2021 年中考数学一轮课时作业12 二次函数的图象及性质

课时作业12二次函数的图象及性质

基础夯实

1.(2020·广东深圳)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是()

A.abc>0

B.4ac-b2<0

C.3a+c>0

D.ax2+bx+c=n+1无实数根

2.(2020·贵州安顺)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于x的方程

ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3.则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0

A.-2或0

B.-4或2

C.-5或3

D.-6或4

3.(2020·四川泸州)已知二次函数y=x2-2bx+2b2-4c(其中x是自变量)的图象经过不同的两点A(1-

b,m),B(2b+c,m),且该二次函数的图象与x轴有公共点,则b+c的值为()

A.-1

B.2

C.3

D.4

4.(2020·浙江温州)已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则()

A.y3

B.y3

C.y2

D.y1

5.(2020·浙江杭州)在平面直角坐标系中,已知函数y1=x2+ax+1,y2=x2+bx+2,y3=x2+cx+4,其中a,b,c是正实数,且满足b2=ac.设函数y1,y2,y3的图象与x轴的交点个数分别为M1,M2,M3,下列说法中正确的是()

A.若M1=2,M2=2,则M3=0

B.若M1=1,M2=0,则M3=0

C.若M1=0,M2=2,则M3=0

D.若M1=0,M2=0,则M3=0

6.(2020·黑龙江牡丹江、鸡西)将抛物线y=(x-1)2-5关于y轴对称,再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是.

7.(2020·浙江温州) 已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1,-2),(-2,13).

(1)求a,b的值;

(2)若(5,y1),(m,y2)是抛物线上不同的两点,且y2=12-y1,求m的值.

8.

,与x轴交于另一点(2020·黑龙江牡丹江、鸡西)已知抛物线y=a(x-2)2+c经过点A(-2,0)和点C0,9

4

B,顶点为D.

(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D的坐标;

(2)如图,点E,F分别在线段AB,BD上(点E不与点A,B重合),且∠DEF=∠DAB,DE=EF,求线段BE的长.

基础夯实

9.(2020·湖南衡阳)在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(-1,0),(2,0).

(1)求这个二次函数的表达式;

(2)求当-2≤x≤1时,y的最大值与最小值的差;

(3)一次函数y=(2-m)x+2-m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b,且

a<3

10.(2020·黑龙江鹤岗)

如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(3,0) ,与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)抛物线上是否存在点P,使∠PAB=∠ABC,若存在请写出点P的坐标.若不存在,请说明理由.

11.(2020·湖南湘潭)如图,抛物线y=-x2+bx+5与x轴交于A,B两点.

备用图

(1)若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴.

①求抛物线的解析式;

②对称轴上是否存在一点P,使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上.若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.

(2)当b≥4,0≤x≤2时,函数值y的最大值满足3≤y≤15,求b的取值范围.

12.(2020·北京)在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点,其中x1

(1)若抛物线的对称轴为直线x=1,当x1,x2为何值时,y1=y2=c?

(2)设抛物线的对称轴为直线x=t.若对于x1+x2>3,都有y1

13.

(2020·甘肃武威)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-2交x轴于A,B两点,交y轴于点C,且OA=2OC=8OB,点P是第三象限内抛物线上的一动点.

(1)求此抛物线的表达式;

(2)若PC∥AB,求点P的坐标;

(3)连接AC,求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标.

14.

(2020·陕西)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(3,12)和(-2,-3),与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的对称轴为直线l.

(1)求该抛物线的表达式;

(2)P是该抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点.要使以P,D,E为顶点的三角形与△AOC全等,求满足条件的点P,点E的坐标.

参考答案

课时作业12二次函数的图象及性质

1.B解析由图象可知二次函数对称轴为x=-1,则根据对称性可得函数与x轴的另一交点坐标为(1,0),代入解析式y=ax2+bx+c可得b=2a,c=-3a,其中a<0,∴b<0,c>0,3a+c=0,abc>0;二次函数与x轴有两个交点,∴Δ=b2-4ac>0,故B项错误;D项可理解为二次函数与直线y=n+1无交点,显然成立.综上,此题选B.

2.B解析二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,即方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1.ax2+bx+c+m=0可以看成二次函数y的图象沿着y轴向上平移m个单位长度,得到一个根3,由于二次函数对称轴不变,可得另一个根为-5.由于0

3.C 解析 ∵二次函数y=x 2-2bx+2b 2-4c 的图象经过点A (1-b ,m ),B (2b+c ,m ), ∴对称轴x=

1-b+2b+c

2

,即x=

1+b+c

2

.∵对称轴x=b ,∴

1+b+c

2

=b ,化简得c=b-1.

