2023学年浙江七年级数学上学期专题训练专题03数形思想之几何图形中的角度计算问题(解析版)

专题03数形思想之几何图形中的角度计算问题综合专练（解

析版）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2021·浙江）如图，从8点钟开始，过了20分钟后，分针与时针所夹的度数是（）

A．120︒B．130︒C．140︒D．150︒

【答案】B

【分析】

此时时针超过8点，分针指向4，根据每2个数字之间相隔30度和时针1分钟走0.5度可得夹角度数．

【详解】

解：时针超过20分所走的度数为20×0.5=10°，

分针与8点之间的夹角为4×30=120°，

∴此时时钟面上的时针与分针的夹角是120+10=130°．

故选：B．

【点睛】

本题考查钟面角的计算，用到的知识点为：钟面上每2个数字之间相隔30度；时针1分钟走0.5度．

2．（2021·浙江七年级期末）周末早上，小兰9：00从家里出发去图书馆看书，上午10：30回到家中，这段时间内钟面上的时针转了（）

A．37.5°B．45°C．52.5°D．60°

【答案】B

9时是分针指向12，时针指向9，10：30时分针指向6，时针指向10和11正中间，所以时针走了1.5个大格，因为每个大格所对的角度是30度，所以3个大格之间的夹角是30°×1.5=45°，据此解答即可．

【详解】

解：由分析得出：从上午9：00到上午10：30，钟面上的时针转了：30°×1.5=45°． 故选：B ．

【点睛】

解决本题要先分析时针位置的变化，再利用每个大格所对的角度是30度进行解答．

二、填空题

3．（2021·浙江七年级期中）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，AO 平分COE ∠，且50EOD ∠=︒，则DOB ∠的度数是________．

【答案】65︒

【分析】

根据180COE EOD ∠+∠=︒，50EOD ∠=︒，求出130COE ∠=︒，利用AO 平分COE ∠，求得65AOC ∠=︒，即可得到∴DOB=65AOC ∠=︒．

【详解】

∴180COE EOD ∠+∠=︒，50EOD ∠=︒，

∴130COE ∠=︒，

∴AO 平分COE ∠，

∴65AOC ∠=︒,

∴∴DOB=65AOC ∠=︒,

故答案为：65︒．

此题考查求一个角的补角，角平分线的性质，对顶角相等，正确理解补角定义求出130COE ∠=︒是解题的关键．

三、解答题

4．（2021·浙江七年级期末）(1)如图(a )，将两块直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起

∴若60DCE ∠=︒，则ACB =∠__________；若140ACB ∠=︒，则DCE ∠=___________. ∴猜想ACB ∠与DCE ∠的度数有何特殊关系，并说明理由.

(2)如图(b )，两个同样的三角尺60︒锐角的顶点A 重合在一起，则DAB ∠与CAE ∠的度数有何关系？请说明理由.

(3)如图(c )，已知AOB α∠=，作COD β∠=(α，β都是锐角且αβ>)，若OC 在AOB ∠的内部，请直接写出AOD ∠与BOC ∠的度数关系.

【答案】（1）∴120°；40°∴∴ACB+∴DCE=180°，理由见解析（2）∴DAB+∴CAE=120°，理由见解析（3）∴AOD+∴BOC=αβ+ 或∴AOD+∴BOC= αβ-或∴BOC -∴AOD= αβ-

【分析】

（1）∴先求出∴BCD ，再代入∴ACB=∴ACD+∴BCD 求出即可；先求出∴BCD ，再代入∴DCE=∴BCE -∴BCD 求出即可；

∴根据∴ACB=∴ACD+∴BCD ，∴DCE=∴BCE -∴BCD ，利用角的加减化简即可 （2）先表示∴CAB 、∴DAB ，利用角的加减即可求解.

（3）分∴OD 在OB 上方时∴OD 在∴BOC 内部∴OD 在∴AOC 内部∴OD 在OA 下方4种情况进行讨论.

