初等数学研究试题
()()()
()()x r x q x x x x
x f +++-=-=1112
2
1001
，
()d cx bx
ax
x r +++=3
3
令1±=x ，得??
?-=+-+-=+++2
0d c b a d c b a ，令i x 2
32
1+
-
=，得()i
b c c b d a i -+
-
-
+=-
-
2
32
2
2
32
3由此可得
???????
??=--=--+-=+-+-=+++,
1,
2
322,2,0c b c b d a d c b a d c b a 解之得a=2,b=0,c=1,d=-2,所以()23-+=x x x r
3. 解方程：0144234=+++-x x x x .
解：令1+=y x ，代入所给方程并化简得
03252
4
=+--y y y （1）
设()()m ky y l ky y y y y +-++=+--2224325，则
0413102
4
6
=-+-k k k
(
)(
)
04912
4
2
=+--?k
k
k
取k=1,得3,1-=-=m l ，因此方程（1）可写成()().03122=---+y y y y
由012
=-+y y ，解得25
1±
-=
y ；由032
=--y y ，解得213
1±
-=
y .
换回原来变量，得2
5
1±
-=
x 或2
13
3±
-=
x .
4.解方程组：()
()()??
?
??==++=++310265113222 xy z y x z y x
解 ()2)3(2?+，得(),852
2
=++z y x （4）
由（1）得z y x -=+13
将（5）代入（4）得 .042132
=+-z z （5）
解得.7,621==z z 再由（3）和（5）得下面两个方程组：
,10
7,61??
??
?==+=xy y x z 及.,.106,72???
??==+=xy y x z 分别解这两个方程组，得,,65,2?????===z y x ,,62,5?????===z y x ,
,73,
3??
?
??=-=+=z i y i x ,.73,
3??
?
??=+=-=z i y i x
三、证明题（ 每题10分，共40 分 ）
1、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．
证明： 如下图做△DGC 使与△ADP 全等，可得△PDG 为等边△， 从而可得△DGC ≌△APD ≌△CGP ,得出PC=AD=DC,和
∠DCG=∠PCG ＝150所以∠DCP=300
，从而得出△PBC 是正三角形
2、 当x ＜
2
3时，求函数y=x+
3
28
-x 的最大值
解：y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+2
3
， ∵当x ＜2
3
时，3-2x ＞0，
∴
x
x 2382
23-+
-≥x
x 2382
232
-?
-=4，当且仅当
x
x 2382
23-=
-，即x=-
2
1时取等号.
于是y≤-4+
2
3=2
5-
，故函数有最大值2
5-
3、如图，在四棱锥P A B C D -中，底面为直角梯形，A D ∥B C ，90B A D ∠=?，
P A ⊥底面A B C D ，且2P A A D A B B C ===，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.
(Ⅰ) 求证：PB D M ⊥；
(Ⅱ) 求C D 与平面AD M N 所成的角。
解：（I ）因为N 是P B 的中点，PA PB =，所以AN PB ⊥. 因为AD ⊥平面P A B ，所以AD PB ⊥， 从而PB ⊥平面AD M N .
因为D M ?平面AD M N ，所以PB D M ⊥.
（II ）取A D 的中点G ，连结B G 、N G ，则//B G C D ，
所以B G 与平面AD M N 所成的角和C D 与平面AD
M N 所成的角相等. 因为PB ⊥平面AD M N ，
所以B G N ∠是B G 与平面AD M
N 所成的角.
在R t B G N ?中，sin 5
BN BN G BG
∠=
=
.
故C D 与平面AD M N 所成的角是arcsin
5
.
4、 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1
n n a S a a =
--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21=
+n n n
S b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1
1111n n
n
c
a a +=
+
+-，数列{
}n c 的前n 项和为T n .
求证：123
n T n >-
．
A P
C
D
B
解：（Ⅰ）11(1),
1
－=
- a S a a ∴1,=a a
当2n ≥时，11,1
1
n n n n n a a a S S a a a a --=-=
-
--
1
n n a a a -=，即{}n a 是等比数列． ∴1n n
n a a a
a -=?=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)
(31)21
1(1)n
n
n n n
a
a a a a a
b a
a a ?
