数学人教版九年级上册二次函数第一课时作业
22.1 二次函数的图像和性质22.1.1二次函数（第1课时）
教学过程设计
二次函数y=ax2的图象性质（第2课时）
22.1.2
教学过程设计
2
y=
x
2
=
y-
x
．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?
；y>y；X
22.1.3 二次函数 （第3课时）
教学过程设计
k的图象与性质ax y 2+
=
22.1.1二次函数 （第4课时）
的图象与性质h)-a(x y 2
=
教学过程设计
问题4：你可以由函数y＝1/2x2的性质，得到函数y＝
的性质吗?
教学要点
1.教师引导学生回顾二次函数y＝1/2x2的性质，并观察二次函数y＝1/2(x－2)2的图象；
22.1.3二次函数 （第5课时）
k的图象与性质
h)-a(x y 2+=
教学过程设计
22.1.4 二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象性质
（第6课时）
2021-2022学年-有答案-广东省九年级上册人教版数学二次函数第课时作业本
广东省九年级上册人教版数学二次函数第8、9、10、11、12、 13、14课时作业本 1. 二次函数y=x2−2x−2的图象与x轴的交点个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 2. 抛物线y=x2−2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围为( ) A.m>1 B.m=1 C.m<1 D.m<4 3. 对于二次函数y＝−x2+2x−4，下列说法正确的是（） A.图象开口向上 B.对称轴是x＝2 C.当x>1时，y随x的增大而减小 D.图象与x轴有两个交点 4. 函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是( ) A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0 5. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，顶点坐标为(1, 4)，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一个负根是（） A.−1 B.−2 C.1 D.3 6. 二次函数y=(x+1)2−2的最小值是() A.−2 B.−1 C.1 D.2 7. 开口向下的抛物线的顶点P的坐标是(1, −3)，则此抛物线对应的二次函数 有() A.最大值1 B.最小值−1 C.最大值−3 D.最小值3 8. 二次函数y=(x−1)2+2的最小值与顶点坐标分别是（） A.−2，(1, −2) B.2，(1, 2) C.−1，(1, 2) D.1，(−1, 2) 9. 二次函数y=−3x2−6x+5的最大值为（） A.8 B.−8 C.2 D.−4
10. 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（） A.y=2a(x−1) B.y=2a(1−x) C.y=a(1−x2) D.y=a(1−x)2 11. 喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数解析式为() A.y=−10x2+100x+2000 B.y=10x2+100x+2000 C.y=−10x2+200x D.y=−10x2−100x+2000 12. 某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系是y= −2x2+60x+800,则利润获得最多为() A.15元 B.400元 C.800元 D.1250元 13. 已知某种礼炮的升空高度ℎ(m)与飞行时间t(s)的关系式是ℎ=−(t−4)2+20．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（） A.3s B.4s C.5s D.6s 14. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间（单位：s）的函数解析式是 t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是（） y=60t−3 2 A.10s B.20s C.30s D.10s或30s 15. 如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（） A.y=x+1 B.y=x−1 C.y=x2−x+1 D.y=x2−x−1 16. 下列函数中，y关于x的二次函数是（） A.y=2x+1 B.y=2x(x+1) D.y=(x−2)2−x2 C.y=2 x2 17. 已知抛物线y=ax2(a>0)过A(−2, y1)、B(1, y2)两点，则下列关系式一定正确的
数学人教版九年级上册二次函数(第一课时)课后作业