【详解】

(1)∴若∴DCE=60°

∴∴DCE=60°，∴ACD=∴BCE=90°

∴∴BCD=∴BCE -∴DCE=30°

∴∴ACB=∴ACD+∴BCD=120°；

若∴ACB=140°

∴∴ACB=140°，∴ACD=∴BCE=90°

∴∴BCD=∴ACB -∴ACD =50°

∴∴DCE=∴BCE-∴BCD=40°

故答案为：120°；40°

∴猜想：∴ACB+∴DCE=180°，理由是：

∴∴ACD=∴BCE=90°

∴∴ACB=∴ACD+∴BCD=90°+∴BCD，∴DCE=∴BCE-∴BCD=90°-∴BCD ∴∴ACB+∴DCE=90°+∴BCD+90°-∴BCD=180°

（2）∴DAB+∴CAE=120°，理由是：

∴∴DAC=∴EAB=60°

∴∴DAB=∴DAC+∴CAB=60°+∴CAB，∴CAE=∴BAE-∴CAB=60°-∴CAB ∴∴DAB+∴CAE=60°+∴CAB+60°-∴CAB=120°

(3)∴OD在OB上方时，如图：

+

∴AOD+∴BOC=∴AOB+∴BOD+∴COD-∴BOD=∴AOB +∴COD=αβ

∴OD在∴BOC内部，如图：

+

∴AOD+∴BOC=∴AOB-∴BOD+∴COD+∴BOD=∴AOB +∴COD=αβ

∴OD在∴AOC内部，如图：

∴AOD+∴BOC=∴AOB -∴BOD +∴BOD -∴COD =∴AOB -∴COD=αβ-

∴OD 在OA 下方，如图：

∴BOC -∴AOD= ∴AOB -∴AOC -（∴COD -∴AOC ）=∴AOB -∴COD=αβ-

综上所述：∴AOD+∴BOC=αβ+ 或∴AOD+∴BOC= αβ-或∴BOC -∴AOD= αβ-

【点睛】

本题考查了角的有关计算的应用，能灵活运用角的和差进行计算是解此题的关键. 5．（2021·浙江七年级期末）操作探究：将两块相同的直角三角板（含有30,60︒︒角）如图1摆放在直线AD 上，三角板OMN 绕点O 以每秒10︒的速度顺时针旋转，当ON 旋转至与射线OA 重合时停止．设旋转时间为t 秒．

（1）若三角板OBC 保持不动，如图2，当3t =时，试判断AOM ∠和BOM ∠是否相等，并说明理由；

（2）若两块三角板同时旋转，三角板OBC 以每秒5︒的速度绕点O 顺时针旋转，当OB 旋转至与射线OD 重合时停止．

∴在三角板OBC 停止运动之前，求AOM ∠和AOB ∠的度数（用含t 的代数式表示）； ∴定义：能把一个角分成1:2的两部分的直线叫做该角的三分线．．．

，当直线OM 为AOB ∠的三分线时，求t 的值．

【答案】（1）相等，见解析；（2）∴10AOM t ∠=，（AOM ∠大于180︒时填写36010t -也可）560AOB t ∠=+；∴12,6,245

=

==t t t 【分析】

∴在三角板OBC 停止运动时，运动时间为24秒直线OM 为AOB ∠的三分线，分为两种情况：当024t <<时，及当24t 27时，结合三角板转动的速度及时间和三分线的定义即可解答本题．

【详解】

解：（1）相等．理由如下：

当3t =时，3030AOM BOM ︒︒∠=∠=，

所以AOM BOM ∠=∠．

（2）∴10AOM t ∠=，（AOM ∠大于180︒时填写36010t -也可）560AOB t ∠=+； ∴在三角板OBC 停止运动时，运动时间为24秒直线OM 为AOB ∠的三分线，分为两种情况：