----=
+=
-，若{}n b 为等比数列，
则有2
213,b b b =而2
1232
32322
3,,,a a a b b b a
a
+++===
故2
2
2
32322
(
)3a a a a
a
+++=?
，解得13
a =
，
再将13a =代入得3n n b =成立， 所以13
a =
．
（III ）证明：由（Ⅱ）知1
()3
n
n a =，所以1
1
1
113
31
1
31
3
1
1()
1()
3
3
n
n n n
n n
n c +++=
+
=
+
+-+-
1
1
1
311311111131
3
1
31
3
1
n
n n
n n
n ++++--+=
+
=-
++
+-+-
1
112(
)313
1+=--+-n
n ， 由
1
1
111
1,
31
3
3
13n
n
n n ++<>
+-得
1
1
1111,31
31
3
3
n
n n
n ++-
<
-
+-
所以1
1
13112(
)2(
)31
3
1
33
＋++=--
>--
-n n
n n
n c ， 从而1222
3
1
1
11111[2()][2()][2()]3
3
3
3
3
3
n n n
n T c c c +=+++>--
+--
+--
2
2
3
1
1111112[()()()]333
33
3
n n n +=--+-
++-
1
11
12(
)23
33
n n n +=--
>-．
即123
n T n >-．
初等数学研究课后习题答案(2020年7月整理).pdf
初等代数研究课后习题 20071115033 数学院 07（1） 杨明 1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即 （1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >. （2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立. 证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B == （1）“?” b a <，则B B ??,,使,~B A ，A B B ~, ?∴,a b >∴ “?” a b >，则B B ??,,使A B ~,，B B A ?∴,~,b a <∴ 综上 对任何N b a ∈,，b a （2）由（1）b a b a <∴与b a >不可能同时成立， 假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ??,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立， 综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立.. 2、证明自然数的加法满足交换律. 证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合 先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立 φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则 +++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1 k a ∈∴+，N k =∴， 取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a b b a b a +++++=+=+=+ ,b M M N + ∴∈∴= ∴ 对任何N b a ∈,，a b b a +=+ 3、证明自然数的乘法是唯一存在的 证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ?∈，有 (),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合， ()()1f b g b a ==? 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ?∈，()()f b g b =
初等数学研究复习题
1、 因式分解：32 35113x x x ---= 2、 已知21x a x x =++，则2 421 x x x =++ 3、 已知1abc =，求 111a b c a ab b bc c ca ++++++++的值； 4、 已知 111a b c a ab b bc c ca ++++++++=1，求证1abc =；
5、 = 6、 解不等式： 2233132 x x x x +-≤-+ 7、 求一个方程，使其各根分别等于方程43 67620x x x x -++-=的各根减去2。
8、 解方程22223223132231 x x x x x x x x ++++=-+-+。 9、 求不定方程7517x y -=的整数解。 10、 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2(f x y f x f y x y x y R +=++∈、，(1)2f =，则(3)f -等于 11、 若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(2)()1f x g x x =-的定义域是 12、 0= 13、 将多项式32 22x x x -++表示成(1)x -的方幂形式是 14、 将分式22233(1)(25) x x x x x ----+分解成部分分式之和
15、 求函数2 y =的值域 16、 已知5,4x <求函数14245 y x x =-+-的最大值。 17、 解方程：4322316320x x x x +-++=
