全脱离实际问题，追求逻辑演绎的严谨性的文化背景。古希腊人在从蒙昧走向文明的过程中，吸收了埃及与巴比伦的数学成果，这时的古希腊数学，实际上是古希腊原始数学神秘主义与埃及、巴比伦的数学的结合体，这种结合创造了数学体系、数学运演与数学方法的广泛的神秘解释作用。这种文化传统正是古希腊数学具有强烈的神秘作用以及后来具有宗教、哲学特征的根本原因。柏拉图的唯心主义哲学，把数学的神秘性及数量性意义演化为一种哲学意义的数学理性，直到亚里士多德认为“数就是宇宙万有之物质”。古希腊借助于数学解释一切的文化传统使数学成为具有文化意义的理性基础。古希腊与西方的天文、医学、逻辑、音乐、美术、宗教、哲学中，数学都在发挥着理性的解释作用，并随着西方文化的发展而不断得以继承和强化。基督教神学逐渐吸收了古希腊用数学解释世界 四大文明古国：四大文明古国都是农耕文明，都要依赖较大的河流才能发展。其中古巴比伦是最短的，四大文明古国在天文、农业、建筑上都有很高的成就。期中古埃及的的草药和数学很有名，他们崇尚太阳神“拉”，认为人的灵魂是永恒存在的，所以他们制作木乃伊来保存人尸体。 文化方面： 古代埃及：金字塔、狮身人面像、太阳神庙、象形文字； 古代巴比伦：汉谟拉比法典、空中花园、楔形文字； 古代印度：印度教、佛教、外科手术、阿拉伯数字、种姓制度；
(二)古希腊数学特点
（二）古希腊数学特点 古代希腊的数学，自公元前600年左右开始，到公元641年为止共持续了近1300年。前期始于公元前600年，终于公元前336年希腊被并入马其顿帝国，活动范围主要集中在驱典附近；后期则起自亚历山大大帝时期，活动地点在亚历山大利亚；公元641年亚历山大城被阿拉伯人占领，古希腊文明时代宣告终结。总括而言，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富，不论从数量还是从质量来衡量，都是世界上首屈一指的。比希腊数学家取得具体成果更重要的是：希腊数学产生了数学精神，即数学证明的演绎推理方法。数学的抽象化以及自然界依数学方式设计的信念，为数学乃至科学的发展起了至关重要的作用。而由这一精神所产生的理性、确定性、永恒的不可抗拒的规律性等一系列思想，则在人类文化发展史上占据了重要的地位。 古希腊是个充满神话的国度，古希腊数学的特点也很神化，如下：一，希腊人将数学抽象化，使之成为一种科学，具有不可估量的意义和价值。希腊人坚持使用演绎证明，认识到只有用勿容置疑的演绎推理法才能获得真理。要获得真理就必须从真理出发，不能把靠不住的事实当作已知。从《几何原本》中的10个公理出发，可以得到相当多的定理和命题。二，希腊人在数学内容方面的贡献主要是创立平面几何、立体几何、平面与球面三角、数论，推广了算术和代数，但只是初步的，尚有不足乃至错误；三，希腊人重视数学在美学上的意义，认为数学是一种美，是和谐、简单、明确以及有秩序的艺术；
四，希腊人认为在数学中可以看到关于宇宙结构和设计的最终真理，使数学与自然界紧密联系起来，并认为宇宙是按数学规律设计的，并且能被人们所认识的。
古代希腊数学黄金时代
古代希腊数学黄金时代 希腊世界的雅典、巴斯达等国在经历了多次战争而逐渐衰落的时候，北方新兴的马其顿国在其国王腓力二世的率领下，开始了征服世界的进程。在征服希腊各城邦后两年，腓力二世遇刺去世，其子亚历山大（公元前336年——公元前323年在位）继位，从公元前334年起，亚历山大举兵东征，建立了一个空前庞大的帝国。 公元前323年，亚历山大病逝，其帝国被部将分割为安拉哥拉（欧洲部分），塞流卡斯（亚洲部分）和托勒密（埃及部分）三个王国，历史上称之为希腊化国家，希腊数学从此进入亚历山大时期。 欧几里得出生于雅典，曾受教于柏拉图学园，他是希腊论证几何学的集大成者。雅典衰落后，应托勒密国王的邀请，来亚历山大城主持数学学派的工作，他是亚历山大学派的奠基人。 欧几里得是一位勤奋的学者，他以满腔热情将以雅典为代表的希腊数学成果，运用欧多克索斯曾经部分采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书。 为此，他首先收集、整理已有的数学成果，以命题的形式作出表述，完善前人的各种定理并给予重新证明，使其达到无懈可击的地步。 然后，他作出了自己的伟大创造：对定义进行筛选，选择出具有重要意义的公理，逻辑地、严密地按演绎方式组织命题及其证明，最后形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的《几何原本》。它是在公元前300年左右完成的。 他的《几何原本》：五条公设： ⑴从任一点到任一点作直线（是可能的）。 ⑵将有限直线不断沿直线延长（是可能的）。 ⑶以任一点为中心与任一距离为半径作一圆（是可能的）。 ⑷所有直角是相等的。 ⑸若一直线与两条直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。 五个公理： ⑴与同一东西相等的一些东西彼此相等。 ⑵等量加等量，其和相等。 ⑶等量减等量，其差相等。
古希腊数学
