九年级数学期末复习专题训练

专题训练(一) 一元二次方程

一、选择题

1.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( A ) A.(x ＋1)2＝2(x ＋1) B.1x 2＋1

x

－2＝0 C.ax 2＋bx ＋c ＝0

D.x 2＋2x ＝x 2－1

解析：方程(x ＋1)2＝2(x ＋1)可化为x 2－1＝0，是一元二次方程；方程1x 2＋1

x －2＝0不是

整式方程，故不是一元二次方程；方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，未指明a ≠0，不一定是一元二次方程；方程x 2＋2x ＝x 2－1可化为2x ＋1＝0，是一元一次方程.故选A.

2.若关于x 的方程x 2－2x ＋c ＝0有一根为－1，则方程的另一根为( D ) A.－1 B.－3 C.1 D.3

解析：设方程的另一根为m ，由题可得，－1＋m ＝2，解得m ＝3，所以方程的另一根为3.故选D.

3.一元二次方程2x 2－5x －2＝0的根的情况是( B ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根

解析：本题考查一元二次方程根的判别式.∵Δ＝(－5)2－4×2×(－2)＝41>0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.

4.若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋3

2ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为( C )

A.－1或4

B.－1或－4

C.1或－4

D.1或4

解析：根据题意，将x ＝－2代入方程x 2＋3

2ax －a 2＝0，得4－3a －a 2＝0，即a 2＋3a －4

＝0，左边因式分解得，(a －1)(a ＋4)＝0，∴a －1＝0或a ＋4＝0，解得a ＝1或－4.故选C.

5.关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，则n m 的值为( C ) A.－8 B.8 C.16 D.－16

解析：本题考查一元二次方程根与系数的关系.由一元二次方程根与系数的关系可得－2

＋1＝－m 2，则m ＝2；－2×1＝n

2，则n ＝－4，∴n m ＝(－4)2＝16，故选C.

6.

分析表格中的数据，估计方程(x ＋8)2－826＝0的一个正数解x 的大致范围

为( C )

A.20.5＜x ＜20.6

B.20.6＜x ＜20.7

C.20.7＜x ＜20.8

D.20.8＜x ＜20.9

解析：由表格可知，当x ＝20.7时，输出值为负值，当x ＝20.8时，输出值

为正值，且输出值随x 的增大而增大，∴输出值为0对应的x 应在20.7～20.8之间，即20.7＜x ＜20.8.

7.中国 “一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年人均收入为200美元.预计2017年年人均收入将达到1 000美元.设2015年到2017年该地区民居年人均收入平均年增长率为x ，可列方程为( B )

A.200(1＋2x )＝1 000

B.200(1＋x )2＝1 000

C.200(1＋x 2)＝1 000

D.200＋2x ＝1 000

解析：本题考查列一元二次方程解应用题.根据题意，设平均年增长率为x ，则2016年年人均收入为200(1＋x )美元，2017年年人均收入为200(1＋x )(1＋x )美元，即200(1＋x )2美元，所以可列得方程200(1＋x )2＝1 000，故选B.

8.若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是( B )

解析：∵关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(kb ＋1)＞0，即4－4kb －4＞0，解得kb ＜0，∴k ，b 异号且不等于0.选项A 中，k ＞0，b ＞0，所以A 错误；选项B 中，k ＞0，b ＜0，所以B 正确；选项C 中，k ＜0，

b ＜0，所以C 错误；选项D 中，b ＝0，所以D 错误.故选B.

二、填空题

9.方程2x －4＝0的解也是关于x 的方程x 2＋mx ＋2＝0的一个解，则m 的值为 －3 . 解析：解方程2x －4＝0得x ＝2.把x ＝2代入方程x 2＋mx ＋2＝0，得4＋2m ＋2＝0，解得m ＝－3.

10.关于x 的一元二次方程x 2＋2x －k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 k ＞－1 .

解析：∵关于x 的一元二次方程x 2＋2x －k ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝22＋4k ＞0，解得k ＞－1.