18、 已知x y z 、、是互不相等的正数，且1,x y z ++=求证：111(1)(1)(1)8x y z ---> 19、 利用多项式对称性因式分解： （1）555()()()()f x y z x y y z z x =-+-+-、、 设222(,,)()()()[()()],f x y z x y y z z x L x y z M xy yz xz =---+++++ （2）5555 ()()f x y z x y z x y z =++---、、 设222()()()[()()]x y y z z x k x y z m xy yz zx ++++++++
初等数学研究论文
姓名：苏章燕学号：201102024002 班级：师范1班 分类思想 摘要：分类讨论的问题在这学期做高考题和中考题过程中，很多题上面都有体现。是在问题的解答出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们往往把可能出现的所有情况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论，这种思想方法就是分类的思想。 关键词：分类讨论、函数、例题、集合分类 一、分类要素 分类的思想运用到每个具体数学问题中都有三个基本内容，即分类三要素，在分类的合定义中，三要素就是全集，子集和子集的分类根据。分类的逻辑定义中，三要素是母项，子项和分类标准。 二、分类的规则 在问题讨论前，首先应弄清楚我们所研究对象的范围，即全集。分类就要在这个特定范围内进行，要防止在全集不明确的情况下或全集外进行讨论。 每次分类都必须以同一本质属性为标准，被分概念或集合有若干本质属性，确定某一个作为分类标准。那么在分类过程中就要始终使用这个标准。同一次讨论中标准只能是一个。如实数在讨论绝对值时，可分为整数、负数和零；在讨论其他性质和运算时可分为有理数与无理数。又如函数按自变量个数可分为一元函数、二元函数乃至多元函数；按单调性可分为增函数、减函数和非单调函数（在某一区间内）；按定义域可分为在R上都有意义的函数与定义域不是R的函数；按奇偶性可分为奇函数、偶函数和非奇非偶函数（在定义域内）；按属性可分为代数函数和超级函数。诸如此类，按不同标准就有不同的分类。 分类的完整性，把集合A分为A1、A2、···An等n个子集的分类，集合A应是这n 个子集的并集，集合的每一个元素都属于且仅属于其中的一个子集，分类时必须防止遗漏，如把角分为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角，就不是一个完整的分类，因为终边落在坐标轴上的角就不在其中。 分类的互斥性，分类中分成的各部分必须是互相排斥的，即分类中各个子集的交集是空集，如平面几何中把三角形分为锐角三角形、等腰三角形······的分类就是不正确的分类，因为存在着等腰锐角三角形，这是由于破坏了分类的互斥性。 分类的逐级性，被分概念必须分成与它最邻近的概念。有些问题必须要连续分类，这就要求严格按层次逐级进行划分、讨论。 分类的种类，人们对事物的认识有一个由现象到本质逐步深化的无线过程，因此分类也有一个从现象分类到本质这样一个逐步深化的过程。 现象分类就是根据事物的外部标志或外部联系所进行的分类，这种分类往往会把本质上相同的事物分为不同的类别，而把本质上不相同的事物归为同一类别。如平面几何中多边形按边数分类就是一个现象分类，因为凸多变形和凹多边形即使边数相同其性质也大相径庭，而正多边形（不管它边数多少）都具有很多共性，它们本质上是相同的。 本质分类就是根据事物的本质特征或内部联系所进行的分类，本质分类能够揭示数学对象之间的规律，如含角的三角函数的绝对值，用零点分段法对角进行的分类就属于本质分类。 分类方法的解题步骤，确定分类标准，这就是要运用辩证的逻辑思维，对具体事物作具体分析，从表面上极为相似的事物之间看出它们本质的相同点，发现事物的本质特征，只有这样才能揭示数学对象之间的规律，对数学对象进行有意义的分类。 恰当地进行分类，在确定分类标准的基础上，遵守分类的五条规则，对所讨论的问题恰当地分类，问题能否顺利讨论的关键是对所讨论对象进行正确的分类。 逐类讨论，根据分好的各类情况，逐类地加以研究，深入进行讨论，分门别类逐一把
初等数学研究试题答案
习题一 1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为： （1）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。 （2）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。 （3）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。 数系扩展的方式有两种： （1）添加元素法。 （2）构造法。 2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则 （3）,a b ac bc >>若则； 证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。 （2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9） 由（1）有()bc a k c =+ ac bc ∴< （P17.定义9） 或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ 3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则 （1）,;ac bc a b ==若则
