初等数学研究第三章答案 李长明 周焕山编 习题三1至23题

习题三

1、已知半径为r 的圆为内接等腰梯形ABCD 。它的下底AB 是圆O 的直径，上底CD 的端点在圆周上。

（1）写出梯形的周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求其定义域；

（2）当腰长为何值时，该等腰梯形的周长有最大值，并求出最大值。 解：（1）作

D E A B ⊥于E

连DB ，则90ADB ∠=?

ADB ∴ ∽AED

AD AB

AE AD

∴=

2AD AE AB ∴=? 2

AD

AB

AE ∴=

又2D C AB AE =- 2y DC AB AD ∴=++

22AB AE AB AD =-++

2

2222AD

r x AB

r ++=-

2

22222x r x r r ++=- 2

24x

x r

r +=-

2

24.x

x r r

++=-

又0x > ，且

2

2x

AE r r

=<

，即x <

∴函数的定义域为（0）

。 （2）2

1()5r x r r

y -+=-，所以当腰长x=r 时，周长y 有最

大值5r.

2、设函数()y f x =定义在R 上，当x>0时，()1f x >,且对于任意,m n R ∈，有()()().f m n f m f n +=? 又当m n ≠时，()().f m f n ≠ 求证：（1）(0) 1.f =

（2）对于任意x R ∈，均有()0.f x >

证明：（1） 对任意,m n R ∈，有()()().f m n f m f n +=?

∴令m=n=0,则有(00)(0)(0)f f f +=+

即(0)(0)(0)f f f =+. (0)[(0)1]0.f f ∴?-= (0)1f ∴= 或 (0)0.

f = 若(0)0.f =则对于任意m>0,有()(0)()(0)0f m f m f m f =+=?= 和题设矛盾。因此，(0) 1.f =

（2）由题设和（1）的结论，当0x ≥时，()10f x ≥>，

假设0x <，则0x ->，因而()1f x ->。 但是()()()(0)1f x f x f x x f ?-=-== 所以，10()

()f x f x >-=.

3、判断下列各组函数是不是同一函数，并说出理由。 （1）2,()2lg ()lg g x rx f x x == . （2

）,()()x g x f x =

=

解：（1）是同一函数。因为定义域相同：{}0.x R ∈-且对每个x,对应值也相等。

（2）不是同一函数。因为当x<0时，()0f x >，而

()0g x <.

4、求下列函数的定义域 （1

）(45)y x =-+

（2）(21)log (32)x y x -=- （3

）y =

（4

）lg(93)

x

y -=

（5

）y =（6

）lg(52)x

y +-=

（7）2

arccos(2)x y x -=

（8

）1arcsin(1)y x =-+

（9

）1

4(1sin )x y +-=

（10）lg cos 3y x =

解：（1）4508

100x x

x ?-≠??-≥???≠?

， 548

0x x x ?≠??∴≤??≠??

，54880x x x ?

≠??

∴-≤≤??≠??

∴函数定义域为：5

5)(,8]4

4

[8,0)(0,- .

（2）32021021 1.x x x ->??->??-≠? 23

121

x x x ?

>??

?

>??

≠???

∴

∴函数的定义域为：2

,13

()(1,).+∞

（3）20.52222log (log 1)0log 100x x x ?+≥?

+>??>?

22220log 11log 10x x x ?<+≤?>-??≠?∴ -12212120x x x -?≤≤?

>??≠?

∴

1122

220x x x x x ≤≤-≤≤-><-≠??

???

???

?

??

∴ 或 或

函数定义域为：(

,1)2

2

[(1,]--

.

（4）

lg(93)0930720x x

x ?-≠?->??--≥? 9313927x x x ?-≠?

∴ 3log 8

259x x x ≠??

∴ 382log x <<∴或35log 8x -≤< ∴函数定义域为：338)(8,2)[(5,log log ].-

（5）21

1

0.3

1()

x -≥- 21

1

1.3

()

x -≤∴ 210.x ∴-≥ 12

x ∴≥

∴函数定义域为1[

,]2

+∞

（6）log 00520x x x ≥??>??->? 1

025

x x x ≥??

∴>??

2

1log

x ∴≤<

1052

x x x ≥><

???

??∴

∴函数定义域为：52

[1,

).

（7）2112x x -≤-≤

2

2210210x x x x ?--≤∴?-+≥? ①② ∴112x x R ?

-≤≤???∈?

由①由②

∴函数的定义域为：5

2

[1,).

（8）111510x x -≤-≤??->? 02

15x x ≤≤??

?>

??

∴ 125x <≤∴

∴函数的定义域为：1

5

(,2].

