中学数学讲座题目精选
中学数学讲座题目精选
数学是一门深受学生喜爱和折磨的学科，它既有趣味还有挑战，能
够培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。为了帮助中学生更好地掌
握数学知识，提高他们的数学水平，我们策划了一系列数学讲座，精
选了一些热门题目，让我们一起来探讨吧！
1. 斐波那契数列的奥秘（500字）
斐波那契数列是数学中一道经典的题目，它的特点是前两项是1，
后续项等于前两项的和。我们将通过有趣的小故事以及实际应用场景
引入斐波那契数列，并讨论其数学原理和数列特性。此外，我们还将
分享一些有趣的斐波那契数列的扩展应用。
2. 利用概率模型解决生活中的问题（400字）
概率是数学中的一个重要分支，它在生活中有着广泛的应用。我们
将介绍概率模型的基本概念和计算方法，并通过举例解决一些实际生
活中的问题，如赌场游戏的胜率计算、购买彩票的概率分析等。学习
概率模型不仅能够提高数学思维能力，还能帮助我们做出明智的决策。
3. 空间几何的魅力（400字）
空间几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的点、线、
面的性质和关系。我们将介绍一些基本的空间几何概念，如平面与直
线的相交关系、三角形的性质等，并通过一些有趣的例题加深理解。
了解空间几何的知识，有助于我们更好地理解和应用于生活中的空间
问题。
4. 解密复数的魅力（500字）
复数是数学中一个让人着迷的概念，它的引入解决了许多实数无法
解决的问题。我们将从复数的定义方法入手，介绍复数的基本运算法
则和性质，并与实际问题结合，讨论复数在电路分析、力学问题中的
应用。通过学习复数，我们能够拓宽数学领域的视野，解决更多的问题。
5. 数据的呈现与分析（400字）
数据是我们生活中不可或缺的一部分，我们需要学会如何有效地呈
现和分析数据。在本次讲座中，我们将介绍一些常用的数据呈现形式，如条形图、折线图等，并教授数据分析的基本方法，如求平均值、中
位数等。通过学习数据的呈现与分析，我们能够更好地理解和应用数据，提高问题解决的能力。
通过以上的讲座，我们希望能够激发中学生对数学的兴趣和热爱，
让他们从中发现数学的美妙和实用。数学不仅仅是一门学科，更是一
种思维方式和解决问题的工具，它在我们的生活中无处不在。让我们
一起追寻数学的奥秘，用数学思维来探索世界！
初中数学总复习专题讲座
初中数学总复习专题讲座 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 篇一：初中数学中考总复习专题资料 初中数学中考总复习专题资料 专题1：方程与几何相结合型问题 解决方法：1、先根据题设条件及有关知识设法求出两条线段的和与积，然后利用根与系数的关系达到解题的目的。 2、根据题设条件中告诉的两条线段应满足的二次方程，逆推出两线段的和与积各应该是什么，然后按照此目标探寻解题途径。 3、由题设条件及根与系数关系的关系得出两条线段的和与积，然后综合运用代数、几何等相关知识求解。 2例题：1、已知：a,b,c是△ABC三条边的长，那么方程cx??a?b?x?c?0的根
的情况4 是（）A、没有实数根B、有两个不相等的正实数根C、有两个不相等的负实数根D、有两个异号实数根 2、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2?8x?7?0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A B、3 C、6 D、9 3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边C＝5，两直角边的长a,b是关于x的一元二次2方程x?mx?2m?2?0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值。 2练习：1、如果两个圆的半径的长分别是方程x?5x?6?0的两个实数根，且圆心距为5， 那么这两个圆的位置关系是（）A、外离B、相交C、外切D、内切 2、已知等腰三角形三边的长为a,b,c，且a?c，若关于x的一元二次方程ax2?c? 0 ）
A、15° B、30° C、45° D、60° 3、如图，C在以AB为直径的半圆O上，CD⊥AB于D，cosA? 24，BD、AC的长分别5是关于x 的方程x??m?1?x?2m?0两根之和与两根之差，求这个方程的两个根 、如图，已知⊙O的半径是2，弦AB所对的圆心角∠AOB＝120°，P是AB上一点4 OP O的两条切线AC和BC交于C，PE ⊥AC于E，PF⊥BC于F，设PE＝a，PF＝b，求以a、b为根的一元二次方程。 AF B 1?5、已知关于x的方程x2??2k?1?x?4?，⑴求证：无论k取什么实数值，这个方程k????0?2? 总有实数根；⑵若等腰三角形ABC 的一边长a?4，另两边的长b,c恰好是方程的两个根，求△ABC的周长。
数学竞赛专题讲座七年级第讲跨越—从算术到代数含答案
第一讲跨越——从算术到代数 “加里宁曾经说过：数学是锻炼思维的体操,体操能使你身体健康,动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷,有了正确的思想,你们才有可能爬上科学的大山．” _______华罗庚; 华罗庚,我国现代有世界声誉的数学家,初中毕业后,靠自学成才,在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越贡献． 纵观历史,数学的发展创造了数学符号,新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展．历史是这样一步一步走过来的,并将这样一步一步地继续走下去,数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生．