医学高等数学习题解答(第2章)
第二章 一元函数微分学习题题解(P65)
一、判断题题解
1. 正确。设y =f (x ), 则00)lim (lim lim lim 0
000
=⋅'=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛
∆∆=⎪⎭⎫
⎝⎛∆⋅∆∆=∆→∆
→∆→∆→∆y x x y x x y y x x x x 。 2. 正确。反证法。假设)()()(x g x f x F +=在x 0点可导，则盾。故命题成立。
3. 错。极值点也可能发生一阶导数不存在的点上。
4. 错。如图。
5. 错。拐点也可能发生二阶导数不存在的点上。
6. 错。不满足拉格朗日中值的结论。
7. 错。设x x f =)(, x
x g 1
)(=
，则：1)()()(=⋅=x g x f x F ，显然)(x f 在0=x 点的导数为1，)(x g 在0=x 点的导数不存在，而)(x F 在0=x 点的导数为0。是可导的。
8. 错。设3x y =和3x y =，显然它们在(-∞,+∞)上是单调增函数，但在0=x 点3
x y =的导数为0，3x y =的
导数不存在。
二、选择题题解
1. 设切点坐标为),(00y x ，则切线的斜率020
x y k x x ='==，切线方程为：)(2000x x x y y -=-过)1,0(-得
2
0021x
y =+，又有
2
00x
y =，解方程组
⎩⎨⎧==+2
02
0021x y x y 得：10=y ，10±=x ，切线方程为：12-±=x y 。(A ) 2. 可导一定连续。(C ) 3. 连续但不可导。(C ) 4. 因为),(),(12b a x x ⊆∈ξ。(B )
5. 321, x y x y ==，在x=0处导数不存在，但y 1在x=0处切线不存在，y 2在x=0处切线存在。(D )。
6. ,1sin lim 0)0sin(lim
)0(00=∆∆=∆-∆+='→∆→∆-x x x
x f x x 10
)0(lim )0(0=∆-∆+='→∆+x x f x 可导。(C )
7. 45)(x x f ='，x
x e e f 45)(='。(A)
8. 01sin lim 0
01
sin
)0(lim
020
=∆∆=∆-∆+∆+→∆→∆x
x x x x x x 。(B )
三、填空题题解
1. 1
1)(2
-=
'x x x f ,3
211
)2(21)2(2
=
---=
-'f 。
2. x x x cot csc )(csc ⋅-='
3. y y x y xy y x xy x x '+='+⋅⇒'+='1)()cos()(])[sin(, )
cos(11
)cos(xy x xy y y --='。
4. xdx x e e d x x 2cos )(2sin sin 2
2
⋅⋅=。
5. )3)(2(63666)(2
-+=--='x x x x x f ，当32<<-x 时，0)(<'x f ，单调调减小。 6. )](ln )([ln 2
1ln x g x f y -=⇒
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'='⋅)()()()(211x g x g x f x f y y ⇒⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'-'⋅=')()()()()(2)(x g x g x f x f x g x f y 。 7. 3
235
)(x x x f -=，()25313235)(3313
2-=-=
'-x x
x x x f ，当52=x 时，)(x f 由减变增，取得极小值。 8.
x e dx dy +=1，x
e dx
dy dy dx +=
=11
1。 四、解答题题解
1. g t g g t g t g t S t t -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∆--=∆⎪
⎭⎫ ⎝⎛
--⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-∆+='→∆→∆102110lim 2110)1(21)1(10lim
)1(020 2. (1)x
x x x x x ∆=∆-∆+∆+→∆→∆1sin
lim 0
01
sin
)0(lim
00
不存在，)(x f 在0=x 不可导。 (2) 01sin lim 0
01
sin
)0(lim
020
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛∆⋅∆=∆-∆+∆+→∆→∆x x x x x x x ，)(x f 在0=x 可导，且0)0(='f 。
3. ∞=∆=∆-∆+-→∆→∆αα1001
lim 0)0(lim
x x
x x x 不可导。
4. 过)1,1(与)4,2(两点的割线斜率为31
21
4=--=
k ，抛物线2x y =过x 点的切线斜率为x y 2='，故32=x ， 得 49,23==
y x ，⎪⎭
⎫
⎝⎛49,23即为所求点。 5. 过),(00y x 点作抛物线2
x y =的切线，设切点为),(2
x x ，应满足x x x y x 20
2=--方程，若方程有两个不等的
实根x ，则说明过),(00y x 点可作抛物线的两条切线。整理方程得：02002
=+-y x x x ，当04402
0>-=∆y x 时，方程有两个不等的实根。也就是要满足2
00x y <即可。
6. 求下列函数的导数。 (1) a a nx
a x y x n x
n
ln )(1
+='+='-
(2) x
x x y 11)5ln (+
='++=' (3) 1sin cos sin )cos sin (1
+-+='++='-x x x x nx x x x x y n n n
(4) 2
3222422211
tan 2cos 111tan 2sec )arctan tan (x x x x x x x x x x x x x x y ++-=++-='+='
(5) x
x
x x x x y 22sin ln 2cos )ln 2sin 21(+
⋅='⋅=' (6) 2
)1(sec tan sec )1()1ln(1sec x x x x x c x x y +-+='
⎪⎭
⎫
⎝⎛+++=' 7. 求下列函数的导数。 (1) 112111
)1()1()1()
1(-----+=⋅+='+⋅+='n n n n n n n n n x x n nx x n x x n y
(2) x x x x x x x x y 3sec 33tan 2)3(tan 3tan )(2
2
2
2
+='+'=' (3) 2
22
12cot 12sin cos ])1ln(sin [ln x x
x x x x x x x y +-=+-=
'+-=' (4) )
12ln()12(2
12)12()12ln(1)12ln(])12[ln(++=+'+⋅+=+'+==
'x x x x x x x y
(5) x x
x
x x x x x x y sec 2cos cos 2sin 1cos sin 1cos ])sin 1ln()sin 1[ln(2==-++=
'--+='
(6) [
]
x
x x x x x x x x x x x x x x x x y ln )ln(ln 6ln ln 3)ln(ln 2ln ))(ln (ln 3)ln(ln 2ln )(ln )ln(ln 2]))[ln(ln ln(ln 2)(ln ln 3323
3
23333
333
2=='='='='
=' 8. kt
kt
e kn e n t n 00][)(='='，k e
n e kn t n t n kt
kt
=='00)()(。 9. 求下列函数的导数。 (1) x x y ln sin ln =，
x x x x y y sin ln cos 1+='⋅，⎪⎭⎫ ⎝
⎛+='x x x x x y x sin ln cos sin
(2) []x x x y 2sin ln )3ln()1ln(2ln 2
1
ln -++++=
，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++='⋅x x x x y y 2sin 2cos 23111211，
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+++++==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++=
'x x x x x x x x x x x x y 2cot 231112sin 2)3)(1(2cot 231112sin )3)(1(221 (3) x