B A C D x 二次函数（第1课） 班级 姓名 学号 一、填空题： 1.下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2，是二次函数的是 (其中x 、t 为自变量). 2.有一长方形纸片，长、宽分别为8 c m 和6 c m ，现在长宽上分别剪去宽为x c m (x <6)的纸条(如图1)，则剩余部分(图中阴影部分)的面积y =__ ____，其中_____是自变量，_____是_____的 函数. 图2 3.如图2所示,有一根长60c m 的铁丝,用它围成一个矩形,写出矩形面积S (c m 2)与它的一边长x (c m)之间的函数关系式____ ________，x 的取值范围是 ． 4.二次函数2(3)y x x =-的二次项系数，一次项系数和常数项分别是 、 、 ． 5.在R t ⊿ABC 中，∠C =90°,BC =a ,AC =b ,a +b =16,则R t ⊿ABC 的面积s 与边长a 的关系式是__________________；当a =8时，s =_______；当s =24时，a =________． 6.当k=__ ___时，27(3)k y k x -=+是二次函数． 7.等边三角形的边长为x ，面积为s ，则s 与x 的函数关系式为_______________． 8.已知s 与2t 成正比例，且t=3时，s =4，则s 与t 的函数关系式为_______________． 9.某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为 ． 10.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，那么比赛总场数y 与参赛球队数x 之间的函数关系式为 ． 二、选择题： 11.函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是 （ ） A .a ≠0，b ≠0，c ≠0 B .a <0，b ≠0，c ≠0 C .a >0，b ≠0，c ≠0 D .a ≠0 12.如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，设CD 的长为x ，四边形 ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是 A ．2225y x = B ．2425y x = C ． 245y x = D ．225y x = (第12题) A B C D
人教版 九年级上册数学 22.1 二次函数的图象和性质 课时训练(含答案)
人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性 质课时训练 一、选择题 1. 二次函数y＝－x2＋1的图象与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C.下列说法中，错误 ．．的是() A．△ABC是等腰三角形B．点C的坐标是(0，1) C．AB的长为2 D．y随x的增大而减小 2. （2020·宿迁）将二次函数y＝(x－1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是（） A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x－1)2＋2 C．y＝(x－1)2－1 D．y＝(x－1)2＋5 3. 如图所示，根据图象提供的信息，下列结论正确的是() A．a1>a2>a3>a4 B．a1
是( ) A. 抛物线开口向下 B. 抛物线经过点(2，3) C. 抛物线的对称轴是直线x ＝1 D. 抛物线与x 轴有两个交点 7. 已知二次函数y ＝(x －h )2＋1(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( ) A ．1或－5 B ．－1或5 C ．1或－3 D ．1或3 8. 二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象可能是 ( ) 二、填空题 9. 抛物线y ＝－8x 2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x ＞0时，y 随x 的增大而________，当x ＜0时，y 随x 的增大而________． 10. 若二次函数y ＝2x 2＋bx ＋3的图象的对称轴是直线x ＝1，则常数b 的值为________． 11. 二次函数y ＝－2x 2－4x ＋5的最大值是________． 12. 顶点坐标是(2，0)，且与抛物线y ＝－3x 2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为________． 13. (2019?天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，N a b =-．则M 、N 的大小关系为M __________N ．(填“>”、“=”或“<”) 14. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数)的顶点为P ，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m ，
2020年人教版九年级数学上册22.2《二次函数与一元二次方程》课时作业(含答案)
第5页 共5页 2020年人教版九年级数学上册 22.2《二次函数与一元二次方程》课时作业 1. 已知二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的部分图象如图所示,若y<0,则x 的取值范围是( ) A. -1
九年级数学上册第一章二次函数1.4二次函数的应用第1课时利用二次函数解决面积或容积最大问题随堂练习(含解