在文明和科学的发展过程中,人类创造用符号代替语言、文字的方法,这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性． “算术”可以理解为“计算的方法”,而“代数”可以理解为“以符号替代数字”,即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事,是由算术跨越到代数的桥梁,是人类发展史上的一个飞跃,也是代数与算术的最显著的区别． 字母表示数使得数学具有简洁的语言,能更普遍地说明数量关系,在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用． 例题讲解 例1观察下列等式9—l=8, 16—4＝12,25—9＝16,36—16＝20,…… 这些等式反映出自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示出来： ．河南省中考题 思路点拨在观察给定的等式基础上,寻找数字特点,等式的共同特征,发现一般规律．链接：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”,是由特殊到一般的思维过程,是发明创造的基础． 例2 某商品2002年比2001年涨价5％,2003年又比2002年涨价10％,2004年比2003年降价12％,则2004年比2001年． A．涨价3％B．涨价1．64％C涨价1．2％D．降价1．2％ 思路点拨设此商品2001年的价格为a元,把相应年份的价格用a的代数式表示,由计算作 出判断． 例3 计算
中学数学讲座题目精选
中学数学讲座题目精选 数学是一门深受学生喜爱和折磨的学科，它既有趣味还有挑战，能 够培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。为了帮助中学生更好地掌 握数学知识，提高他们的数学水平，我们策划了一系列数学讲座，精 选了一些热门题目，让我们一起来探讨吧！ 1. 斐波那契数列的奥秘（500字） 斐波那契数列是数学中一道经典的题目，它的特点是前两项是1， 后续项等于前两项的和。我们将通过有趣的小故事以及实际应用场景 引入斐波那契数列，并讨论其数学原理和数列特性。此外，我们还将 分享一些有趣的斐波那契数列的扩展应用。 2. 利用概率模型解决生活中的问题（400字） 概率是数学中的一个重要分支，它在生活中有着广泛的应用。我们 将介绍概率模型的基本概念和计算方法，并通过举例解决一些实际生 活中的问题，如赌场游戏的胜率计算、购买彩票的概率分析等。学习 概率模型不仅能够提高数学思维能力，还能帮助我们做出明智的决策。 3. 空间几何的魅力（400字） 空间几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的点、线、 面的性质和关系。我们将介绍一些基本的空间几何概念，如平面与直 线的相交关系、三角形的性质等，并通过一些有趣的例题加深理解。 了解空间几何的知识，有助于我们更好地理解和应用于生活中的空间 问题。
4. 解密复数的魅力（500字） 复数是数学中一个让人着迷的概念，它的引入解决了许多实数无法 解决的问题。我们将从复数的定义方法入手，介绍复数的基本运算法 则和性质，并与实际问题结合，讨论复数在电路分析、力学问题中的 应用。通过学习复数，我们能够拓宽数学领域的视野，解决更多的问题。 5. 数据的呈现与分析（400字） 数据是我们生活中不可或缺的一部分，我们需要学会如何有效地呈 现和分析数据。在本次讲座中，我们将介绍一些常用的数据呈现形式，如条形图、折线图等，并教授数据分析的基本方法，如求平均值、中 位数等。通过学习数据的呈现与分析，我们能够更好地理解和应用数据，提高问题解决的能力。 通过以上的讲座，我们希望能够激发中学生对数学的兴趣和热爱， 让他们从中发现数学的美妙和实用。数学不仅仅是一门学科，更是一 种思维方式和解决问题的工具，它在我们的生活中无处不在。让我们 一起追寻数学的奥秘，用数学思维来探索世界！
八年级数学竞赛讲座面积问题评说附答案
第二十六讲 面积问题评说 平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，联系着几何图形中的重要元素边与角． 计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有： 1．直接法：根据面积公式和性质直接进行运算． 2．割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题． 3．等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化． 4．等比法：将面积比转化为对应线段的比． 熟悉以下基本图形中常见的面积关系： 注 等积定理：等底等高的两个三角形面积相等． 等比定理：(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比，同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比； (2)相似三角形面积之比等于对应线段的平方比． 例题求解 【例1】 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 相交于点O ，若AC=5，BD=12，中位线长为 2 13，△AOB 的面积为S 1，△COD 的面积为S 2，则21S S = ． (山东省竞赛题) 思路点拨 本例综合了梯形、面积等丰富的知识，图形中有重要面积的关系：S △AOD =S △BOC =21S S ，S 梯