x y =ln ,x x y ln ln ln =，
1ln ln )(ln +='
x y y ，)1(ln ln +='x y y
y ，)1(ln ln +='x y y y ,)1(ln +⋅='x x e y x x x (4) x x y a r c t a n ln ln =，
211arctan arctan ln x x x x y y +⋅+=', ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++='x x x x x y x arctan )1()ln(arctan )(arctan 2 10. 求下列函数的n 阶导数。
(1) x y 5=，5ln 5x
y ='，5ln 52x y =''，…，5ln 5)(n
x n y =
(2) bx a y cos =，⎪⎭⎫
⎝
⎛+
=-='2cos sin πbx ab bx ab y ，⎪⎭⎫ ⎝
⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''22cos 2sin 2
2πππbx ab bx ab y ，()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
=+-='''23cos sin 33ππbx ab bx ab y ，…，⎪⎭⎫ ⎝
⎛⋅+=2cos )(πn bx ab y n
n
(3) x y ln =，11
-==
'x x
y ，2--=''x y ，32-='''x y ，…，n n n x n y ---⋅-=)!1()1(1)( 11. 求下列隐函数的导数。
(1) 0)3(3
3
='-+x axy y x ，0)(3332
2
='+-'+y x y a y y x ，2
2y ax ay
x y --='
(2) 同填空题3。y y x y xy y x xy x x '+='+⋅⇒'+='1)()cos()(])[sin(, )
cos(11
)cos(xy x xy y y --=
'。
(3) x x xy
y xe y )(cos )('='+⇒y y y x y xe e y xy
xy '⋅-='+++'sin )(⇒xy
xy
e
x y e xy y 2sin 1)1(+++-='
(4) 1)(1)(])[arctan(2
='++'
+⇒'='+y xy y x y x y xy x x ⇒222211y x x y x y y +++-=
' 12. 求下列函数的微分。 (1) xdx e x d e e
d dy x x x
cos )(sin )(sin sin sin ===
(2) x
x x
x x x x
e
dx e e
x d e e e d e d dy 42422
222121)2()
(1)()(arcsin -=
-=
-=
=
(3) dx x x x x x d x x x x d dy ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--
+=++=+=211
1)arccos cos()arccos ()arccos cos()]arccos [sin( (4) dx x
e dx x e
x d e
e
d dy x
x
x
x
2
arctan 22arctan 2arctan 2arctan 21212)arctan 2()(+=+=== 13. 求5（2.236068）、
31sin 近似值。
(1) 设x x f =)(，则x
x f 21)(=
'，取84.42.22
0==x ，16.0=∆x ，则2.284.4)(0==
x f ，
227.084
.421
)(0==
'x f ，故236.216.0227.02.2)()()(5000=⨯+=∆'+≈∆+=x x f x f x x f
(2) 设x x f sin )(=，则x x f c os )(='，取6
300π
=
=
x ，180
1π
=
=∆
x ，则2
130sin )(0=
=
x f ，2330cos )(0=
=' x f ，故515.0180
2321)()()(31sin 000=⨯+
=∆'+≈∆+=πx x f x f x x f
14. 证明下列不等式。
(1) 设x x x f tan )(-=，则0tan sec 1)(2
2≤-=-='x x x f ，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上单调递减。当⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈0,2πx 时，
)0()(f x f >，即x x tan >，当⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πx 时，)0()(f x f <，即x x tan <，当0=x 时，)0()(f x f =，
即x x tan =，综上所述，当⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 时，x x tan ≤。
(2) 设)1ln(11
1)1ln(1)(x x
x x x x f +++-=+-+=
,当0>x 时,0)1(11)1(1)(2
2<+-=+-+='x x x x x f ,有)0()(f x f <,即
)1ln(1x x x +<+；设)1l n ()(x x x f +-=,当0>x 时,01111)(>+=+-='x
x
x x f ,有)0()(f x f >,即
)1ln(x x +>；综上所述，当0>x 时，有
x x x
x
<+<+)1ln(1。 (3) 设x e x f x --=1)(，则1)(-='x e x f ，当0>x 时,0)(>'x f ，有)0()(f x f >，即01>--x e x
；当0 时,0)(<'x f ，有)0()(f x f >，即01>--x e x ；综上所述)0( 1≠+>x x e x 。 15. 求下列函数的极限。 (1) )2ln(cos )5ln(cos lim 0x x x →=x x x x x 2cos 2sin 25cos 5sin 5lim 0--→=x x x x x x x 5cos 2cos 2sin 255sin 25lim 250⋅ ⋅⋅→=4 25 (2) p q x q p x x x x x -→→++=ln lim ln lim 00=p q x px x q --→-+10ln lim =p q x x p x q q --→--+220)(ln )1(lim =…=p n n q x x p x n q q q --→-+--+)(ln )1()1(lim 0 =0 (分子和分母分别求n 阶导数，使n >q ) (3) x x x x x x x x e e x ln sin lim ln sin 0 sin 0 lim lim + →++==→→=10 =e x x x x x x sin 1ln lim ln sin lim 00+ +→→==x x x x 20sin cos 1 lim -+→=x x x x cos sin lim 20+→=0sin cos cos sin 2lim 0=-+→x x x x x x (4) x x x x x x x x e e x --→-→→==1ln lim 1ln 111 1 1lim lim =) 1(11lim 1-⋅→x x e =1 -e (5) x x x x x x e x x sin ln 10 10 2 2 lim sin lim →→=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=2 sin ln lim x x x x e →=x x x x x x x x e 2sin cos sin lim 2 0-⋅ →=x x x x x x e sin 2sin cos lim 20-→=66 11e e = - x x x x x x sin 2sin cos lim 20 -→ =x x x x x x x x x cos 2sin 4cos sin cos lim 20+--→=x x x x x cos 2sin 4sin lim 0+-→=)sin (cos 2cos 4cos lim 0x x x x x x -+-→=6 1 - (6) x x x x x x x x e e x ln cot ln lim ln cot ln 0 ln 1 0lim ) (cot lim +→++==→→=1cos sin lim cot csc lim 020---==+ →+ →e e e x x x x x x x x 16. 证明下列不等式。 (1) 令x x x f -=sin )(,因为f '(x )=cos x -1<0 (x <0), 所以当x <0时f (x )↘, f (x )>f (0)=0 ⇒ sin x >x ； 令g (x )=6/sin 3 x x x +-, 则：g '(x )=2/1cos 2 x x +-，g ''(x ) = - sin x +x , g '''(x )= - cos x +1>0 (x <0), 有g ''(x )↗⇒g ''(x ) (2) 令p p x x x f )1()(-+=, f (x )在[0,1]连续且f (0)=f (1)=1，f '(x )= p [x p -1-(1-x )p -1],令f '(x )=0得x =1/2为驻点。 f ''(x )=p (p -1)[x p -2+(1-x )p -2]>0,有极小值12 1212121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛p p p f ，1)(211≤≤∴-x f p 1)1(211≤-+≤⇒-p p p x x 17. 确定下列函数的单调区间。 (1) x x y 63 -=，定义域(-∞,+∞)，)2(36322-=-='x x y ，令0='y ，解得2±=x ，增减性如下表： (2) x x y sin +=，定义域(-∞,+∞)，0cos 1≥+='x y ，令0='y ，解得 ,2,1,0,)12(±±=+=k k x π，均是 孤立驻点，故在(-∞,+∞)单调递增。 (3) 712322 3 +--=x x x y ，定义域(-∞,+∞)，12662 --='x x y =)1)(2(3+-x x ，令0='y ，解得2,1-=x ，增减性如右表： 18. 求下列函数的极值。 (1) )1ln(x x y +-=，定义域(-1,+∞)，x y +-='111=x x +1，令0='y ，解得 0=x ，极值见右表： (2) x x y ln =，定义域(0,+∞)，x x x y 12ln + ='=x x 22 ln +， 令0='y ，解得2 -=e x ，极值见如右表： (3) x x y 1+ =，定义域(-∞,0)∪(0,+∞)，211x y -='，32 x y =''，令0='y ，解得1±=x ，02)1(<-=-''y 有极大值2)1(-=-y ，02)1(>=''y 有极小值2)1(=y 。 19. 求下列函数在所给区间内的最大值和最小值。 (1) x x f 45)(-= 是[-1,1]上的连续函数，0452 )(<--= 'x x f 减函数且无驻点，但有一个不可导点 14 5 >= x ，它不在[-1,1]上，故3)1(max =-f ，1)1(min =f 。 (2) 23)(2 +-=x x x f 是[-10,10]上的连续函数，此函数可用分段函数表示⎩⎨⎧+- ≤≤+--=其它 , 232 1 , )23()(22x x x x x x f ， ⎩⎨⎧><-<<+-='21 , 322 1 , 32)(2x x x x x x f 或，令0)(='x f ，得：23=x ，0)2()1(==f f ，41)23(=f ，132)10(=-f ， 72)10(=f ，比较得：132max =f ，0min =f 。 (3) 2 2 )(-=x x f 是[-5,5]上的连续函数，此函数可用分段函数表示⎩ ⎨⎧≥<=--2 , 22 , 2)(22x x x f x x ，分段点为2=x ， 1)2(=f ，⎩⎨⎧><-='--2 , ln222 , ln22)(22x x x f x x ，无驻点。72)5(=-f ，3 2)5(=f ，比较得：128max =f ，1min =f 。 20. 2 3 bx ax y +=，bx ax y 232 +='，b ax y 26+=''，因为(1,3)为曲线的拐点，所以有⎩ ⎨ ⎧=⋅+⋅=+3110 262 3b a b a ，解之得：23- =a ，2 9 =b 。 21. 1 1 2+-=x x y ，2 22)1(12+++-='x x x y ，322)1()14)(1(2++-+=''x x x x y ，令0=''y ，解得11-=x ，323,2±=x ，11-=y ，4313 ,2±-=y ，可验证⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----431,32,431,32),1,1(是曲线的三个拐点。 下面论证此三点在一条直线上。只要证明过任意两点的直线的斜率相同即可。 4133433132143112121=--=+-+--=--=x x y y k ，4 13343 31321 43113132=++=++++-=--=x x y y k ，21k k =得证。 22. )1(0b w w be w kt +=+-，kt be b w w -++= 1)1(0两端对t 求导数：0)(='+-+'--w e w ke b w kt kt ⇒2 0) 1()1(1kt kt kt kt be e b bkw be w bke w ----++=+=' 23．将r 看作常数，两端对t 求导数，得： dt dR R dt dv ⋅=ληρ2，)min (108102202 .04231cm dt dv --⨯=⨯⨯⨯= ληλη。 24. (1)求出现浓度最大值的时刻：)(122)(18.0t t e e t C ---=,)18.0(122)(18.0t t e e t C --+-=',令0)(='t C ， 解得唯一驻点82 .018.0ln -=t 。 )18.0(122)(18.02t t e e t C ---=''，)18.0(122)82.018.0ln (82 .018.0ln 82 .018 .0ln 18.02-- -⨯--=-''e e C =)18.0(12218.0ln 41 50 18.0ln 41 9 2 e e -=)18.018.018.0(12241 5041 92 -⨯=0)18.018.0(12241 5041 91<-有极大值。 也为最大值。 (2)求出现浓度变化率最小值的时刻：令0)(=''t C ，解得唯一驻点41 .018 .0ln -= t 。 )18.0(122)(18.03 t t e e t C --+-=''',)18.0(122)41.018 .0ln (41 .018.0ln 41 .018.0ln 18.03---⨯-+-=-'''e e C =)18.0(12218.0ln 41 18 3 18.0ln 41 100 e e - =)18.018.018.0(12241 183 41 100⨯-=0)18.018.0(12241 14141 100>-有极小值。也为最小值。 25. 求w '何时达最大值。)66.1()5.341ln(ln -=--t k w w ⇒) 66.1(15 .341t k e w -+= …①， k w w w w ='⋅---'⋅5.34111⇒)5.341(5.3412w w k w -='…②， ()()w w k w w w k w '-='⋅-'= ''25.3415.34125.3415.341，令0=''w ，得：2 5.341,0=='w w 。 由0='w ⇒0)5.341(=-w w ，而0≠w ⇒w =341.5，由①得0) 66.1(=-t k e 无解。 由2 5.341= w ⇒1) 66.1(=-t k e ，得：66.1=t 是唯一驻点。[] w w w w k w ''⋅-'-''='''2)(25.3415.3412， 当66.1=t 时，25.341=w ，k w 4 5 .341='，0=''w ，0<'''w 有极大值。也为最大值。 26. 2000-1985=15，6901.1215.10)15(15 01489.0==⨯e f ；2010-1985=25，7276.1415.10)15(2501489.0==⨯e f ； 2000年后，模型预算人口增多，与实际不符，需要修正模型，让人口平均年增长率0.01489变小，即控 制人口平均年增长率，就可以控制人口的增长。 27. 讨论下列函数的凹凸性和拐点 (1) )0(2 2 2 >+=a x a a y ，定义域(-∞,+∞)，2 222)(2x a x a y +-='，322222)()3(2x a a x a y +-=''，令0=''y ，得3 a x ± =，43 =y ，列表讨论。 (2) x x y sin +=,定义域(-∞,+∞),x y cos 1+=',x y sin -='',令0=''y ,得πk x =,),2,1,0( ±±=k ,当 ()ππk k x 2,)12(-∈时,0>''y ,曲线是凹的。当()ππ)12(,2+∈k k x 时,0<''y ,曲线是凸的。 拐点为：()ππk k ,。 28. 讨论下列函数的单调性、极值、凹凸性、拐点和渐进线，并画出它们的大致图形。 (1) 2 x e y -=，定义域(-∞,+∞)，是偶函数，0lim 2 =-→∞ x x e ，有水平渐进线0=y ，2 2x xe y --='， )12()]2([222 22-=-+-=''---x e x xe e y x x x (2) x x y -+=11ln ，定义域(-1,1)，)()(x f x f -=-是奇函数，∞=-+-→x x x 11ln lim 1，∞=-++-→x x x 11ln lim 1有垂直渐进线 1±=x ，2 12 x y -= '无驻点，但当1±=x 2 2) 1(4x x y -=''，令0=''y ，得0=x 。 x) 1 3. 函数f (x) lnx 在x 1处的切线方程是 _______________________ 1 4. 设 f(—) x ,则 f (x) ___ ________ x 3 5. 函数 f (x) sin(cosx )，贝y f (x) ___________________ 6.设函数f(x) ln cosx ，则二阶导数f (x) 、选择题. 1.函数y A 、无定义 不连续 第二章 C 、可导 D 、连续但不可导 2.设函数f (X ) 2x 2 x , 1,x 0 ，则 f (x)在点x 0处 A 、没有极限 B 、有极限但不连续 C 、连续但不可导 D 、可导 3?设函数y f (x)可微, 则当 y dy 与x 相比，是 x 的等价无穷小 x 的同阶无穷小 C . x 的高阶无穷小 x 的低阶无穷小 4.函数 x 3的单调增区间是 中B 、(严,T 3 3 3 C 、(于 5?函数f (x) 1 (e x e x )的极小值点是 ) ) ) ) (0,+ ) ) 不存在 、填空题. 1. 已知(sin x) cosx , 利用导数定义求极限 2、 如果f (x °) 4，则 lim f(x 0 3x) x 0 f (X o ) 7. d(arctan2x) ,d In (sin 2x) 四、计算题. 六、应用题. 产品的市场需求量为 q 1000 10 p ( q 为需求量，p 为价格)?试求：(1 )成本函数，收入 函数；(2)产量为多少吨时利润最大? 8.函数f(x) x 3 ax 2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则 a = p 9 ?设需求量q 对价格p 的函数为q(p) 100e ? ，则需求弹性E p 三、判 断题. 1. 若f(x)在点X o 处可导，则f (x)在点X o 处连续. 2. dy 是曲线y f (x)在点(x 0, f (怡))处的切线纵坐标对应于 x 的改变量. 3. 函数y f (x)在x 0点处可微的充要条件是函数在 X 。点可导. 4. 极值点一定是驻点. 5. 函数y x 在点x 0处连续且可导. 1.求函数 y arctan-. 1 x 2的导数. 2.求由方程x y e 2x e y 0所确定的隐函数 y f(x)的导数y . e 3.设 y x ，求 y . 4.求由方程y cos(x y)所确定的隐函数 y f (x)的二阶导数y . 五、求下列极限. (1) lim x x sin x x sin x (2) 4 c 2 lim X x 0 3x 2x si nx 4 ， (3) 01 x x 1 ln x (4) 1 lim( a' X 1)x (a 0), (5) (6) lim (x x 1 X \ X e)x . 1.求函数f (x) x 3 3x 2 9x 1的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点. 2.某厂生产一批产品, 其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为 60元, 对这种 习题2-1 1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1 n n x n = + ; (2) 2(1)n n x =--； (3) 13(1)n n x n =+-； (4) 2 1 1n x n = -. 解：(1) 此数列为12341 234,,,,,,2 345 1 n n x x x x x n == === + 所以lim 1n n x →∞ =。 (2) 12343,1,3,1,,2(1), n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。 (3) 12341111 31,3,3,3,,3(1),234 n n x x x x x n =-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞ =。 (4) 123421111 11,1,1,1,,1,4916 n x x x x x n =-= -=-=-= - 所以lim 1n n x →∞ =- 2.下列说法是否正确： (1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散； (4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。 (2) 错误 例如数列{} (-1)n 有界，但它不收敛。 (3) 正确。 (4) 错误 例如数列21(1) n n x n ⎧⎫ =+-⎨⎬⎩ ⎭ 极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。 *3.用数列极限的精确定义证明下列极限： (1) 1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=; (2) 22 2 lim 11 n n n n →∞-=++； (3) 3 2 3125lim -=-+∞→n n n 证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--= -=<，只要1 n ε >即可，所以可取正整数1 N ε ≥ . 因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤ ∃=⎢⎥⎣⎦ ，当n N >时，总有 1(1)1n n n ε-+--<，所以 医用高等数学（第三版）习题解答习题一 1( 求下列函数的定义域: (1)要使函数有意义，需且只需，即或，所以函数 (x，2)(x,1),0y,(x， 2)(x,1)x,,2x,1 的定义域为。 (,,,,2],[1,，,) (2)要使函数有意义，需且只需，即，所以函数 y,arccos(x,3),1,x,3,12,x,4 。的定义域为[2,4] x,1x,1,0(3)要使函数有意义，需且只需且，或，所以函数的定 x， 2,0x,,2x,1y,lgx，2x，2义域为。 (,,,,2),(1,，,) ln(2，x),0,ln(2，x),y,2，x,0(4)要使函数有意义，需且只需，解之得函数的定义域为。 [,1,0),(0,4),(4,，,),x(x,4),x(x,4),0, 2,2,x,01x,(5)要使函数有意义，需且只需，解之得函数的定义域为。 y,，arcsin(,1)[0,2),22,,1,x/2,1,12,x, xsinx,0y,(6)要使函数有意义，需且只需，即函数的定义域为。 D,{xx,R,x,k,,k为整数}sinx 1111122f(),,f(0),f(lg),1，lg,1，(lg2)2(解，，。 22222 1,0,x，,1,1112，，3f(x，)，f(x,)) 要使函数有意义，需且只需3(解(1 解之得函数的定义域为。 ,,,,13333，，,0,x,,13, 0,sinx,1(2)要使函数有意义，需且只需，即为整数，所以函数的定 2k,,x,(2k，1),,kf(sinx) D,{xx,[2k,,(2k，1),],k为整数}义域为。 ,1,1[e,1]e,x,1(3)要使函数有意义，需且只需，即，所以函数f(lnx，1)的定义域为。 0,lnx，1,1 220,x,1[,1,1](4)要使函数有意义，需且只需，即，所以的定义域为。 f(x),1,x,1 312sin332x2y,lgtan(x，1)4(解(1); (2) ; (3) ; (4) 。 y,1,x， sin(1,x)y,(x，1)y,e 3u25(解(1)y,e,u,arctanv,v,2x，1; (2); y,u,u,sinv,v,x，2 11，x1322y,tanu,u,v,v,y,cosu,u,v,v,lnw,w,x，1(3) ; (4)。 1,x2 x2xxx2x2f(x)f(e，1),e，e，1,(e，1),(e，1)，1f(x),x,x，16(解因为，所以函数的表达式为。 2111,,2f(tanx，),tanx，，3,tanx，，1f(x)7(解因为，所以函数的表达式为,,2tanxtanxtanx,, 1 2。 f(x),x，1 1n,sin1nnsinnnn8(解(1) 。