拉氏变换和傅里叶变换的关系

小波变换与傅里叶变换的对比异同

小波变换与傅里叶变换的对比、异同 一、基的概念 两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi 标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。（时频能量守恒）。 二、离散化的处理 傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢？b取多少才合适呢？于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不?,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件?后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件???,就是?

傅里叶变换拉普拉斯变换的物理解释及区别

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义频域的相位与时域的相位有关系吗信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。

(完整版)从头到尾彻底理解傅里叶变换算法

从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT） 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 前言： “关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong， 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂： 以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科） 连续傅里叶变换 一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。

这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。 连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier transform)为： 即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。 一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。 除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通信或是信号处理方面，常以来代换，而形成新的变换对: 或者是因系数重分配而得到新的变换对： 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。分数傅里叶变换(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅里叶变换(Fourier transform,FT)的广义化。 分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换a 次，其中a 不一定要为整数；而做了分数傅里叶变换之后，信号或输入函数便会出现在介于时域(time domain)与频域(frequency domain)之间的分数域(fractional domain)。

基于傅里叶变换和小波变换的图像稀疏表示

基于二维傅里叶变换和小波变换的图像稀疏表示 一、基于二维傅里叶变换的图像稀疏表示 傅里叶变换是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析。一幅静止的数字图像可以看成是矩阵，因此，数字图像处理主要是对包含数据的矩阵进行处理。 经过对图像进行二维离散傅里叶变换可以得到它的频谱，进而得到我们所需要的特征。二维离散傅里叶变换及逆变换可以表示为： 其中u=0,1,2,...,M-1和v=0,1,2,...,N-1。其中变量u和v用于确定它们的频率，频域系统是由F(u,v)所张成的坐标系，其中u和v用做（频率）变量。空间域是由f(x,y)所张成的坐标系。 傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，其意义是指图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。下图为cameraman原图像及其频谱分布图： cameraman原图像大小为256*256，其傅里叶变换频谱图大小为256*256。 图像从频域到时域的变换过程称为重构过程，通过峰值信噪比（PSNR）对图像进行评价，公式如下： PSNR=10*log10((2^n-1)^2/MSE)

MSE是原图像与处理后图像之间均方误差，n是每个采样值的比特数。通过取不同的大系数个数观察图像变化，单独取第1个大系数时： N=1 PSNR=12.2353所取频谱系数对应图 单独取第9个系数时： N=1 PSNR=6.3108第9个频谱系数对应图

N=2 PSNR= 13.1553所取频谱系数对应图 N=10 PSNR=15.4961 所取频谱系数对应图 N=50 PSNR=17.1111 所取频谱系数对应图

详解傅里叶变换与小波变换

详解傅里叶变换与小波变化 希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代

数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。 既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵(Tv_n= av_n，a是eigenvalue)。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。 好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。

傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 ? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。

（1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 ? 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)

X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R()=0，于是 可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即 左边反褶，右边共轭 有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。 2.6.4对称性

拉氏变换和傅里叶变换的关系

拉氏变换和傅里叶变换的关系 一、拉氏变换 1、拉氏变换的定义： 如果有一个以时间t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为 ()()()0e d st F s L f t f t t ∞ -=?????? (2.10) s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ?∞-0e st 称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。 式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。 2、拉氏变换的意义 工程数学中常用的一种积分变换。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。 在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用 二、傅里叶变换 1、傅里叶变换的定义： f(t ）是t 的函数，如果t 满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t ）的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F （ω）的傅立叶逆变换。F （ω）叫做f(t ）的像函数，f(t ）叫做 F （ω）的像原函数。F （ω）是f(t ）的像。f(t ）是F （ω）原像。 ① 傅里叶变换 ②

小波变换与傅里叶变换的对比异同

小波变换与傅里叶变换 的对比异同 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

小波变换与傅里叶变换的对比、异同 一、基的概念 两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL 定理。（时频能量守恒）。 二、离散化的处理 傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b 是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢b取多少才合适呢于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件,就是

傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述

傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述 ——老师不会这么讲，书上也不会讲很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年，关于傅里叶级数和傅里叶变换可能还是一知半解，只能套用公式，根本不理解为什么要这么算，也就是有什么实际含义——可以说，几乎所有信号与系统里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的！那么，什么是傅里叶变换，它是怎样一种变换，具体有怎么变换，有没有确切一点或者形象一点的物理解释呢？下面笔者将尝试将自己的理解比较本质和形象地讲出来，形式是思考探讨渐进的模式，也就是我自己的思考过程，希望对大家有所帮助。 首先，要知道傅里叶变换是一种变换，准确点说是投影。傅里叶变换的投影问题，一直想不明白那一系列的正交函数集，到底是什么样一个函数集合，或者说是怎么样的一个空间。所谓三角傅里叶级数当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴，也就是说同一个维度的分解和叠加，肯定没错，也很实用。但是要是从投影（或者说变换）的角度来说，怎么解释呢？这一系列正弦余弦的函数，在一个区间内，是一个完备的正交函数集，每一个函数所带的系数（或者叫权重），就是原函数在这个函数的方向上的一个投影（说方向不准确，但找不到其他的词）。那么，原函数到底是一个什么样的函数，和各正交基函数又是怎样的一种关系呢？这个投影又是怎么投的呢？三维或者二维空间，一个矢量在各正交基的投影很好理解，那么，傅里

叶变换的正交基函数，也是这样一种相互垂直的关系么？？？投影也是取余弦值么？ 这可以很容易地想清，我们只用余弦或者只用正弦就可以，如cos(2pi*nf0)系列，显然每两个函数图像之间不可能是垂直关系，相反可以看出这是在同一个维度里面的！所以上面两个答案是否定的。 那么，到底是怎么正交、怎么投影的呢。出现这个问题，是因为开始看书的时候我看得太粗心太浅显，没有认真透彻地理解函数正交的含义，没想到那才是最重要最根本的，从那里面再深刻理解一下，问题就迎刃而解。 函数正交和矢量正交完全不一样，是两个概念。函数正交是两个函数，一个不变另一个取共轭值然后逐点相乘再求积分的结果，积分就涉及到一个区间，这也很重要。如果满足：当这两个函数不同时，积分值为0；当两函数相同，积分值不为0。那么这两个函数在这个区间上正交。现在再回过头去看正弦或者余弦函数序列，在各个周期内，都满足上述条件，在正弦和余弦函数之间同样满足，所以这些函数是正交的。至于完备，很明显看出，不去证明了。 第一个问题解决了，现在看怎么去投影了。为更易于理解，我们取指数傅里叶变换为例。众所周知exp(jwt)表示的是一个圆周，我们用来作傅里叶变换的因子，正是这个形式（exp(-jwt)），这里我们还要理解一下傅里叶变换和傅里叶级数的区别，前者求的是复指数傅里叶级数的系数，即每个正交函数的系数（权重），复指数傅里叶级数的正交函数集正是exp(jwt)，所以求系数刚好乘以一个共轭

几种时频分析综述1——傅里叶变换和小波变换

几种时频分析方法综述1——傅里叶变换和小波变换 夏巨伟 (浙江大学空间结构研究中心) 摘要：传统的信号理论，是建立在Fourier 分析基础上的，而Fourier 变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier 变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波变换与Fourier 变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis ），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。本文对傅里叶变换和小波变换进行了详细介绍，并用算例分析指出了两者的差别。 关键词：傅里叶变换；小波变换；时频分析技术； 1 傅里叶变换（Fourier Transform ） 1 2/201 22/0()()()()1()()()(::::)N j nk N ft N ft j nk N n H T h kT e H f h t e d DFT FT IFT IDFT t NT k h t H f e dt h nT H e N NT ππππ--∞ --∞∞--∞?=??=??????????→????=?=??? ∑??∑离散化(离散取样) 周期化（时频域截断） 2 小波变换（Wavelet Transform ） 2.1 由傅里叶变换到窗口傅里叶变换（Gabor Transform(Short Time Fourier Transform)/） 从傅里叶变换的定义可知，时域函数h(t)的傅里叶变换H(f )只能反映其在整个实轴的性态，不能反映h （t ）在特定时间区段内的频率变化情况。如果要考察h(t)在特定时域区间（比如：t ∈[a,b]）内的频率成分，很直观的做法是将h(t)在区间t ∈[a,b]与函数[][]11,t ,()0,t ,a b t a b χ?∈?=? ∈??，然后考察1()()h t t χ傅里叶变换。但是由 于1()t χ在t= a,b 处突然截断，导致中1()()h t t χ出现了原来h （t ）中不存在的不连 续，这样会使得1()()h t t χ的傅里叶变化中附件新的高频成分。为克服这一缺点， D.Gabor 在1944年引入了“窗口”傅里叶变换的概念，他的做法是，取一个光滑的函数g(t),称为窗口函数，它在有限的区间外等于0或者很快地趋于0，然后将窗口函数与h(t)相乘得到的短时时域函数进行FT 变换以考察h(t)在特定时域内的频域情况。 22(,)()()()()(,)ft f ft f STFT ISTF G f h t g t e dt h t df g t G f e d T ππτττττ +∞ --∞ +∞+∞ -∞ -∞ =-=-??? ：：

