高中数学选修2-2导学案

§

函数的平均变化率导学案

【学习要求】

1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率．

3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 【学法指导】

从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】

1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商

x

x f x x f ?-?+)

()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在

x 0到x 0＋Δx 之间的 ．

2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy

Δx

＝__________

表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 . 【问题探究】

在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢下面我们用函数变化的观点来研究这个问题． 探究点一 函数的平均变化率

问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度

问题2什么是平均变化率，平均变化率有何作用

例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化

率．

问题3平均变化率有什么几何意义

跟踪训练1 如图是函数y＝f(x)的图象，则：

（1）函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；

（2）函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．

探究点二求函数的平均变化率

例2已知函数f(x)＝x2，分别计算f(x)在下列区间上的平

均变化率：

（1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,]；（4）[1,]．

跟踪训练2分别求函数f(x)＝1－3x在自变量x从0变到1

和从m变到n(m≠n)时的平均变化率．

问题一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点

探究点三平均变化率的应用

例3甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大

跟踪训练3甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果

【当堂检测】

1．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________

2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,]这段时间内的平均速度为________ 3．甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是________．

【课堂小结】

1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢． 2．求函数f (x )的平均变化率的步骤： （1）求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；

（2）计算平均变化率

Δy Δx ＝1

212)

()(x x x f x f --. 【拓展提高】

1．设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +?时，函数的改变量y ?为（ ）

A ．0()f x x +?

B ．0()f x x +?

C ．0()f x x ?

D ．00()()f x x f x +?- 2．质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为（ ）

A ．6t +?

B ．9

6t t

+?+

? C ．3t +? D ．9t +?

【教学反思】

§ 瞬时速度与导数导学案 【学习要求】

1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义．

2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率．

3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法． 4．理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数． 【学法指导】

导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系，体会无限逼近的思想；可以从物理意义，几何意义多角度理解导数. 【知识要点】

1．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为 ．

设物体运动路程与时间的关系是s ＝s (t )，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率t

t s t t s ?-?+)

()(00，当Δt →0时的

极限，即v ＝lim Δt →0 Δs

Δt

＝__________________

2．瞬时变化率：一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是lim

Δx→0Δy Δx

＝

_________________.

3．导数的概念：一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是_________________，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的，记

为，即f′(x0)＝lim

Δx→0Δy

Δx

＝________________

4．导函数：如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b) ．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数)(x

f'，于是在区间(a，b)内，)(x

f'构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的．

记为或y′(或y′x)．导函数通常简称为

【问题探究】

探究点一瞬时速度

问题1在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－＋＋10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态

问题2物体的平均速度能否精确反映它的运动状态

问题3如何描述物体在某一时刻的运动状态

例1火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100 s

m/.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0

问题4火箭向上速度变为0，意味着什么你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗

跟踪训练1质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2时的瞬时速度为8s

m/，求常数a的值．

探究点二导数

问题1从平均速度当Δt→0时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论

问题2导数和瞬时变化率是什么关系导数有什么作用

问题3导函数和函数在一点处的导数有什么关系

例2利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．

跟踪训练2已知y＝f(x)＝x＋2，求f′(2)．

探究点三导数的实际应用

例3一正方形铁板在0℃时，边长为10cm，加热后铁板会膨胀．当温度为C

t0时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率．

跟踪训练3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度(单位：C0)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

【当堂检测】

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义中，自变量x在x0处的增量Δx ( )

A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不等于0

2．一物体的运动方程是s＝1

2at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是

( )

A．at0 B．－at0 C．1

2

at0D．2at0

3．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝3

2

处的瞬时变化率是 ( )

A．3 B．－3 C．2 D．－2

4．已知函数f(x)＝1

x

，则)1(f ＝________

【课堂小结】

1．瞬时速度是平均速度当Δt →0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx →0时的极限值．

2．利用导数定义求导数的步骤：

（1）求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； （2）求平均变化率Δy

Δx

；

（2）取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy

Δx .

【拓展提高】

1．()()()为则设h

f h f f h 233lim ,430

--='→（ ）

A ．－１

B ．－2

C ．－3

D ．1

2．一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为2341644

1t t t s +-=,则速度为零的时刻是 （ ）

A ．4s 末

B ．8s 末

C ．0s 与8s 末

D ．0s ,4s ,8s 末 【教学反思】

§ 导数的几何意义导学案 【学习要求】

1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 2．会求导函数．

3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

【学法指导】

前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想，本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想，并进一步体会另一种重要思想——以直代曲. 【知识要点】 1．导数的几何意义 （1）割线斜率与切线斜率

设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))

的一条割线，此割线的斜率是Δy

Δx

＝__________________.