形ABCD =S 1+S 2+212S S =221)(S S +(读者证明)，于是将问题转化为求梯形ABCD 的面积． 【例2】 如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD ＝4，CE=6，那么 △ABC 的面积等于( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 由中点想到三角形中位线，这样△ABC 与四边形BCDE 面积存在一定的关系，只要求出四边形BCDE 面积即可． 【例3】如图，P 、Q 是矩形ABCD 的边BC 和CD 延长线上的两点，AP 与CQ 相交于点E ，且∠PAD=∠QAD ，求证：S 矩形ABCD =S △APQ ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 把面积用相应的线段表示，面积的证明问题就转化为线段的等积式的证明．注意等线段的代换． 【例4】 如图甲，AB 、CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S △DMC 、S △DAC 、S △DBC 分别表示△DMC 、△DAC 、△DBC 的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC =2 DBC DAC S S ??+· (1)如图乙，若图甲中AB 不平行CD ，①式是否成立?请说明理由； (2)如图丙，若图甲中A 月与CD 相交于点O 时，问S △DMC 和S △DAC 和S △DBC 有何种相等关系?试证明你的结论． (安徽省中考题)
初中数学竞赛讲座——数论部分8(同余系的应用)
第8讲剩余系及其一次同余方程 一、基础知识： （1）剩余系 对于任意正整数n而言，一个整数除以m所得的余数只能是0,1,2, …,n-1中的某一个。依次可将整数分成n个类（例如n＝2时，就是奇数或偶数），从每一类中各取一个数所组成的集合就称为模的一个完全剩余系，简称为模的完系。 定义1：如果一个剩余系中包含了这个正整数所有可能的余数（一般地，对于任意正整数n，有n个余数：0,1,2,...,n-1），那么就被称为是模n的一个完全剩余系。 定义2：剩余系：设模为m,则根据余数可将所有的整数分成m类，分别记成[0],[1],[2],…[m-1]，这m个数{0,1,2,…m-1}称为一个完全剩余系，每个数称为相应类的代表元。 例如：当m=10则,{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}最小非负完全 {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}绝对值最小 {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}绝对值最小 （一）根据剩余类的概念，很容易得到以下几条有关剩余类的性质： ①每一个整数一定包含在而且仅包含在模m的一个剩余类中 ②整数p所属的模m的剩余类中的每一个数都可以写成km+p的形式，这里k是整数 用符号p mod m表示p所属的模m的剩余类，这条性质写成数学表达式就是 p mod m= {p+km（k是整数）} ③整数p、q在模m的同一个剩余类中的充要条件是p、q对模m同余。 这条性质用数学符号就可表示为：p mod m= q mod m p≡q（mod m） 实际上，同余式就是剩余类等式的一个特殊情况，是集合中的一个元素，前面有关同余的一些性质对剩余类仍然成立。 这条性质表明，对于模m的两个剩余类要么相等，要么它们的交集为空集，因此，模m有且仅有m个剩余类，它们是： 0mod m，1 mod m，2 mod m，…（m―1）mod m。 在解决一些有关模m余数的问题时，我们就可以查看m个数：0，1，2，…，m―1，从而得相应的剩余类的情况，使问题变得异常简单，具体例子，请看后面的例题。 ④在任意取定的m+1个整数中，必有两个整数对模m同余。 （二）根据同余式的性质，我们很容易得到剩余系的其它一些性质： ⑤m个整数x1，x2，…，x m是模m的一组完全剩余系的充要条件是x1，x2，…，x m中的任意两个数对模m都不同余。 ⑥如果x1，x2，…，x m是模m的一组完全剩余系，那么对任意的整数c，x1+c，x2+c，…，x m+c也是模m的一组完全剩余系。 ⑦设k1，k2，…，k m是m个整数，如果x1，x2，…，x m是模m的一组完全剩余系，那么x1+k1m，x2+k2m，…，x m+k1m也是模m的一组完全剩余系。 （2）一次同余方程 设m | a，则ax≡b（mod m）叫做模m的一次同余方程。 如果x= x0是方程ax≡b（mod m）的一个解，那么x= km+x0也是这个方程的一个
初中数学竞赛讲座——数论部分4(辗转相除法与最大公约数)
第四讲 辗转相除法与最大公因数 一、基础知识： 1．带余除法：若a ，b 是两个整数，b ＞0，则存在两个整数q 和r ，使得 a =bq+r （0≤r ＜ b ）成立， 且q ，r 是唯一的。 证明：【存在性】作整数序列 …，-3b ，-2b ，-b ，0，b ，2b ，3b ，… 则a 必在上述序列的某两项之间，即存在一个整数q 使得 qb ≤a <(q +1)b 成立。 令a -qb =r ，即证存在性。 【唯一性】设q 1、r 1是满足a =bq+r ，0≤r 初中数学竞赛讲座——数论部分3(素数与合数)
第三讲素数与合数 一、基础知识： 对于任意正整数n>1，如果除1和n本身以外，没有其它的因数，那么称n 为素数，否则n称为合数。这样，我们将正整数分为了三类：1，素数，合数。 例如：2，3，5，7，11，…都是质数。1既不是质数也不是和数。1之所以要摒于质数之外，是因为它完全没有质数所具备的那些重要的数论性质。 质数p和a互质，必要而且只要p|\a事实上，若p|a，则p和a除±1外还有公因数±p，故二者不互质。若p|\a，则±p当然就不是p,a的公因数；但除了±p，只有±1才可能是p的因数，所以只有±1才可能是p，a的公因数，即二者互质。显然任意两个不同的质数互质。 质数的性质 性质1．素数中只有一个数是偶数，它是2. 性质2．设n为大于1的正整数，p是n的大于1的因数中最小的正整数，则p为素数。性质3．设a 是任意一个大于1的整数，则a 的除1 外最小正因数q 是一质数， 并且当a是合数时，q≤ 证明：假设q不是质数，则由定义可知q除1及本身以外还有一正因数，设它为b，因而1
中学数学讲座题目精选