（9）sin 101sin 0x x -≥??-≥? s i n 1x ∴= 2..2k k x ππ

+∈Z ∴= ∴函数的定义域为：2,.2x x k k π

π??=+∈Z ????

（10）cos 30x > 32.22

2

x k k ππ

π

π<<

+∴-

22,.3

6

3

6

k n k x k πππ

∴-

<

+

∈Z

∴函数的定义域为：22,.3636k k x x k ππππ

??-<<+∈Z ????

5、（1）已知函数f(x)的定义域是[1,4]，求2

1(

)f x

的定义域。

（2）已知函数f(x)的定义域是[-2,2]

，求f 的定义域。 （3）已知函数f(x)的定义域是1

(,3)2，求(l g )f x 的定义域。

解：（1）2

114x

≤

≤

221

4

1x x ?≥

?∴??≤?

112211x x x ?

≥≤-

?∴??-≤≤?

或

11112

2

x x ∴

≤≤-≤≤-

或

∴函数2

1

()f x 的定义域为1

1

[,1][1,]22

-- . （2

）22-≤

≤

04x ∴

≤≤

∴函数定义域为[0,4].

（3）1lg 320x x ?<?

13

2l g 10l g l g 10

0x x ?

?<<∴?

?>? 1

3

21010x ∴<<

∴

函数定义域为3).

6、设函数122

2

1()(44)

().1

f x x kx k k k k -

=-+++

∈Z -求证

()f x 的定义域为实数集R 的充要条件是 1.k >

证明：

12

2

2

1()(44)

().

1

f x x kx k k k k -

=-+++

∈Z -

()f x ∴的定义域为实数集R 的充要条件是对任意x R ∈，有

22

1440(*)1

x kx k k k -+++

>-

（*）成立的充要条件是

2

2

1(4)4(4)0.1k k k k =-++

<-

即22

4

1616401

k k k k ---

<-

101

k k ∴+

>- 2

10.1

k k k -+∴

>-

1.k ∴>

()f x ∴的定义域为实数集R 的充要条件是 1.k > 7、求下列函数的值域： （1）2

2

1

x x y x x +=++

（2）7

cos sin 3

y x x =++

（3

）y = （4）2211

y x x =

+--

（5

）23y x =-+

（6

）y =

+

（7）x

x x

x

e e y e e

---=

+

（8）2

1lg

(12)21

x

x

y x =+<<+ （9）1

3arccos()2

y x =-

（10

）(02)y arcctg x =≤≤ 解：（1）由2

2

1

x x y x x +=

++，有：22(1)x x y x x +=++

2

(1)(1)0.y x y x y ∴-+-+=

22

1.x x x x +≠++ 1.y ∴≠

.x R ∈ 2

(1)4(1)0y y

y ∴=---≥ 23210.y y ∴--≤

1

1

31y y ?-≤≤?∴??≠?

∴函数值域为1[,1).3

-

（2

）cos sin cos sin )2

2

x x x x +=

+

cos cos sin )).

4

4

4

x x x π

π

π

=

+=+

又)4

x π

≤

+≤

3cos sin 33x x ∴-

≤++≤+

77

7cos sin 3x x ∴

≤

≤

++

7(37

7(3cos sin 3

x x -+∴

≤

≤

++

7

33cos sin 3

x x ∴-

≤

≤+

++

33y ∴-

≤≤+

∴

函数值域为[33-+

（3）设222lg(367),3673(1)10.u x x v x x x =-++=-++=--+

又2lg(367)u x x =-++ 为增函数

y ∴=

但10.u ≤

0lg10 1.u ∴≤≤=

01≤

≤

∴函数值域为[0,1].

（4）由221,1

y x x =

+--有：2

2(3)(3)0.x y x y -+++=

.x R ∈ 2

[(3)]42(3)0.

y x y ∴=-+-??+≥ 2

2150y y ∴--≥ 5,3.

y y ∴≥≤- ∴函数定义域为：(,3][5,).-∞-+∞

（5）令2134,x t -=则2

134

t x -=

∴原函数可记为：

2

2

2

1317123(27)42

2

2

t y t t t t t -=?-+=-

++=-

--

2

2

11[(21)8](1)442

2

t t t =-

-+-=-

-+≤

4.y ∴≤

∴函数值域为(,4].-∞

（6）令243,x t -=则2

3.4

t x +=

原函数可记为：

12

y t =+

（7）由,x

x x x

e e y e e

---=

+有：

().x x x x e e y e e ---=+

1x

x

x

x

y e ye e

e

∴-=+

221x

x

e y e

y ∴-=?+

2(1)1x

e

y y ∴-=+

211x

y e

y

+∴=

-

12ln ,1y x y

+∴=-

11ln .21y x y

+=

-

10.1y

y +∴>- 100100+>?∴?