第二讲古希腊数学 《雅典学院》壁画介绍 拉斐尔(1483-1520)，是意大利文艺复兴时期的著名画家。1508年，拉斐尔被罗马教皇尤里乌斯二世邀去绘制梵蒂冈皇宫签字厅的四幅壁画。画于三面墙上和屋顶的四幅绘画，依据诗人德拉·欣雅杜尔的诗来配画，以歌颂神学、哲学、诗歌、法学为内容。拉斐尔在四面墙上画了四幅壁画：神学的《圣礼之争》（或教义之争）、哲学的《雅典学院》、诗歌的《帕拿巴斯山》、法学的《三德》。 《雅典学院》以古希腊著名哲学家柏拉图所创建的雅典学院为题，并以柏拉图及其弟子亚里士多德为中心，将古希腊、罗马、斯巴达以及意大利时期五十多位哲学家、科学家、思想家、文学家学者齐聚一堂，以此歌颂人类对智慧和真理的追求，赞美人创造力。 位居画面中心的左为柏拉图，右为亚里土多德，一个手指着上天，另一个则伸出右指着他前面的世界，以此表示他们不同的哲学观点：柏拉图的唯心主义和亚里土多德的唯物主义。这两个中心人物的两侧有许多重要的历史人物：左边穿白衣、两臂交叉的青年是马其顿王亚历山大，转身向左扳手指的是苏格拉底，斜躺在台阶上的半裸着衣服的老人是犬儒学派的哲学家第奥根尼。 台阶下的人物分为左右两组。左边一组中，站着伸头向左看的老者是阿拉伯学者阿维罗意，在他左前方蹲着看书的秃顶老人是毕达哥拉斯。右边弯腰和别人讨论的是阿基米德，手拿圆规者为欧几里得，右边尽头手持天体模型者是托勒密。 图中还出现的学者有伊壁鸠鲁、赫拉克立特、芝诺。 1．论证数学的兴起 泰勒斯(约前625-前547)，迄今所知最早的希腊数学家。没有任何第一手资料介绍这位学者本人或证实他所取得的成就，但他的生活与工作却留下了不少传说。据称他领导的爱奥尼亚学派首开证明之先河，他自己也证明了不少定理。 在论证数学的方向上，泰勒斯迈出了第一步，但希腊数学著作的评注者们还是倾向于将论证数学的成长归功于毕达哥拉斯以及他所创建的学派。 毕达哥拉斯(约前580-前500)，出生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，年轻时曾游历埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定居于今意大利南部沿海的克洛托内，并在那里建立了自己的学派。该学派有严密的教规，将一切发现归功于学派的领袖，并禁止公开学派内部的秘密。因此，后人很难将毕达哥拉斯本人的工作与其他成员的贡献区分开来。该学派虽然是一个多少有点宗教性质的组织，但主要致力于哲学与数学的研究。相传“哲学”(希腊文意为“智力爱好”)与“数学”(希腊文意为“可学到的知识”)这两个词原为毕达哥拉斯所创。 几乎所有的西方文献都将勾股定理称为毕达哥拉斯定理。据传说，毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，曾宰百牛祭神，但关于毕达哥拉斯如何证明该定理，始终是个迷。 毕氏学派的另一项几何成就是正多面体作图。他们称正多面体为“宇宙形”，一般认为，三维空间中仅有五种正多面体——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，它们的作图都与毕达哥拉斯及其学派有关。在所有正多面体中，正十二面体最为引人注目。这是因为，它的每个面都是正五边形，其作图问题涉及到了一个有趣的概念，那就是后人所称的“黄金分割”。 尽管毕氏学派做出了许多的几何成就，但这个最尊崇的信条即是“万物皆数”。这里的
希腊数学与中国数学比较
希腊数学与中国数学比较 古代希腊的数学，自公元前600年左右开始，到公元641年为止共持续了近1300年。前期始于公元前600年，终于公元前336年希腊被并入马其顿帝国，活动范围主要集中在驱典附近；后期则起自亚历山大大帝时期，活动地点在亚历山大利亚；公元641年亚历山大城被阿拉伯人占领，古希腊文明时代宣告终结。 而中国数学起源于遥远的石器时代，经历了先秦萌芽时期（从远古到公元前200年）；汉唐始创时期（公元前200年到公元1000年），元宋鼎盛时期（公元1000年到14世纪初），明清西学输入时期（十四世纪初到1919年）。 一、最早的有关数学的记载的比较 最早的希腊数学记载是拜占庭的希腊文的手抄本（可能做了若干修改），是在希腊原著写成后500年到1500年之间录写的。其原因是希腊的原文手稿没有保存下来。而成书最早的是帕普斯公元三世纪撰写的《数学汇编》和普罗克拉斯（公元5世纪）的《欧德姆斯概要》。《欧德姆斯概要》一书是以欧德姆斯写的一部著作（一部相当完整的包括公元前335年之前的希腊几何学历史概略，但已经丢失）为基础的。 中国最早的数学专著有《杜忠算术》和《许商算术》（由《汉书·艺文志》记载可知），但这两部著作都已失传。《算术书》是目前可以见到的中国最早的，也是一部比较完整的数学专著。这部著作于1984年1月，在湖北江陵张家山出土大批竹简中发现的，据有关专家认定《算术书》抄写于西汉初年（约公元前2世纪），成书时间应该更早，大约在战国时期。《算术书》采用问题集形式，共有60多个小标题，90多个题目，包括整数和分数四则运算、比例问题、面积和体积问题等。 结论：中国是四大文明古国之一，所有的文化创造，均源自华夏大地。一般来讲，中国的数学成果较古希腊为迟。 二、经典之作的比较 古希腊数学的经典之作是欧几里得的名著《几何原本》。亚历山大前期大数学家欧几里得完成了具有划时代意义工作——把以实验和观察而建立起来的经验科学，过渡为演绎的科学，把逻辑证明系统地引入数学中，欧几里得在《几何原本》中所采用公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按照严谨的科学体系进行内容的编排，使之系统化、理论化，超过他以前的所有著作。《几何原本》分十三篇．含有467个命
古希腊数学史