11.已知代数式7x (x ＋5)＋10与代数式9x －9的值互为相反数，则x ＝

3

. 解析：根据题意得，7x (x ＋5)＋10＋9x －9＝0，整理得，7x 2＋44x ＋1＝0.∵Δ＝442－28＝1 908，∴x ＝－44±1 90814＝－22±353

7

.

12.已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 21－x 2

2＝10，则a ＝

21

4

. 解析： 本题考查一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式的运用.根据题意可知：

x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝a ，∴x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝(x 1＋x 2)·（x 1－x 2）2

＝(x 1＋

x 2)·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5

25－4a ＝10，解得a ＝21

4

.

13.某社区将一块正方形空地划出如图所示区域(阴影部分)进行硬化后，原空地一边减少了5 m ，另一边减少了4 m ，剩余矩形空地的面积为240 m 2，则原正方形空地的边长是 20 m.

解析：设原正方形的边长为x m ，依题意有(x －5)·(x －4)＝240，解得：x 1＝20，x 2＝－11(不合题意，舍去)，即原正方形的边长是20 m.

14.4个数a ，b ，c ，d 排列成??

????

a b c

d ，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为：?????

?

a b c d ＝ad －bc .若????

??

2x x ＋1x －2 x ＋1＝6，则x ＝ －4或1 .

解析：根据题意得2x (x ＋1)－(x ＋1)(x －2)＝6，整理得x 2＋3x －4＝0，(x ＋4)(x －1)＝0，

x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1，即x 的值为－4或1.

三、解答题 15.解方程：

(1)2x 2－3x －2＝0；(2)x (2x ＋3)－2x －3＝0. 解：(1)(2x ＋1)(x －2)＝0， 2x ＋1＝0或x －2＝0， 所以x 1＝－1

2，x 2＝2；

(2)x (2x ＋3)－(2x ＋3)＝0， (2x ＋3)(x －1)＝0， 2x ＋3＝0或x －1＝0， 所以x 1＝－3

2

，x 2＝1.

16.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同.

(1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？

解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x %. 依题意得：400×(1－x %)2＝324， 解得：x ＝10，或x ＝190(舍去).

答：该种商品每次降价的百分率为10%.

(2)设第一次降价后售出该种商品m 件，则第二次降价后售出该种商品(100－m )件. 第一次降价后的单件利润为400×(1－10%)－300＝60(元/件)； 第二次降价后的单件利润为： 324－300＝24(元/件). 依题意得：

60m ＋24×(100－m )＝36m ＋2 400≥3 210， 解得：m ≥22.5. ∴m ≥23.

答：为使两次降价销售的总利润不少于3 210元.第一次降价后至少要售出该种商品23件.

17.已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＝0①有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围；

(2)设方程①的两个实数根分别为x 1，x 2，当k ＝1时，求x 21＋x 2

2的值. 解：(1)∵方程①有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(2k ＋1)2－4×1×k 2>0.

解得k >－14，∴k 的取值范围是k >－1

4.

(2)当k ＝1时，方程①为x 2＋3x ＋1＝0.

∴由根与系数的关系可得?

????x 1＋x 2＝－3，

x 1·x 2＝1.

∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝(－3)2－2×1 ＝9－2＝7.

18.已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－4mx ＋4m 2－9＝0的两实数根. (1)若这个方程有一个根为－1，求m 的值；

(2)若这个方程的一个根大于－1，另一个根小于－1，求m 的取值范围；

(3)已知直角△ABC 的一边长为7，x 1，x 2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m 的值. 解：(1)∵一元二次方程x 2－4mx ＋4m 2－9＝0有一个根为－1， ∴4m ＋1＝－(4m 2－9)， ∴m ＝1或m ＝－2.

(2)∵x 2－4mx ＋4m 2＝9， ∴(x －2m )2＝9，即x －2m ＝±3， ∴x 1＝2m ＋3，x 2＝2m －3. ∵2m ＋3＞2m －3，

∴?

????2m ＋3>－1，2m －3<－1，解得－2＜m ＜1. (3)由(2)知道方程x 2－4mx ＋4m 2－9＝0的两根分别为2m ＋3，2m －3. 若直角△ABC 的斜边长为7，则有49＝(2m ＋3)2＋(2m －3)2，解得m ＝±624

， ∵边长必须是正数， ∴m ＝

62

4

. 若斜边为2m ＋3，则(2m ＋3)2＝(2m －3)2＋72，解得m ＝49

24，

综上m ＝

624或m ＝4924

.