当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 ．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋向于在点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ ＝___________________. （2）导数的几何意义

函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数

当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，)(x f '是x 的一个函数，称)(x f '是f (x )的导函数(简称导数)．)(x f '也记作y ′，即)(x f '＝y ′＝_______________ 【问题探究】

探究点一 导数的几何意义

问题1如图，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n的变化趋势是什么

问题2曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点

例1如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)

＝－＋＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，

t1，t2附近的变化情况．

跟踪训练1（1）根据例1的图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．

（2）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是 ( )

探究点二求切线的方程

问题1怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程

问题2曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同

例2已知曲线y＝x2，求：

（1）曲线在点P(1,1)处的切线方程；（2）曲线过点P(3,5)的切线方程．

跟踪训练2已知曲线y＝2x2－7，求：

（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0 （2）曲线过点P(3,9)的切线方程．

【当堂检测】

1．已知曲线f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为 ( )

A．4 B．16 C．8 D．2

2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 ( )

A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b ＝－1

3．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_______

【课堂小结】

1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，

即k ＝lim Δx →0

f x 0＋Δx －f x 0

Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻

的瞬时速度．

2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．

3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点. 【拓展提高】

1．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1

22

y x =+，则

(1)(1)f f '+=

2．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范

围为04π

??

????

，，则点P 横坐标的取值范围为

【教学反思】

§1． 常数函数与幂函数的导数导学案

§1． 导数公式表及数学软件的应用导学案 【学习要求】

1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2

，y ＝1

x

的导数．

2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 【学法指导】

1．利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项式

函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想．通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣．

2．本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键．记公式时，要注意观察公式之间的联系．

【知识要点】

1．几个常用函数的导数

2．基本初等函数的导数公式

【问题探究】

探究点一求导函数

问题1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数 问题2 利用定义求下列常用函数的导数：

（1）

y ＝c ； （2）y ＝x ； （3）y ＝x 2

； （4）y ＝1

x

； （5）y ＝x .

问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题 例1 求下列函数的导数：

（1）y ＝sin π3； （2）y ＝5x

； （3）y ＝1x 3； （4）y ＝4x 3；

（5）y ＝log 3x .

跟踪训练1 求下列函数的导数：

（1）y ＝x 8

； （2）y ＝(12)x

； （3）y ＝x x ； （4）x y 3

1log =

探究点二 求某一点处的导数 例2 判断下列计算是否正确．

求f (x )＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：f ′? ????π3＝?

????cos π3′＝－sin π

3＝

－3

2

.

跟踪训练2求函数f(x)＝

1

3

x

在x＝1处的导数．

探究点三导数公式的综合应用

例3已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大．

跟踪训练3点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．

【当堂检测】

1．给出下列结论：

①若y＝1

x3

，则y′＝－

3

x4

；②若y＝

3

x，则y′＝

1

3

3

x；③若y＝

1

x2

，则y′

＝－2x－3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的个数是 ( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于 ( )

A ．36

B ．0

C ．12x

D ．32

3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ( )

A ．[0，π4]∪[3π4，π)

B ．[0，π)

C ．[π4，3π4]

D ．[0，π4]∪[π2，3π

4

]

4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________ 【课堂小结】

1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．

2．有些函数可先化简再应用公式求导．

如求y ＝1－2sin 2

x

2 的导数．因为y ＝1－2sin 2

x

2

＝cos x ，所以y ′＝(cos

x )′＝－sin x .

3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化. 【拓展提高】

1．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( )

A．0° B．锐角 C．直角 D．钝角

2．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为___________【教学反思】

§导数的四则运算法则(一)导学案

【学习要求】

1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．

2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．

【学法指导】

应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.

【知识要点】

导数的运算法则

设两个可导函数分别为f(x)和g(x)

【问题探究】

探究点一导数的运算法则

问题1 我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝等基本初等函数的导数，那么怎样求

f (x )与

g (x )的和、差、积、商的导数呢

问题2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点 例1 求下列函数的导数：

（1）y ＝3x

－lg x ； （2）y ＝(x 2

＋1)(x －1)； （3）y ＝x 5＋x 7＋x 9

x

.

跟踪训练1 求下列函数的导数：

（1）f (x )＝x ·tan x ； （2）f (x )＝2－2sin 2

x

2； （3）f (x )＝x －1

x ＋1

； （4）

f (x )＝

sin x

1＋sin x

.

探究点二 导数的应用

例2 （1）曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________ （2）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________

（3）已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1

t

2＋2t 2(位移单位：m ，时

间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．

跟踪训练 2 （1）曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －1

2在点M ? ??

??π4，0处的切线的斜率为

( )

A ．－12 C ．－22 D ．2

2