1.4__二次函数的应用__ 第1课时 利用二次函数解决面积或容积最大问题 1．已知一矩形的周长为180 cm ，则它的最大面积为( A ) A ．2 025 cm 2 B ．1 800 cm 2 C ．1 400 cm 2 D ．2 000 cm 2 2．如图1－4－1，假设篱笆(虚线部分)的长度是16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( C ) 图1－4－1 A ．60 m 2 B ．63 m 2 C ．64 m 2 D ．66 m 2 【解析】 设BC 为x (m)，则AB 为(16－x )m ，矩形ABCD 面积为y (m)2 .由题意， 得y ＝()16－x x ＝－x 2 ＋16x ＝－()x －82 ＋64， 当x ＝8 m 时，y 有最大值为64 m 2 ， 则所围成矩形ABCD 的最大面积是64 m 2 .故选C. 3．[2016·衢州]某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图1－4－2)，已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为__144__m 2 . 图1－4－2 4．某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图1－4－3所示的长方体水池，用于培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高为1.5 m ，长为18 m 的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为x (m)，即AD ＝EF ＝BC ＝x (m)(不考虑墙的厚度)．
图1－4－3 (1)求水池的总容积V 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围； (2)若想使水池的总容积V 最大，x 应为多少？最大容积是多少？ 解：(1)∵AD ＝EF ＝BC ＝x m ， ∴AB ＝(18－3x )m ， ∴水池的总容积V 与x 的函数关系式为V ＝1.5x (18－3x )＝－4.5x 2 ＋27x ，x 的取值范围是0 广东省九年级上册人教版数学二次函数第1课时作业本 1. 下列函数属于二次函数的是（） B.y=(x−3)2−x2 A.y=x−1 x −x D.y=2(x+1)2−1 C.y=1 x2 2. 下列二次函数中，二次项系数是−3的是（） A.y＝3x2−2x+5 B.y＝x2−3x+2 C.y＝−3x2−x D.y＝x2−3 3. 已知y=(m+2)x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（） A.−2 B.2 C.±2 D.0 ④y＝−2x2+5，其中是二次 4. 给出下列函数：①y＝3x+1②y＝4x2−3x；③y=1 x 函数的有（） A.①② B.②④ C.②③ D.①④ 5. 若x为自变量，则表达式不是二次函数的是（） x+1 A.y＝2x2−1 B.y＝1 2 x2 D.y＝−x2+2x−1 C.y＝1−1 3 已知函数y＝(m−2)x2−3x+1，当m满足________时，该函数是二次函数． 对于二次函数y=1−√2x2，二次项是________，一次项是________，常数项是 ________. 已知y=(m−4)x m2−m+2x2−3x−1是关于x的函数 （1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数； （2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数． 参考答案与试题解析 广东省九年级上册人教版数学二次函数第1课时作业本 1. 【答案】 D 【考点】 二次函数的定义 【解析】 整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可． 【解答】 A 、不是整式，不符合题意； B 、化简为y =6x +9，是一次函数，不符合题意； C 、不是整式，不符合题意； D 、y =2(x +1)2−1是二次函数，符合题意； 故答案为：D ． 2. 【答案】 C 【考点】 二次函数的三种形式 二次函数的定义 【解析】 根据二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答即可． 【解答】 解：A ．y =3x 2−2x +5二次项系数是3，不合题意； B ．y =x 2−3x +2二次项系数是1，不合题意； C ．y =−3x 2−x 二次项系数是−3，符合题意； D ．y =x 2−3二次项系数是1，不合题意； 故选：C ． 3. 【答案】 B 【考点】 二次函数的定义 【解析】 试题解析：∵ y =(m +2)|n|+2是关于》的二次函数{m +2≠0||n|=2, 解得：m =2 故选B ． 【解答】 B 4. 22.3 实际问题与二次函数 第 1 课时实际问题与二次函数 1.如图,用12 m 长的木方做一个有一条横档的矩形窗子,为使透进的光线最多,选择窗子的高AB(木方粗细忽略不计)为( ) A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m 2.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,其一年 中每月获得的利润y 和月份n 之间的函数关系式为y=-n2+14n-24,则该企业一年中应停产的月份是( ) A.1 月、2 月、3 月 B.2 月、3 月、4 月 C.1 月、2 月、12 月 D.1 月、11 月、12 月 3.某商场购进一批L 型服装(数量足够多),进价为40 元/件,以60 元/件销售,每天销售20 件.根据市场调研,若每件每降价1 元,则每天销售数量比原来多3 件.现商场决定对L 型服装开展降价促销活动,每件降价x 元(x 为正整数).在促销期间,商场要想每天获得最大销售毛利润,每件应降价元, 每天最大销售毛利润为元.(注:每件服装销售毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差) 4.如图,在边长为6 cm 的正方形ABCD 中,点E,F,G,H 分别从点A,B,C,D 同时出发,均以1 cm/s 的速度向点B,C,D,A 匀速运动,当点E 到达点B 时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为 s 时,四边形EFGH 的面积最小,其最小值是cm2. 5.某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围 墙的总长为50 m.