专题训练(二) 二次函数

一、选择题

1.在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是( A ) A.y ＝2x 2 B.y ＝2x －2

C.y ＝ax 2

D.y ＝a x

2

解析：y ＝2x 2是二次函数，故A 符合题意；y ＝2x －2是一次函数，故B 错误；y ＝ax 2中a ＝0时，不是二次函数，故C 错误；y ＝a

x 2不是关于自变量的整式，故不是二次

函数，故D 错误.故选A.

2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么一次函数y ＝ax ＋b 的图象大致是( A )

解析：∵y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的左侧，∴b ＞0，∴一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过一、二、三象限.故选A.

3.抛物线y ＝x 2＋bx ＋c (其中b ，c 是常数)过点A (2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则c 的值不可能是( A )

A.4

B.6

C.8

D.10

解析：∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c (其中b ，c 是常数)过点A (2，6)，且抛物线的对称轴与线段

y ＝0(1≤x ≤3)有交点，∴?

????4＋2b ＋c ＝6，1≤－b

2×1≤3，解得6≤c ≤14，故选A. 4.已知二次函数y ＝ax 2－bx －2(a ≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0).当a －b

为整数时，ab 的值为( A )

A.3

4

或1

B.1

4

或1

C.34或12

D.14或34

解析：依题意知a ＞0，b

2a ＞0，a ＋b －2＝0，故b ＞0，且b ＝2－a ，a －b ＝a －(2－a )＝

2a －2，于是0＜a ＜2，∴－2＜2a －2＜2，又a －b 为整数，∴2a －2＝－1，0或1，故a ＝1

2，

1或32，b ＝32，1或12，∴ab ＝3

4

或1，故选A.

5.下表是满足二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的五组数据，x 1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个解，

则下列选项中正确的是( C )

A.1.6＜x 1＜1C.2.0＜x 1＜2.2

D.2.2＜x 1＜2.4

解析：观察表格可知，y 随x 的值逐渐增大，ax 2＋bx ＋c 的值在2.0～2.2之间由负到正，故可判断ax 2＋bx ＋c ＝0时，对应的x 的值在2.0～2.2之间，即二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，当自变量x 的值在2.0～2.2之间时，可能与x 轴有交点，即2.0＜x 1＜2.2.故选C. 6.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y ＝x 2＋5x ＋6，则原抛物线的解析式是( A )

A.y ＝－(x －52)2－11

4

B.y ＝－(x ＋52)2－11

4

C.y ＝－(x －52)2－1

4

D.y ＝－(x ＋52)2＋1

4

解析：设旋转之前的抛物线上有点(x ，y )，绕原点旋转180°后，变为(－x ，－y )，点(－x ，－y )在抛物线y ＝x 2＋5x ＋6上，将(－x ，－y )代入y ＝x 2＋5x ＋6得－y ＝x 2－5x ＋6，所以旋转之前的抛物线的方程为y ＝－x 2＋5x －6＝－(x －52)2＋1

4，∴向下平移3个单位长度的解析式为

y ＝－(x －52)2＋14－3＝－(x －52)2－11

4

，即原抛物线的解析式.故选A.

7.点P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)均在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象上，则y 1，

y 2，y 3的大小关系是( D )

A.y 3＞y 2＞y 1

B.y 3＞y 1＝y 2

C.y 1＞y 2＞y 3

D.y 1＝y 2＞y 3

解析：∵y ＝－x 2＋2x ＋c ，∴对称轴为x ＝1.又∵a ＝－1<0，∴P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.∵3＜5，∴y 2＞y 3.根据二次函数图象的对称性可知，P 1(－1，y 1)与P 2(3，y 2)关于对称轴对称，故y 1＝y 2＞y 3，故选D.