->? 或 10

10

y y +>??->? 11y ∴-<<

∴函数的值域为（-1，1）.

（8）21lg

(12)21

x

x y x =+<<+ 是增函数

2

2

2

22

1lg

1lg

1lg

212121

x x

∴+<+<++++

24

1lg 1lg 35

y ∴+<<+

24lg

10lg 103

5y ∴?<

20lg

lg 83

y <<

∴函数定义域为20(lg

,lg 8).3 （9）1

0arccos()2

x π<-<

103arccos()33x π∴<-<

13arccos()3

y x ∴=-

的值域为(0,3).π

（10）y arcctgx = 在(0,)π是减函数

arcctg

arcctg

arcctg

∴≤≤

0arcctg arcctg arcctg ∴≤≤

6

2

arcctg π

π

∴

≤≤

∴函数的值域为[

,].62

ππ

8、已知2

54(41),43

x f x x ++=

-试求()f x 的值域。

解：令41,t x =+则1.4

t x -=

因此2

511().211

t y f t t t +==

--

再将自变量t 换成x,得： 2

511().211

x y f x x x +==

-+

x R ∈

且1x ≠±

2(25)11(1)0yx y x y -+-+= 当0y ≠时，上式是关于实数x 的二次方程，故：

2

(25)44(1)0y y y =+++≥

即 24864250y y ++≥

(,0)(0,).y ∴∈-∞+∞

当y=0时，()f x 有意义。 因此，()f x 的值域是(,).-∞+∞

9、求下列函数的反函数，并求反函数的定义域和值域。 （1

）y =- （2）2.51

x y x =+

解：（1）由2

2

21.22

y y

x -=

=-

有2

2 2.y x =-+

2

2

212

2

y y

x -∴=

=-

x,y 互换，得2

1(0)2

x

y x ∴=-

≤

这就是所求的函数的反函数。

在原函数y =220,x -+≥有 1.x ≤

∴反函数2

12

x

y =-

的值域为(,1]-∞，定义域为(,0].-∞ （2）251

x y x =

+ ，1510,5x x ∴+≠≠-

∴函数的定义域为1

1(,)(,).5

2

-∞--

+∞

由251

x y x =

+，解出:25y x x y

=

-

x,y 互换，得，25x y x

=-， 2250,.

5

x x -≠∴

≠ ∴原函数的反函数的值域为：2

2

(,

)(,).55-∞+∞

10、试证函数2

11y x

=+

有下界但无上界。

证明：函数的定义域是

(,0)(0,).D =-∞+∞

,x D ?∈有

2

10x

> 2

111.

x

∴+

> 211y x

∴=+

有下界1.

如果2

11y x

=+

有上界，则必存在M>1，使对于.x R ?∈有：

2

11,M x

+

<即2

1.1

x M >

-但此式不能成立。因为当M>1时，

总

有1x <

使2

11

x M <-，即2

11M x

+

>，所以

2

11y x

=+

无上界。

11、设函数()f x 和()g x 具有同一定义域D ，是有界函数，但

()g x 没有上界。求证：()f x 与()g x 的和在定义域D 上无上

界。

证明：设M 是()f x 的上界，则对于任意,().x D f x M ∈≤ 因()g x 无上界，所以对于任意给定的p>0，都存在1,x D ∈使

1().g x M p >+所以

1111()()()()().f x g x g x f x n p M p +>->+-=

所以，()f x 与()g x 的和在D 上无上界。

12、讨论函数y =

解：设()u g x ==

()2u

y f u ==

因指数函数2n y =是增函数，故[()]y f g x =的增减性就取决

于()g x =

被开放数22()280.g x x x =-++≥所以定义域为[-2,4]. 又22289(1),x x x -++=-- 定义域被划分为增减性不同的两个区间[-2,1]和[1，4]. 当1221x x -≤≤≤时，则有：