设饲养室长为x(单位:m),占地面积为y(单位:m2). (1)如图1,问饲养室长x 为多少时,占地面积y 最大? (2)如图2,现要求在图中所示位置留2 m 宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大,小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m 就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确. 6.某果园有100 棵橙子树,平均每棵树结600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5 个橙子.假设果园多种x 棵橙子树. (1)直接写出平均每棵树结的橙子数y(单位:个)与x 之间的函数解析式. (2)果园多种多少棵橙子树时,可以使橙子的总产量最大?最大为多少个? 7.如图,在▱ABCD 中,AB=4,BC=3,∠BAD=120°,E 为BC 上一动点(不与B 重合),作EF⊥AB 于点F,FE,DC 的延长线交于点G,设BE=x,△DEF 的面积为S. (1)求用x 表示S 的函数解析式,并写出x 的取值范围. 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第1课时） 一、教学目标 【知识与技能】 1.能画出二次函数y=ax2+k的图象； 2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系； 3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质. 【过程与方法】 通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象,感受它们与y=2x2的联系,并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别. 【情感态度与价值观】 在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中,进一步增强学生的数形结合意识,体会通过探究获得知识的乐趣. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时,共3课时。 四、教学重难点 【教学重点】 1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系； 2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质. 【教学难点】 二次函数y=ax2+k的性质的基本应用. 五、课前准备 课件、三角尺、铅笔等 六、教学过程 （一）导入新课 这个函数的图象是如何画出来呢？（出示课件2） （二）探索新知 探究一二次函数y=ax2+k图象的画法 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2 ,y=x2+1,y=x2-1的图象.（出示课件4）学生自主操作,画图,教师加以巡视,纠正画图过程中可能出现的失误,并引导他们进行分析,发现规律,获得感性认识. 1.列表: 2.描点,连线:（出示课件5） 教师问:抛物线y=x2、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？（出示课件6） 学生独立思考并整理. 出示课件7:例在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2+1,y=2x2-1的图象. 学生自主操作,画图,教师加以巡视. 解:先列表: 《实际问题与二次函数（第1课时）》同步练习 一．选择题 1．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（） A．3s B．4s C．5s D．10s 2．（2017•临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线； ③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第8秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？（） A．第11秒B．第10秒C．第9秒D．第8秒 4．（2017•江北区模拟）如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得（） A．比开始高0.8m B．比开始高0.4m C．比开始低0.8m D．比开始低0.4m 5．（2017春•太和县校级月考）如图，一边靠墙（墙有足够长），其他三边用20米长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（）平方米． 2020年人教版九年级数学上册课时作业 二次函数函数的实际问题 一、选择题 1.已知一个直角三角形两直角边的和为10，设其中一条直角边为x，则直角三角形的面积y与x 之间的函数关系式是( ) =+5x=-x2+10x=+5x=x2+10x 2.在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该 物体所经过的路程为( ) 米米米米 3.国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元， 降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为( ) =36(1-x)=36(1+x)=18(1-x)2=18(1+x2) 4.