三角函数一题多解举例

三角函数一题多解举例

例1:求函数cos 2sin y θ

θ

=

+（R θ∈）的值域。

解法一：利用合一公式

cos 2sin cos )2sin y y y θ

θθθφθ

=

?=-+=++，

所以

sin()θφ+=

，又|sin()|1θφ+≤，

1≤，解得y ≤≤

，

所以函数cos 2sin y θθ=+（R θ∈）的值域为[33

-。

解法二：斜率法

cos 0

sin (2)

y θθ-=

--，可看成点(sin ,cos )A θθ与(2,0)B -连线的斜率，而

(sin ,cos )θθ在圆221x y +=上，

当AB 与圆相切时分别取到最值，结合图形易得函数cos 2sin y θ

θ

=

+（R θ∈）的

值域为[33

-

． 解法三：导数法

2

12sin (2sin )y θθ--'=

+，令0y '=得1sin ,cos 22θθ=-=±，从而[,33

y ∈-． 例2：对任意,cos cos 21x R a x b x ∈+≥-恒成立，求a b +的最大值． 解法一：特值法，特别快

在cos cos 21a x b x +≥-中取23x π=得11

()()122

a b -+-≥-，∴2a b +≤， 当42,33a b ==时，2

4242cos cos 2cos cos 2cos (2cos 1)3333

a x

b x x x x x +=+=+-

241(cos )1132

x =+-≥-，所以a b +的最大值为2.

解法二：构造二次函数

原不等式即2

cos (2cos 1)1a x b x +-≥-即2

2cos cos 10b x a x b +-+≥，

令2()21,cos [1,1]f t bt at b t x =+-+=∈-，

（1）当0b ≤时，()f t 的图象是开口向下的抛物线或者直线，

所以只要(1)2102112

(1)210f b a b a b b f b a b -=--+≥?+≤+≤

=+-+≥?

（2）由0[1,1]41010

b a b

b a b a >???-?-?

??-+≥?++≥??得44a b a b <->或

若4,a b <-则302a b b +<-<<；

若4,a b >则由10b a ++≥得1413b a b b <≤+?<

，故5

1223

a b b +≤+<<． （3）由2

0[1,1]

442(1)0b a b a b b >?

??-∈-???=-?-+≤??

得2

218()22a b +-≤， 由柯西不等式

，22222

91112[8()(

)8

282

a b a b ?? ??≥+

-+≥+- ???

，故13

222

a b a b +-

≤?+≤， 当且仅当2

218()22

18()2a b a b ?+-=????=-??即4

3

23

a b ?=???

?=??

时取等号，此时满足1[1,1]42a b -

=-∈-． 综上，a b +的最大值为2.

例3：设[0,]2

π

θ∈，且2cos 2sin 220m m θθ+--<恒成立，求m 的取值范围.

解法1（分离参数，构造函数，利用导数）： 不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<， 2sin 2sin 210m m θθ-+--<，

2(2sin 2)sin 1m θθ-<+.

∵[0,]2

π

θ∈，sin [0,1]θ∈.

（1）当sin 1θ=时，不等式显然成立.

（2）当sin [0,1)θ∈时，不等式等价于21sin 1

2sin 1

m θθ+>?-，

令sin ,x θ=211()([0,1))21x f x x x +=?∈-，则22

1(1)2

()02(1)x f x x --'=?<-，

()f x 是减函数， max 1()(0).2f x f ==-∴1

.2

m >-

综上，m 的取值范围是1

(,)2

-+∞.

解法2（利用二次函数的性质）：

不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<， 即2sin 2sin 210m m θθ-+--<， 即2sin 2sin 210m m θθ-++>.

令sin x θ=，则22210x mx m -++>.

令222()221()21,[0,1].f x x mx m x m m m x =-++=--++∈ （1）当1m >时，min ()(1)20f x f ==>，符合题意.

（2）当01m ≤≤时，22min ()()21(1)20,f x f m m m m ==-++=--+>符合题意. （3）当0m <时，min ()(0)210,f x f m ==+>∴1

0.2

m -<< 综上，m 的取值范围是1(,)2

-+∞.

解法3（分离参数，再分离常数，一般可以利用基本不等式，但是本题中利用基本不等式时等号不成立，于是仍然利用函数的单调性）： 不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<，

即2sin 2sin 210m m θθ-+--<，即2(2sin 2)sin 1m θθ-<+. ∵[0,]2

π

θ∈，sin [0,1]θ∈.

（1）当sin 1θ=时，不等式显然成立.

（2）当sin [0,1)θ∈时，不等式等价于21sin 1

2sin 1

m θθ+>?-，

设sin 1x θ-=，则[1,0)x ∈-，

且221sin 11(1)112

(2)2sin 122x x x x

θθ+++?

=?=?++-， 令12()(2)2f x x x =?++，则212

()(1)02f x x

'=?-<，

∴()f x 是减函数， ∴max 121()(12).212f x =?-++=--∴1

.2m >-

综上，m 的取值范围是1

(,)2

-+∞.

解法4( 利用函数的图象):

不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<，

即2sin 2sin 210m m θθ-+--<，即2sin 2sin 21m m θθ>--， 令 sin x θ=，则22(1)1x m x >--，[1,0]x ∈-.

在同一个坐标系中作出函数2()f x x =和()2(1)1g x m x =--的图象， 注意到()2(1)1g x m x =--的图象是以(1,1)-为端点的线段， 由图象可知只要(0)(0),f g >即021m >--，∴1.2

m >- 即m 的取值范围是1(,)2

-+∞.

解法5(直接求导法，注意分类讨论，实际上与解法2类似，只是没有换元) ： 令2()cos 2sin 22f m m θθθ=+--，

()2cos sin 2cos 2cos (sin )f m m θθθθθθ'=-+=--.

∵[0,]2

π

θ∈，∴sin [0,1]θ∈，cos [0,1]θ∈，

（1）当1m >时，()0f θ'>，(),f θ[0,]2

π

θ∈是增函数，

max ()()20,2

f f π

θ==-<符合题意.

（2）当01m ≤≤时，sin m θ<时，()0f θ'>，sin m θ>时，()0f θ'<，

2222max ()122221(1)20f m m m m m m θ=-+--=--=--< ，符合题意.

（3）当0m <时，min ()(0)210,f x f m ==+>∴10.2

m -<< 综上，m 的取值范围是1(,)2

-+∞.