傅里叶变换及拉普拉斯变换的比较研究

学号1109141006 论文 课题：拉氏变换和傅里叶变换的关系 学生姓名：陈兴宇 院系：电气工程学院 专业班级：2011级电气工程及其自动化（1）班指导教师：董德智 二0一三年六月

1 傅里叶变换与拉普拉斯变换简介 (2) 1.1 傅里叶变换 (2) 1.1.1 傅里叶变换的历史由来 (2) 1.1.2 傅里叶变换的定义 (2) 1.1.3 傅里叶变换与逆变换的性质 (3) 1.2 拉普拉斯变换 (4) 1.2.1 拉普拉斯变换的历史由来 (5) 1.2.2 拉普拉斯变换的定义 (5) 1.2.3 拉普拉斯变换与逆变换的性质 (6) 1.3 小结 (7) 2 傅氏变换与拉氏变换的比较研究 (7) 2.1 两种积分变换在求解广义积分中的应用 (7) 2.2 两种积分变换在求解积分、微分方程中的应用 (10) 2.3 两种积分变换在求解偏微分方程中的应用 (12) 2.4 两种积分变换在电路理论中的应用 (16) 3 总结 (20) 参考文献 (23)

1 傅里叶变换与拉普拉斯变换简介 人们在处理与分析工程实际中的一些问题时，常常采取某种手段将问题进行转换，从另一个角度进行处理与分析，这就是所谓的变换。在数学、物理、工程技术等领域中应用最多的是傅里叶变换与拉普拉斯变换。下面对傅氏变换与拉氏变换进行简单的介绍。 1.1 傅里叶变换 1.1.1 傅里叶变换的历史由来 17世纪和18世纪，在牛顿和莱布尼茨等科学巨人的推动下，数学获得了飞速的发展。随着函数、极限、微积分和级数理论的创立，法国数学家傅里叶在研究热传导问题时发表了《热的解析理论》的论文[1]，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶变换的理论基础。其后，泊松、高斯等人最早把这一成果应用到电学中去。时至今日，傅里叶分析法不仅广泛应用与电力工程、通信和控制领域中，而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中都得到了广泛而普遍的应用。 1.1.2 傅里叶变换的定义 由《数学物理方法》课程的知识可知，对于(),-∞+∞上的非周期函数()f t 有如下的傅里叶积分定理[2]： 设()f t 在(),-∞+∞上有定义，且 ①在任一有限区间上满足狄利克雷条件[3]（即连续或有有限个第一类间断点，并且只有有限个极值点）； ②在无限区间(),-∞+∞上绝对可积，即 ()f t +∞ -∞ <+∞? 则有傅里叶积分公式 1 ()()2i i t f t f e d e d ωτωττωπ +∞ +∞--∞ -∞??= ???? ? ? (1-1) 在()f t 的连续点x 处成立，而在()f t 的第一类间断点0x 处，右边的积分应以 ()001 0(0)2 f x f x ++-????代替。

傅里叶变换光学

中山大学光信息专业实验报告：傅里叶光学变换系统 一、实验目的和内容 1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。 2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。 3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。 4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。 二、实验原理 1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析 透镜由于本身厚度的不同，使得入射光在通过透镜时， 图1 点的厚度。设原复振幅分布为(,)L U x y 的光通过透镜后，幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因子(,)x y ?为(,)L U x y '： 图1 (,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ?'= （1） 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为： 00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ?=-+=+- （2） （2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。 用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为： 0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- （3） 由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：

傅里叶变换就是这么简单,你学会了吗

傅里叶变换就是这么简单，你学会了吗 不用任何数学公式 来解释傅里叶变换 学习傅里叶变换需要面对大量的数学公式，数学功底较差的同学听到傅里叶变换就头疼。事实上，许多数学功底好的数字信号处理专业的同学也不一定理解傅里叶变换的真实含义，不能做到学以致用!事实上，傅里叶变换的相关运算已经非常成熟，有现成函数可以调用。对于绝大部分只需用好傅里叶变换的同学，重要的不是去记那些枯燥的公式，而是解傅里叶变换的含义及意义。本文试图不用一个数学公式，采用较为通俗的语言深入浅出的阐述傅里叶变换的含义、意义及方法，希望大家可以更加亲近傅里叶变换，用好傅里叶变换。1伟大的傅里叶、伟大的争议！ 1807年，39岁的法国数学家傅里叶于法国科学学会上展示了一篇论文(此时不能算发表，该论文要到21年之后发表)，论文中有个在当时极具争议的论断：“任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成”。这篇论文，引起了法国另外两位著名数学家拉普拉斯和拉格朗日的极度关注!58岁的拉普拉斯赞成傅里叶的观点。71岁的拉格朗日(貌似现在的院士，不用退休)则反对，反对的理由是“正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号” 。屈服于朗格朗日的威望，该论文