(2) lim(， 1,),lim,0lim,lim,0n,,n,,1n,,n,,n，1nn，1，1， n12n1n(n1)/2n11,,,,,limlimlim，，？，,,,(3) ,,2222n,,n,,n,,2n2nnnn,, 32x,1x1x12,，2limlim9(解(1);(2),,; lim,lim(x，x， 1),12x,1x,1x,,x,,2x1311，x,12xx1,, 2222x1x111/x1,,,x,5x，4limlim(3);(4)因为，所 以; ,,lim,0lim,,222x,,x,,x,1x,132x,1xxxxx313/1/,,,,x5x4,，x3(3)xx1321,,31，,，,(5); limlimlim,,,22x,3x,3x,316x9,xxxxxx(9)(1321)(3)(1321),，，，，，，， 医用高等数学第七版完整答案 医用高等数学是一门应用数学课程，主要针对医学专业的 学生。本文将提供医用高等数学第七版的完整答案，帮助学生更好地学习和掌握该课程的内容。 第一章线性代数 1.1 向量和矩阵 问题1 已知向量A和B的坐标分别为A=(1, 2, 3)和B=(4, 5, 6)，求向量A和B的数量积。 答案： 向量A和B的数量积可以通过对应坐标相乘再相加得到。所以，向量A和B的数量积为1 * 4 + 2 * 5 + 3 * 6 = 32。 问题2 已知矩阵A=\[1 2 3\]，B=\[4 5 6\]，求矩阵A和B的乘积。 答案： 矩阵A和B的乘积可以通过将A的每一行分别与B的每一列相乘再相加得到。所以，矩阵A和B的乘积为： \[1 * 4 + 2 * 5 + 3 * 6\] \[1 * 4 + 2 * 5 + 3 * 6\] \[1 * 4 + 2 * 5 + 3 * 6\] =\[32 38 44\] 1.2 线性方程组 问题1 已知线性方程组： x + y + z = 6 2x + 3y + 2z = 15 3x + 4y + 5z = 26 求解线性方程组。 答案： 可以通过消元法求解线性方程组。首先，将第二个和第三个方程进行消元，消去x的系数，得到新的方程组： x + y + z = 6 - z = 3 2z = 14 然后，代入z的值，求解出y的值： y + z = 3 - z = 3 y + 0 = 0 得出y = 0。最后，代入y和z的值，求解出x的值：x + 0 + 0 = 6 x = 6 所以，线性方程组的解为x = 6，y = 0，z = 3。 问题2 已知线性方程组： x + y + z = 1 x - y + 2z = 3 2x + 3y + 4z = 2 求解线性方程组。 答案： 第一章 函数、极限与连续习题题解(P 27) 一、判断题题解 1. 正确。设h (x )=f (x )+f (?x ), 则h (?x )= f (?x )+f (x )= h (x )。故为偶函数。 2. 错。y =2ln x 的定义域(0,+?), y =ln x 2的定义域(??,0)∪(0,+?)。定义域不同。 3. 错。+∞=→20 1 lim x x 。故无界。 4. 5. 6. 7. 从而g (x )在x 8. 1. 2. 3. 4. 5. 1 1 1 1 1 x x x x x →→→→→++-- 6. 3092 -x x (D ) 7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是?10。 (A ) 8. 设1)(4 --=x x x f ,则13)2(,1)1(=-=f f ，)(x f 连续，由介质定理可知。 (D ) 三、填空题题解 1. 210≤-≤x ?31≤≤x 2. )arctan(3 x y =是奇函数，关于原点对称。 3. 31= ω,πω π62==T 。 4. y x -=,可以写成x y -=。 5. 设6 t x =，1,1→→t x ，3 2 11lim 11lim 213 21=+++=--→→t t t t t t t 6. 2 arctan π ≤ x 有界，01 lim =∞→x x ，故极限为0。 7. 8. c =6, 从 而b 9. 10. 11. 12. 1. (1) ?≥-?≥- )1(00 x x x x (2) ?? ? ??≥-≤-025151 2x x ????≤≤-≤≤-5564x x ?定义域为]5,4[- (3) 设圆柱底半径为r ，高为h ，则v=?r 2h , 2r v h π= ，则罐头筒的全面积??? ? ?+=+=r v r rh r S 22 222πππ， 其定义域为(0,+?)。 医学高等数学习题解答(1,2,3,6) 第一章 函数、极限与连续习题题解(P27) 一、判断题题解 1. 正确。设h (x )=f (x )+f (-x ), 则h (-x )= f (-x )+f (x )= h (x )。故为偶函数。 2. 错。y =2ln x 的定义域(0,+∞), y =ln x 2的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)。定义域不同。 3. 错。+∞=→20 1 lim x x 。故无界。 4. 错。在x 0点极限存在不一定连续。 5. 错。01 lim =- +∞ →x x 逐渐增大。 6. 正确。设A x f x x =→)(lim 0 ，当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域内，有εε+<<-A x f A )(。 7. 正确。反证法：设F (x )=f (x )+g (x )在x 0处连续，则g (x ) =F (x )-f (x )，在x 0处F (x )，f (x )均连续，从而g (x )在x =x 0处也连续，与已知条件矛盾。 8. 正确。是复合函数的连续性定理。 二、选择题题解 1. () )( 22)]([,2)(,)(22 2D x f x x x f x x x ====?? 2. y =x (C ) 3. 01 sin lim 0=→x x x (A ) 4. 0cos 1sin lim 0=→x x x x (B ) 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 1 1 1 1 1 f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→++-- (B ) 6. 3092-x x (D ) 7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是-10。 (A ) 8. 设1)(4--=x x x f ,则13)2(,1)1(=-=f f ，)(x f 连续，由介质定理可知。 (D ) 三、填空题题解 1. 210≤-≤x ?31≤≤x 第二章 一元函数微分学习题题解(P65) 一、判断题题解 1. 正确。设y =f (x ), 则00)lim (lim lim lim 0 000 =⋅'=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛ ∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⋅∆∆=∆→∆ →∆→∆→∆y x x y x x y y x x x x 。 2. 正确。反证法。假设)()()(x g x f x F +=在x 0点可导，则盾。故命题成立。 3. 错。极值点也可能发生一阶导数不存在的点上。 4. 错。如图。 5. 错。拐点也可能发生二阶导数不存在的点上。 6. 错。不满足拉格朗日中值的结论。 7. 错。设x x f =)(, x x g 1 )(= ，则：1)()()(=⋅=x g x f x F ，显然)(x f 在0=x 点的导数为1，)(x g 在0=x 点的导数不存在，而)(x F 在0=x 点的导数为0。是可导的。 8. 错。设3x y =和3x y =，显然它们在(-∞,+∞)上是单调增函数，但在0=x 点3 x y =的导数为0，3x y =的 导数不存在。 二、选择题题解 1. 设切点坐标为),(00y x ，则切线的斜率020 x y k x x ='==，切线方程为：)(2000x x x y y -=-过)1,0(-得 2 0021x y =+，又有 2 00x y =，解方程组 ⎩⎨⎧==+2 02 0021x y x y 得：10=y ，10±=x ，切线方程为：12-±=x y 。(A ) 2. 可导一定连续。(C ) 3. 连续但不可导。(C ) 4. 因为),(),(12b a x x ⊆∈ξ。(B ) 5. 321, x y x y ==，在x=0处导数不存在，但y 1在x=0处切线不存在，y 2在x=0处切线存在。(D )。 6. ,1sin lim 0)0sin(lim )0(00=∆∆=∆-∆+='→∆→∆-x x x x f x x 10 )0(lim )0(0=∆-∆+='→∆+x x f x 可导。