情况1：当024t <<时， 当13

AOM AOB ∠=∠时，如图1． 110(605)3

t t =+ 125

t =； 当23

AOM AOB ∠=∠时，如图2． 210(605)3

t t =+ 6t =；

情况2：当24t 27时 当1603

AOM AOB ︒∠=∠=时，如图3． 2t =；

12,6,245

∴===t t t ；

【点睛】

本题考查了三分线的定义，以及角的和差，解题的关键是结合三角形转动的速度解题．

6．（2021·浙江七年级期末）如图，已知直线AB 与CD 相交于点

40O OE CD AOC OF ︒⊥∠=，，，为AOD ∠的角平分线．

（1）求EOB ∠的度数；

（2）求EOF ∠的度数．

【答案】（1）50EOB ∠=︒；（2）160EOF ∠=︒

【分析】

（1）由对顶角相等的性质得40BOD AOC ∠=∠=︒，再由90EOD ∠=︒，即可求出EOB ∠的度数；

（2）先求出AOD ∠的度数，再由角平分线的性质得到FOD ∠的度数，即可求出EOF ∠的度数．

【详解】

解：（1）OE CD ⊥，

∴90EOD ∠=︒，

∴40BOD AOC ∠=∠=︒，

50EOB EOD BOD ∴∠=∠-∠=︒；

（2）∴直线AB 与CD 相交于点O ，

40AOC BOD ∴∠=∠=︒，

∴180140

=︒-=︒

∠∠，

AOD BOD

OF为AOD

∠的角平分线，

∴∠=∠=︒，

AOF FOD

70

EOF EOD FOD

∴∠=∠+∠=︒．

160

【点睛】

本题考查角度求解，解题的关键是掌握对顶角的性质，垂直的性质，以及角平分线的性质．

7．（2021·浙江七年级期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE，OF为射线，∴AOE=90°，OF平分∴BOC，

（1）若∴EOF=30°，求∴BOD的度数；

（2）试问∴EOF与∴BOD有什么数量关系？请说明理由．

【答案】（1）∴BOD=60°；（2）∴BOD=2∴EOF，理由见解析

【分析】

(1)求出∴FOB=90°-∴EOF=60°，由OF平分∴BOC求出∴BOC=120°，进而求出

∴BOD=180°-120°=60°；

(2)设∴EOF=α，将∴FOB、∴BOC分别用α的代数式表示，最后∴BOD=180°-∴BOC即可求解．

【详解】

解：(1)∴BOE=180°-∴AOE=180°-90°=90°，

∴∴EOF=30°，

∴∴FOB=90°-30°=60°，

∴OF为∴BOC的角平分线，

∴∴BOC=2∴FOB=120°，

∴∴BOD=180°-∴BOC=180°-120°=60°；

(2)设∴EOF=α，则∴FOB=90°-α，

∴∴BOC=2∴FOB=2(90°-α)，

∴∴BOD=180°-∴BOC=180°-2(90°-α)=2α，

即∴BOD=2∴EOF ．

【点睛】

本题主要考查了垂线，角平分线的定义以及平角的综合运用，掌握角平分线平分角，垂线得到直角这两个性质是解决本题的关键．

8．（2021·浙江七年级期末）将一副三角板如图1摆放，30AOB ∠=︒，45COD ∠=︒，OM 平分AOD ∠，ON 平分BOC ∠．

（1）MON ∠=_______；

（2）将图1的三角板OCD 绕点O 逆时针旋转α度至图2位置．

∴当25α=时，求MON ∠的度数．

∴当0150α<<时，请直接写出MON ∠，AOB ∠，COD ∠之间的数量关系．

【答案】（1）37.5︒；（2）∴37.5︒；∴1()2

MON AOB COD ∠=∠+∠ 【分析】

（1）根据角平分线的定义分别计算∴BOM 和∴BON 的度数，从而求解；

（2）∴根据角平分线的定义分别计算∴DOM 和∴BON 的度数，从而求解； ∴根据角平分线的定义分别表示出∴DOM 和∴BON 的度数，从而利用角的数量关系求解．

