简单的三角恒等变换考点与提醒归纳

考点一三角函数式的化简

[典例] (1)sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2α

cos (90°＋α)等于( )

A ．－sin α

B ．－cos α

C ．sin α

D ．cos α

(2)化简：sin (2α＋β)

sin α

－2cos(α＋β)．

[解] (1)选D 原式＝－sin 2α·cos 2α

2cos 2α(－sin α)＝－2sin αcos α·cos 2α

2cos 2α(－sin α)＝cos α.

(2)原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)

sin α

＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)

sin α

＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)

sin α

＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)

sin α

＝

sin[(α＋β)－α]sin α＝sin β

sin α

[解题技法] [题组训练]

1．化简：sin 2α－2cos 2α

sin ????α－π4＝________.

解析：原式＝2sin αcos α－2cos 2α

2(sin α－cos α)＝22cos α.

答案：22cos α

2．化简：2cos 2α－1

2tan ????π4－αcos 2????π4－α.

解：原式＝cos 2α

2sin ????π4－αcos ???

?π4－α

＝

cos 2α

sin ????π2－2α ＝

cos 2αcos 2α

＝1.

考点二三角函数式的求值

考法(一) 给角求值 [典例]

cos 10°(1＋3tan 10°)

cos 50°

的值是________．

[解析] 原式＝cos 10°＋3sin 10°cos 50°＝2sin (10°＋30°)cos 50°＝2sin 40°

sin 40°＝2.

[答案] 2

[解题技法] 三角函数给角求值问题的解题策略

一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．

考法(二) 给值求值

[典例] 已知sin ????α＋π4＝2

10，α∈????π2，π. 求：(1)cos α的值； (2)sin ????2α－π

4的值． [解] (1)由sin ????α＋π4＝2

10，得sin αcos π4＋cos αsin π4＝2

10，

化简得sin α＋cos α＝1

5，①

又sin 2α＋cos 2α＝1，且α∈????

π2，π② 由①②解得cos α＝－35

(2)∵α∈????π2，π，cos α＝－35，∴sin α＝45

， ∴cos 2α＝1－2sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝－24

25，

∴sin ????2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝－172

50.

[解题技法] 三角函数给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或已知条件；

(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．考法(三) 给值求角 [典例] 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝10

，且α∈????π4，π，β∈????π，3π2，则α＋β的值是( )

A.7π

4 B.9π

C.5π4或7π4

D.5π4或9π4

[解析] ∵α∈????π4，π，∴2α∈????π

2，2π， ∵sin 2α＝

，∴2α∈????π2，π. ∴α∈????π4，π2且cos 2α＝－255. 又∵sin(β－α)＝

，β∈????π，3π2， ∴β－α∈????π2，5π4，cos(β－α)＝－310

10， ∴cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝????－31010×????

－255－1010×55＝22，

又∵α＋β∈????5π4，2π，∴α＋β＝7π

4. [答案] A

[解题技法] 三角函数给值求角问题的解题策略

(1)根据已知条件，选取合适的三角函数求值． ①已知正切函数值，选正切函数；

②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是????0，π

2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围是???

?－π2，π

2，选正弦函数较好． (2)注意讨论所求角的范围，及解题过程中角的范围．

[题组训练]

1．求值：cos 20°

cos 35°1－sin 20°＝( )

A ．1

B ．2 C.2

D.3

解析：选C 原式＝cos 20°

cos 35°|sin 10°－cos 10°|

＝cos 210°－sin 210°

cos 35°(cos 10°－sin 10°)

＝cos 10°＋sin 10°

cos 35°

＝

2???

?22cos 10°＋22sin 10°

cos 35°

＝2cos (45°－10°)cos 35°＝2cos 35°cos 35°＝ 2.

2．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝3

，则cos 2α＝( ) A ．－53

B ．－59

C.59

解析：选A 法一：因为sin α＋cos α＝33，所以(sin α＋cos α)2＝1

，即2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23

. 又因为α为第二象限角且sin α＋cos α＝

>0，所以sin α>0，cos α<0，cos α－sin α<0，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－ sin α)<0.