∵该二次函数的图象与x 轴有公共点,∴Δ=(-2b )2-4×(2b 2-4c )=-4b 2+16c=-4b 2+16(b-1)=-4(b-2)2≥0,∴b=2,c=1,∴b+c=3,故选C .

4.B 解析 抛物线y=-3x 2-12x+m 的对称轴为x=12

2×(-3)=-2. ∵-3<0,∴当x<-2时,y 随x 的增大而增大, 当x>-2时,y 随x 的增大而减小.

又∵(-3,y 1)比(1,y 3)距离对称轴较近,

∴y 3

理由:∵M 1=1,M 2=0,∴a 2-4=0,b 2-8<0. ∵a ,b ,c 是正实数,∴a=2.

∵b 2=ac ,∴c=1

b 2.对于y 3=x 2+cx+4,

则有Δ=c 2-16=1

4b 4-16=1

4(b 4-64)=1

4(b 2+8)(b 2-8)<0, ∴M 3=0,∴选项B 正确.

6.(2,-5) 解析 ∵抛物线y=(x-1)2-5的顶点为(1,-5),

∴关于y 轴对称的坐标为(-1,-5),再向右平移3个单位长度后的坐标为(2,-5). 7.解 (1)∵抛物线y=ax 2+bx+1经过点(1,-2),(-2,13), ∴{-2=a +b +1,

13=4a -2b +1,解得{a =1,b =-4,

∴a 的值为1,b 的值为-4.

(2)∵(5,y 1),(m ,y 2)是抛物线上不同的两点,

∴{25-20+1=y 1,m 2-4m +1=y 2,y 2=12-y 1,

解得{y 1=6,

m =-1,y 2=6或{y 1=6,m =5,y 2=6,(舍去),∴m 的值为-1.

8.解 (1)将点

A (-2,0),C (0,9

4)代入 y = a (x - 2)2 + c ,得{

16a +c =0,

4a

+c =94,解得{a =-316,c =3.

∴抛物线的解析式为y=-316

(x-2)2+3 . ∴顶点D 的坐标为(2,3).

(2)∵A ,B 两点为抛物线与x 轴两交点,D 为坐标顶点, ∴DA=DB ,故∠DAB=∠DBA. ∵DE=EF ,∴∠EDF=∠EFD.

∵∠EFD=∠FEB+∠EBD ,∠DEF=∠DAB , ∴∠EDF=∠FEB+∠DEF , ∴∠BDE=∠BED ,∴BD=BE. ∵A (-2,0),D (2,3),

∴利用对称性可得B (6,0), ∴BD=√32+42=5.∴BE=5.

9.解 (1)∵y=x 2+px+q 的图象过点(-1,0),(2,0), ∴{1-p +q =0,4+2p +q =0,解得{p =-1,

q =-2,

∴y=x 2-x-2. (2)由(1)得,二次函数对称轴为x=1

2

. ∴当-2≤x ≤1时,y 的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,

y 的最小值为(12

)

2

?12-2=-94

,

∴y 的最大值与最小值的差为

4-(-94

)

=

254

. (3)由题意及(1)得{

y =(2-m )x +2-m ,

y =x 2-x -2,

整理得x 2-(3-m )x-(4-m )=0,即(x+1)[x-(4-m )]=0.

∵一次函数y=(2-m )x+2-m 的图象与二次函数y=x 2+px+q 的图象交点的横坐标分别是a 和b ,∴Δ=(3-m )2+4(4-m )>0,化简得m 2-10m+25>0, 即(m-5)2>0,解得m ≠5.

∴a ,b 为方程(x+1)[x-(4-m )]=0的两个解. 又∵a<33,∴m<1.

综上,m 的取值范围为m<1. 10.解 (1)根据题意得{

-1-b +c =0,-9+3b +c =0,解得{b =2,

c =3.

故抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3.

(2)二次函数y=-x 2+2x+3的对称轴是x=(-1+3)÷2=1.当x=0时,y=3, 则C (0,3),点C 关于对称轴的对称点P 1(2,3).

设直线BC 的解析式为y=kx+3,则3k+3=0,解得k=-1, 则直线BC 的解析式为y=-x+3.

设与BC 平行的直线AP 2的解析式为y=-x+m ,则1+m=0,解得m=-1. 则与BC 平行的直线AP 2的解析式为y=-x-1.

联立抛物线解析式得{y =-x -1,

y =-x 2+2x +3,

解得{

x 1=4,

y 1=-5,

{x 2

=-1,

y 2=0.(舍去) ∴P 2(4,-5).

综上,点P 的坐标为(2,3)或(4,-5).