【详解】

解：（1）在图1中，

∴OM 平分AOD ∠，ON 平分BOC ∠，30AOB ∠=︒，45COB ∠=︒， ∴∴BOM=1152AOB ∠=︒，∴BON=122.52

COB ∠=︒ ∴1522.5MON BOM BON ∠=∠+∠=︒+︒=37.5︒

（2）在图2中，当25α=时，25BOD ∠=︒

∴OM 平分AOD ∠，ON 平分BOC ∠，30AOB ∠=︒，45COD ∠=︒

∴302527.522AOB BOD DOM ∠+∠︒+︒∠=

==︒，45253522

COD BOD BON ∠+∠︒+︒∠===︒ MON DOM BON BOD ∴∠=∠+∠-∠

27.53525=︒+︒-︒

37.5=︒

（3）当0150α<<时，

∴OM 平分AOD ∠，ON 平分BOC ∠ ∴2AOB DOM α∠+∠=，2

COD BON α∠+∠= MON DOM BON BOD ∴∠=∠+∠-∠ =2AOB α∠++2

COD αα∠+- 1()2

AOB COD =∠+∠ ∴1()2

MON AOB COD ∠=∠+∠． 【点睛】

本题考查角平分线的定义与角的运算，正确理解图意列出角之间的数量关系式正确计算是解题关键．

9．（2021·浙江宁波市·七年级期末）将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O ．

（1）如图1，若∴AOD ＝35°，求∴BOC 的度数．

（2）若三角板AOB 保持不动，将三角板COD 的边OD 与边OA 重合，然后将其绕点O 旋转．试猜想在旋转过程中，∴AOC 与∴BOD 有何数量关系？请说明理由．

【答案】（1）∴BOC=35°；（2）∴AOC+∴BOD=180°，理由见解析

【分析】

（1）先求出∴BOD 的度数，进而可求出∴BOC 的度数；

（2）分两种情况，根据∴AOB=∴COD=90°即可求出答案．

【详解】

解：（1）∴∴AOB=90°，∴AOD=35°，

∴∴BOD=90°-35°=55°，

∴∴COD=90°，

∴∴BOC=90°-55°=35°；

（2）∴AOC+∴BOD=180°，

如图1时，

∴∴AOB=∴COD=90°，

∴∴AOC+∴BOD

=∴AOB+∴BOC+∴BOD

=∴AOB+∴COD

=90°+90°

=180°；

如图2时，

∴AOC+∴BOD=360°-90°-90°=180°；

综上可知，∴AOC+∴BOD=180°．

【点睛】

本题考查了三角板中角的计算，正确识图是解题的关键．

10．（2021·浙江七年级期末）从一个锐角()4590αα︒<<︒顶点出发在角的内部引一条射线，把α分成两个角，若其中一个角与α互余，则这条射线叫做锐角α的余分线，这个角叫做锐角α的余分角．