所以cos 2α＝－

1－sin 22α＝－

1－????－232＝－5

法二：由cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)，且α为第二象限角，得cos α－sin α<0，

因为sin α＋cos α＝

，所以(sin α＋cos α)2＝1

＝1＋2sin αcos α，

得2sin αcos α＝－23，从而(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝53，则cos α－sin α＝－15

3，

所以cos 2α＝

33×???

?－153＝－53. 3．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝310

，则α＋β等于( ) A.3π

4 B.π4或3π

C.π4

D ．2k π＋π

(k ∈Z)

解析：选C 由sin α＝

55，cos β＝31010

，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝10

，

故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝2

2，

又0<α＋β<π，故α＋β＝π

考点三三角恒等变换的综合应用

[典例] (2018·北京高考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；

(2)若f (x )在区间????－π3，m 上的最大值为3

2，求m 的最小值． [解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋3

2sin 2x ＝sin ?

???2x －π6＋1

2，

所以f (x )的最小正周期为T ＝

2π2

＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ????2x －π6＋12. 由题意知－π

3≤x ≤m ，

所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6

要使f (x )在区间????－π3，m 上的最大值为3

2，即sin ????2x －π6在区间????－π

3，m 上的最大值为1，所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.

所以m 的最小值为π

[解题技法]

三角恒等变换综合应用的解题思路

(1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； (2)构造f (x )＝a 2＋b 2?

??a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x ；

(3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)； (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．

[题组训练]

1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －3

的最小正周期为π，则下列结论正确的是( )

A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π

3对称

B ．函数f (x )在区间????

π12，7π12上单调递增

C ．将函数f (x )的图象向右平移π

6个单位长度可得函数g (x )＝cos 2x 的图象

D ．当x ∈????0，π2时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－32

解析：选D 因为f (x )＝sin ωx cos ωx ＋ 3 c os 2ωx －

32＝12 s in 2ωx ＋3

c os 2ωx ＝sin ????2ωx ＋π3，所以T ＝2π

2ω＝π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin ????2x ＋π3.对于A ，因为f ????π3＝0，所以不正确；对于B ，当x ∈????π12，7π12时，2x ＋π3∈????π2，3π

2，所以函数f (x )在区间????π12，7π12上单调递减，故不正确；对于C ，将函数f (x )的图象向右平移π

6个单位长度所得图象对应的函数y

＝f ????x －π6＝sin ????2????x －π6＋π3＝sin 2x ，所以不正确；对于D ，当x ∈????0，π2时，2x ＋π3∈????π3，4π3，所以f (x )∈?

－

32，1，故正确．故选D. 2．已知函数f (x )＝4sin x cos ????x －π

3－ 3. (1)求函数f (x )的单调区间；

(2)求函数f (x )图象的对称轴和对称中心．解：(1)f (x )＝4sin x cos ????x －π

3－3 ＝4sin x ????12cos x ＋3

2sin x －3

＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ?

???2x －π

3. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π

2(k ∈Z)，

得k π－π12≤x ≤k π＋5π

(k ∈Z)，

所以函数f (x )的单调递增区间为????k π－π12，k π＋5π

12(k ∈Z)．令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π

2(k ∈Z)，

得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π

(k ∈Z)，

所以函数f (x )的单调递减区间为?

???k π＋5π12，k π＋11π

12(k ∈Z)．

(2)令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π

12(k ∈Z)，

所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π

12(k ∈Z)．

令2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π

6(k ∈Z)，

所以函数f (x )的对称中心为????k π2＋π6，0(k ∈Z)．

[课时跟踪检测]

A 级

1．已知sin ????π6－α＝cos ????π

6＋α，则tan α＝( ) A ．1 B ．－1 C.1

D ．0

解析：选B ∵sin ????π6－α＝cos ????π

6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－1

2sin α，即??

??32－12sin α＝???

?12－32cos α，

∴tan α＝sin αcos α

＝－1.

2．化简：cos 40°

cos 25°1－sin 40°＝( )

A ．1 B.3 C.2

D ．2

解析：选C 原式＝cos 220°－sin 220°

cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°

cos 25°＝ 2.