古希腊数学史 古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿 和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。 公元前5、6世纪，特别是希、波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了光辉灿烂的希腊文化，对后世有深 远的影响。 希腊数学的发展历史可以分为三个时期。第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公 元前146年，希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期， 结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。 从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期留下来的数学史料 很少。 不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。 伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累 下来的经验和文化。 在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，有利于思 想自由而大胆地发展。 城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须 遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。 这大大有助于科学和哲学从宗教分离开来。古希腊第一位科学家—泰勒斯 米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡，泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖。 早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加 以发扬。 以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。 当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。
他曾预测一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争，多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，使法老大为惊讶。 泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响 毕达哥拉斯毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯，为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪之久。 毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。 他们以发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。 这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，又注意到从 1起连续的奇数和必为平方数等等，这既是算术问题，又和几何有关，他们还发现五种正多面体。 伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著的不同。前者研习数学并不单纯为了哲学的兴趣，同时也为了实用。而后者却不注重实际应用，将数学和宗教联系起来，想通过数学去探索永恒的真理。 公元前五世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开的精神。在公开的讨论或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等知识，于是“智人学派”应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。 在数学上，他们提出“三大问题”：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。 希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。这个学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8、16、32、…边形。安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割圆术思想不谋而合
第二讲：古代希腊数学