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m,水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是（） =﹣2x2 =2x2 =﹣ = 5.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角 坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2＋4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 ( ) A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 6.如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE=DF．四边形AEGF 是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为（） =5﹣x =5﹣x2 =25﹣x =25﹣x2 7.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映,如果调整商品售价,每 降价1元，每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（） =60 =（60﹣x） =300（60﹣20x） =（60﹣x） 8.烟花厂为热烈庆祝“十一国庆”，特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与 飞行时间t(s)的关系式是h=+30t+1，礼炮点火升空后会在最高点处引爆，则这种礼炮能上升的最大高度为（） 米米米米 9.将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其 销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为（） 元元元或80元元 10.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业， 其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( ) 月月月月 二、填空题 11.长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm，则这样的长方形中y与x 的关系可以写为。 12.如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为米． 13.用一根长为32 cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm2. 14.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在CD边上留一个1m宽的门，若设AB为y（m），BC为x（m），则y与x之间的函数关系式为． 二次函数y=ax2图象和性质（第一课时）湖南湘西龙山县红岩溪镇初级中学向小君 学情分析：学生已经学习一次函数的图像和性质，但基础不够扎实，理解能力，运算能力，思维能力等方面都有所欠缺，学习积极性不高，只有少数人能基本能仿照画一次函数用描点法画二次函数的图像。 教学策略与设计： 1、探究引导策略：探讨式学习，教师启发引导。 2、自主合作探究式学习策略：互相讨论、交流、合作的课堂氛围。教学目标： 知识与技能 1．学生经历操作、比较、分析、再操作等过程，8分钟内掌握用描点法画二次函数y=ax2的图象，并初步认识抛物线。 2．在正确画图的前题下，掌握形如y=ax2(a≠0)的抛物线的特征。 过程与方法 1．学生经历探索描点法画二次函数的图象，体会抛物线的特征，通过列表、描点的过程，体验数形结合的思想 2．教师用电脑现场画图，通过对比同一坐标系内多条函数图像，总结归纳抛物线y=ax2的性质。 情感、态度和价值观 1．动画演示投射篮球，让学体会抛物线名称来源于实际。 2．体会抛物线的对称美。 教学重点 2 22,2 1x y x y ==画二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象和性质的揭示。 教学难点 1、理解二次函数y=ax 2(a ≠0)的最高（或最低）点，最大（或最小）值等性质。 2、画图过程。 教学准备 教具：多媒体课件； 教学过程 一、提出问题 导入新课 回顾：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是什么呢？通常如何画函数的图象呢？今天我们共同来探讨一下二次函数y ＝ax 2（a>0）的图像和性质。（板书课题） 二、画图交流 初步感知 1、画一般函数图像的步骤是什么呢？ （列表、描点、连线） 2、师生共同画函数y=x 2的图像 （学生在坐标纸上画图，教师稍后用电脑操作） 3、电脑动态演示篮球投射过程并讲述相关概念（抛物线、顶点） 4、学生动脑思考，初步感知抛物线的特征：关于y 轴对称，开口方向，顶点以及增减性。 三、再探图象 明确性质 1、师生共同在直角坐标系内画函数图像。 用函数的观点看一元二次方程(第1课时) 【教学目标】 1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系． 2．使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题． 3．进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想． 【复习引入】 画出函数y＝x2－x－2的图象，根据图象回答下列问题． (1)图象与x轴交点的坐标是； (2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x2－x－2＝0有什么关系? 