浅谈初高中函数概念对比

浅谈初高中函数概念对比

摘要：函数是现代数学中最基本的概念，贯穿整个中学阶段数学体系，甚至是中学数学的一条主线。初高中之间由于学生基础的不同，分别用两种不同方式来定义函数的概念，本文分别从教学要求、教学方法和学习方法几方面来对比，进一步认识函数概念。

关键词：函数概念；初高中；变量说；集合——对应说

函数是现代数学中最基本的概念，贯穿整个中学阶段数学体系，甚至是中学数学的一条主线。学生从初二第一次接触函数概念到高一重新认识函数，从中考所占的大比重到高考，无不让学生为之倾倒。因此，学好数学，打好函数定义的基础显得尤为重要。

1 函数概念的发展历史

十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年，莱布尼兹首次提出“function”（函数）。经过多年发展，1837年狄利克雷首先提出经典函数定义：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。”

1914年豪斯道夫在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为f。元素x称为自变量，元素y称为因变量”。

2 函数概念的重要性

首先，函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用。近些年，世界

各国中学数学中关于代数的内容逐渐从以解方程为中心转到以研究函数为中心。函数概念已经成为中学数学中最为重要的概念之一，它的学习横跨了初中高中两个重要阶段。函数贯穿整个中学阶段数学体系，甚至是中学数学的一条主线。

其次，函数思想是需要学生在学习函数过程中，以“细雨润无声”似的将函数内化吸收，已经成为了重要的数学思想和解题方法。因此,在中学数学教学中,把握函数概念本质,处理好函数的教学是很重要的。

第三，函数模型通常用来描述客观世界中运动变化现象，而学习函数性质的目的是用数学知识和方法分析函数模型的性态，由此发现事物的变化规律，进而精确地预测未来。函数模型的性态就是事物变化的规律，把握函数的性态就是掌握了事物的变化规律。因此，了解函数的性质相当重要，但归其根本，首先就必须落实函数概念。

3 初高中函数概念的对比

3.1 初高中函数概念

初中阶段是从变量之间依赖关系的角度，对简单实例中的数量关系和变化规律进行归纳概括，得到函数概念，简称“变量说”一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x、y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说y是x的函数，x是自变量。

高中阶段的函数概念是“集合——对应说”：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B 中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y＝f(x)，x∈A，x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x 对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。

其实在初中已经有了“y与x对应”的表述，但这里的“对应”仅仅是自然语言。高中要做的是在此基础上的进一步抽象，明确对应的意义，并用集合语言具体指明x,y的变化范围，引入抽象符号f：A→B和y＝f(x)表示对应关系。因此教材中先引导学生用变量关系的语言分析实例，指出其不严密的问题，并给出

“用更精确的语言”表示对应关系的示范。再通过变式引导学生用集合语言和对应关系来刻画函数，完成从“变量关系语言”到“集合——对应语言”的过渡。

3.2初高中函数概念的对比

3.2.1 初高中课程标准的要求对比

《初中数学课程标准》总结起来大致上要求学生：了解函数的概念及常量和变量的意义，要求掌握一次函数和理解反比例函数，会用描点法画出函数图像，从图像上认识函数性质。

普通高中《高中数学课程标准》对“函数概念与性质”这部分内容的整体定位和指导思想是：通过学习要使学生建立完善的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图像揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型、解决问题；提升数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模素养。

从两者课程标准的要求上可以看出，初中课标要求明显偏低，高中则是要高出很多。高中函数概念教学要求在初中基础上，要求对函数概念由简单到复杂，由具体到抽象，由变量说到集合—对应说，并且从过程上和数学语言上等要求都有了很大的提升。

3.2.2 教学方法的对比

根据两者的教材编排，教学都需要从学生的生活实际问题出发进而得到函数概念，从学生熟悉的背景着手，有助于学生对函数概念的理解，激发学生学习的兴趣。

基于初中生的特点，函数教学是一个从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性的认识过程，具有长期性和反复性。而高中函数教学应该要重视函数功能分析及概念的教学、加强函数模型、改进函数解题指导，在函数教学中渗透数学的思想方法，注重信息技术在函数教学中的作用，以提高学生的分析问题解决问题的能力。

3.2.3 学习方法的对比

初中函数大纲要求不必搞得过于复杂，很多问题学生只要数形结合，做出图，大都都能解决，例如：函数图像过第几象限，函数增减性如何，函数解析式的求

解等。稍难一点的，例如，根据相遇问题追击问题的结合来理解函数图像。总之

很多问题都能通过图像帮助函数把问题由抽象变得具体。

到了高中，对于对数函数，幂函数，指数函数等具体函数，学生还能勉强接受，但遇到抽象函数，就出现脑子一片空白现象。归根到底，是学生对于函数理

解还不够。所以对于函数的研究不能留在表面，要在头脑中留下几个具体的实际

模型。而且一定要突出函数图形的地位。不管是哪一种表达方式，都要把握函数

的图形，数形结合。并且，还要学会思考函数的应用，渗透数学建模思想。

函数是数学的重要组成部分，若把数学看作一串珍珠项链，函数就是其中的

链子。而函数概念又是函数的根本，它的地位在数学中就不言而喻了。只要肯钻研，就一定能让学生顺利从初中过渡到高中，体会初中的基础对于高中的重要性，为进一步的学习到好基础。

参考文献：

[1]人民教育出版社课程教育研究所中学数学课程教材研究开发中心 .普通

高中教科书教师教学用书数学第一册A版[M].北京.人民教育出版社.2019：93-102。