中学数学讲座题目精选 "浅谈数学教师应如何授课？"浅谈数学教师应如何授课？ "激发孩子的好奇心是数学教育的重要任务"激发孩子的好奇心是数学教育的重要任务 "浅谈问题与好奇的关系"浅谈问题与好奇的关系 "例说中考数学探究性试题的解答策略"例说中考数学探究性试题的解答策略 "初中数学教学中思维品质的培养"初中数学教学中思维品质的培养 "如何培养学生的思维能力"如何培养学生的思维能力 "浅谈初中数学教材使用中的一点思考"浅谈初中数学教材使用中的一点思考 "北京京翰教育“虎状元”中高考提分王冲刺行动"北京京翰教育“虎状元”中高考提分王冲刺行动 "如何实现师生互动的反思模式构建？"如何实现师生互动的反思模式构建？ "浅谈三种学习方法与学习境界"浅谈三种学习方法与学习境界 "关于初中数学教改中的能力培养"关于初中数学教改中的能力培养 "关于初中数学教学教改的出路"关于初中数学教学教改的出路 "关于初中数学教改的困惑"关于初中数学教改的困惑 "专题讲座期末考后家长需注意的五个问题"专题讲座期末考后家长需注意的五个问题 7"做好期末考试总结的三个方面"做好期末考试总结的三个方面
"初三数学有关三角形与四边形的竞赛专题讲座"初三数学有关三角形与四边形的竞赛专题讲座 "初中数学专题讲座中考复习方法"初中数学专题讲座中考复习方法 "初中数学新课程教学心得体会"初中数学新课程教学心得体会 "探究初二学习两极分化的原因"探究初二学习两极分化的原因 "浅谈“问题解决”和中学数学课程"浅谈“问题解决”和中学数学课程 "浅谈初中学生数学解题错误解析"浅谈初中学生数学解题错误解析 "解析中学数学学法指导"解析中学数学学法指导 "浅淡数学教学中的合作学习"浅淡数学教学中的合作学习 "数学学习与数学迁移"数学学习与数学迁移 "关于现代中学数学教育的思考"关于现代中学数学教育的思考 浅谈数学教师应如何授课？ 教师在设计一堂课时，新课的引入，题目的选取及安排是上好一节课的前提条件。如何设计更合理、更有效，这就需要老师们的集体备课。现在的“一课二摩三讨论”便是设计好一堂课的前提条件。 授课过程中知识点的设计要少而精，做到重点问题重点讲解，且要举一反三，追本求源，瞄准知识的生长点。把基础知识放在首位，处理好大餐与味精的关系。上课过程中要注意让学生进行解题方法及解题过程的总结及整理，并注意知识点的提炼与总结。 把课堂放手给学生，给学生充足的时间与空间个体尝试并合作探究，让学生表现自己，可树立学生的自信心，使学生感受到数学知识的精深与魅力，培养学生对数学钻研的精神，提高合作能力，同时激发他们学习的乐趣与积极性，丰富
高中数学竞赛专题讲座之七：排列、组合、二项式定理和概率[1]
高中数学竞赛专题讲座之七排列组合 二项式定理和概率 一、排列组合二项式定理 1．(2005年浙江)设 () n n n x a x a a x x 221021+++=++ ，求n a a a 242+++ 的值为（ ） A ．n 3 B ．23-n C ．213-n D ．2 13+n 【解】令0=x 得 10=a ；（1） 令1-=x 得 123210=++-+-n a a a a a ；（2） 令1=x 得 n n a a a a a 323210=+++++ ；（3） （2）＋（3）得 13)(22420 +=++++n n a a a a ， 故 2 1 32420+=++++n n a a a a ， 再由（1）得 2 13242-=+++n n a a a 。 ∴选 【 C 】 2．（2004 全国）设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则 这样的三位数n 有 （ ） A ．45个 B ．81个 C ．165个 D ．216个 解：a ，b ，c 要能构成三角形的边长，显然均不为0。即,,{ 1,2,...,9}a b c ∈ （1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为1n ，由于三位数中三个数码都相同，所以， 1 199n C ==. （2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为2n ，由于三位数中只有2个不同数码. 设 为a 、b ，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a ，b ）共有2 92C 。但当大数为底时，设
共20种情况。同时，每个数码组（a ，b ）中的二个数码填上三个数位，有2 3C 种情况。 故2222 399(220)6(10)156n C C C =-=-=。综上，12165n n n =+=。 3．（2005四川）设 }10,,2,1{ =A ，若“方程02=--c bx x 满足A c b ∈,，且方程至少有一根 A a ∈”，就称该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为 A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 解：由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为1-时，有9个满足题意的“漂亮方 程”，当一根为2- 时，有3 个满足题意的“漂亮方程”。共有12个，故选C 。 4．（2005四川）设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任一排列， f 是}4,3,2,1{ 到}4,3,2,1{的映射，且满足i i f ≠)(，记数表? ? ????)( )( )( 43214321a f a f )f(a a f a a a a 。若数表N M ,的对应位置上至少有一个不同，就说N M ,是两张不同的数表。则满足条件的不同的数表的张数为（ ） A ．144 B ．192 C ．216 D ．576 解：对于4321,,,a a a a 的一个排列，可以9个映射满足i i f ≠)(，而4321,,,a a a a 共有24 4 4=A 个排列，所以满足条件的数表共有2169 24=?