第二讲古代希腊数学 1、古典时期的希腊数学 公元前600－前300年。 1.1 爱奥尼亚学派（米利都学派） 泰勒斯（公元前625－前547年），被称为“希腊哲学、科学之父”。 1.2 毕达哥拉斯学派 数学：数学研究抽象概念的认识归功于毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯定理，完全数、亲和数，正五角星作图与“黄金分割”，发现了“不可公度量”。 1.3 伊利亚学派 芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系以非数学的形态提出，并进行了辩证的考察。 1.4 诡辩学派（智人学派） 古典几何三大作图问题：三等分任意角、化圆为方、倍立方。 1.5 柏拉图学派 柏拉图不是数学家，却赢得了“数学家的缔造者”的美称，创办雅典学院（前387－公元529），讲授哲学与数学。 1.6 亚里士多德学派（吕园学派） 亚里士多德（公元前384－前322年）是古希腊最著名的哲学家、科学家。集古希腊哲学之大成，把古希腊哲学推向最高峰，堪称“逻辑学之父”，为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础，被后人奉为演绎推理的圣经。 2、亚历山大学派时期 希腊数学黄金时代，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰。 2.1 欧几里得（公元前325－前265年） 公元前300年成为亚历山大学派的奠基人，用逻辑方法把几何知识建成一座巍峨的大厦，成为后人难以跨跃的高峰。 《原本》13卷：由5条公理，5条公设，119条定义和465条命题组成，构成
了历史上第一个数学公理体系。 2.2阿基米德（公元前287－前212年） 数学之神，与牛顿、高斯并列有史以来最伟大的三大数学家之一。 最为杰出的数学贡献是《圆的度量》，把希腊几何学几乎提高到西方17世纪后才得以超越的高峰。墓碑：球及其外切圆柱。 2.3 阿波罗尼奥斯（约公元前262－前190年） 贡献涉及几何学和天文学，最重要的数学成就是《圆锥曲线》，希腊演绎几何的最高成就。《圆锥曲线》全书共8卷，含487个命题。 克莱因（美，1908－1992年）：它是这样一座巍然屹立的丰碑，以致后代学者至少从几何上几乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实可以看成是古希腊几何的登峰造极之作。 3、希腊数学的衰落 背景：罗马帝国简史。 罗马帝国的建立，唯理的希腊文明被务实的罗马文明所取代。同气势恢弘的罗马建筑相比，罗马人在数学领域远谈不上有什么显赫的功绩。从公元前30－公元600年常称为希腊数学的“亚历山大后期”。 3.1 托勒密（埃及，90－165年） 最重要的著作是《天文学大成》13卷，总结了在他之前的古代三角学知识，其中最有意义的贡献是包含有一张正弦三角函数表。三角学的贡献是亚历山大后期几何学最富创造性的成就。 3.2 丢番图（公元200－284年） 希腊算术与代数成就的最高标志是丢番图的《算术》，这是一部具有东方色彩、对古典希腊几何传统最离经叛道的算术与代数著作，创用了一套缩写符号，一种“简写代数”。 亚历山大女数学家希帕蒂娅（公元370－415年）被害预示了在基督教的阴影笼罩下整个中世纪欧洲数学的厄运。
古希腊数学的发展
1 古希腊数学的发展： a. 泰勒斯和毕达哥拉斯： 在古希腊论证数学发展史上，泰勒斯（Thales of Miletus，约公元前624～前547年）被称为第一个几何学家，他确立和证实了为人们公认的第一批几何定理： 1、圆为它的任一直径所平分； 2、半圆的圆周角是直角； 3、等腰三角形两底角相等； 4、相似三角形的各对应边成比例； 5、若两三角形两角和一边对应相等则三角形全等。 古希腊论证数学的另一位先驱是毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos，约公元前584～前497年）及其学派。在毕达哥拉斯之前，人们并没有清楚认识到几何的证明是要有假设的，几何学所取得的一些结构，大都靠经验得出。至于它们之间的关系，包括相互之间、规律与规律的交互作用等，都未有过说明。是毕达哥拉斯在发展几何的过程中率先制定“公设”或“公理”，然后再经过严格的推导、演绎来进行。把证明引入数学是毕达哥拉斯伟大功绩之一。 毕达哥拉斯的第二个贡献是提出抽象。他把抽象运用到数学上，认为数学上的数、图形都是思维的抽象，已不是实际生活中的数与形。如几何物体，正是舍弃了诸如密度、颜色、重量，唯一所考虑的只是它的空间分布形式。抽象引发了几何的思辨，从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，成为早期的几何思想的先驱。 后来，由勾股定理（西方成为毕达哥拉斯定理或百牛定理）引发的有关无理数的第一次数学危机推动了数学上的思想解放。为此作出努力的是柏拉图的学生天文学家欧多克索斯（Eudoxus,约公元前400年～前347年）。他为解释无理数的问题，采用了“比例理论”，这其中就隐含了极限的思想，对后来的欧几里得几何学的产生起到了积极作用。 b.智者（Sophist）学派与古希腊三大难题: 在数学上，智人学派曾提出“三大问题”： 1.三等分任意角； 2.倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍； 3.化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。 这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。对这三大难题的研究虽然都得不到实际结果，但对当时数学理论的发展起到很大的推动作用。 