直到朗格朗日去世后的第15年才得以发表。之后的科学家证明：傅里叶和拉格朗日都是对的!有限数量的正弦曲线的确无法组合成一个带有棱角的信号，然而，无限数量的正弦曲线的组合从能量的角度可以非常无限逼近带有棱角的信号。2傅里叶变换的定义 后人将傅里叶的论断进行了扩展：满足一定条件的函数可以表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。如何得到这个线性组合呢?这就需要傅里叶变换。一定条件是什么呢?这是数学家研究的问题，对于大多数搞电参量测量的工程师而言，不必关注这个问题，因为，电参量测量中遇到的周期信号，都满足这个条件。这样，在电参量测量分析中，我们可以用更通俗的话来描述傅里叶变换：任意周期信号可以分解为直流分量和一组不同幅值、频率、相位的正弦波。分解的方法就是傅里叶变换。并且，这些正弦波的频率符合一个规律：是某个频率的整数倍。这个频率，就称为基波频率，而其它频率称为谐波频率。如果谐波的频率是基波频率的N倍，就称为N次谐波。直流分量的频率为零，是基波频率的零倍，也可称零次谐波。3傅里叶变换的意义 1、为什么要进行傅里叶变换呢?傅里叶变换是描述信号的需要。只要能反映信号的特征，描述方法越简单越好!信号特征可以用特征值进行量化。所谓特征值，是指可以定量描述一

深入浅出的讲解傅里叶变换(2)

深入浅出的讲解傅里叶变换(2) 上一篇文章发出来之后，为了掐死我，大家真是很下工夫啊，有拿给姐姐看的，有拿给妹妹看的，还有拿给女朋友看的，就是为了听到一句“完全看不懂啊”。幸亏我留了个心眼，不然就真的像标题配图那样了。我的文章题目是，如果看了这篇文章你“还”不懂就过来掐死我，潜台词就是在你学了，但是没学明白的情况下看了还是不懂，才过来掐死我。 另外，想跟很多人抱歉，因为评论太多了，时间有限，不能给每个人回复，还望大家谅解。但是很感谢一直在评论区帮忙解答读者问题的各位，就不一一@了。 这里郑重感谢大连海事大学的吴楠老师，一位学识渊博、备课缜密、但授课不拘一格的年轻教师！当时大三他教我通信原理，但是他先用了4结课帮我们复习了很多信号与系统的基本概念，那个用乐谱代表频域的概念就是他讲的，一下子让我对这门课豁然开朗，才有了今天的这篇文章。 ————————————今天的定场诗有点长—————————— 下面继续开始我们无节操的旅程： 上次的关键词是：从侧面看。这次的关键词是：从下面看。 在第二课最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。 先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事： 先在纸上画一个sin（x），不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。 好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形。 别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？ 好，画不出来不要紧，我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。 但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。

傅里叶变换性质证明

2.6 傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶

f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质

2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （ 1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是

傅里叶变换光学

中山大学光信息专业实验报告：傅里叶光学变换系统 一、实验目的和内容 1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。 2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。 3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。 4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。 二、实验原理 1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析 力。图1 在该点的厚度。设原复振幅分布为(,)L U x y 其复振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因(,)x y ?后变为(,)L U x y '： 图1 (,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ?'= （1） 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为： 00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ?=-+=+- （2） （2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。 用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为： 0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- （3） 由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：

22012 111(,)()()2D x y D x y R R =-+- （4） 其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。引入焦距f ，其定义为： 12 111(1)()n f R R =-- （5） 代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j x y f =-+ （6） 式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)L U x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。 从式（6）容易看出第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。第二项22exp[()]2k j x y f -+是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透镜中心的距离的平方成正比。而且与透镜的焦距有关。当考虑透镜孔径后，有： 22(,)exp[()](,)2k t x y j x y p x y f =-+ （7） 其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为： 1(,)0p x y ?=?? 孔径内 其 它 （8） 2、透镜的傅里叶变换性质 在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅里叶变换。衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。一般情况下，我们是将夫朗和斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。 如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为(,)t x y 的衍射屏，与衍射屏相距Z 处放置一焦距为f 的薄透镜L ，先观察其像方平面L 的光场分布。为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。