（2）ac bc a b <<若，则； （3）ac bc a b >>若，则。 证明（1）（用反证法） （2）方法同上。 （3）方法同上。 4、依据序数理论推求： 解： 1313134++=='（）先求，， （P16.例1）323231(31)45,++=+=+=='''再求， （2）31313??=先求，， 5、设n N ∈，证明n 415n 1+-是9的倍数。 证明：1n 141511189,1n =+?-==①当时，是的倍数故时命题成立。 k n k 415k 19=+-②假设当时，命题成立。即是的倍数。则当n=k+1时： k 1k 415k 11 4415k 1315k 18441519(52) k k k +++-=+--?+=+---（）（）（）。 1n k ∴=-当时，命题成立。 由①，②知，对于任一自然数n 成立。 6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立： 证明： ①412111--3-3.11-21n +?==== ==?当时，左边，右边左边右边。 ②n k =假设当时，等式成立，即：
(完整版)初等数学研究复习汇总
第一章 1、自然数集是有序集 2、自然数集具有阿基米德性质即：如果a,b∈N，则存在n∈N，使na>b 3、自然数集具有离散型即：在任意两个相邻的自然数a和a’之间不存在自然数b， 使a 值 例：求00080cos 40cos 20cos ??8 120sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 220sin 480cos 40cos 40sin 220sin 280cos 40cos 20cos 20sin 2000000 0000 0000= ===???=解：原式N c N a N c N b N b N a ac b c b a log log log log log log :1,,2=--=求证， 的正数，且是不等于例：设原式右边原式左边所以，得证明：由==-?-?=--=-=-+==a N c N b N c N a N a N b N c N c N b N b N a N b N c N a N b N c N a N b N a c b log log )log (log log )log (log log log 1log 1log 1log 1log log log log log log log 2213cot cot cot 3tan tan tan =-+-θθθθθθ例：求证的值 内的两相异实根，求在为方程、例：已知)sin(),0()0(cos sin βαπβα+≠=+mn p x n x m 原式右边（原式左边证明：（综合法）==?-?-?-?-=--?-+?-=13tan cot 3cot tan 23tan cot 3cot tan 2)3cot )(cot 3tan tan 3tan cot 13cot tan 1θ θθθθθθθθθθθθθθθ 初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案 初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数 1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数bi a +. 2（略） 3从数的起源至今，总共经历了五次扩充： 为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集. 公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集. 为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集. 直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集. 虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集. 4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'?；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'?，所以)(C A ?)(D B ??所以集合C A ?的基数c a +大于集合D B ?的基数d b +，所以d b c a +>+. 5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 15 55555155155 )25(2535''=++=++?=+?=+?=?=? （2）解：按照自然数序数理论乘法定义 8 7)6(])15[()15()25(2535'''''''' '===+=+=+=+=+ 6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法） 《初等数学研究》教学大纲Research on elementary mathematics 课程名称：初等数学研究英文名称：课程性质：专业必修课 4 学分： 64 理论学时： 64 总学时：适用专业：数学与应用数学先修课程：数学分析，高等代数，解析几何一、教学目的与要求应使学生在掌握近、通过本课程的开设，初等数学研究是数学教育专业开设的必修课程。现做到初等与高等相结合。系统深入掌握中学数学内容有关的初等数学知识，代数学的基础上，以填补学生在中学数现代数学思想方法，尽量反映近、一方面，通过初等数学内容的研究，处学与高等数学之间的空白；另一方面，试图用近、现代数学的思想方法居高临下地分析、为当好一名使学生对中学数学内容有个高屋建建瓴的认识与理解，研究中学数学内容，理、使学生进行解题策略的训练，同时通过本课程的开设，中学数学教师打下扎实的知识基础。具有一定的解题能力。由于学生对初等数学内容并非一无所知，因此，必须突出与强调课程的研究性质。在每章、以帮助学生形成自主探索、研究，每节之后提出若干问题让学生进行探索、合作交流的学习方式，以便他们将来走向教学岗位后，能较快地适应课程改革的形势。必要时运用小组合作的方式进行适学生自学为辅的教学方法，本课程主要采用以讲授为主、当的专题讨论。周，有32八学期开设，安排---初等数学研究是专业选修课，系主干课程。一般情况下第七课时。