2

2

122121()()()(2)0g x g x x x x x -=-+-<

2

212()().g x g x ∴< 又12()0,()0.g x g x ≥≥

12()().g x g x ∴< 即1

212,2

2.n n

u u <∴<

因此，函数[()]y f g x =在区间[-2,1]上递增， 同理可证：[()]y f g x =在区间[1，4]上递减。

13、判断下列函数的奇偶性：

（1）52()(1)f x x x =+ （2）()lg(1)lg(1)f x x x =++- （3）1()2

f x x =

+

（4）sin 2cos y x x =+

（5）cos(sin )y x = （6）221y x x =+-

解：（1）5252()()[()1](1)()f x x x x x f x -=--+=-+=-

5

2

()(1)f x x x ∴=+是奇函数。

（2）()lg[1()]lg[1()]f x x x -=+-+--

lg(1)lg(1)()x x f x =-++=

()lg(1)lg(1)f x x x ∴=++-是偶函数。

（3）11()()2

2f x x x

-=

=

-+-

1().2

f x x -=-

+

()().f x f x ∴-≠ ()()

f x f x -≠- 1()2

f x x ∴=

+是非奇非偶函数。

（4）设()sin 2cos ,f x x x =+则()sin 2()cos()f x x x -=-+- sin 2cos x x =-+

()sin 2cos f x x x -=--

()()f x f x ∴-≠- ()()

f x f x -≠- ()sin 2cos y f x x x ∴==+是非奇非偶函数。

（5）设()cos(sin )f x x =，

则()cos[sin()]cos[sin ]cos(sin )()f x x x x f x -=-=-==

()cos(sin )y f x x ∴==是偶函数。

（6）设2()21,f x x x =+-则2()()21f x x x -=-+--

2

21x x =+-

()f x =

2

()21y f x x x ∴==+-是偶函数。

14、设()g x 是实数集上奇函数，判断11()()()

1

2

x

f x

g x a =+

-（其中0,1a a >≠）的奇偶性。 解：设11().1

2

x

h x a =

+

-则()

1111()11

2

2

1

x x

h x a

a

--=

+

=

+

--

1111111111212

1

2

2

1

x x x

x

x

x

a

a a

a

a a -+=

+

=+

=-+

+

=-

-

----

11(

)().1

2

x

h x a =-+

=--

()h x ∴是奇函数。

又()g x 是实数集上的奇函数

()()()f x g x h x ∴=?在实数集上是偶函数。 15、已知1,1lg

x x

y -+=判断它的奇偶性，并求它的单调区间。

解：0,11,11x x

x

>∴-<<∴-+ 函数定义域为（-1，1）。 设1,1()lg

x x

f x -+=则

111lg lg()lg ()111()lg 1111x

f x x x x

f x x x

x x

-+===-=---+-=--++

1()lg ,1x

f x x

-∴=+在定义域上为奇函数。

12,(1,1),x x ∈-?且12.x x <则

121221212

2

121211(1)(1)(1)(1)

2()11(1)(1)(1)(1)

x x x x x x x x x x x x x x ---+--+--=

=

++++++①当120 1.x x <<<

21122()0.(1)(1)x x x x ->++

121

211011x x x x --∴->++

121

2

1111x x x x -->++

121

2

11lg

lg

11x x x x --∴>++ 12()().f x f x ∴

>

②当1210x x -<<<，

21122()0.(1)(1)x x x x ->++

121

211011x x x x --∴->++

121

2

1111x x x x -->++

121

2

11lg

lg

11x x x x --∴>++ 12()().f x f x ∴

>

1()lg

1x y f x x

-∴==+在（-1，1）是减函数。

16

、设()lg(y f x x ==+

（1）确定()f x 的定义域和奇偶性； （2）求它的反函数1

()f x -；

（3）求它的值域；

（4）求证()f x 在其定义域上是增函数。

解：（1）

)1

,0

x x

x R x

+-

?∈+==>

∴函数的定义域为R

又()lg[())

f x x x

-=-+=-

)1

lg lg

x x

-+

==

1

l g)l1)().

x x f x

-

=+=-+=-

())

y f x x

∴==+在R上是奇函数。

（2

）由lg(

y x

=+

有10.y

x+=

2222

1(10)10210

y y y

x x x x

∴+=-=+-?

2

21010 1.

y y

x

∴?=-

2

1011

(1010).

2102

y

y y

y

x-

-

∴==-

?

,x y互换，有

1

(1010).

2

x x

y-

=-

1

1

()(1010),

2

x x

f x x R

--

∴=-∈

（3）()

f x的值域是R.

（4）

12

,,

x x R

?∈且

12

x x

<

，则

11

()lg(

f x x

=+

22

()lg(

f x x

=+

12((x x +-+

12()x x =-+-

2

212()x x x x -=-+

12()[1x x x x -=-+

12()

x x =-

12()x x =-

0<

12x x ∴+<+

12lg(lg(x x ∴+<+

12()().f x f x ∴<

()y f x ∴=在R 上是增函数。

17、设()f x 是奇函数，当0x >时，2

()2,f x x x =-+求当0x <时，()f x 的表达式。 解：设0x <，则0.x ->所以

22

()()()22f x x x x x -=---+=++