从“形”的方面看，函数y＝x2－x－2的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－2＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－2的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程的解． 答案：图象略，⑴（2，0），（－1，0）；⑵当x取2、－1时，y＝0；这里x的取值是方程x2－x－2＝0的两个根；x2－x－2＝0； 【要点呈现】 一．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的关系 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与轴的交点的坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．抛物线与x轴的交点的纵坐标为，所以在求抛物线与x轴交点的横坐标时，可令y＝，得到一元二次方程．若此方程的解为x1、x2，则x1、x2就是抛物线y＝ax2＋bx＋c与轴的交点的坐标，即两交点坐标为（），（）．反过来，如果知道抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），则对应一元二次方程的根为x1，x2． 答案：x，横，0，0，ax2＋bx＋c＝0（a≠0），x，横，（x1，0），（x2，0），ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况与二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点情况的关系．由于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标，所以方程根的情况就决定了抛物线与x轴的交点情况： 当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有个交点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴交点． 答案：2，1，没有． 例1 已知二次函数y＝x2＋(2m+1)x＋m2的图象与x轴有两个交点．＞ ⑴求m的取值范围；⑵当这两个交点的横坐标的平方和为7时，求m的值． 答案：⑴由题意，得(2m+1) 2－4m2＞0,∴m＞－1 4 ； ⑵设二次函数y＝x2＋(2m+1)x＋m2的图象与x轴有两个交点为（x1，0），（x2，0），∴x1+x2= －2m－1，x1x2= m2， 又∵x12+x22=7，∴（x1+x2）2－2 x1x2=7， ∴（－2m－1）2－2 m2=7， ∴m =－3，1， 又∵m＞－1 4 ，∴m =1． 【课堂操练】 1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c-3=0的根的情况是 ．答案：0，2． 2．抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴的一个交点为（-5，0），则它与x•轴的另一个交点的坐标为（）． 答案：（3，0）． 3．已知y＝ax2＋bx＋c（a≠0），不论x取何值y的值总是正数的条件是．答案：a＞0，b2－4ac＜0． 4．若抛物线y＝2x2－4x＋1与x轴的两交点分别是A(x1,0)，B(x2,0)，则x12＋x22＝，线段AB的长为． 答案：3． 5．已知抛物线的顶点坐标是(3,－2)，与x轴两交点之间的距离是4，求此抛物线的解析式．答案：∵抛物线的顶点坐标是(3,－2)，∴对称轴为直线x =3，∵与x轴两交点之间的距离是4，∴与x轴的两个交点为(5,0)，(1,0)，设设该抛物线的关系式为y=a（x－3）2－2，过(5,0)，∴0=a（5－3）2－2，∴a= 2 1 ，∴此抛物线的解析式为y= 2 1 （x－3）2－2． 6．已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3，其中m为实数． ⑴求证:不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点； ⑵设这个二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1、x2的倒数和为 2 3 ，求这个二次函数的解析式． 答案：（1）证明： 和这个二次函数对应的一元二次方程是x2－2（m－1）x＋m2－2m－3＝0 Δ＝4（m－1）2－4（m2－2m－3）＝4m2－8m＋4－4m2＋8m＋12＝16＞0． ∵方程x2－2（m－1）x＋m2－2m－3＝0必有两个不相等的实数根． ∴不论m取何值，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点． （2）由题意，可知x 1 、x 2 是方程x2－2（m－1）x＋m2－2m－3＝0的两个实数根， ∴x 1 ＋x 2 ＝2（m－1），x 1 ·x 2 ＝m2－2m－3． ∵ 3 2 1 1 2 1 = + x x ，即 3 2 2 1 2 1= ⋅ + x x x x ，∴ () 3 2 3 2 1 2 2 = - - - m m m （*） 解得m＝0或m＝5 经检验：m＝0，m＝5都是方程（*）的解 ∴所求二次函数的解析是y＝x2＋2x－3或y＝x2－8x＋12． 第二十六章二次函数 26.1 二次函数(一) 1.矩形周长是20cm,一边长是x㎝,面积是y㎝2,则y与x的函数关系式是,这个函数称作次函数. 2.下列函数y=0.5x-1,y=3x2,y=0.5x2-4x+1,y=x(x-2),y=(x-1)2-x2中,二次函数的个数为( ) (A)2个(B)3个(C)4个(D)5个 3.k取哪些值时,函数y=(k2-k)x2+kx+(k+1)是以x为自变量是一次函数?