函数图象中的存在性问题：因动点产生的相似三角形问题

中考压轴题-------因动点产生的相似问题

解题思路：抓住角相等的条件进行讨论。如两三角形有两角相等，要这两三角形相似，只要满足角的两边成比例。

26．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．

24．如图，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线2

2y mx mx n =++上．（1）求m 、n ；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形 A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为点C ，试在x 轴上找点D ，使得以点 B ′、C 、D 为顶点的三角形与ABC △相似．

25. 如图，抛物线)0(2

>++=a c bx ax y 交x 轴于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），交y 轴于点C 。已知B （8，

0），2

1t a

n =∠ABC ，△ABC 的面积为8. （1）求抛物线的解析式；

（2）若动直线EF （EF//x 轴）从点C 开始，以每秒1个长度单位的速度沿y 轴负方向平移，且交y 轴、线段

BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动。联结

FP ，设运动时间t 秒。当t 为何值时，OP

+?EF OP

EF 的值最大，求出最大值；（3）在满足（2）的条件下，是否存在t 的值，使以P 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似。若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由。

24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212

y x bx c =-

++经过点(1,3)A ，(0,1)B ．

（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ， ①求△ABC 的面积；

②在y 轴上取一点P ，使△ABP 与△ABC 相似，求满足条件的所有P

25．如图，在△ABC 中，AB = BC = 5，AC = 6，BO ⊥AC ，垂足为点O ．过点A 作射线AE // BC ，点P 是边BC 上任意一点，联结PO 并延长与射线AE 相交于点Q ，设B 、P 两点间的距离为x ．（1）如图1，如果四边形ABPQ 是平行四边形，求x 的值；

（2）过点Q 作直线BC 的垂线，垂足为点R ，当x 为何值时，△PQR ∽△CBO ？（3）设△AOQ 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域．

24．已知：如图，抛物线的顶点为点D ，与y 轴相交于点A ，直线y ＝ax ＋3与y 轴也交于点A ，矩形ABCO 的顶点B 在此抛物线上，矩形面积为12．（1）求该抛物线的对称轴；

（2）⊙P 是经过A 、B 两点的一个动圆，当⊙P 与y 轴相交，且在y 轴上两交点的距离为4时，求圆心P 的坐标；

（3）若线段DO 与AB 交于点E ，以点 D 、A 、E 为顶点的三角形是否有可能与以点D 、O 、A 为顶点的三角形相似，

如果有可能，请求出点D 坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

. （本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）2013黄埔二模

已知二次函数c bx x y ++-=2

的图像经过点P （0,1）与Q （2,-3）.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形. ①求正方形ABCD 的面积；

②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△P AD ∽△PEA .

A E

（备用图）

Q A

C O

A E

Q P

4．解：（1）由题意知1342c

b c =??-=-++?

，------------------------------------------------------（2分）

解得0

b c =??

=?，----------------------------------------------------------------------------（1分）

所以二次函数解析式是2

1y x =-+.-----------------------------------------------（1分）（2）①设(

)

,1A a a -+，则(

)

,1B a a --+.-------------------------------------------（1分）

由四边形ABCD 为正方形.

得 2

21a a =-+，---------------------------------------------------------------------（1分）

解得 1a =-，---------------------------------------------------------（1分）

所以正方形ABCD 的面积为()2

212S a ==-. -------------------------（1分）

②设AB 交y 轴于点H .

则

11DO a PO ==,121PH a

AH a -==，所以DO PH

PO AH

，∠DOP =∠AHP . 所以△DOP ∽△AHP ，----------------------------------------------------------------（2分）则∠DPO =∠HAP ，又∠DPO =∠PDA ，所以∠PDA =∠HAP ，又∠DP A =∠APE ，

所以△P AD ∽△PEA .------------------------- -----------------------------------------（2分）

(完整版)相似三角形的动点问题题型(整理)

相似三角形的动点问题一、动点型例1、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

迁移应用 1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0

相似三角形的存在性(讲义及答案).

相似三角形的存在性（讲义）知识点睛 1.存在性问题的处理思路 ①分析不变特征分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征． ②分类、画图结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类，画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.相似三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例：一般先从角（不变特征）入手，分析对应关系后，作出符合题意图形，再借助不变特征和对应边成比例列方程求解．常见特征如一组角对应相等，这一组相等角顶点为确定对应点，结合对应关系分类后，作出符合题意图形，一般利用对应边成比例列方程求解．

精讲精练 1.如图，将长为8cm，宽为5cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边的点E处，压平后得到折痕MN，点A的对称点为点F，CE=4cm．若点G是矩形边上任意一点，则当△ABG与△CEN相似时，线段AG的长为． 2.如图，抛物线y=-1x2+10x-8经过A，B，C三点，BC⊥OB， 33 AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，作MN⊥x轴于点N，若△AMN与△ACD 相似，则点M的坐标为．

3.如图，已知抛物线y=3x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三 4 点，点A的坐标为(-1，0)，过点C的直线y=3 4t x-3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB 于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．（1）点C的坐标是，b=，c=．（2）求线段QH的长（用含t的代数式表示）．（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有符合条件的t 值；若不存在，说明理由．

史上最全!!!!相似三角形难题精选

相似三角形难题精选模块一：相似三角形中的动点问题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A 点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．

如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB 以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.