64共,周36条件时可安排二、教学内容与学时分配序 号章节名称学时分配 1 第一章绪论 2 2 第二 章集合与逻辑 6 3 第三章数与式的理论 8 4 第四章函数的理论 8 5 第五章方程、不等式 8 6 公理化方法与演绎推理 6 7 第七章几何变换 8 8 第八章几何的向量结构及坐标 法 6 9 第九章排列、组合 6 10 第十章中学数学解题策略 6 合计学时数 64 三、各章节主要知识点与教学要求课时） 2第一章绪论（中学数学与初等数学的关系，中学数学的特点，中学数学的发展历程，包括数学研究的对象，本课程的研究 对象，学习本课程的目的意义，等等本章重点：中学数学的 特点本章难点：无掌握中学数学的特点，中学数学的发展历程；要求学生了解数学研究的对象，本章教学要求：中学数 学与初等数学的关系，掌握本课程的研究对象，学习本课程的 目的意义课时）6第二章集合与逻辑（集合集合的特性， 集合的运算。集合的运用命题的逻辑演算命题的特征，简 单命题，复合命题的真值定义，等价命题，简单命题的演算 命题中的量词假言命题的四种形式，量词的否定，存在量词， 全称量词，开语句的复合，真值集，开语句，充分条件与必要 条件集合与逻辑的关系本章重点：复合命题的真值定义， 等价命题，假言命题的四种形式本章难点：假言命题的四种 形式，开语句的复合，本章教学要求：要求学生掌握假言命题 初等数学研究答案1 大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社 习题一 1答：原则：（1）A ?B （2）A 的元素间所定义的一些运 算或基本关系，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。 （3）在A 中不是总能施行的某种 运算，在B 中总能施行。 (4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。 方式：（1）添加元素法；（2）构造法 2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。 a=b ，M 11b 1a ∈∴?=?∴， 假 设 bc ac M c =∈，即，则 M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='， 由归纳公理知M=N ，所以命题对任意 自然数c 成立。 （ 2）若a < b ，则 bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈?即，，由，使得 则ac 初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数 1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数 bi a +. 2（略） 3从数的起源至今，总共经历了五次扩充： 为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集. 公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集. 为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集. 直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集. 虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集. 4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'?；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'?，所以)(C A ?)(D B ??所以集合 C A ?的基数c a +大于集合 D B ?的基数d b +，所以d b c a +>+. 5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 15 55555155155)25(2535''=++=++?=+?=+?=?=? （2）解：按照自然数序数理论乘法定义 8 7)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法） 《初等数学研究》考试大纲 Elementary Mathematics Research 一、本大纲适用专业 数学与应用数学。 二、考试目的 测试学生对初等数学的基本内容和方法的熟练程度。 三、考试内容 第一章数系 1. 考试知识点 （1）数的概念的扩展； （2）自然数序数理论及其性质； （3）整数环、有理数域、实数域、复数域的建立及性质。 2. 考试要求 （1）了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则； （2）掌握自然数的基数理论及整数环的构造； （3）理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，弄清自然数、整数运算的概念及其运算律，掌握有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数域的性质； （4）理解无理数、实数概念，掌握实数大小比较的法则、实数的运算法则和实数域的性质； （5）理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数域的性质。 第二章解析式 1. 考试知识点 （1）多项式的恒等定理； （2）待定系数法； （3）因式分解方法； （4）分式恒等变形； （5）根式的化简和计算； （6）解不等式（组）； （7）不等式的证明； （8）几个著名的不等式。 （1）了解解析式的概念及其分类； （2）了解多项式概念，掌握待定系数法和多项式的因式分解方法； （3）了解分式的概念和定理；掌握分式恒等变形； （4）掌握根式的运算和变形； （5）掌握不等式的基本性质、解法和证明； （6）熟悉几个著名的不等式。 第三章方程与函数 1. 