8.已知抛物线y ＝x 2－2mx －4(m >0)的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M ′，若点M ′在这条抛物线上，则点M 的坐标为( C )

A.(1，－5)

B.(3，－13)

C.(2，－8)

D.(4，－20)

解析：本题考查二次函数的顶点式.关于原点对称的点的坐标.∵抛物线y ＝x 2－2mx －4 ＝(x －m )2－m 2－4，∴顶点M 的坐标为(m ，－m 2－4)，∵M 与M ′关于原点对称，∴M ′的坐标

为(－m ，m 2＋4)，∵点M ′在抛物线上，∴m 2＋4＝m 2－2m (－m )－4，解得m ±2，∵m >0，∴m ＝2，∴－m 2－4＝－8，∴点M 的坐标为 (2，－8)，故选C.

二、填空题

9.二次函数y ＝x 2＋4x －3的最小值是 －7 .

解析：∵y ＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，a ＝1＞0，∴x ＝－2时，y 有最小值，为－7. 10.已知抛物线y ＝ax 2－4ax 与x 轴交于点A ，B ，顶点C 的纵坐标是－2，那么a ＝ 1

2 .

解析：y ＝ax 2－4ax ＝a (x 2－4x ＋4)－4a ＝a (x －2)2－4a ，则顶点坐标是(2，－4a )，则－4a ＝－2，解得a ＝1

2

.

11.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：

则关于x 的一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝－2的根是 x 1＝－4，x 2＝0 .

解析：∵x ＝－3，x ＝－1的函数值都是－5，相等，∴二次函数的对称轴为直线x ＝－2.∵x ＝－4时，y ＝－2，∴x ＝0时，y ＝－2，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝－2的解是x 1＝－4，x 2＝0.

12.如图，已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与一次函数y 2＝kx ＋m (k ≠0)的图象相交于点A (－2，4)，B (9，2)，那么能使y 2＞y 1成立的x 的取值范围是 －2＜x ＜9 .

解析：由图可知，－2＜x ＜9时，直线在抛物线的上方，即y 2＞y 1.

13.如图，二次函数y ＝x 2－6x ＋5的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 10 .

题图

答案图

解析：在y ＝x 2－6x ＋5中，当y ＝0时，x ＝1或5，当x ＝0时，y ＝5，则A (1，0)，B (5，0)，C (0，5)，故△ABC 的面积为1

2

×4×5＝10.

14.如图，抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于点A ，B.把抛物线在x 轴及

其上方的部分记作C 1，将C 1关于点B 作中心对称得C 2，C 2与x 轴交于另一

点C ，将C 2关于点C 作中心对称得C 3，连接C 1与C 3的顶点，则图中阴影部分的面积为 32 .

解析：∵抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于点A ，B ，∴当y ＝0时，则

－x 2－2x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝1，则A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(1，0)，AB 的长度为4.从C 1，C 3两个部分顶点分别向下作垂线交x 轴于E ，F 两点.根据中心对称的性质，x 轴下方的C 2可以沿对称轴平均分成两部分补到

C 1与C 3.如图所示，阴影部分转化为矩形.根据对称性，可得BE ＝CF ＝4÷2＝2，则EF ＝8.又因为y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，则顶点坐标为(－1，4)，即阴影部分的高为4，S 阴＝8×4＝32.

三、解答题

15.如图，二次函数y ＝(x ＋2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上的点A (－1，0)及点B.

(1)求二次函数与一次函数的解析式；

(2)根据图象，写出满足(x ＋2)2＋m ≥kx ＋b 的x 的取值范围. 解：(1)∵抛物线y ＝(x ＋2)2＋m 经过点A (－1，0)， ∴0＝1＋m ， ∴m ＝－1，

∴抛物线解析式为y ＝(x ＋2)2－1＝x 2＋4x ＋3， ∴点C 坐标(0，3).

∵对称轴x ＝－2，B ，C 关于对称轴对称， ∴点B 坐标(－4，3).

∵y ＝kx ＋b 经过点A ，B ，

∴?????－4k ＋b ＝3，－k ＋b ＝0，解得?

????k ＝－1，b ＝－1， ∴一次函数解析式为y ＝－x －1.