相似三角形存在性探究精品

文档收集于互联网，已重新整理排版.word 版本可编辑,有帮助欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 【关键字】条件、速度、方向相似三角形存在性探究如图，点D 在△ABC 的边上. (1)要判断△ADB 与△ (2)要判断△ADB 与△(3)通过(1)(2)例1如图,在△ABC 的边AB 上有一点E ,AB =4cm AE =1cm AC =3cm 。在AC 边上是否存在点F ,使得△AEF 和△ABC 相似？若存在，求出AF 的长。变式如图, 点E 在AB 边上从点A 向点B 运动，速度为2cm/s ，点F 同时从点C 向点A 运动，速度为1cm/s,设运动时间为t 秒，问是否存在t 的值，使得 △AEF 和△ABC 相似？若存在，试求出t 的值，若不存在，请说明理由。例2如图，在平面点直角坐标系xoy 中，A (1,0)、B (3,0)、C (0,-3)、P (2,1)请问在x 轴上是否存在点Q,使以P ,B,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由。变式如图，在平面点直角坐标系xoy 中，A (1,0)、B (3,0)、C (0,-3)、P (2,1) (1)求过A 、B 、C 三点的抛物线解析式 (2)请问在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ,过M 作M N ⊥x 轴于点N,使以A,M,N 为顶点的三角形与△BCP 相似？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由。做一做如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧）与y 轴交于点C ，动直线EF (EF //x 轴）从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动，是否存在t 的值，使△BPF 与△ABC 相似？若存在试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 B 42 3812+-=x x y O

相似三角形的动点问题题型(整理).doc

相似三角形的动点问题题型( 整理)

例 2、如图，在矩形 ABCD 中， AB=12cm ，BC=8cm ．点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点 E、 G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个

点随之停止移动．设移动开始后第 t 秒时，△EFG 的面积为 S（cm2）（1）当 t=1 秒时， S 的值是多少？（2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围（3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由．迁移应用 1、如图，已知△ ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时， P、 Q 两点都停止运动，设运动时间为 t （s），

相似三角形专题动点问题

相似三角形应用专题（二）动态几何中的相似三角形例题讲解一：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点 M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段 CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三角形．变式练习1-1：如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当 3 1 = ??ABC BCQ S S ，求ABC BPQ S S ??的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由。 N C M B

变式练习1-2：如图，已知直线l 的函数表达式为4 83 y x =-+，且l 与x 轴，y 轴分别交于A B ，两点，动点Q 从B 点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从A 点开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q P ，移动的时间为t 秒．（1）求出点A B ，的坐标；（2）当t 为何值时，APQ △与AOB △相似？（3）求出（2）中当APQ △与AOB △相似时，线段PQ 所在直线的函数表达式． O P A Q B y x O P A Q B y x

相似三角形综合题练习

相似三角形综合题练习类型一相似三角形中动点问题例1:如图正方形ABCD的边长为2，AＥ=EＢ，线段ＭN的两端点分别在CB、CＤ上滑动,且MN=1,当ＣＭ为何值时△AED与以Ｍ、Ｎ、C为顶点的三角形相似? 变式：如图，在△ABC中,AＢ=８,BＣ=7，ＡＣ=6,有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为２单位／秒，有一动点Q从C沿CA移动到A,移动速度为1单位/秒,问两动点同时移动多少时间时,△PQA与△BCＡ相似. 例２：如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点Ｐ、Q同时从A、Ｂ两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是１cm/s，点Q运动的速度是2cm/ｓ,当点Q到达点Ｃ时,P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s）,解答下列问题：（1）当t=２时，判断△ＢPQ的形状，并说明理由; （２）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交ＡC于点Ｒ，连结PＲ,当t为何值时，△AＰR∽△PRQ? A B D C E N

N C M B 变式:如图，在矩形ABC Ｄ中,AB=1２cm,BC=8ｃｍ．点E 、Ｆ、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2c ｍ/s ，点F 的速度为4ｃm/ｓ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t 秒时,△ＥFG 的面积为S(c ｍ２） (1）当t ＝1秒时，S 的值是多少？ (2)写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围. （3）若点F 在矩形的边B Ｃ上移动,当t 为何值时,以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、Ｇ为顶点的三角形相似？请说明理由. 例3：如图,在梯形ABC Ｄ中，AD ∥ＢC,AD ＝3，ＤC=５,BC=10，梯形的高为４.动点M 从Ｂ点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动N 同时从C 点出发沿线段C Ｄ以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t(秒). （１）当MN/／AB 时，求t 的值；（2)试探究：t 为何值时,△ＭN Ｃ为直角三角形．