考试知识点 （1）方程（组）的同解理论及基本解法； （2）几类特殊的高次方程的解法； （3）分式方程、无理方程和超越方程的解法 （4）函数概念的形成和发展； （5）初等函数的性质。 2. 考试要求 （1）掌握各种代数方程中的同解理论（弄清增、失根原因及检验方法）及基本解法； （2）掌握特殊的高次方程的解法； （3）掌握简单的分式方程、无理方程和超越方程的解法； （4）了解函数概念的发展与几种定义方式； （5）掌握初等函数的基本性质。 第四章数列 1. 考试知识点 （1）数列的通项公式； （2）等差与等比数列； （3）高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）数学归纳法的基本形式和其他形式； （5）数列的母函数。 2. 考试要求 （1）掌握求数列通项的方法； （2）熟练掌握等差与等比数列的综合题； （3）了解高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）熟练掌握数学归纳法的各种形式的应用； （5）了解数列的母函数。 第五章排列与组合 初等数学研究期末复习题：选择题与填空题 一．选择题 1．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =6．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )． A C B D A ．2 B ．4 C ． 6 D ． 8 2．若M =223894613x xy y x y -+-++(x ，y 是实数)，则M 的值一定是( )． A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．整数 3．已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点．若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4．设A =22211148()34441004 ?++???+---，则与A 最接近的正整数是( )． A ．18 B ．20 C ．24 D ．25 5．设a 、b 是正整数，且满足于5659a b ≤+≤，0.90.91a b <<，则22b a -等于( )． A ．171 B ．177 C ．180 D ．182 6 的结果是( )． A ．无理数 B ．真分数 C ．奇数 D ．偶数 7．设4r ≥，1 1 1a r r =-+ ，b = ，c =，则下列各式一定成立 的是( )． A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >> 8．若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－ x 4)(2005－x 5)＝242，则2222212345 x x x x x ++++的未位数字是( )． A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 9． 已知1m = 1n =且22(714)(367)m m a n n -+--=8，则a 的值等于( )． A ．5- B ．5 C ．9- D ．9 10．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y =x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则( )． A ．h <1 B ．h =1 C ．1 《初等数学研究》习题解答 第一章 数系 1.1 集合论初步·自然数的基数理论 习题1.1 1．证明集合0{|}x x >与实数集对等。 证明：取对应关系为ln y x =，这个函数构成0(,)+∞与 (,)-∞+∞的一一对应，所以集合0{|}x x >与实数集对等。 2．证明()()()A B C A B A C = 证明：()x A B C x A ?∈?∈或x B C ∈，x A ?∈或（x B ∈且x C ∈），那么有x A ∈或x B ∈同时还有x A ∈或x C ∈，即 x A B ∈同 时 还有 x A C ∈，所以 ()()()()()x A B A C A B C A B A C ∈?? 反过来：()()x A B A C x A B ?∈?∈且x A C ∈， 对于前者有x A ∈或者x B ∈；对于后者有x A ∈或者x C ∈，综合起来考虑，x B ∈与x C ∈前后都有，所以应是“x B ∈且x C ∈”即“x B C ∈”，再结合x A ∈的地位“或者x A ∈”以及前后关 系有“x A ∈或x B C ∈”即()x A B C ∈， 所以()()()()x A B C A B C A B A C ∈?? 所以()()() A B C A B A C =。 3．已知集合A 有10个元素，,B C 都是A 的子集，B 有 5个元素，C 有4个元素，B C 有 2个元素，那么() B A C -有几个元素？ 解：集合()B A C -如图1所示：由 于 452(),(),()r C r B r B C ===， 所以32(),()r B C r C B -=-=， 从而1028(())r B A C -=-=， 即()B A C -有 8个元素 4．写出集合{,,,}a b c d 的全部非空真子集。 {,}{},{},{},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,,},{,,},{,,},{,,} a b c d a b a c a d b c b d c d a b c a b d a c d b c d 5．证明，按基数理论定义的乘法对加法的分配律成立。 证明：设,,A B C 是三个有限集合，并且B C φ=，记 (),(),()a r A b r B c r C === 首先：由于B C φ=，所以A B A C φ??