(2)由图象可知，满足(x ＋2)2＋m ≥kx ＋b 的x 的取值范围为x ≤－4或x ≥－1. 16.已知函数y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m (m 为常数). (1)该函数的图象与x 轴公共点的个数是( D ) A.0 B.1 C.2 D.1或2

(2)求证：不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数y ＝(x ＋1)2的图象上； (3)当－2≤m ≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围. (1)D.

(2)证明：y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m ＝－?

???x －m －122

＋（m ＋1）

2

4，

所以该函数的图象的顶点坐标为????

m －12，（m ＋1）2

4. 把x ＝m －12代入y ＝(x ＋1)2，

得y ＝???

?m －1

2 ＋12

＝

（m ＋1）2

4. 因此，不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数y ＝(x ＋1)2的图象上. (3)解：设函数z ＝（m ＋1）2

4.

当m ＝－1时，z 有最小值0.

当m <－1时，z 随m 的增大而减小； 当m >－1时，z 随m 的增大而增大. 又当m ＝－2时，z ＝（－2＋1）24＝1

4；

当m ＝3时，z ＝（3＋1）2

4

＝4.

因此，当－2≤m ≤3时，该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围是0≤z ≤4.

17.如图，已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(3，0).

(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标；

(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当P A ＋PC 的值最小时，求点P 的

坐标.

解：(1)把点B 的坐标(3，0)代入抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3， 得：0＝－32＋3m ＋3， 解得：m ＝2，

∴y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴顶点坐标为(1，4).

(2)连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时P A ＋PC 的值最小. 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b . ∵点C (0，3)，点B (3，0)，

∴?????0＝3k ＋b ，3＝b ，解得：?

????k ＝－1，b ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，

当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2，

∴当P A ＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2). 18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点.

(1)试求抛物线的解析式；

(2)记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；

(3)若直线y ＝－1

2x 向上平移b 个单位长度所得的直线与抛物线段

BDC (包括端点B ，C )部分有两个交点，求b 的取值范围.

解：(1)由题意得，

?

????4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，

解得?????a ＝12，b ＝－1，

∴抛物线解析式为 y ＝1

2

x 2－x ＋2. (2)∵y ＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋3

2，

∴顶点坐标为(1，3

2).

设直线BC 为y ＝kx ＋b ，

则?????6＝－2k ＋b ，2＝2k ＋b ， ∴?

????k ＝－1，b ＝4， ∴直线BC 为y ＝－x ＋4，

∴对称轴与直线BC 的交点H 的坐标为(1，3)， ∴S △BDC ＝S △BDH ＋S △DHC ＝12×32×3＋12×3

2×1＝3.

(3)由?

??y ＝－1

2

x ＋b ，

y ＝12

x 2

－x ＋2

消去y 得到x 2－x ＋4－2b ＝0，

当Δ＝1－4(4－2b )＝0时，直线与抛物线相切， 此时b ＝15

8

；

当直线y ＝－1

2x ＋b 经过点C 时，b ＝3；

当直线y ＝－1

2

x ＋b 经过点B 时，b ＝5.

∵直线y ＝－1

2x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC (包括端点B ，C )部分有两

个交点，

∴15

8

＜b ≤3. 19.旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x (元)是5的倍数.发现每天的营运规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出；当x 超过100元时，每辆车的日租金每增

加5元，租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1 100元.

(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)

(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？ 解：(1)由题意知，若观光车能全部租出， 则0＜x ≤100， 由50x －1 100＞0， 解得x ＞22，

又∵x 是5的倍数，

∴每辆车的日租金至少应为25元. (2)设每天的净收入为y 元. 当0＜x ≤100时， y ＝50x －1 100，

∵y 随x 的增大而增大，

∴当x ＝100时，y 有最大值， y 最大＝50×100－1 100＝3 900； 当x ＞100时，

y ＝(50－x －100

5)x －1 100

＝－1

5x 2＋70x －1 100

＝－1

5

(x －175)2＋5 025，

当x ＝175时，y 的最大值为5 025. ∵5 025＞3 900，

∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多，是5 025元.

专题训练(三) 旋转

一、选择题

1.下面生活中的实例，不是旋转的是( A )

A.传送带传送货物

B.螺旋桨的运动

C.风车风轮的运动

D.自行车车轮的运动

解析：传送带传送货物的过程中没有发生旋转.故选A.