3．(2018·唐山五校联考)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ????α＋π

4＝( ) A ．－

1010

C ．－31010

D.31010

解析：选C 因为α是第三象限的角，tan α＝2，

所以?

sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝－55，sin α＝－255，

则sin ????α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－255×22－55×22＝－310

10. 4．(2019·咸宁模拟)已知tan(α＋β)＝2，tan β＝3，则sin 2α＝( ) A.725 B.1425

C ．－725

D ．－14

解析：选C 由题意知tan α＝tan [(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β

1＋tan (α＋β)tan β＝－1

7，

所以sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1

＝－7

25.

5．已知cos ????2π3－2θ＝－7

9，则sin ????π6＋θ的值为( ) A.1

3 B ．±1

C ．－19

D.19

解析：选B ∵cos ????2π3－2θ＝－79

， ∴cos ????π－????π3＋2θ＝－cos ???

?π3＋2θ ＝－cos ????2????π6＋θ＝－????1－2sin 2????π6＋θ＝－79

，解得sin 2????π6＋θ＝19，∴sin ????π6＋θ＝±13

. 6．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝4

5，且α为第二象限角，则tan ????α＋π4＝( ) A ．7 B.1

C ．－7

D ．－1

解析：选B ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝4

5，

∴cos α＝－45.又∵α为第二象限角，∴tan α＝－3

，∴tan ????α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17.

7．化简：2sin (π－α)＋sin 2α

cos 2

α2＝________.

解析：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)

＝

4sin α(1＋cos α)

1＋cos α

＝4sin α.

答案：4sin α

8．(2018·洛阳第一次统考)已知sin α＋cos α＝5

，则cos 4α＝________. 解析：由sin α＋cos α＝

52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝5

，所以sin 2α＝1

，从而cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×????142＝78. 答案：78

9．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________. 解析：由已知可得tan α＋tan β

1－tan αtan β＝3，

即tan(α＋β)＝ 3.

又因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π

答案：π3

10．函数y ＝sin x cos ???

?x ＋π

3的最小正周期是________．解析：y ＝sin x cos ????x ＋π3＝12sin x cos x －32sin 2x ＝14sin 2x －32·1－cos 2x 2＝12sin ????2x ＋π3－34，故函数f (x )的最小正周期T ＝2π

＝π. 答案：π

11．化简：(1)3tan 12°－3

sin 12°(4cos 212°－2)；

(2)

cos 2α1tan α2

－tan α2.

解：(1)原式＝3sin 12°cos 12°

－3

2(2cos 212°－1)sin 12° ＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°

＝23(sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°)sin 24°cos 24°

＝43sin (12°－60°)sin 48°

＝－4 3.

(2)法一：原式＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2 α

cos 2 α2－sin 2 α2sin α2cos α2

＝cos 2αsin α2cos α2cos 2 α2－sin 2

α2＝cos 2αsin α2cos

cos α

＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝1

4sin 2α.

法二：原式＝cos 2αtan α21－tan 2 α2＝12cos 2α·2tan

1－tan 2

＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝1

4sin 2α. 12．已知函数f (x )＝2sin x sin ????x ＋π

6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈???

?0，π

2时，求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝2sin x ????32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ????2x －π3＋32，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π

2＋2k π，k ∈Z ，

解得－π12＋k π≤x ≤5π

＋k π，k ∈Z ，

所以函数f (x )的单调递增区间是???

?－π12＋k π，5π

12＋k π，k ∈Z.

(2)当x ∈????0，π2时，2x －π

3∈????－π3，2π3， sin ????2x －π3∈????－32，1，f (x )∈????0，1＋32. 故f (x )的值域为?

0，1＋

32. B 级

1．(2018·大庆中学期末)已知tan α，1

tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，

且3π<α<7π

，则cos α＋sin α＝( )

A.3

B.2 C ．－2

D ．－3

解析：选C ∵tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，∴tan α＋

tan α＝k ，tan α·1

tan α

＝k 2－3.

∵3π<α<7π

2，∴k >0，∴k ＝2，

∴tan α＝1，∴α＝3π＋π

4，

则cos α＝－

22，sin α＝－2

，∴cos α＋sin α＝－ 2. 2．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝1

3，则sin A ＝________.

解析：∵sin(C －A )＝1， ∴C －A ＝90°，即C ＝90°＋A ， ∵sin B ＝1

，

∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin(90°＋2A )＝cos 2A ＝1

3，

即1－2sin 2A ＝13，∴sin A ＝3

答案：

3．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)． (1)求sin 2α－tan α的值；

(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ???