=，所以 ()()()r A B A C r A B r A C ab ac ??=?+?=+ 其次：对于(,)(){(,)|,}a x A B C a x a A x B C ?∈?=∈∈，由于 x B C ∈， 那么若x B ∈，于是(,)a x A B ∈?； 若x C ∈，于是(,)a x A C ∈?， 所以 总 有 (,){(,)|,}{(,)|,}a x a x a A x B a x a A x C A B A C ?∈∈∈∈∈=?? 即()(())()A B C A B A C r A B C r A B A C ??????≤?? ()a b c ab ac ?+≤+ 反过来： (,)a x A B A C ?∈??，那么 (,)a x A B ∈?或者 图1 C B A 第四章 1.简述函数概念的三种定义，并加以比较说明. 2.结合高等数学的学习，论述基本初等函数的性质. 3.证明满足性质：（1）)()()(2121x f x f x x f =+； （2）单调递简 的函数)(x f 是一个以a )1)1(0(<= 如果1=a ，则0=y ，这与条件0≠y 矛盾。 因此，当0,0=>b a 时，当且仅当0=y ，方程组有唯一解???==0 y a x 。 5.证明2 sin x y =不是周期函数. 6.函数x y cos =不满足任何代数方程. 7.x y cos =的解析式不可能是关于变数x 的代数式. 8.（图像的应用）根据参数a ，求方程132+=-a x 的解的个数. 9.（单调性的应用）求数列 Λ3,2,1,3 )223(9 692422 2=+-- +-=n n n n a n 的最小项. 10.（有界性的应用）已知1,1>>B A ，解方程24 4 52=+-+-x x x B A . 例17设函数x x f n sin )(=的最小正周期为T 。试证：当n 为奇数时π2=T ；当n 为偶数时π=T 。 证明 （1）当)(12Z k k n ∈+=时，x x f k 1 2sin )(+=，根据定理4，π2是)(x f 的一 个周期。 再证π2是最小正周期。 假设)(x f 有周期l ，且π20< 课程名称： 初等数学研究 任课教师姓名： 左晓虹 卷面总分： 100 分 考试时长： 100 分钟 考试类别：闭卷 √ 开卷 □ 其他 □ 注：答题内容请写在答题纸上，否则无效． 一、单选题（4*10=40分） 1．设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则||||a b =”的逆否命题是 （ ） （A ）若a b ≠-，则||||a b ≠ （B ）若a b =-，则||||a b ≠ （C ）若||||a b ≠，则a b ≠- （D ）若||||a b =，则a b =- 2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ） （A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x = 3．设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是 （ ） 4．6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （ ） （A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ） （A ）283π - （B ）83 π - （C ）82π- （D ）23 π 6．函数()cos f x x =在[0,)+∞内 （ ） （A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点 7．设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈， 1 {|||N x x i =- 初等数学研究与数学发展的关系 高登胜 （四川省南充市嘉陵一中南充 637005） 摘要：初等数学是数学的一个重要分支，它和我们的整个数学发展有何关系？本文试图从数学史的角度加以认识，希望能给大家带来一点启示。 关键词：初等数学研究数学发展关系 数学是一门基础学科，它的发展有其自身的特点，其发展过程众说纷纭。数学发展史的分期虽有各种不同意见，但按数学发展主流可作如下分期： 第一，数学萌芽时期（公元前600年以前）； 第二，初等数学时期（公元前600 年到17世纪中叶）； 第三，变量数学时期（17世纪中叶到19世纪20年代）； 第四，近代数学时期（19世纪20年代到20世纪40年代）； 现代数学时期学时期（20世纪40年代以后）。 数学萌芽时期，主要指四大文明古国（埃及、巴比伦、中国、印度）在远古积累数学知识的时期。 数学是在哪里开始出现的？M.克莱因在《古今数学思想》一书中写道：数学作为一门有组织的、独立的和理性的学科来说，在公元前600年到300年之间的古典希腊学者登场之前是不存在的。但在更早期的一些古代文明社会中已产生了数学的开端和萌芽。在这些原始文明社会中，有好些社会只能分辨一、二和许多，并没有更多的数学知识；有些则知道并且能够运算大的整数。还有一些能够把数作为抽象概念来认识，并采用特殊的字来代表个别的数，引入数的记号，甚至采用十、二十或五作为基底来表示较大的数量。也可以发现他们知道四 则运算，不过仅限于小的数；并且具有分数的概念，不过只限于11 , 23 之类，而且是用文字 表达的。此外，古人也认识到最简单的几何概念如直线、圆和角。也许值得一提的是，角的概念想必是从观察到人的大小腿（股）或上下臂之间形成的角而产生的，因为在大多数语言中，角的边常是用股或臂的字来代表的。例如在英文中，直角三角形的两边叫两臂。在这些原始文明中，数学的应用只限于简单交易，田地面积的粗略计算，陶器上的几何图案，织在布上的花格和记时等方面。 这一时期的主要特点是：（1）数学开始作为一门独立学科；（2）数学解决生活与农业生产上的计算和测量问题，与实践直接有关；（3）形成了初步的算术与几何，对数和形的认识还未脱离实物形象和具体经验；（4）在四大文明古国出现了一些简单的数学方法。