2.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( C )

解析：本题考查中心对称图形和轴对称图形的判定.A中的直角三角形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，A错误；B中的正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，B错误；C中的正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，C正确；D中的平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，D错误.综上所述，故选C.

3.在平面直角坐标系中，点M(－2，6)关于原点对称的点在( D )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

解析：点M(－2，6)关于原点对称的点的坐标为(2，－6)，故选D.

4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆

时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两

点间的距离为( A )

A.10

B.2 2

C.3

D.2 5

解析：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5.∵将△ABC

绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE＝4，DE＝3，∴BE＝1，在Rt△BED中，BD＝BE2＋DE2＝10.故选A.

5.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转

一定角度得到∠ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝23，

∠B＝60°，则CD的长为( B )

A.1

B.2

C.3

D.2 2

解析：在Rt△ABC中，AC＝23，∠B＝60°，∴AB＝2，BC＝4.由旋转得，AD＝AB，

∵∠B ＝60°，∴BD ＝AB ＝2，∴CD ＝BC －BD ＝4－2＝2，故选B.

6.如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A ′B ′，那么A (－2，5)的对应点A ′的坐标是( B )

A.(2，5)

B.(5，2)

C.(2，－5)

D.(5，－2)

解析：∵线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A ′B ′，

∴△ABO ≌△A ′B ′O ，∠AOA ′＝90°，AO ＝A ′O .作AC ⊥y 轴于C ，A ′C ′⊥x 轴于C ′，∴∠ACO ＝∠A ′C ′O ＝90°.∵∠COC ′＝90°，∴∠AOA ′－∠COA ′

＝∠COC ′－∠COA ′，∴∠AOC ＝∠A ′OC ′.在△ACO 和△A ′C ′O 中，∠ACO ＝∠A ′C ′O ，∠AOC ＝∠A ′OC ′，AO ＝A ′O ，∴△ACO ≌△A ′C ′O (AAS )，∴AC ＝A ′C ′，CO ＝C ′O .∵A (－2，5)，∴AC ＝2，CO ＝5，∴A ′C ′＝2，OC ′＝5，∴A ′(5，2).故选B.

7.如图，将等边△ABC 绕点C 顺时针旋转120°得到△EDC ，连接AD ，B D.则下列结论：

①AC ＝AD ；②BD ⊥AC ；③四边形ACED 是菱形. 其中正确的个数是( D ) A.0 B.1 C.2 D.3

解析：∵将等边△ABC 绕点C 顺时针旋转120°得到△EDC ，∴∠ACE ＝120°，∠DCE ＝∠BCA ＝60°，AC ＝CD ＝DE ＝CE ，∴∠ACD ＝120°－60°＝60°，∴△ACD 是等边三角形，∴AC ＝AD ＝DE ＝CE ，∴四边形ACED 是菱形.∵将等边△ABC 绕点C 顺时针旋转120°得到△EDC ，AC ＝AD ，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥A C.∴①②③都正确，故选D.

二、填空题

8.已知点A (2a －3b ，－1)与点A ′(－2，3a ＋2b )关于坐标原点对称，则5a －b ＝ 3 .

解析：由点A (2a －3b ，－1)与点A ′(－2，3a ＋2b )关于坐标原点对称，得?????2a －3b ＝2，①

3a ＋2b ＝1，②

①＋②得，5a －b ＝3.

9.如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△CO D.若

∠AOB ＝15°，则 ∠AOD ＝ 30 度.

解析：本题考查图形的旋转.∵△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°

后得到△COD ，∴∠BOD ＝45°，∵∠AOB ＝15°，∴∠AOD ＝∠BOD －∠AOB ＝30°. 10.两个全等的三角尺重叠放在△ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点C 按逆时针方向旋转至△DCE 的位置，使点A 恰好落在边DE 上，AB 与CE 相交于点F .已知∠ACB ＝∠DCE

＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8 cm ，则CF cm.