?π

2－2x －2f 2(x )在区间

???0，2π3上的值域．

解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.

∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－

32＋33＝－3

. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，

∴g (x )＝3cos ????π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ????2x －π

6－1. ∵0≤x ≤2π

3，

∴－π6≤2x －π6≤7π6.

∴－1

2≤sin ????2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ?

???2x －π

6－1≤1，故函数g (x )＝3f ????π2－2x －2f 2(x )在区间?

???0，2π

3上的值域是[－2,1]．

三角恒等变换各种题型归纳分析

三角恒等变换 α/4

题型一：公式的简单运用例1: 题型二：公式的逆向运用例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用例3. 提高题型：题型一：合一变换例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ . cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin ) (;cos sin cos sin ) (.cos )(;cos )(;sin )(;sin )(.x x x x x 2203 132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθ θθθαα<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,5 4 cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,24,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==?? ? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπ απα? ?? ?? ? ? -??? ??---? -? -???72cos 36cos )2(;12 5cos 12 cos )1(.34cos 4sin )3(;2 3tan 23tan 1) 2(;2 cos 2 sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.12 4 4 2 2 ππ παα παα α α 求值：化简下列各式：求下列各式的值：. )70sin(5)10sin(3.3. 2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312 sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最取何值时当锐角?++?+=- ++-x x y θθθπ π

三角恒等变换问题(典型题型)

三角恒等变换问题三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减）已知11cos sin ,sin cos 2 3 αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221 cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36 αβαβ+-= 化简得，59sin()72 βα-=- 即59sin()72 αβ-= 方法评析：式的变换包括： 1、tan(α±β)公式的变用 2、齐次式 3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方） 4、两式相加减，平方相加减 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）

例2 （角的变换---已知角与未知角的转化）已知7sin()24 25π αα-= =，求sin α及tan()3 π α+．解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 )cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5 7 cos sin =-αα ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得故5 1sin cos -=+αα ② 由①和②式得5 3sin =α，5 4cos -=α，于是3 tan 4 α=- 故3 tan()34πα-+=== 方法评析： 1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到． 2.在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．例3（合一变换---辅助角公式）

必修四三角函数和三角恒等变换知识点与题型分类总结

三角函数知识点总结 1、任意角：正角：；负角：；零角：； 2、角α的顶点与重合，角的始边与重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在x 轴上的角的集合为终边在y 轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域． 5、叫做1弧度． 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是． 7、弧度制与角度制的换算公式： 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l= ．S= 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是() 0r r =>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：． 12、同角三角函数的基本关系：(1) ; (2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．

高考总复习三角恒等变换专题习题附解析

高考总复习三角恒等变换专题习题附解析文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]

三角恒等变换专题习题一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知α为锐角，cosα＝，则tan＝( ) A．－3 B．－ C．－D．－7 解析依题意得，sinα＝，故tanα＝2，tan2α＝＝－，所以tan＝＝－. 答案B 2．已知cos＝－，则cos x＋cos的值是( ) A．－B．± C．－1 D．±1 解析cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1. 答案C 3．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( ) A. B. C. D．－1 解析∵cos2θ＝，∴sin22θ＝，∴sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－(sin2θ)2＝. 答案B 4．已知α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值是( ) A．－1 B．1 C．2 D．4 解析∵α＋β＝，tan(α＋β)＝＝1， ∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ. ∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ ＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2. 答案C 5.

(2014·成都诊断检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为和，则cos(α＋β)的值为( ) A．－B．－ C．0 D. 解析cosα＝，sinα＝，cosβ＝－，sinβ＝，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝·(－)－·＝－.选A. 答案A 6．若＝－，则sinα＋cosα的值为( ) A．－B．－ C. D. 解析∵(sinα－cosα)＝－(cos2α－sin2α)， ∴sinα＋cosα＝. 答案C 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．若tan＝，则tanα＝________. 解析∵tan＝＝， ∴5tanα＋5＝2－2tanα. ∴7tanα＝－3，∴tanα＝－. 答案－ 8．(2013·江西卷)函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________．解析y＝sin2x＋2sin2x＝sin2x－cos2x＋＝2sin(2x－)＋，所以T＝π. 答案π 9．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ＝________. 解析f(x)＝sin x－2cos x＝(sin x－cos x)＝sin(x－φ)而sinφ＝，cosφ＝，当x －φ＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值，即θ＝φ＋＋2kπ时，f(x)取最大值．cosθ＝cos(φ＋＋2kπ)＝－sinφ＝－＝－.