11.解 (1)① 抛物线y=-x 2+bx+5的对称轴为直线x=-b 2×(-1)

=b 2

,

∴若过点C 的直线x=2是抛物线的对称轴, 则b

2=2,解得b=4, ∴y=-x 2+4x+5.

②存在,如图,若点P 在x 轴上方,点B 关于OP 对称的点B'在对称轴上,连接OB',PB ,

则OB'=OB ,PB'=PB.,对于y=-x 2+4x+5,令y=0,则-x 2+4x+5=0. 解得x 1=-1,x 2=5,∴A (-1,0),B (5,0), ∴OB'=OB=5,

∴CB'=√OB '2-OC 2=√25-4=√21, ∴B'(2,√21).设点P (2,m ),

由PB'=PB 可得√21-m=√m 2+(5-2)2,解得m=

2√21

7

,

∴P (2,

2√21

7

).同理,当点P 在x 轴下方时,P (2,-

2√21

7

). 综上,点P 的坐标为(2,

2√217)或(2,-2√21

7

). (2)∵抛物线y=-x 2+bx+5的对称轴为直线 x=-b

2×(-1)=b

2,

∴当b ≥4时,x=b

2

≥2.

∵抛物线开口向下,在对称轴左边,y 随x 的增大而增大, ∴当0≤x ≤2时,取x=2,y 有最大值, 即y=-4+2b+5=2b+1. ∴3≤2b+1≤15,解得1≤b ≤7, 又∵b ≥4,∴4≤b ≤7. 12.解 (1)当x=0时,y=c , 即抛物线必过(0,c ),

∵y 1=y 2=c ,抛物线的对称轴为直线x=1, ∴点M ,N 关于直线x=1对称,又∵x 1

(2)由题意知,a>0,抛物线开口向上. ∵抛物线的对称轴为x=t ,x 1

情况2:当x 1,x 2都位于对称轴左侧时, 即x 1

情况3:当x1,x2位于对称轴两侧时,

即当x1t时,要使y1

解得x1+x2>2t,∴3≥2t,∴t≤3

2

.

综上,t≤3

2

.

13.解 (1)在抛物线y=ax2+bx-2中,令x=0,则y=-2,

∴点C的坐标为(0,-2),∴OC=2.

∵OA=2OC=8OB,∴OA=4,OB=1

2

.

∴点A为(-4,0),点B为(1

2

,0).

把点A,B代入解析式,得

{16a-4b-2=0,

1

4

a+1

2

b-2=0,解得{

a=1,

b=7

2

,

∴y=x2+7

2

x-2.

(2)由题意,∵PC∥AB,点C为(0,-2), ∴点P的纵坐标为-2.

令y=-2,则x2+7

2

x-2=-2,

解得x1=-7

2

,x2=0(舍去),

∴点P的坐标为(-7

2

,-2).

(3)设直线AC的解析式为y=mx+n,则把点A,C代入,得

{

-4m +n =0,n =-2,解得{m =-1

2,

n =-2,, ∴直线AC 的解析式为y=-1

2

x-2.

过点P 作PD ∥y 轴,交AC 于点D ,如图: 设点P 为(x ,x 2+7

2x -2),则点D 为(x ,-1

2x -2), ∴PD=-1

2x-2-(x 2+72x -2)=-x 2-4x. ∵OA=4,

∴S △APC =1

2PD ·OA=1

2×(-x 2-4x )×4= -2x 2-8x.

∴S △APC =-2(x+2)2+8,

∴当x=-2时,S △APC 取最大值8. ∴x 2+7

2x-2=(-2)2+7

2×(-2)-2=-5, ∴点P 的坐标为(-2,-5).

14.解 (1)将点(3,12)和(-2,-3)代入抛物线表达式得{12=9+3b +c ,-3=4-2b +c ,解得{b =2,

c =-3,

故抛物线的表达式为y=x 2+2x-3. (2)抛物线的对称轴为x=-1,令y=0, 则x=-3或1,令x=0,则y=-3.

故点A,B的坐标分别为(-3,0),(1,0);点C(0,-3),故OA=OC=3.

∵∠PDE=∠AOC=90 °,

∴当PD=DE=3时,以P,D,E为顶点的三角形与△AOC全等.

设点P(m,n),当点P在抛物线对称轴右侧时,m-(-1)=3,解得m=2,

故n=22+2×2-5=5,故点P(2,5),

故点E(-1,2)或(-1,8);

当点P在抛物线对称轴的左侧时,由抛物线的对称性可得,点P(-4,5),此时点E坐标同上.综上,点P的坐标为(2,5)或(-4,5);点E的坐标为(-1,2)或(-1,8).