如印度的进位记数法，古埃及纸草书及巴比伦楔形文字记载的算术与几何的一些简单算法，我国汉代《周髀》中记载有西周时期用“矩”来测量的方法。 初等数学时期又可分为三段：第一段主要研究古希腊各学派的数学成就；第二段前期以亚历山大学派的三大数学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯为代表，后期以海伦、梅勒劳斯、帕普斯、托勒密、丢番都为代表；第三段主要研究印度数学、阿拉伯数学及文艺复兴前的欧洲数学。与此同时，中国传统数学（又称中国古算）也取得了举世瞩目的成就，形成了 初等数学研究复习题 一、 选择题 1、中学数学的证明方法，按选证命题形式的不同可分为：（ C ） A ：综合法与分析法 B ：演绎法与归纳法 C ：直接证法与间接证法 D ：具体方法、一般方法和数学思想方 2、不等式 22 x x x x --> 的解集是（ A ） A. (02)， B. (0)-∞， C. (2)+∞， D. (0)∞?+∞（-，0）， 3、函数sin 1tan tan 2x y x x ?? =+? ??? 的最小正周期为 ( B ) A π B 2π C 2 π D 32π 4、已知)(x f 不是常数函数，对于R x ∈，有)8()8(x f x f -=+， 且)4()4(x f x f -=+，则)(x f （ C ） A 、是奇函数不是偶函数 B 、是奇函数也是偶函数 C 、是偶函数不是奇函数 D 、既不是奇函数也不是偶函数 5、已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围：（B ） A （0，1） B （1，2） C （0，2） D [2，＋∞） 法 6、下列定理能作为证明“点共线”的依据的是：（ B ） A 西姆松定理 B 梅涅劳斯定理 C 塞瓦定理 D 斯蒂瓦尔特定理 7.下列关于平移的说法中正确的是 （ A ）。 A.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向； B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； C.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； D.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向 8.若一个四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个四边形是（ D ）。 A.直角梯形；B.等腰梯形；C.平行四边形；D.矩形。 9、已知)2(),1(3)(2f f x x x f ''+=则=（ B ） 《初等数学研究》 一、课程的性质目标与任务 初等数学研究是高等师范院校数学与应用数学专业的一门选修课程，分初等代数和初等几何两部分。本课程的教学目的是使学生掌握中学数学教学所需的初等数学的基础理论、基础知识和基本技能；了解数学的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步训练，为教好中学数学打下较坚实的基础。本课程主要讲授初等几何部分，初等代数部分作为自学内容。 二、课程的内容与基本要求 本课程的基本要求是：从中学数学的教学需要出发，并根据中学数学的内容和知识结构，把初等数学的一些基本问题分别组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提高；对各专题的教学，都要着重基本思维方法和基本技能技巧的训练；要求学生认清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。 初等几何部分 第一章绪论 1．几何学的历史简介 2．初等几何研究的对象和目的 了解几何学发展的四个基本阶段以及初等几何研究的对象和方法 第二章几何的证明 1．几何证明的概述 2．证度量关系 3．证位置关系 掌握常用的证题方法和技巧 第三章几何量的计算 1．线段度量 2．面积计算 3．解三角形 掌握勾股定理推广和斯蒂瓦尔特定理及其应用，会计算面积和解三角形。 第四章初等变换 1．合同变换及其间的关系 2．位似变换和相似变换 3．初等变换的应用 理解合同变换、位似变换和相似变换等概念，能利用初等变换解题。 第五章轨迹 1．基本概念（轨迹的概念与证明方法，轨迹命题的类型） 2．常用轨迹命题及其证明 3．轨迹的探求 理解轨迹的概念，并掌握轨迹命题的证明方法。掌握常用的几个轨迹命题。 第六章立体图形的一些性质 1．直线与平面（直线与平面的各种位置关系，空间作图公法，简单作图题） 2．三面角（三面角及其性质，三面角的相等） 3．多面体（四面体的一些性质，凸多面体的欧拉定理，正多面体，截面图的画法）4．体积计算（体积概念，拟柱体体积公式，体积计算） 掌握空间直线与平面的各种位置关系。掌握三面角、四面体的性质，会计算体积。 三、学时分配 四、教学方法与教学手段说明 主要采用讲解法、讲练结合法和研讨法。 五、考核方式 考核方式：开卷考试。 六、教材与主要参考书目 建议选用教材： 张尊宙沈文选《中学代数研究》高等教育出版社 2008年初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案
《初等数学研究》教学大纲
初等数学研究答案1
初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案教程文件
初等数学研究考试大纲
初等数学研究期末复习题：选择题与填空题1
《初等数学研究习题解答》
(完整版)初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案第4章习题答案
初等数学研究期末试题及答案A
初等数学研究
初等数学研究复习题
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