三角恒等变换(测试题及答案)

三角恒等变换测试题第I 卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（） A 0 B 12 C D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 3. 函数sin cos y x x =+的最小正周期为（） A. 2 π B. π C. 2π D. 4π 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（） A 47 - B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（） A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（） A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12 π 个单位

(完整word)2018年高考数学总复习三角恒等变换

第三节三角恒等变换考纲解读会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系. 能利用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但对这三种公式不要求记忆）. 命题趋势探究高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透，是三角函数的重要变形工具.分值与题型稳定，属中下档难度. 考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主. 化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）. 知识点精讲常用三角恒等变形公式和角公式 sin()sin cos sin cos αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ++= - 差角公式 sin()sin cos sin cos αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ --= + 倍角公式 sin 22sin cos ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan α αα =- 降次（幂）公式 2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222 αα ααααα-+=== 半角公式 sin 2 2α α==

sin 1cos tan .21cos sin a α αα α-= =+ 辅助角公式 sin cos ),tan (0),b a b ab a ααα??+=+=≠角?的终边过点(,)a b ，特殊地，若sin cos a b αα+=，则tan .b a α= 常用的几个公式 sin cos );4π ααα±=± sin 2sin();3 π ααα=± cos 2sin();6 π ααα±=± 题型65 两角和与差公式的证明题型归纳及思路提示思路提示推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路. 例4.33 证明 (1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ++=- (2)用C αβ+证明:sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ++=+ (3)用(1)(2)证明tan tan :tan().1tan tan T αβαβ αβαβ +++= - 解析(1)证法一：如图4－32（a ）所示，设角,αβ-的终边交单位圆于 12(cos .sin ),(cos(),sin()),P P ααββ--,由余弦定理得 2 221212122()PP OP OP OP OP cos αβ=+-?+ 22[cos cos()][sin sin()]22cos()αβαβαβ?--+--=-+ 22(cos cos sin sin )22cos()αβαβαβ?--=-+ :cos()cos cos sin sin .C αβαβαβαβ+?+=- 证法二：利用两点间的距离公式. 如图4－32（b ）所示12(1,0),(cos ,sin ),(cos(),sin(),A P P αααβαβ++ 3(cos(),sin()),P ββ--由231;OAP OP P ???得，213.AP PP =故

三角函数恒等变换_题型总结(学生用书)

三角函数恒等变换题型、方法总结 1．两角和与差的三角函数 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= 。 2．二倍角公式 αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα =-。 3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式 ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；2 2cos 1cos 2αα+=。（2）辅助角公式 ()sin cos sin a x b x x ?+=+， sin cos ??==其中 4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

简单三角恒等变换典型例题

简单三角恒等变换复习一、公式体系 1、和差公式及其变形：（1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )s i n (s i n c o s c o s s i n βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )c o s (s i n s i n c o s c o s βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形：（1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα22 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 c o s 2c o s 12αα=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2c o s 24c o s 12=+ 或 αα2c o s 24c o s 12 =+】 α α αααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2s i n 2c o s 12αα=- 或 2 s i n 2c o s 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2s i n 24c o s 12 =- 或 αα2s i n 2 4c o s 12=-】