张，故选C 。 5．(2005江西)连结正五边形12345A A A A A 的对角线交另一个正五边形12345B B B B B ，两次连结正五边形 12345B B B B B 的对角线，又交出一个正五边形12345C C C C C （如图），以图中线段为边的三角形中，共有等腰三角形的个数为 （ ） A ．50 B ．75 C ．85 D ．100 解：对于其中任一点P ，以P 为“顶”（两腰的公共点）的等腰三角形的个数记为[P]则 1125134125134125152[]6, (,,,,,)A A A A A B B A B B A A A A A B A A B =??????. 1134125134134125125125134143[]9, (,,,,,,,,) B B A A B B B B B B B C C B B C BC B B A A B A B B A B =?????????1134125[]2, (,)C C B B C B B =??, 由于图中没有等边三角形，则每个等腰三角形恰有一个 “顶”。据对称性可知[]6, []9, []2, 1,2,3,4,5i i i A B C i ====.因此等腰三角形共有
初一数学@数学竞赛专题讲座七年级第4讲_解读绝对值(含答案)
绝对值专题 绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手： l ．去绝对值的符号法则： 2．绝对值基本性质 ①非负性：； ② ； ③ ； ④； ⑤； ⑥ ． 3．绝对值的几何意义 从数轴上看，表示数的点到原点的距离(长度，非负)；表示数、数的两点间的距离． 例题讲解 【例1】(1)已知，，，且，那么＝ ． (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)已知是有理数，，，且，那么 ． (“希望杯”邀请赛试题) （3）已知，，那么_________．（北京市“迎春杯”竞赛题） （4）非零整数、满足，所有这样的整数组共有______组． （首届江苏省数学文化节基础闯关题） 思路点拨 (1)由已知条件求出的值，注意条件的约束；(2)若注意到9+16＝25这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解；（3）既可以对，的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（4）从把5拆分成两个正整数的和入手． ?? ? ??<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 0≥a b a a b ?=)0(≠=b b a b a 222 a a a ==b a b a +≤+b a b a b a +≤-≤-a a b a -a b 1=a 2=b 3=c c b a >>c b a -+d c b a 、、、9≤-b a 16≤-d c 25=+--d c b a =---c d a b 5=x 1=y =+--y x y x m n 05=-+n m ),(n m c b a 、、c b a >>x y
中考数学重难点专题讲座阅读理解问题含答案
中考数学重难点专题讲座 第十讲 阅读理解题专题 前言 新课标以来中考题型越来越活,阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点;不同以往的单纯“给条件”to “求结果”式的题目,阅读理解往往是先给一个材料,或介绍一个超纲的知识,或给出针对某一种题目的解法,然后再给条件出题;对于这种题来说,如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话,往往浪费大量时间也没有思路,得不偿失;所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键,让我们先看以下的例题; 例12010,朝阳,一模 请阅读下列材料 问题：如图1,在等边三角形ABC 内有一点P,且PA=2, PB=3, PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长． 李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 顺时针旋转60° ,画出旋转后的图形如图2．连接PP′,可得△P′P B 是等边三角形,而△PP′A 又是直角三角形由勾股定理的逆定理可证．所以∠AP′C=150°,而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决． 请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题：如图3,在正方形ABCD 内有一点P,且PA=5,BP=2,PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长． 思路分析首先仔细阅读材料,问题中小明的做法总结起来就是通过旋转固定的角度将已知条件放在同一个组图形中进行研究;旋转60度以后BP 就成了BP`,PC 成了P`A,借助等量关系BP`=PP`,于是△APP`就可以计算了.至于说为什么是60°,则完全是因为大图形是等边三角形,需要用60度去构造另一个等边三角形;看完这个,再看所求的问题,几乎是一个一模一样的问题,只不过大图形由三角形变成了正方形;那么根据题中所给的思路,很自然就会想到将△BPC 旋转90度看看行不行;旋转90度之后,成功将PC 挪了出来,于是很自然做AP`延长线,构造出一个直角三角形来,于是问题得解;说实话如果完全不看材料,在正方形内做辅助线,当成一道普通的线段角计算问题也是可以算的;但是借助材料中已经给出的旋转方法做这道题会非常简单快捷;大家可以从本题中体会一下领会材料分析方法的重要性 图3 图1 图2
初中数学培优暨强基计划专题讲座16：初等数论解题方法导引讲座