例如：图∴中，当60,30AOB BOC ∠=︒∠=︒时，BOC ∠与AOB ∠互余，那么OC 是AOB ∠的余分线，BOC ∠是AOB ∠的余分角．

（1）若70AOB ∠=︒，OC 是它的余分线，则AOC ∠=_________；

（2）如图∴，EOB ∠是平角，BOC ∠是AOB ∠的余分角，90AOD ∠=︒，试说明DOE BOC ∠=∠．

（3）如图∴，在（2）的条件下，若OF 是AOB ∠的平分线，14DOE ∠=︒，求COF ∠度数．

【答案】（1）20°或50°；（2）见解析；（3）24°

【分析】

（1）根据余分线的定义分情况讨论，从而求解；

（2）根据余分角的定义可得90BOC AOB ∠+∠=︒，根据题意可得90DOE AOB ∠+∠=︒，从而利用同角的余角相等可以得到结论；

（3）根据上一问的结论可得14BOC ∠=︒，然后利用余分角和角平分线的定义求得角的数量关系，从而求解．

【详解】

解：（1）∴70AOB ∠=︒，OC 是它的余分线，

∴90AOC AOB 或90BOC AOB ∠+∠=︒ ∴90AOC AOB 或()90AOB AOC AOB ∠-∠+∠=︒

解得：=20AOC ∠︒或=50AOC ∠︒

故答案为：20°或50°

（2）∴BOC ∠是AOB ∠的余分角，

∴90BOC AOB ∠+∠=︒，

∴EOB ∠是平角，90AOD ∠=︒，

∴90DOE AOB ∠+∠=︒，

∴BOC DOE ∠=∠

（3）∴BOC DOE ∠=∠，14DOE ∠=︒，

∴14BOC ∠=︒，

∴BOC ∠是AOB ∠的余分角，

∴901476AOB ∠=︒-︒=︒，

∴OF 平分AOB ∠， ∴11763822

BOF AOB ∠=∠=⨯=︒， ∴381424COF ∠=︒-︒=︒

【点睛】

本题考查角平分线的定义及角的数量关系，正确理解题意准确计算并注意分类讨论思想的运用是解题关键．

11．（2021·浙江）如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OE ，OF 都在直线AB 的上方，且OE OF ⊥．

（1）若28AOC ∠=︒，30BOF ∠=︒，求DOE ∠的度数．

（2）若OB 平分DOF ∠，请写出图中与AOE ∠互余的角：________．（直接写出所有．．答案）

【答案】（1）148°；（2）∴BOF ，∴BOD ，∴AOC

【分析】

（1）根据对顶角相等得到∴AOC=∴BOD=28°，结合OE∴OF ，得到

∴DOE=∴EOF+∴BOD+∴BOF ；

（2）根据∴EOF=90°得到∴AOE+∴BOF=90°，再证明∴BOD=∴BOF ，∴AOC=∴BOD ，可得其他互余的角．

【详解】

解：（1）∴∴AOC=∴BOD=28°，OE∴OF ，

∴∴DOE=∴EOF+∴BOD+∴BOF=90°+28°+30°=148°；

（2）∴OE∴OF ，

∴∴EOF=90°，

∴∴AOE+∴BOF=90°，

∴OB 平分∴DOF ，

∴∴BOD=∴BOF ，

∴∴AOE+∴BOD=90°，

∴∴AOC=∴BOD ，

∴∴AOE+∴AOC=90°，

∴与∴AOE 互余的角有：∴BOF ，∴BOD ，∴AOC ．

【点睛】

本题考查了余角，角平分线的定义，对顶角相等，是基础题，熟记概念并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

12．（2021·浙江七年级期末）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，30AOC ∠=︒，射线OE 从OC 开始绕点O 按顺时针方向旋转到OB ．