这个学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题——先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8、16、32、…边形，“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割圆术思想不谋而合，成为近代极限理论的雏形。 c.柏拉图学派与演绎证明： 柏拉图（Plato，约公元前427～前347年）学派认为数学是认识“理念世界”的工具，因此他们特别重视数学的证明方法，竭力主张学习和研究数学。 柏拉图在毕达哥拉斯学派提出的数学概念抽象化的观点基础上，从哲学的角度去探讨数学概念的涵义，为发挥数学抽象思维的能动作用创造了条件，推动了数学的科学化。 另外，柏拉图强调数学研究的演绎证明。归纳以及根据经验作出的一般结论只能给出可能正确的知识，演绎法在前提正确的条件下则能得到绝对正确的结果。柏拉图的这一思想，成为后来公理化方法的发端，对欧几里得几何的公理化演绎体系和推进古希腊数学的发
(完整版)数学史(第2章古希腊数学)
第2章古代希腊数学 主题： 希腊文化与理论数学的起源 人类理性思维的形成 在唯理的社会气氛中，希腊人将埃及和美索不达米亚的数学经验算术和几何法则加工成具有初步逻辑结构的论证数学体系。 概述： 希腊数学分为三个阶段：一是从公元前6C到约公元前3C，这一时期以雅典为中心，形成了论证几何数学的思想基础和有关方法上的基础；二是从约公元前3C到约公元前30年，这一时期主要以亚历山大为中心，形成的系统的论证几何体系，建立理论方法，为数学的发展提供了一种基本的观点和方法。三是从约公元前30年到公元6C，这是希腊数学发展后期，主要发展带有实用特点的数学。同时也有对前人进行评述和整理工作。 主要成就： 1 论证数学的鼻祖及主要贡献： 泰勒斯（前625－前547）泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。 毕达哥拉斯（前580－前500）毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和数学研究。普鲁克鲁斯在《评注》中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。（2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体）。以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派，见书36页注）。（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”（这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。该学派还有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了数与形的结合。（4）发现了不可公度量。 评论：毕达哥拉斯学派把数看成是世界的基础，客观上形成对世界数量关系的认识，是人类认识上的一大进步。加强了数概念中的理论倾向，推动了几何学的抽象化倾向，这些研究使人类抽象思维能力达到了一个高的水平。不可公度量的发现，由此产生了“第一次数学危机”，这一问题的根本解决是人们对连续性有更精确的定义后才完全解决。
关于古希腊辉煌的数学成就的论析
关于古希腊辉煌的数学成就的论析 著名数学史学家克莱因在《古今数学思想》一书中曾经指出过：“希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上。” 古希腊数学为人类创造了巨大的精神财富。不论从哪方面来衡量，都会令人感到其辉煌。希腊数学产生了数学精神，即数学证明的演绎推理方法。这時的数学精神所产生的任何思想，在后來人类文化发展史上佔据了重要的地位。 希腊数学的发展历史可以分为三个时期。第一期约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪，从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，；第二期从欧几里得起到公元前146年，希腊陷于罗马为止，是亚历山大前期，；第三期是罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领，是亚历山大后期。 1 古希腊数学的发展： a. 泰勒斯和毕达哥拉斯： 在古希腊论证数学发展史上，泰勒斯（Thales of Miletus，约公元前624～前547年）被称为第一个几何学家，他确立和证实了为人们公认的第一批几何定理： 1、圆为它的任一直径所平分； 2、半圆的圆周角是直角； 3、等腰三角形两底角相等； 4、相似三角形的各对应边成比例； 5、若两三角形两角和一边对应相等则三角形全等。 古希腊论证数学的另一位先驱是毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos，约公元前584～前497年）及其学派。在毕达哥拉斯之前，人们并没有清楚认识到几何的证明是要有假设的，几何学所取得的一些结构，大都靠经验得出。至于它们之间的关系，包括相互之间、规律与规律的交互作用等，都未有过说明。是毕达哥拉斯在发展几何的过程中率先制定“公设”或“公理”，然后再经过严格的推导、演绎来进行。把证明引入数学是毕达哥拉斯伟大功绩之一。 毕达哥拉斯的第二个贡献是提出抽象。