初中数学培优暨强基计划专题讲座—— 第十六讲 初等数论解题方法导引 方法导引 专题1 数的表示 1、若k 个连续正整数之和为2010，则k 的最大值是 ． 解：设(1) 2010(1)(2)()2 k k n n n k kn +=++++ ++=+ ，则(21)4020k n k ++=， 注意21k n k <++，而2 402023567=⨯⨯⨯，为使k 值最大，当把4020表成最接近的一对因数之积，为40206067=⨯，所以60k =． 2、正整数n 满足以下条件：任意n 个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n 。 解：由于2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43这14个合数都小于2009且两两互质，因此n ≥15。 而n =15时，我们取15个不超过2009的互质合数1215,, ,a a a 的最小素因子1215,,,p p p ，则 必有一个素数≥47，不失一般性设1547p ≥，由于15p 是合数15a 的最小素因子，因此 21515472009a p ≥≥>，矛盾。因此，任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素 数。综上所述，n 最小是15。 3、若两个实数a,b,使得,2 a b +与2 a b +都是有理数，称数对(a,b )是和谐的。 ①试找出一对无理数，使得(a ，b )是和谐的； ②证明：若(a ，b )是和谐的，且a +b 是不等于1的有理数，则a ,b 都是有理数； ③证明：若(a ，b )是和谐的，且 a b 是有理数，则a ,b 都是有理数； 解：①不难验证11 (,),22 a b =是和谐的。 ②由已知2 2 ()()()(1)t a b a b a b a b =+-+=-+-是有理数，a b s +=是有理数，因此 1 t a b a b -= +-，解得121t a s s ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是有理数，当然b =s −a 也是有理数。
初中数学讲课课题
初中数学讲课课题 (九年级上册人教版) 1.21.1：一元二次方程 2.21.2：解一元二次方程 3.22.1：二次函数的图像和性质 4.22.2：二次函数与一元二次方程 5.23.1：图形的旋转 6.23.2：中心对称 7.24.1：圆的有关性质 8.24.4：弧长的扇形面积 初中化学讲课课题 (九年级上册人教版) 1.空气 2.氧气
3.分子和原子 4.原子的结构 5.元素 6.化学式与化学价 7.燃烧和灭火 8.二氧化碳制取的研究 初中生物讲课课题 (八年级上册北京师范大学出版社) 1.动物运动的方式 2.动物运动的形成 3.动物行为的主要类型 4.动物行为的研究 5.动物在生物圈中的作用 6.微生物在生物圈中的作用
7.微生物与人类的关系 8.遗传与环境 初中美术讲课课题 (八年级下册河北美术出版社) 1.中国古代绘画巡礼 2.汉字的艺术魅力 3.绘画的构图 4.戏曲美术 5.食品造型 6.工业设计 7.服饰色彩艺术 8.庭院设计练习 初中体育与健康讲课课题
(八年级全一册人教版) 1.体育与健康理论知识---科学发展体能 2.田径 3.足球 4.篮球 5.排球 6.乒乓球 7.体操 8.健美操 初中物理讲课课题 (九年级全一册人教版) 1.分子热运动 2.内能 3.电流和电路
4.电压 5.欧姆定律 6.欧姆定律在串、并联电路中的应用 7.电能电功 8.磁现象磁场 初中音乐（简谱）讲课课题(八年级下册人民音乐出版社和河南文艺出版社) 1.演唱（我和你） 2.欣赏（我和你） 3.演唱（摇篮曲） 4.欣赏（G大调弦乐小夜曲） 5.演唱（唱脸谱） 6.欣赏（山丹丹开花红艳艳） 7.演唱（樱花）
数学竞赛专题讲座七年级第9讲_绝对值与一元一次方程(含答案)
绝对值与一元一次方程 知识纵横 绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中很多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程. 解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧. 解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法. 例题求解 【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题) 思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解. 解:x=11 提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论. 【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ). A.5 B.4 C.3 D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径. 解:选B 提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数. 【例3】解方程: │x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题) 思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程. 解:x=-5 4 或x= 3 2 提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4 【例4】解下列方程: (1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段实行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解. 解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;