（1）当OE AB ⊥时，求EOD ∠的度数．

（2）当OE 平分COB ∠时，求EOD ∠的度数．

【答案】（1）120°；（2）105°

【分析】

（1）根据垂直，得出90BOE ∠=︒，再根据对顶角的性质得出30BOD ∠=︒，相加即可； （2）根据角平分线，求出∠BOE 即可．

【详解】

解：（1）∴OE AB ⊥，∴90BOE ∠=︒．

∴30AOC ∠=︒，∴30BOD ∠=︒，

∴9030120EOD BOE BOD ∠=∠+∠=︒+︒=︒．

（2）∴30AOC ∠=︒，∴150COB ∠=︒．

∴OE 平分COB ∠，∴111507522

BOE COB ∠=∠==︒⨯︒． ∴30BOD ∠=︒，

∴7530105EOD BOE BOD ∠=∠+∠=︒+︒=︒．

【点睛】

本题考查了垂线的性质，角平分线的性质，对顶角的性质，解题关键是熟练运用这些性质进行推理和计算．

13．（2021·浙江）如图，直线AB 与CD 交于点O ，OF AB ⊥垂足为O ，OE 平分FOD ∠．

（1）若70AOC ∠=︒，求BOD ∠和EOB ∠的度数；

（2）若AOC α∠=，则EOB ∠=___________．（用含α的代数式表示）

【答案】（1）70,10BOD EOB ∠=︒∠=︒；（2）452α︒-

【分析】

（1）根据对顶角相等求得∴BOD 的度数，利用垂直的定义求得90FOB ∠=︒，然后利用角的和差运算及角平分线的定义求解；

（2）根据角的和差运算及角平分线的定义列式求解．

【详解】

解：（1） ∴AOC ∠与BOD ∠是对顶角

∴70AOC BOD ∠=∠=︒（对顶角相等）

∴FO OB ⊥

∴90FOB ∠=︒

∴9070160FOD FOB BOD ︒︒∠=∠+∠=+=︒

∴OE 平分FOD ∠ ∴111608022

FOE FOD ∠=∠==︒⨯︒ ∴908010EOB FOB FOE ∠=∠-∠=︒-=︒︒

（2）由题意可得：AOC BOD α∠=∠=

∴FO OB ⊥

∴90FOB ∠=︒

∴90FOD FOB BOD α∠=∠+=︒∠+

∴OE 平分FOD ∠ ∴2

(90)112FOE FOD α=∠=︒+∠ ∴1(90)4522

90EOB FOB FOE αα︒∠=∠-∠==︒+︒-- 故答案为：452α︒-

．

【点睛】 本题考查对顶角相等，角平分线的定义及角的和差运算，准确识图，掌握相关概念正确推理计算是解题解题关键．

14．（2021·浙江七年级期末）已知AOB ∠与COD ∠互补，射线OE 平分COD ∠，设AOC α∠=，BOD β∠=．

（1）如图1，COD ∠在AOB ∠的内部，

∴当45COD ∠=︒时，求αβ+的值．

∴当3αβ=时，求∠BOE 的度数．

（2）如图2，COD ∠在AOB ∠的外部，45BOE ∠=︒，求α与β满足的等量关系．

【答案】（1）∴90°；∴45°；（2）3360αβ+=︒．

【分析】

（1）∴根据补角的定义可得135AOB ∠=︒，AOB ∠-COD ∠即可得到结论；

∴设2COD x ∠=，根据角平分线的定义和补角的定义即可得到结论；

（2）根据角平分线的定义和角的和差求出45COE DOE β∠=∠=-︒，则

2290COD DOE β∠=∠=-︒，根据角的和差求出,BOC AOB ∠∠，再由AOB ∠与COD ∠互补即可得到结论．

【详解】

解：（1）∴∴180AOB COD ∠+∠=︒，45COD ∠=︒，

∴135AOB ∠=︒，

∴90AOB COD αβ+=∠-∠=︒；

∴设2COD x ∠=，

∴OE 平分COD ∠， ∴12

COE DOE COD x ∠=∠=∠=， ∴180AOB COD ∠+∠=︒，

∴22180x x αβ+++=︒

又∴3αβ=，

∴()4180x β+=︒，

∴45BOE x β∠=+=︒；

（2）∴45COE DOE BOD BOE β∠=∠=∠-∠=-︒，

∴2290COD DOE β∠=∠=-︒，

∴90BOC BOE COE β∠=∠-∠=︒-，

∴90AOB AOC BOC αβ∠=∠-∠=+-︒，

∴180AOB COD ∠+∠=︒，

∴()()90290180αββ+-︒+-︒=︒，

∴3360αβ+=︒

【点睛】

本题考查了角的计算，角平分线的定义，补角的定义，正确的识别图形是解题的关键．

15．（2021·浙江）新定义问题

如图∴，已知AOB ∠，在AOB ∠内部画射线OC ，得到三个角，分别为AOC ∠、BOC ∠、AOB ∠．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC 为AOB ∠的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0︒而小于180︒的角．）