他把抽象运用到数学上，认为数学上的数、图形都是思维的抽象，已不是实际生活中的数与形。如几何物体，正是舍弃了诸如密度、颜色、重量，唯一所考虑的只是它的空间分布形式。抽象引发了几何的思辨，从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，成为早期的几何思想的先驱。 后来，由勾股定理（西方成为毕达哥拉斯定理或百牛定理）引发的有关无理数的第一次数学危机推动了数学上的思想解放。为此作出努力的是柏拉图的学生天文学家欧多克索斯（Eudoxus,约公元前400年～前347年）。他为解释无理数的问题，采用了“比例理论”，这其中就隐含了极限的思想，对后来的欧几里得几何学的产生起到了积极作用。 b.智者（Sophist）学派与古希腊三大难题: 在数学上，智人学派曾提出“三大问题”： 1.三等分任意角； 2.倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍； 3.化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。 这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。对这三大难题的研究虽然都得不到实际结果，但对当时数学理论的发展起到很大的推动作用。
古代希腊的数学
数学史----古代希腊的数学 古代希腊的数学，自公元前600年左右开始，到公元 641年为止共持续了近 1300年。前期始于公元前 600年，终于公元336 年希腊被并入马其顿帝国，活动范围主要集中在驱典附近;后期则起自亚历山大大帝时期，活动地点在亚历山大利亚;公元641年亚历山大城被阿拉伯人占领，压力上大图书馆为回教徒彻底烧毁，古希腊文明时代宣告终结。虽然自小我们就在教科书上看到类似这样的文字“刘徽、祖冲之的发现比国外要早几百年”，但是事实中国的数学成果较古希腊为迟。古希腊数学“为科学而科学”的求知传统与中国古代数学实用主义传统有很大区别: 希腊人将数学抽象化，使之成为一种科学，具有不可估量的意义和价值。希腊人坚持使用演绎证明，认识到只有用勿容置疑的演绎推理法才能获得真理。要获得真理就必须从真理出发，不能把靠不住的事实当作已知。从《几何原本》中的10个公理出发，可以得到相当多的定理和命题。希腊人在数学内容方面的贡献主要是创立平面几何、立体几何、平面与球面三角、数论，推广了算术和代数，但只是初步的，尚有不足乃至错误。希腊人重视数学在美学上的意义，认为数学是一种美，是和谐、简单、明确以及有秩序的艺术。希腊人认为在数学中可以看到关于宇宙结构和设计的最终真理，使数学与自然界紧密联系起来，并认为宇宙是按数学规律设计的，并且能被人们所认识的。古希腊数学的经典之作是 Euclid《原本》。亚历山大前期大数学家欧几里得完成了具有划时代意义工作——把以实验和观察而建立起来的经验科学，过渡为演绎的科学，把逻辑证明系统地引入数学中，Euclid《原本》中所采用公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按照严谨的科学体系进行内容的编排，使之系统化、理论化。Euclid 《原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系， 在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题。Euclid《几何原本》第一卷列有 23 个定义、5条公理、5 条公设。这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础。全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的。比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证。都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明。Euclid《原本》的诞生在几何学发展的历史中具有重要意义。它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。 《原本》对世界数学的贡献主要是: 1. 建立了公理体系，明确提出所用的公理、公设和定义。由浅入深地揭示一系列定理，使得用一小批公理证出几百个定理。2. 把逻辑证明系统地引入数学中，强调逻辑证明是确立数学命题真实性的一个基本方法。3. 示范地规定了几何证明的方法:分析法、综合法及归谬法。Euclid《原本》是一部划时代的著作，精辟地总结了人类长时期积累的数学成就，建工了数学的科学体系。为后世继续学习和研究数学提供了课题和资料，使几何学的发展充满了活的生机。其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作砖瓦木石;只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。Euclid《原本》体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。 一般认为，《原本》前二卷的大部分材料来源于毕达哥拉斯学派，他正是希腊论证数学的祖师。毕达哥拉斯学派数学神秘主义的外壳，包含者理性的内核。首先，它加强了数概念中的理论倾向，如果说埃及与巴比伦算术主要是实用的数