七年级数学培优竞赛讲座第10讲--列方程解应用题——有趣的行程问题
第十讲 列方程解应用题——有趣的行程问题 数学是一门具有广泛应用性的科学，我国著名数学家华罗庚先生曾说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”． 数学应用题的类型很多，比较简单的是方程应用题，又以一元一次方程应用题最为基础，方程应用题种类繁多，以行程问题最为有趣而又多变． 行程问题的三要素是：距离(s)、速度(v)、时间(t)，行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等． 熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元、恰当借助直线图辅助分析是解行程问题的技巧． 例题 【例1】 某人乘船由A 地顺流而下到B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，若A 、C 两地的距离为10千米，则A 、B 两地的距离为 千米． (重庆市竞赛题) 思路点拨 等量关系明显，关键是考虑C 地所处的位置． 注： 列方程的方法为解应用题提供—般的解题步骤和规范的计算方法，使问题“化难为易”，充分显示了字母代数的优越性，它是算术方法解应用题在字母代数础上的发展． 【例2】 如图，某人沿着边长为90米的正方形，按A →B →C →D →A …方向，甲从A 以65米／分的速度，乙从B 以72米／分的速度行走，当乙第一次迫上甲时在正方形的( )． A ．A B 边上 B ．DA 边上 C ．BC 边上 D ．CD 边上 (安徽省竞赛题) 思路点拨:本例是一个特殊的环形的追及问题，注意甲实际在乙的前面3×90=270(米)处． 【例3】 父亲和儿子在100米的跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲能跑6 步，儿子跑?步的距离与父亲跑4步的距离相等．现在儿子站在100米的中点处，父亲站在 100米跑道的起点处同时开始跑．问父亲能否在100米的终点处超过儿子?并说明理由． (重庆市竞赛题) 思路点拨 把问题转化为追及问题，即比较父亲追上儿子时，儿子跑的路程与50的大小，为了理顺步长、路程的关系，需增设未知数，这是解题的关键． 【例4】 钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分? (湖北省数学竞赛选拔赛试题) 思路点拨 先画钟表示意图，运用秒针分别与时针、分针所成的角相等建立等量关系，关键是要熟悉与钟表相关的知识． 注： 明确要求将数学开放性问题作为考试的试题，是近一二年的事情，开放题是相对于常规的封闭题而言，封闭题往往条件充分，结论确定，而开放题常常是条件不充分或结论不确定，思维多向． 解钟表上的行程问题，常用到以下知识： (1)钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如与角度联系起来，每一小格对应6°； (2)分针走一周，时针走12 1周，即分针的速度是时针速度的12倍． 【例5】 七年级93个同学在4位老师的带领下准备到离学校32千米处的某地进行社会调查，可是只有一辆能坐25人的汽车．为了让大家尽快地到达目的地，决定采用步行与乘车相结合的办法。如果你是这次行动的总指挥，你将怎样安排他们乘车，才能使全体师生花最短的时间到达目的地?最短的时间是多少?(师生步行的速度是5千米／时，汽车的速度是55千米／时，上、下车时间不计．) 思路点拨 人和车同时出发，由车往返接运，如能做到人车同时到达目的地，则时间最短，而实现同时到达目的地的关键在于平等地享用交通工具，这样，各组乘车的路程一样，步行的路程也就一样． 学力训练
(完整版)七年级上专题讲座有理数及其运算绝对值篇
第二讲 有理数及其运算② ——再探绝对值 绝对值，不仅仅是有理数中的一个重要的概念，也是初中数学中一个异常活跃且举足轻重的元素。它不但描述了有理数与数轴的密切联系，而且是有理数运算的基本工具，可以说深刻理解了绝对值概念，是学好初中数学的第一个关品。 一 知识点精讲 1、定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作：| a |。 2、去绝对值符号的法则。 000 0a a a a a a >⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪<⎝⎭- 00a a a a a ≥⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪≤⎝⎭ - 3、性质：| a | ≥0，即数a 的绝对值具有非负性。 4、技能构建。 （1）数轴上，右边的数比左边的数大，如图 a －b<0， b －a>0，a ＋b<0 （2）多项式的相反数，用去括号法则理解为：括号前是负号，把括号和负号一起去掉，括号内每项都要变号,也可以直接理解为每项都变号。 如a －b 的相反数是：－（a －b ）=－a ＋b （3）|a －b|表示数a 到数b 的两点间的距离。 （4）若|a|=b ，且b ≥0，则有a ＝±b （5）|ab|＝|a|·|b| a a b b =（b ≠0） |a| 2 ＝|a 2 |＝a 2 （6）充分利用“数轴”这个工具来进行“数形结合”的思考，这是一种很重要的数学方法，本专题也要用到“分类讨论思想”。它必须遵循两条原则：①每一次分类要按照同一标准进行；②不重复，不遗漏。 二 典型例题讲解及思维拓展： 例1：已知，|a|＝1，|b|＝2，则a ＋b 的值是_________。 例2：a 是任意有理数，则|－a|－a 的值是等于___________。 例3：如图，化简|a|－|a ＋b|＋|c －a|－|a －|a| |