解析：∵将其中一个三角尺绕着点C 按逆时针方向旋转至△DCE 的位置，使点A 恰好落在边DE 上，∴DC ＝AC ，∴∠D ＝∠DA C.∵∠ACB

＝∠DCE ＝90°，∠B ＝30°，∴∠D ＝∠DAC ＝60°，∴∠DCA ＝60°，∴∠ACF ＝30°，可得∠AFC ＝90°.∵AB ＝8 cm ，∴AC ＝4 cm ，∴AF ＝2 cm ，由勾股定理可得CF ＝42－22＝23(cm).

11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，△A ′B ′C ′由△ABC 绕点P 旋转得到，则点P 的坐标为 (1，－1) .

解析：连接AA ′，CC ′，作线段AA ′的垂直平分线MN ，作线段CC ′的垂直平分线EF ，直线MN 和直线EF 的交点为P ，点P 就是

旋转中心.∵直线MN 为x ＝1，设直线CC ′为y ＝kx ＋b ，由题意得，

?????－k ＋b ＝0，2k ＋b ＝1，∴?

??k ＝1

3

，b ＝13

，

∴直线CC ′为y ＝13x ＋1

3.∵直线EF ⊥CC ′，经过CC ′中点(12，1

2)，∴直线EF 为y ＝－3x ＋2，由?

????x ＝1，y ＝－3x ＋2

得

?

??

??x ＝1，

y ＝－1，∴P (1，－1). 三、解答题

12.在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2，－1)，B (3，－3)，C (0，－4).

(1)画出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 1B 1C 1； (2)画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2.

解：(1)△A 1B 1C 1如图所示； (2)△A 2B 2C 2如图所示.

13.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F .

(1)求证：△AEC ≌△ADB ； (2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长. (1)证明：由旋转的性质得，

△ABC ≌△ADE . 又∵AB ＝AC ，

∴AE ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，

∴∠BAC ＋∠BAE ＝∠DAE ＋∠BAE ， 即∠CAE ＝∠BA D.

在△AEC 和△ADB 中，

????

?AE ＝AD ，∠CAE ＝∠BAD ，AC ＝AB ，

∴△AEC ≌△ADB (SAS ).

(2)解：∵四边形ADFC 是菱形，且∠BAC ＝45°， ∴∠DBA ＝∠BAC ＝45°. 由(1)得：AB ＝AD ， ∴∠DBA ＝∠BDA ＝45°，

∴△ABD 是直角边为2的等腰直角三角形. ∵AB ＝2，

∴AD ＝DF ＝FC ＝AC ＝AB ＝2， ∴BD 2＝2AB 2，即BD ＝22，

∴BF ＝BD －DF ＝22－2.

14.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别在AB ，AC 上，CE ＝BC ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CF ，连接EF .

(1)补充完成图形；

(2)若EF ∥CD ，求证：∠BDC ＝90°. (1)解：补全图形，如图所示；

(2)证明：由旋转的性质得 ∠DCF ＝90°，

∴∠DCE ＋∠ECF ＝90°. ∵∠ACB ＝90°，

∴∠DCE ＋∠BCD ＝90°， ∴∠ECF ＝∠BC D. ∵EF ∥DC ，

∴∠EFC ＋∠DCF ＝180°， ∴∠EFC ＝90°.

在△BDC 和△EFC 中，

????

?DC ＝FC ，∠BCD ＝∠ECF ，BC ＝EC ，

∴△BDC ≌△EFC (SAS )，

∴∠BDC ＝∠EFC ＝90°.

15.如图，△AOB 中，∠AOB ＝90°，AO ＝3，BO ＝6，△AOB 绕点O 逆时针旋转到△A ′OB ′处，此时线段A ′B ′与BO 的交点E 为BO 的中点，求线段B ′E 的值.

解：∵∠AOB ＝90°，AO ＝3，BO ＝6，

∴AB ＝AO 2＋BO 2＝3 5.

∵△AOB 绕顶点O 逆时针旋转到△A ′OB ′处， ∴AO ＝A ′O ＝3， A ′B ′＝AB ＝3 5.

∵点E 为BO 的中点， ∴OE ＝12BO ＝1

2×6＝3，

∴OE ＝A ′O .

过点O 作OF ⊥A ′B ′于F ， S △A ′OB ′＝12×35·OF ＝1

2×3×6，

解得OF ＝65

5

.