三角恒等变换中的综合问题

三角恒等变换中的综合问题新课标的理念就是将学生由单纯的知识接受者转变为学习的主人,注重的是学生能力的培养,高考命题突出以能立意,加强了对知识综合性和应用性的考查,故常常在知识的交汇处命题,对于三角恒等变换中涉及的题型较多,学习时应理清基本题型,特别是具有典型性的题型,掌握这些基本题型解题的通性和通法,关于三角恒等变换的综合问题归纳起来主要有以下几类: 1 三角函数式的化简解决这类问题常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量统一),二是三角名称的变化,尽量减少函数的名称。常用方法有:异名函数化为同名函数,异角化为同角,异次化为同次,切弦互化,特殊角的三角函数与特殊值的互化,或通过函数互化创造条件。例1、化简其中,α∈(π,2π),分析:题中的角有α和,故必须实行角的统一解原式= = == ∵α∈(π,2π) ∴<<π, ∴cos<0∴原式=cosα 点评:这类问题着重抓住角的统一或函数名称的统一,通过观察角、函数名,项的次数等,找到突破口,利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简。练习:已知函数f(x)= ①求f(x)的定义域(答案:f(x)的定义域为x|x≠kπ+,k∈Z;②设α是第四象限的角,且tanα=-,求f(α)的值(答案:) 2 三角函数的求值求值题常见的类型及解法。 2.1 给角求值:解题时,要认真观察,结合和差化积,积化和差,升降幂公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而求解,主要有下面一些方法:①特殊值代换法:如=sin30°,=cos30°,=sin45°=cos45°;②拼角,拆角法:通过拼(拆)角来寻找特殊角和非特殊角的联系。③常见变化换法,在求值过程中,常见的变换方法有常值代换,切割化弦,收缩变换,降幂与升幂,和差化积,积化和差,以及化异角为同角,化异名为同名,化异次为同次。

三角恒等变换各种题型归纳分析

三角恒等变换基础知识及题型分类汇总 /4的两倍，3α是 “二倍角”的

题型一：公式的简单运用例1: 题型二：公式的逆向运用例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用例3. 提高题型：题型一：合一变换（利用辅助角公式结合正余弦的和角差角公式进行变形）例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ .cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin )(;cos sin cos sin )(.cos )(;cos )(; sin )(;sin )(.x x x x x 2203132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθθθθα α<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,54cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,2 4,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==??? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπαπα????? ??-??? ??---?-?-???72cos 36cos )2(;125cos 12cos )1(.34cos 4sin )3(;23tan 23tan 1)2(;2cos 2sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.124422πππααπαααα求值：化简下列各式：求下列各式的值：.)70sin(5)10sin(3.3.2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最取何值时当锐角?++?+=-++-x x y θθθππ

简单三角恒等变换典型例题

简单三角恒等变换一、公式体系 1、和差公式及其变形：（1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形：（1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα2 2 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12α α=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα 2cos 2 4cos 12=+】 α ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是 2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12α α=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 2 4cos 12=-】

三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类总结

三角函数知识点总结 1、任意角。 2、角α的顶点与重合，角的始边与重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、叫做1弧度． 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是． 6、弧度制与角度制的换算公式 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则L= ． S= 8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是 () 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、同角三角函数的基本关系：(1) ;(2) 。 12、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ???．()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ???．口诀：奇变偶不变，符号看象限．重要公式 ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．

三角恒等变换 - 最全的总结· 学生版

三角恒等变换---完整版三角函数------三角恒等变换公式：考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幂、和升幂公式的应用。（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值（4）角的整体代换（5）弦切互化（6）知一求二（7）辅助角公式逆向应用两角和与差的三角函数关系 sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β cos(α±β)=cos α·cos β sin α·sin β βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?±=± 倍角公式 sin2α=2sin α·cos α cos2α=cos 2α-sin 2α =2cos 2α-1=1-2sin 2α α α α2tan 1tan 22tan -= 半角公式 2 cos 12 sin αα -± =，2 cos 12 cos αα +± = α αα cos 1cos 12tan +-± ==αααα cos 1sin sin cos 1+=- 升幂公式 1+cos α=2 cos 22 α 1-cos α=2 sin 22 α 1±sin α=(2 cos 2 sin α α ±)2 1=sin 2α+ cos 2α sin α=2 cos 2 sin 2α α 降幂公式 sin 2α22cos 1α-= cos 2α22cos 1α+= sin 2α+ cos 2 α=1 sin α·cos α=α2sin 2 1 平方关系 sin 2α+ cos 2α=1，商数关系 α α cos sin =tan α

高中数学三角恒等变换精选题目(附答案)

高中数学三角恒等变换精选题目（附答案） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（） A 0 B 12 C 2 D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 3. tan 20tan 4020tan 40? ? ? ? ++的值为（） A 1 B 3 C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（） A 47- B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于 5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（） A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-= 的图像（）