整体代入法巧解数学难题-非常实用(可直接使用)
初中数学思想方法专题讲座——整体思想解题策略 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想 【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则24 6 3x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 相应练习： 1. 若代数式2 425x x -+的值为7，那么代数式2 21x x -+的值等于（ ）． A ．2 B ．3 C ．－2 D ．4 2.若3a 2-a-2=0,则 5+2a-6a 2= 3.先化简，再求值22 2142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足a 2－2a －1=0． 总结：此类题是灵活运用数学方法解题技巧求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解。 【例2】.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值等于（ ） A.6 B.6- C. 125 D.2 7 - 分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出 11 a b -的形式，再整体代入求解． 【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值． 总结：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 【例4】逐步降次代入求值：已知m 2-m -1=0，求代数式m 3-2m +2005的值． 相应练习：1、已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32 259m m m +--的值. 2、已知m 是方程2 310x x -+=的根，求代数式10214+-m m 的值. 总结：此类题目通常为初中阶段很少接触到得三次方程甚至更高次的方程，那么用初中阶段的知识直接解题时肯定行不通的，所以这个时候我们就要考虑如何降次的问题。通常来讲技巧性还是蛮强的。
贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座应用题
应用题培优 在本讲中将介绍各类应用题的解法与技巧． 当今数学已经渗入到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点． 应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分体会到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心． 解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型．其求解程序如下： 在初中范围内常见的数学模型有：数式模型、方程模型、不等式模型、函数模型、平面几何模型、图表模型等． 例题求解 一、用数式模型解决应用题 数与式是最基本的数学语言，由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性，因而成为描述和表达数学问题的重要方法． 【例1】(2003年安徽中考题)某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变。有关数据如下表所示：
（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平。问风景区是怎样计算的？ （2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%。问游客是怎样计算的？ （3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？ 思路点拨 （1）风景区是这样计算的： 调整前的平均价格：()元165 2520151010=++++，设整后的平均价格： ()元165 30 251555=++++ ∵调整前后的平均价格不变，平均日人数不变． ∴平均日总收入持平． （2）游客是这样计算的： 原平均日总收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元） 现平均日总收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元） ∴平均日总收入增加了 %4.9160 160 175≈- （3）游客的说法较能反映整体实际． 二、用方程模型解应用题 研究和解决生产实际和现实生恬中有关问题常常要用到方程<组)的知识，它可以帮助人们从数量关系和相等关系的角度去认识和理解现实世界． 【例2】 (重庆中考题)某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2min 内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4mln 内可以通过800名学生． (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? (2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20％．安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5min 内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门整否符合安全规定?请说明理由． 思路点拨 列方程(组)的关键是找到题中等量关系：两种测试中通过的学生数量．设未知数时一般问什么设什么．“符合安全规定”之义为最大通过量不小于学生总数．