二次函数? 4.已知等腰直角三角形的斜边长为xcm,面积为ycm2,请写出y与x的函数关系式,并判断它是什么函数? 5.如图,正方形ABCD边长是4,E､F分别在BC､CD上,设ΔAEF面积是y,EC=x,如果 CE=CF,试求出y与x的函数关系及自变量取值范围,并判定y是x的什么函数? 6.已知二次函数y=ax2+c,当x=0时，y=-3;当x=1时，y=-1,求当x=-2时，y的值. 7.一块矩形耕地大小尺寸如下图,要在这块地上沿东西方向挖一条水渠, 沿南北方向挖两条水渠,水渠宽为xm,余下的可耕地面积为ym2, (1)请你写出y与x之间的函数关系式. (2)根据你写出的函数关系式,求出水渠宽为1m时,余下的可耕地面 积为多少? (3)若耕除去水渠剩余部分面积为4408m2,求此时水渠的宽度. 26.1二次函数(二) 1.已知函数y=ax2的图象过点(2,-4),则a=,对称轴是,顶点坐标是,抛物线的开口方向,抛物线的顶点是最点. 2.下列关于函数y=-0.5x2的图象说法( ) ①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y轴;④顶点(0,0).其中正确的有( ) (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 3.已知函数y=x2的图象过点(a,b),则它必通过的另一点是( ) (A)(a,-b) (B)(-a,b)(C)(-a,-b) (D)(b,a) 4.抛物线y=ax2过A(-1,2),试判断B(-2,-3),C(,)是否在抛物线上. 5､已知正方形的对角线长为x,面积为y.(1)写出y与x的函数关系; (2)画出这个函数的图象草图. 6.抛物线y=ax2(a≠0)与直线y=4x-3交于点A(m,1),求: (1)点A的坐标及抛物线顶点C的坐标和对称轴; 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数(第1课时) 一、基本目标 【知识与技能】 1．理解并掌握二次函数的概念，能判断一个给定的函数是否为二次函数． 2．根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思想． 【过程与方法】 经历与一次函数类比学习的过程，学会与人合作，并获得代数学习的一些常用方法：类比法、合情推理、抽象概括等． 【情感态度与价值观】 通过对几个特殊的二次函数的讲解，体验数学中的探索精神，初步体会二次函数的数学模型． 二、重难点目标 【教学重点】 二次函数的概念． 【教学难点】 能根据已知条件写出二次函数的解析式． 环节1自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P28～P29的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．正比例的函数的表达式为y＝kx(k为常数，且k≠0)；一次函数的表达式为__y＝ax ＋b__(a、b为常数，且a≠0)． 2．二次函数的概念：一般地，形如__y＝ax2＋bx＋c__(a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为__a、b、c__. 3．下列函数中，是二次函数的有__①②③__. ①y ＝(x －3)2－1；②y ＝1－2x 2；③y ＝13 (x ＋2)(x －2)；④y ＝(x －1)2－x 2. 4．二次函数y ＝－x 2＋2x 中，二次项系数是__－1__，一次项系数是___2____，常数项是___0____. 5．半径为R 的圆，半径增加x ，圆的面积增加y ，则y 与x 之间的函数关系式为__y ＝πx 2＋2πRx (x ≥0)__. 环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学) 【例1】已知关于x 的函数y ＝(m ＋1)xm 2－m 是二次函数， 求m 的值． 【互动探索】(引发学生思考)已知含参函数的解析式为二次函数，那么二次函数的自变量及各项系数应该满足哪些条件？ 【解答】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m ＝2， m ＋1≠0， 解得m ＝2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)y ＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数的前提条件是a ≠0，且自变量x 的最高次数为2，注意不要忽略二次项系数不为0这一隐含条件． 【例2】某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x 元(x >50)，每月销售这种篮球获利y 元，求y 与x 之间的函数关系式． 【互动探索】(引发学生思考)解决实际应用问题的一般步骤是什么？本题中所隐含的等量关系是什么？ 【解答】根据题意，得每个篮球的利润为50＋x －40＝10＋x ；篮球的销售量为500－10x . 则y ＝(10＋x )(500－10x )＝－10x 2＋400x ＋5000. 【互动总结】(学生总结，老师点评)根据实际问题写出二次函数的解析式的一般步骤： (1)阅读并理解题意；(2)找出问题的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析；(3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数解析式． 【活动2】 巩固练习(学生独学) 22.3 实质问题与二次函数 第 1课时 教课目标： 1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ ax2的关系式。 2.使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。 