在Rt △EOF 中，EF ＝OE 2－OF 2＝35

5

.

∵OE ＝A ′O ，OF ⊥A ′B ′， ∴A ′E ＝2EF ＝2×355＝65

5，

∴B ′E ＝A ′B ′－A ′E ＝35－

655＝95

5

.

专题训练(四) 圆

一、选择题

1.下列说法错误的是( D ) A.面积相等的两个圆是等圆 B.半径相等的两个半圆是等弧 C.直径是圆中最长的弦

D.长度相等的两条弧是等弧

解析：面积相等的两个圆的半径相等，能完全重合，一定是等圆，故A 正确；半径相等的两个半圆能互相重合，一定是等弧，故B 正确；直径是弦，且是圆中最长的弦，故C 正确；长度相等的两条弧，不一定能互相重合，不一定是等弧，故D 错误，符合题意.故选D.

2.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，连接CO ，AD ，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是( D )

A.AD ＝2OB

B.CE ＝EO

C.∠OCE ＝40°

D.∠BOC ＝2∠BAD

解析 本题考查圆的性质.连接OD ，因为在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，所以∠BOC ＝∠BOD ，又由圆周角定理得∠BOD ＝2∠BAD ，所以∠BOC ＝2∠BAD ，故选D. 3.如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∠ABD ＝60°，CD ＝23，则阴

影部分的面积为( A )

A.2

3

π B.π

C.2π

D.4π

解析：连接O D.∵CD ⊥AB ， ∴CE ＝DE ＝1

2CD ＝3，

故S △OCE ＝S △ODE ，

即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积.又∵∠ABD ＝60°，∴∠CDB ＝30°，

∴∠COB ＝60°，∴OC ＝2，∵CD ⊥AB ，∴∠BOD ＝∠COB ＝60°，∴S 扇形OBD ＝

60π×22360＝2π3，即阴影部分的面积为2π

3

.故选A.

4.如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ，CD 是

⊙O 的切线，A ，D 为切点，连接BD ，A D.若∠ACD ＝30°，则∠DBA 的大小是( D )

A.15°

B.30°

C.60°

D.75°

解析：连接OD ，∵CA ，CD 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ，OD ⊥CD ，∴∠OAC ＝∠ODC ＝90°.∵∠ACD ＝30°，∴∠AOD ＝360°－∠C －

∠OAC －∠ODC ＝150°.∵OB ＝OD ，∴∠DBA ＝∠ODB ＝12

∠AOD ＝75°.故选D.

5.小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为( B )

A.2 3 cm

B.4 3 cm

C.6 3 cm

D.8 3 cm

解析：过点A 作BC 边上的垂线交BC 于点D ，过点B 作AC 边上的垂线交AD 于点O ，则O 为圆心.设⊙O 的半径为R ，由等边三角形的性

质知：∠OBC ＝30°，OB ＝R ，∴OD ＝12OB ＝12R ，由勾股定理可得BD ＝3

2R ，BC ＝2BD ＝3

R .∵BC ＝12 cm ，∴R ＝

12

3

＝43(cm).故选B. 6.如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八

边形，设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为S 1，正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和为S 2，则S 1

S 2

＝( B )

A.34

B.35

C.23

D.1

解析：∵正八边形的内角和为(8－2)×180°＝6×180°＝1 080°，正八边形外侧八个扇形(阴影部分)的内角和为360°×8－1 080°＝2 880°－1 080°＝1 800°，∴S 1S 2＝1 080°1 800°＝35.故选B.

7.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝7，点D 在边

BC 上，CD ＝3，⊙A 的半径长为3，⊙D 与⊙A 相交，且点B 在⊙D 外，那么⊙D 的半径长r 的取值范围是( B )

A.1＜r ＜4

B.2＜r ＜4

C.1＜r ＜8

D.2＜r ＜8

解析：连接A D.∵AC ＝4，CD ＝3，∠C ＝90°，∴AD ＝5.∵⊙A 的半径长为3，⊙D 与⊙A 相交，∴r ＞5－3＝2.∵BC ＝7，∴BD ＝4.∵点