A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π个单位 10. 函数sin 22x x y =+的图像的一条对称轴方程是（） A 、x =113π B 、x = 53π C 、53x π=- D 、3 x π =- 11. 已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则x tan 的值为（） A 、34 B 、34- C 、43 D 、4 3- 12.若0,4πα? ? ∈ ?? ?()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1 tan 7 β=-,则=-βα2 （） A 、56π- B 、23π- C 、 712 π- D 、34π- 13. .在ABC ?中，已知tanA ,tanB 是方程2 3720x x -+=的两个实根，则tan C = 14. 已知tan 2x =，则 3sin 22cos 2cos 23sin 2x x x x +-的值为 15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ?面积的最小值为。 16. 关于函数( )cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ?? - ???? 上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π?? ??? 成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移 512 π 个单位后将与2sin 2y x =的图像重合．其中正确的命题序号（注：把你认为正确的序号都填上） 17. 已知02 π α<< ，15tan 2 2tan 2 α α + = ，试求sin 3πα? ?- ?? ?的值． 18. 求) 212cos 4(12sin 3 12tan 30 200--的值．

三角恒等变换题型总结

1．两角和与差的三角函数 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= 。 2．二倍角公式 αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα =-。 3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式 ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；2 2cos 1cos 2αα+=。（2）辅助角公式 ()sin cos sin a x b x x ?+=+， sin cos ??==其中 4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

完整版简单三角恒等变换典型例题

简单三角恒等变换复习、公式体系

(1) sin( ) sin cos cos sin sin cos cos sin sin( ) (2) cos( )cos cos sin sin cos cos sin sin cos( ) (3) tan( tan tan 去分母得 tan tan i tan( )(1 tan tan ) 1 tan tan tan tan tan( )(1 tan tan 、倍角公式的推导及其变形： (1) sin 2 sin( ) sin cos cos sin 2 sin cos sin 1 . cos — sin 2 2 2 1 sin 2 (sin cos (2) cos 2 cos( ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 (cos sin )(cos sin ) cos 2 2 ? 2 cos 厶 sin 2 2 COS (1 cos ) 把1移项得 1 cos2 2 cos 2 或 -4- GQS -2- c 2 cos 2 1 2 【因为是-的两倍，所以公式也可以写成 2 cos 2 cos 2 一 1 或 1 cos 2 cos 2 或 - 1 cos — cos 2 2 2 2 2 因为4 是2的两倍，所以公式也可以写成 cos 4 2 cos 2 2 1 或 1 2 Once 厶或 nee? O 1 2 cos 2 2 2 cos sin (1 sin 2 ) sin 2 把1移项得1 cos 2 2s in 2 或 -4- 1 2sin 2 2 【因为是—的两倍，所以公式也可以写成 2 cos 1 2 sin 2— 或 1 cos 2 sin 2 或 4 ---- eos- sin 2 2 2 2 2 因为4 是2 的两倍，所以公式也可以写成 2 1、和差公式及其变形: 2 ) ) 2 sin 2

三角恒等变换的常用技

三角恒等变换的常用技巧在不改变结果的前提下，运用基本公式及结论，从角、名、次方面入手，把一个三角函数式转化成结构比较简单、便于研究的形式，这种变形叫做三角恒等变换. 三角恒等变换的常见变换技巧归纳如下：题型一：常值代换（特别是“1”的代换）【知识链接】 22 丄 2 丄2 2 丄2 1 sin cos tan sec tan esc cot 4 【巩固与应用】 Q S ________ 1.若x (-,-)，则.1 sinx 可化为( ) D 2 2 A.亦（：4） B. ■ 2cos(2 ；) C . 2cos(-) 2 4 D .宓（：-） 2 .已知tan 题型二：公式变形【知识链接】—2，求值：2si n2sin cos 2 cos . tan tan 【巩固与应用】 (1 mta n tan )ta n( ). 1.化简：tan 10o tan20o tan20o tan60o tan 10o tan60o. 2 . (1)已知 A B 4,求证：(1 tanA)(1 tanB) 2 ; (2)化简：(1 tan 1o)(1 tan 2°)L(1 tan44o)(1 tan4-0). 题型三：升次降次【知识链接】 2 2 2 2 2sin 1 cos2 , 2cos 1 cos2 , cos sin cos2 , 2sin cos sin2 4sin-3sin sin3 , 4cos-cos- -cos . 上面公式正用降次，反用升次. 【巩固与应用】