(C ) 第二章 导 数 与 微 分 第 一 节 作 业 一、填空题： 1. 假定:,)('0按照导数定义存在x f . ) ()(lim )2(. ) ()(lim )1(000000=--+= ?-?-→→?h h x f h x f x x f x x f h x 2. 设=?= ',5 32 2y x x x y 则 . 3. 曲线y=e x 在点（0，1）处的切线方程为 . 4. 已知物体的运动规律为 s=t 3（米），则这物体在t=2（秒）时的速度为 . 二、选择题（单选）： 1. 设f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)…(x+100)，则f’(1)的值等于： （A ）101！； （B ）100!101- ； （C ）-100； （D ）.99 ! 100 答：（ ） . 1)(; 1)(;2 1 ) (; 0)(: )0(',0,00 ,1)(.22 -?????=≠-=-D C B A f x x x e x f x 为则设 答：（ ） 三、试解下列各题： 1. 讨论函数.00, 00 ,1sin 处的连续性与可导性在=????? =≠=x x x x x y 2. 已知).(',0, ,sin )(x f x x x x x f 求???≥<= 3. 设?,,1)(,1 ,1 ,)(2应取什么值处可导在为了使b a x x f x b ax x x x f =???>+≤= 四、试证明下列各题： 1. 证明：双曲线xy=a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积等于2a 2. 2. 如果f(x)为偶函数，且f’(0)存在，证明f’(0)=0. 《高等数学教程》第二章 习题答案 习题2-1 (A) 1. 6 3. 4. (1) ;)(0x f ' (2) ;)(0x f '- (3) ;)0(f ' (4) .)(20x f ' 5. (1);54 x (2);3231 -x (3) ;3.231.x (4) 3 2--x ; (5) 25 27x ; (6) 1013 x 10 3--. 6. (1) 19.6 米； 19.6 米/秒 . 7. 切线方程 ,0632=--+π y x 法线方程 .03 232=-+ -π y x 8.（2，4）. 9. (1)在0=x 连续且可导； (2)在0=x 连续且可导. 10. ;0)0(='+f ;-1)0(='-f )(x f 在点0=x 处不可导. 习题2-1 (B) 4. e 1 . 7. 0)0(='f . 习题2-2 (A) 1.(1) 33 464x x x --; (2) 21 23 2121----x x ; (3) x x sin 5cos 3+; (4) x x x x x x tan sec cos sin 22++; (5) 1ln +x ; (6) x x x x x 22csc sec tan 21-+; (7) 2 ln log 22x x x + ; (8) b a x --2; (9) 2 ) cos 1(1 sin cos x x x +++; (10) 2 sin cos x x x x -; (11) 2 ln 1x x - (12) 3 )2(x e x x -; (13) x x x x x x x x sin ln cos cos ln 22??-+??; (14) x x cos 2; 2. (1) 218332ππ-; (2) )4 2(22π -; (3) 181-; (4) 15 17 )2(,253)0(='= 'f f . 3. 3t 2t ==或. 4. 切线方程 x y 2=，法线方程 x y 2 1 -=. 5. (1) 410; (2) 0 ; (3) 410- . 13.(1)4)32(10+x ; (2) )31(cos 3x --; (3) 2 12x x +; (4) a a e x x ln +; (5)22)110(ln10 102e 2+?+-x x x x x ; (6) 4x 12-x ; (7) 2 22sin x a x x -- -; (8) )(sec 3322x x ; (9) x 2x e e +1; (10) a x x x 2ln )1(12+++. 14.(1) 32 2 )41(38-+x x ; (2) )2(cos 2ln 2x x ? (3) x e x e x x 3sec 33tan 21222--+-; (4) 1 22-x x x ; (5) x x arctan 122 +; (6) x x x-3 3sin 3ln 3cos 3; (7) 2 21x x -; (8) 2 2 x a +1; (9) sec x ; (10) csc x . 医科高等数学教材答案 1. 引言 医科高等数学是医学生必修的一门数学课程，主要涵盖了微积分、概率统计等数学内容，是医学生综合素质培养的重要组成部分。本文将为大家提供医科高等数学教材的一些答案，希望对学生们在学习中有所帮助。 2. 微积分部分 2.1 极限与连续性 2.1.1 极限的基本概念与性质 - 问题1: 计算极限 $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$。 - 解答: 根据已知极限 $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1$。 2.1.2 函数的连续性 - 问题2: 判断函数 $f(x) = \begin{cases}x^2, & x\neq1 \\ 2, & x=1\end{cases}$ 的连续性。 - 解答: 函数在 $x=1$ 处连续，其他点处连续。 2.2 导数与微分 2.2.1 导数的概念与性质 - 问题3: 计算函数 $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ 的导数。 - 解答: $f'(x) = 6x - 4$。 2.2.2 高阶导数与高阶微分 - 问题4: 计算函数 $f(x) = e^x \sin x$ 的二阶导数。 - 解答: $f''(x) = e^x(\sin x + 2\cos x)$。 3. 概率统计部分 3.1 随机事件和概率 3.1.1 随机试验与事件 - 问题5: 已知一枚硬币被抛掷，求出现正面的概率。 - 解答: 假设硬币均匀，正面出现的概率为 $\frac{1}{2}$。 3.1.2 概率的性质与公式 - 问题6: 已知事件 $A$ 的概率为 $P(A) = \frac{1}{3}$，求事件 $\overline{A}$ 的概率。 - 解答: $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。 3.2 随机变量与概率分布 3.2.1 随机变量的概念与分类 - 问题7: 将一枚骰子投掷一次，定义随机变量 $X$ 表示出现的点数，求随机变量 $X$ 的概率分布。 - 解答: 当点数为 1、2、3、4、5、6 时，概率均为 $\frac{1}{6}$。 医用高等数学解答题 本文旨在深入探索医用高等数学解答题，通过实例研究和分析让读者了解如何正确解答各类医用高等数学解答题。 医用高等数学解答题 1. 什么是医用高等数学？ 医用高等数学是一门用于分析和求解医学问题的学科，它深入地探索和研究应用数学方法及其技术表达，模型建立，数值求解在医学中的应用。它主要研究如何使用数学的方法和理论来帮助医学工作者实现高效能的科学医疗决策，并最大程度地提高患者的就医效果。 2. 医用高等数学可以应用于哪些领域？ 主要分为两大方面：一是医学应用研究，二是生物信息处理。 （1）医学应用研究，是指使用数学技术分析和求解医学科目中出现的数学问题，其中包括构建模型、选取合理的测量方法等。例如，在关 节重建领域，使用数学模型和方法，可以对用于衡量术前术后的运动活动的评价量表进行精细的修订。 （2）生物信息处理，是指使用高等数学方法，处理、分析医学数据，它包括推断分析、模式识别、机器学习、信息融合等多项示，被广泛用于病人的临床诊断和药物筛选等领域。出现这种现象，一方面是聚类分析、机器学习和人工智能等算法在模式识别和信息提取中所发挥的重要作用；另一方面也是它们与大量生物医学数据相结合而形成的数据挖掘所取得的成功。 3. 医用高等数学的优势 （1）可以帮助医学工作者更好地掌握临床治疗过程，更精准的预测疾病发展并提供更全面的治疗方案。 （2）还可以帮助分析大量生物医学数据，提取重要信息，实现病人个体化治疗。 （3）还可以帮助进行精准疾病诊断、有效预防、精准治疗，从根本上 解决医疗质量与效率难题。 4. 小结 综上所述，医用高等数学是一门利用高等数学方法解决医学问题的学科，它可以帮助医学工作者更好地掌握临床治疗过程，使分析更精准，提供更便利的治疗方案，同时也有助于提取大量的生物医学数据来实 现病人的个体化治疗，实现精准疾病诊断、有效预防和精准治疗等。 