3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提升学生用数学意识。 要点难点： 要点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ ax2、y＝ ax2＋b x ＋ c 的关系式是教课的要点。 难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教课的难点。 教课过程： 一、创建问题情境 如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型( 曲线 AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB 为4m，拱高 CO为 0.8m。施工前要先制造建筑模板，如何画出模板的轮廓线呢? 分析：为了画出吻合要求的模板，平时要先建立 合适的直角坐标系，再写出函数关系式，而后依 据这个关系式进行计算，放样画图。 以下列图，以AB的垂直均分线为y 轴，以过 点 O 的 y 轴的垂线为 x 轴，建立直角坐标系。这时， 屋顶的横截面所成抛物线的极点在原点，对 称轴是 y 轴，张口向下，所以可设它的函数关系式为：y ＝ ax2 (a＜ 0) (1) AB 因为 y 轴垂直均分AB，并交 AB于点 C，所以 CB 2＝ 2(cm) ，又 CO＝ 0.8m，所以点 B ＝ 的坐标为 (2 ，－ 0.8) 。 因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代人(1) ，得－0.8＝a×22所以a＝－0.2所以，所求函数关系式是y＝－ 0.2x 2。 二、引申拓展 问题 1：能不可以以A点为原点， AB所在直线为x 轴，过点 A 的 x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系 ? 让学生认识建立直角坐标系的方法不是独一的，以 A 点为原点， AB所在的直线为x 轴，过点 A 的 x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系也是可行的。 问题 2，若以 A 点为原点， AB所在直线为x 轴，过点 A 的 x 轴的垂直为y 轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗? 分析：按此方法建立直角坐标系，则 A 点坐标为 (0 ， 0) ，B 点坐标为 (4 ， 0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB， AC＝2m， O点坐标为 (2 ； 0． 8) 。即把问题转变成：已知抛物线过 (0 ， 0) 、 (4 ， 0) ；(2 ， 0． 8) 三点，求这个二次函数的关系式。 解：设所求的二次函数关系式为y＝ ax2＋ bx＋ c。 因为 OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝ CB， AC＝ 2m，拱高 OC＝ 0.8m ， 所以 O点坐标为 (2 ，0.8) ， A 点坐标为 (0 ， 0) ， B 点坐标为 (4 ， 0) 。 初中数学试卷 桑水出品 22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程之间的关系 要点感知抛物线y=ax2+bx+c在x轴上的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的关系：(1)如果抛物线与x轴___交点，那么一元二次方程___实数根；(2)如果抛物线与x轴只有___个交点，此时的交点就是抛物线的顶点，那么一元二次方程有两个___的实数根；(3)如果抛物线与x轴有___个交点，那么一元二次方程有两个___的实数根，此时，抛物线与x轴两个交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程的两个实数根. 预习练习1-1 抛物线y=3x2+5x与两坐标轴交点的个数为___个. 1-2 下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点( ) A.y= 4 1 (x-23)2+155 B.y= 4 1 (x+23)2+155 C.y=- 4 1 (x-23)2-155 D.y=- 4 1 (x+23)2+155 知识点1 二次函数与一元二次方程 1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2.(苏州中考)已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( ) A.x1=1，x2=-1 B.x1=1，x2=2 C.x1=1 ，x2=0 D.x1=1，x2=3 3.(柳州中考)小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( ) A.无解 B.x=1 C.x=-4 D.x=-1或x=4 4.抛物线y=2x2 +8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为___ 知识点2 利用二次函数求一元二次方程的近似解 5.根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是( ) A.3＜x＜3.23 B.3.23＜x＜3.24 C.3.24＜x＜3.25 D.3.25＜x＜3.26 6.用图象法求一元二次方程2x2-4x-1=0的近似解.2021-2022学年-有答案-广东省九年级上册人教版数学二次函数第1课时作业本
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