6 .求函数y sinx sinx cosx 的单调区间。增 8.已知函数 f (x) 2cosxsin x — 3sin 2x sin xcosx 3 (1) 求：函数f (x)的最大值及最小值； (2) 求：函数f(x)的最小正同期、单调递增区间； 3)该函数图像可由 y si n2x 图像作怎样变化而得到。题型四：公式活用【知识链接】公式正用、公式逆用、公式变形后使用【巩固与应用】 1 .求值：tan 10o ta n20° ta n20°ta n60° 2.已知为第三象限角，且sin 4 0 cos 4 0 cosAcosB + sin AcosB cosAsinB 则厶ABC 为 2 2 4?函数y sin x cos x 2的最小正周期是( 1 .若 2 孑，则1 cos()的值是 A . sin 2 B . cos — 2 sin — 2 D . cos — 2 2 .求值: 3 .求值: 4 n cos 一 8 sin 2 20 4 n sin — 8 cos 2 50o sin 20o cos50°. (08宁夏、海南理7) o 3 sin 70 2 cos 210o 12 B . C . (07陕西理 4)已知 sin a 5 5，则 ?4 sin a 4 cos a 的值为 15 B . C . 15 . . 2 7.已知 cos( n 4 x) 3 5 , 17n 12 x 7n 4，求 sin2x 2sin x 的值。 1 tanx 结果n A . 2、 2 3 B . 2.2 3 C . 2 3 D . 23 ，减 tan60 tan 10 1 ,那么sin2 B 等于(A ) .在△ ABC 中，若 sinAsinB 等腰直角三角形

三角恒等变换经典练习题

专题五《三角恒等变换》综合检测一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. sin105cos105的值为（）Ａ． 14 Ｂ．－ 14 2. 函数2 1()cos 2 f x x =- 的周期为（）Ａ． 4π Ｂ．2 π Ｃ．2π Ｄ．π 3. 已知2tan()5αβ+= ，1 tan()44 πβ-=，则tan()4πα+等于（）Ａ． 16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13 18 4. 化简1cos 2tan cot 22 α α α +-，其结果是（）Ａ．1 sin 2 α- Ｂ．1sin 22 α Ｃ．2sin α- Ｄ．2sin 2α 5. （） A.2sin 44cos 4 B.2sin 44cos 4 C.2sin 4 D.4cos 42sin 4----- 6. sin 12 12 π π 的值为 ( ) .0 ..2A B C 7. 已知α为第三象限角，24 sin 25α=- ，则tan 2 α= （） 4A. 3 4B.3 - 3C.4 3D.4 - 8. 若()()11 sin ,sin 23αβαβ+= -=，则 tan tan αβ 为（） A.5 B.1- C.6 1 D.6 9. 已知锐角αβ、满足sin αβ== αβ+等于（） 3A.4 π 3B.44ππ或 C.4π ()3D.24 k k ππ+∈Z 10. 下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是（）Ａ．()sin 2f x x = ()2s i n c g x x x = Ｂ．()cos 2f x x = 22()cos sin g x x x =- Ｃ．2()2cos 1f x x =- 2()12s i n g x x =- Ｄ．()tan 2f x x = 22tan ()1tan x g x x =-

三角函数的图象和性质及三角恒等变换知识点归纳

三角函数的图象和性质及三角恒等变换知识点归纳及常见题型讲解教学大纲：知识要点（一）三角函数的图象与性质 1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值当22 x k π π=+ () k ∈Z 时，max 1y =；当 22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ? ?-+??? ? 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在在,22k k ππππ? ?-+ ?? ?

()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． ()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2x k k π π=+∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 2、三角函数图像变换函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数 ()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1 ω 倍（纵坐标不变），得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移 ? ω 个单位长度，得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象． 3、函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质： ①振幅：A ； ②周期：2π ω T =； ③频率：12f ω π = =T ； ④相位：x ω?+； ⑤初相：?．