医用高等数学习题指导答案 医用高等数学习题指导答案 在医学领域中，数学作为一门重要的工具学科，被广泛运用于各种医学研究和 临床实践中。医用高等数学作为医学生的必修课程之一，旨在培养学生的数学 思维能力和解决实际问题的能力。然而，由于数学知识的抽象性和复杂性，许 多医学生在学习过程中会遇到困难。因此，本文将为医用高等数学习题提供一 些指导答案，帮助医学生更好地理解和掌握数学知识。 一、导数与微分 1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x的导函数f'(x)。 解：首先，我们需要使用求导法则来求解该题目。根据求导法则，对于多项式 函数f(x) = ax^n，其中a为常数，n为自然数，其导函数为f'(x) = anx^(n-1)。 因此，对于本题目中的函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x，我们可以得到其导函数为 f'(x) = 3x^2 + 4x - 3。 2. 求函数f(x) = sin(x) + cos(x)的导函数f'(x)。 解：对于三角函数的求导，我们需要使用三角函数的导数公式。根据导数公式，sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)。因此，对于本题目中的函数f(x) = sin(x) + cos(x)，我们可以得到其导函数为f'(x) = cos(x) - sin(x)。 二、积分与定积分 1. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x的不定积分F(x)。 解：不定积分是求函数的原函数，即求导的逆运算。根据不定积分的求解方法，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a为常数，n为自然数，其不定积分为F(x) = (a/(n+1))x^(n+1) + C，其中C为常数。因此，对于本题目中的函数f(x) = 3x^2 医用高等数学教材习题答案 高等数学是医学专业中的一门重要课程，它为学生打下了坚实的数 学基础，为日后的医学研究和临床实践奠定了基础。然而，作为一门 难度较大的学科，高等数学的习题解答一直是学生们头疼的问题。因此，编写一本医用高等数学教材的习题答案是非常有必要的。 本教材的习题答案采用了以下格式： 一、选择题 1. A 2. B 3. C 4. D 5. A 6. B 7. C 8. D 9. A 10. B 二、填空题 1. 5 2. 9 3. 6 4. 3 5. 8 6. 2 7. 4 8. 7 9. 1 10. 10 三、计算题 1. 解：首先，根据给定条件，我们可以列出方程： 2x + y = 10 x - y = 2 解这个方程组可以使用消元法。我们将第二个方程乘以2，得到： 2x - 2y = 4 然后将这个方程与第一个方程相加： 2x + y + 2x - 2y = 10 + 4 化简得：4x - y = 14 再将这个方程与第一个方程相减： (2x + y) - (4x - y) = 10 - 14 化简得：3x = -4 解这个一元一次方程，得到：x = -4/3 将 x 的值代入第二个方程，得到：y = 2 - (-4/3) = 14/3 因此，方程的解为：x = -4/3，y =14/3。 2. 解：首先，我们要求解函数 f(x) 的导数。根据链式规则： f'(x) = g'(h(x)) * h'(x) 因为 g'(x) = 2x 和 h(x) = sin(x)，所以我们有： f'(x) = 2sin(x) * cos(x) 注意，这里我们使用了三角函数的导数公式。 然后，我们将 f'(x) 置为零并求解： 2sin(x) * cos(x) = 0 由于 sin(x) 和 cos(x) 不可能同时为零，所以我们得到两个解： sin(x) = 0 或 cos(x) = 0 当 sin(x) = 0 时，x 的取值可以是 0，π，2π，...，即x = nπ，其中n 是整数。 医学高等数学教材课后答案本文为医学高等数学教材课后答案。根据题目要求，本文将按照合适的格式进行撰写。 1、导数与微分 (1) 题目：计算函数f(x)=3x²+2x-1的导数。 答案：f'(x)=6x+2。 (2) 题目：计算函数f(x)=sin(x)cos(x)的导数。 答案：f'(x)=cos²(x)-sin²(x)。 2、积分与微积分应用 (1) 题目：计算∫(4x+3)dx的不定积分。 答案：∫(4x+3)dx=2x²+3x+C。 (2) 题目：计算∫[0,1] (x²+3x-2)dx的定积分。 答案：∫[0,1] (x²+3x-2)dx= [1/3x³+3/2x²-2x] [0,1] = 14/6。 3、级数 (1) 题目：判断级数∑(1/n)是否收敛。 答案：由调和级数性质可知，级数∑(1/n) 发散。 (2) 题目：计算级数∑(n²/2^n)的和。 答案：利用幂级数展开，将∑(n²/2^n)转化为∑(n²(1/2)^n)。然后利用 幂级数的求导公式进行求解。 4、微分方程 (1) 题目：求解微分方程 dy/dx=2x-1。 答案：通过分离变量和积分的方法，得到 y=x²-x+C，其中C为常数。 (2) 题目：求解微分方程 d²y/dx²+y=0。 答案：根据特征方程r²+1=0解得r=±i，即通解为 y=C₁sinx + C₂cosx。 5、多重积分 (1) 题目：计算二重积分∬[D] (3xy+2y)dA，其中D为区域=x²+y²≤1。 答案：利用极坐标变换，将二重积分转化为极坐标下的积分，再进 行计算。 (2) 题目：计算三重积分∭[D] (x²+y³+z)dV，其中D为区域=0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1。 答案：直接按照给定的积分区域进行计算即可。 通过以上的题目解答，希望能够对医学高等数学的相关知识点有更 深入的理解，同时也希望能够提供参考答案给相关学习者。最后，希 望大家在学习医学高等数学的过程中取得好成绩！ 高等数学第六版课后习题及答案 第二章第四节 习题 2-4 1. 求函数的二阶导数: (1) y =2x 2+ln x ; (2) y =e 2x -1; (3) y =x cos x ; (4) y =e -t sin t ; (5)22x a y -=; (6) y =ln(1-x 2) (7) y =tan x ; (8)1 13+=x y ; (9) y =(1+x 2)arctan x ; (10)x e y x =; (11)2 x xe y =; (12))1ln(2x x y ++=. 解 (1)x x y 14+=', 21 4x y -=''. (2) y '=e 2x -1 ⋅2=2e 2x -1, y ''=2e 2x -1 ⋅2=4e 2x -1. (3) y =x cos x ; y '=cos x -x sin x , y ''=-sin x -sin x -x cos x =-2sin x -x cos x . (4) y '=-e -t sin t +e -t cos t =e -t (cos t -sin t ) y ''=-e -t (cos t -sin t )+e -t (-sin t -cos t )=-2e -t cos t . (5)222222)(21x a x x a x a y --='-⋅-=', 22222222222)(x a x a a x a x a x x x a y ---=---⋅---=''. (6) 22212)1(11 x x x x y --='-⋅-=', 2 22222)1()1(2)1()2(2)1(2x x x x x x y -+-=--⋅---=''. (7) y '=sec 2 x , y ''=2sec x ⋅(sec x )'=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x . (8)232233) 1(3)1()1(+-=+'+-='x x x x y , 3 33433223)1()12(6)1(3)1(23)1(6+-=+⋅+⋅-+⋅-=''x x x x x x x x x y . (9)1arctan 211 )1(arctan 222+=+⋅++='x x x x x x y , 212arctan 2x x x y ++=''. (10)2 2)1(1x x e x e x e y x x x -=⋅-⋅=', 3 242)22(2)1(])1([x x x e x x x e x e x e y x x x x +-=⋅--⋅+-=''. (11))21()2(22 22x e x e x e y x x x +=⋅⋅+=', )23(24)21(222222x xe x e x x e y x x x +=⋅++⋅⋅=''. (12)2222211)1221(11)1(11x x x x x x x x x y +=++⋅++='++⋅++=', x x x x x x x x y ++-=+⋅+-='⋅+⋅+-=''1)1()12211 )1(11 22222. 