（阅读理解）

（1）角的平分线_________这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）

（初步应用）

（2）如图∴，45AOB ∠=︒，射线OC 为AOB ∠的“幸运线”，则AOC ∠的度数为_______； （解决问题）

（3）如图∴，已知60AOB ∠=︒，射线OM 从OA 出发，以每秒20︒的速度绕O 点逆时针旋转，同时，射线ON 从OB 出发，以每秒15︒的速度绕O 点逆时针旋转，设运动的时间为t 秒（09t <<）．若OM 、ON 、OA 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t 值．

【答案】（1）是；（2）15°或22.5°或30°；（3）127t =或125t =或1211t =或365t = 【分析】

（1）若OC 为∴AOB 的角平分线，则有2AOB AOC ∠=∠，则根据题意可求解； （2）根据“幸运线”的定义可得当2AOB AOC ∠=∠时，当2AOC BOC ∠=∠时，当2BOC AOC ∠=∠时，然后根据角的和差关系进行求解即可；

（3）由题意可分∴当04t <<时ON 在与OA 重合之前，则有20MOA t ∠=，

6015AON t ∠=-，由OA 是MON ∠的幸运线可进行分类求解；∴当49<

【详解】

解：（1）若OC 为∴AOB 的角平分线，则有2AOB AOC ∠=∠，符合“幸运线”的定义，所以角平分线是这个角的“幸运线”；

故答案为是；

（2）由题意得：

∴45AOB ∠=︒，射线OC 为AOB ∠的“幸运线”，

∴∴当2AOB AOC ∠=∠时，则有：22.5AOC ∠=︒；

∴当2AOC BOC ∠=∠时，则有2303

AOC AOB ∠=∠=︒； ∴当2BOC AOC ∠=∠时，则有1153

AOC AOB ∠=∠=︒； 综上所述：当射线OC 为AOB ∠的“幸运线”时，∴AOC 的度数为15︒，22.5︒，30， 故答案为15︒，22.5︒，30；

（3）∴60AOB ∠=︒，

∴射线ON 与OA 重合的时间为15460︒÷︒=（秒），

∴当04t <<时ON 在与OA 重合之前，如图所示：

∴20MOA t ∠=，6015AON t ∠=-，

OA 是MON ∠的幸运线，则有以下三类情况：

∴206015t t =-，127

t =， ∴()2026015t t =-，125

t =， ∴2206015t t ⨯=-，1211t =

； 当49<

∴560MON t ∠=+，1560AON t ∠=-，

ON 是AOM ∠的幸运线，则有以下三类情况：

∴5601560t t +=-，12t =（不符合题意，舍去），

∴()56021560t t +=-，365

t =， ∴()25601560t t +=-，36t =（不符合题意，舍去）； 综上：127t =或125t =或1211

t =或365t =． 【点睛】

本题主要考查角平分线的定义及角的动点问题，熟练掌握角平分线的定义及和差关系是解题的关键．

16．（2021·浙江七年级期中）如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，且AB CD ⊥，OG 平分∠BOE ，若1

3EOG AOE ∠∠=，求DOF ∠的度数．

【答案】18°【分析】

首先根据角平分线的性质可得∴EOG=∴BOG，设∴EOG=x°，进而得到∴EOG=1 3

∴AOE=x°，再根据平角为180°可得x+x+3x=180，解出x可得∴EOG，进而可得∴DOF 的度数．

【详解】

解：∴OG平分∴BOE，

∴∴EOG=∴BOG，

设∴EOG=x°，

∴∴EOG=1

3

∴AOE，

∴∴AOE=3x°，

∴x+x+3x=180，

解得：x=36，

∴∴AOE=3×36°=108°，

∴∴AOF=180°-∴AOE=180°-108°=72°，

∴AB∴CD，

∴∴AOD=90°，

∴∴DOF=∴AOD-∴AOF=90°-72°=18°．

所以∴DOF的度数18°．

【点睛】

此题考查了垂线、角平分线，关键是掌握角平分线可以把角分成相等的两部分．17．（2021·浙江）已知：如图，直线AB CD

、相交于点O，EO CD

于O．