2. 设f (x )=(x +10)6, f '''(2)=? 解f '(x )=6(x +10)5, f ''(x )=30(x +10)4, f '''(x )=120(x +10)3, 高等数学习题集及解答 第二章 一、 填空题 1、设()f x 在x a =可导，则0()() lim x f a x f a x x →+--= 。 2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3) lim 2h f h f h →--= 。 3、设1 ()x f x e -=，则0 _____________(2)(2) lim h f h f h →--= 。 4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2 x f x f x x x π '= =<<-，则0_______________________()f x = 。 5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dy dx = 。 6、()x f x xe =，则_______________ (ln 2)f '''= 。 7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________ a = 。 8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________ ()f x '-=。 9、()(1)(2) ()f x x x x x n =+++，则_________________ (0)f '= 。 10、ln(13)x y -=+，则____________________ y '=。 11、设0()1f x '=-，则0 ___________ 00lim (2)()x x f x x f x x →=---。 12、设tan x y y +=，则_________________________ dy =。 13 、设ln y =_______________(0)y '''=。 14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是 ______________________ 。 15、1cos 0()0 x x f x x x λ ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其导数在0x =处连续，则λ的取值范围是 高等数学第二章课后习题答案 LT 2 第二章 导数与微分 1. ()(). 1,102-'=f x x f 试按定义求设 200200(1)(1)10(1)10 '(1)lim lim 1020lim lim (1020)20x x x x f x f x f x x x x x x ∆→∆→∆→∆→-+∆--∆---==∆∆∆-∆==∆-=-∆ 2. 下列各题中均假定()0 x f '存在，按导数定义观 察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。 ⑴ ()() = ∆-∆-→∆x x f x x f x 000 lim （0 '()f x -）； ⑵ ()=→∆x x f x 0 lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()()= --+→h h x f h x f h 000 lim （0 2'()f x ）. 3. 求下列函数的导数： ⑴ ='=y x y ,4则3 4x ⑵ ='=y x y ,3 2 则1 3 23 x - ⑶ ='=y x y ,1 则3 2 12x -- ⑷ ='=y x x y ,5 3则11 5165 x 3 4． 求曲线. 2 1,3 cos 程处的切线方程和法线方上点⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛=πx y 'sin ,'()3y x y π=-= 所以切线方程 为 1()223 y x π - =-- 化简 得 2(1)0y +-+ = 法线方程 为 1)23y x π- =- 化简 得 3)0 x π+-= 5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 00 1sin 2 x x x x y 在0=x 处的连续性 和可导性. 20(0)0 1 lim sin 0(0)()x f x f x →===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续 因为 20 001 sin (0)(0) 1lim lim lim sin 0 x x x x f x f x x x x x ∆→∆→∆→∆+∆-==∆=∆∆∆ 所以函数在0x =处可导. 高等数学章节练习题及答案第二章 1.用定义求函数32y x =+的导数． 解（1）求函数增量 ()()3()2323y f x x f x x x x x ∆=+∆-=+∆+--=∆； （2）算比值 ()()33y f x x f x x x x x ∆+∆-∆===∆∆∆； （3）取极限 ()() ()lim 3x f x x f x f x x ∆→+∆-'==∆． 所以()3f x '= 2．用定义求函数22y x =在2x =处的导数． 解 （1）求函数增量 222(2)(2)2(2)228()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆+⋅=∆+∆； （2）算比值 2 8()8y x x x x x ∆∆+∆==+∆∆∆； （3）取极限 0(2)lim 8x y f x ∆→∆'==∆． 所以(2)8f '= 3．设0()f x '存在，按照导数定义观察下列极限，指出字母A 的含义： （1）000()() lim x f x f x x A x ∆→-+∆=∆； 解 000000()()[()()] lim lim x x f x f x x f x x f x A x x ∆→∆→-+∆-+∆-==-∆∆； (2) 000()() lim x f x x f x A x ∆→-∆-=∆． 解 000[()]() lim (1)x f x x f x A x ∆→+-∆--=--∆． 4. 求曲线3y x =在2x =的切线方程. 解 2x =处切线方程的斜率为2(2)3(2)12k f '==⨯=，代入2x =，求得切点坐标为 ()2,8．由点斜式求切线方程，812(2)y x -=-，即 12160x y --=． 第二章参考答案 习题2.1 1.解： 0000 ()() ()lim t t t t t t θθω∆→+∆-=∆ 2.解： 0(1)(1)(1)lim x f x f f x ∆→+∆-'=∆ 2 02(1)2=lim x f x x ∆→+∆-∆0lim (4)4 x x ∆→=+∆= 3.证明： ()f x 是偶函数。x R ∴∀∈ 有()()f x f x -= ()() ()lim x f x x f x f x x ∆→-+∆--'∴-=∆0()()lim x f x x f x x ∆→-∆-=∆ '0(())()lim ()x f x x f x f x x ∆→+-∆-==-∆ 故()f x '是R 上的奇函数 4、解：3()s t t =2()()3v t s t t '∴== 2()t s ∴= 时，22 (2)312t v t === 5、解： x y e = x y e '∴= 故在(0,1) 处(0,1)1y '= ∴过(0,1)切线方程为1y x -=，即 1y x =+ ，过(0,1)直线方程为1y x -=，即1y x =-+ 6、解 20 ()0x x f x x x -≤⎧=⎨≥⎩ 00 0()()(0)lim lim 1x x f x f x x f x x - --∆→∆→∆--∆'∴===-∆∆ 2 000()()(0)lim lim 0x x f x f x x f x x +++∆→∆→∆--∆'===∆∆ (0)(0)f f +-''≠ (0)f '∴ 不存在 7、2 1sin 0()0 x x f x x x ⎧≠⎪ =⎨⎪=⎩ ∴ 当0x ≠时，21 ()sin f x x x =，函数连续 又2 01lim sin 0(0)x x f x →== 0x ∴=时，()f x 连续 ()f x ∴在(,)-∞+∞连续高等数学第二章练习及答案
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