相似三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略（2）相似三角形的存在性问题解题策略《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．例题解析例? 如图1-1，抛物线213482 y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ．动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．是否存在t ，使得△BPF 与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1-1 【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ，那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边． △ABC 是确定的．由213482 y x x = -+，可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4)．于是得到BA ＝4，BC ＝12CE CO EF OB ==． △BPF 中，BP ＝2t ，那么BF 的长用含t 的式子表示出来，问题就解决了．在Rt △EFC 中，CE ＝t ，EF ＝2t ，所以CF ．因此)BF t ==-．于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当BA BP BC BF ==．解得43t =（如图1-2）．

相似三角形动点问题题型归纳

相似中动点问题题型一位似图形例1如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)． (1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形； (2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标； (3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标．例2如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′ B′ C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点0；（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以点0为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．

题型二动点存在问题 1如图，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为2单位/秒，有一动点Q从C沿CA移动到A，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA与△BCA相似。 2、如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．(1) 求直线AB的解析式；(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(3) 当t为何值时，△APQ的面积为5 24 个平方单位？ y x O P Q A B

3、如图所示，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿 AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6），那么： ⑴当t为何值时，⊿QAP为等腰直角三角形？ ⑵求四边形QAPC的面积；并提出一个与计算结果有关的结论； ⑶当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与⊿ABC相似？ 4、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC, AD=3，DC=5, AB=, ∠B=45°, 动点M从B点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，动点N同时从C点出发沿线段CD一每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间t秒。（1）、求BC 的长。（2）当MN∥AB时，求t的值.

相似三角形存在性问题

因动点产生得相似三角形问题例1 ２015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第2４题如图1,在平面直角坐标系中,双曲线(k≠０)与直线y=x+２都经过点A(2, m). (1)求ｋ与ｍ得值; (2)此双曲线又经过点B(ｎ, ２),过点B得直线BＣ与直线y=x＋2平行交ｙ轴于点C,联结AB、AＣ,求△ＡBC得面积; (３)在(2)得条件下,设直线y=ｘ+２与y轴交于点D,在射线CB上有一点E,如果以点Ａ、C、Ｅ所组成得三角形与△AＣＤ相似,且相似比不为1,求点E得坐标、图１动感体验请打开几何画板文件名“１5宝山嘉定２4”,拖动点E在射线CB上运动,可以体验到, △ACE与△ACD相似,存在两种情况。思路点拨１、直线AD/／BＣ,与坐标轴得夹角为45°. 2.求△AＢC得面积,一般用割补法. ３。讨论△ACＥ与△ＡCD相似,先寻找一组等角,再根据对应边成比例分两种情况列方程. 满分解答 (1)将点Ａ(２, m)代入ｙ＝ｘ＋２,得m=４.所以点Ａ得坐标为(２,4). 将点A(2, 4)代入,得k＝8。 (２)将点B(n, 2),代入,得n=４。所以点Ｂ得坐标为(4, 2)、设直线ＢＣ为y=x＋ｂ,代入点B(4, 2),得b=—2. 所以点C得坐标为(0,—2). 由A(2, ４) 、Ｂ(4, 2) 、Ｃ(0,-2),可知A、B两点间得水平距离与竖直距离都就是２,B、C两点间得水平距离与竖直距离都就是4. 所以AＢ＝,BC＝,∠ＡBＣ＝９0°.

图２所以S△ＡBC＝＝=8、 (3)由Ａ(2, 4)、Ｄ(0, 2) 、C(0,—2),得AD＝,AC＝、由于∠ＤAＣ+∠ACＤ=4５°,∠ＡCE＋∠ACＤ＝4５°,所以∠DAC＝∠ACE。所以△ACE与△ＡCD相似,分两种情况: ①如图3,当时,CE＝AＤ=. 此时△ACD≌△CAE,相似比为1. ②如图４,当时,、解得CＥ＝.此时Ｃ、E两点间得水平距离与竖直距离都就是10,所以E(10, ８)、图3 图4 考点伸展第(2)题我们在计算△ＡBC得面积时,恰好△ＡBC就是直角三角形、一般情况下,在坐标平面内计算图形得面积,用割补法、如图5,作△AＢＣ得外接矩形ＨＣNＭ,MN/／y轴. 由S矩形HCNM=2４,S△AHC=6,S△ＡMB=2,S△BCN＝8,得S△ABC＝8. 图5 例２201４年武汉市中考第24题如图1,Rt△ABC中,∠ＡCB＝９0°,ＡC=6 cm,BC＝８cm,动点Ｐ从点Ｂ出发,在BA边上以每秒５cｍ得速度向点Ａ匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 ｃm得速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0

初中数学相似三角形的存在性问题(word版+详解答案)

相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题： 1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。 2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、 3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。【典例指引】类型一【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212 y x bx c = ++与直线1 32y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．

相似三角形中的动点问题

相似三角形中的动点问题例1.5.1在△ABC 中，6AB =cm ，12AC =cm ，动点D 以1cm/s 的速度从点A 出发到点B 止，动点E 以2cm/s 的速度从点C 出发到点A 止，且两点同时运动，当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求运动的时间t ．例1.5.2如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=8cm ，AD=12cm ，BC=18cm ，点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿A →D →C 运动，点P 从点A 出发的同时点Q 从点C 出发，以1cm/s 的速度向点B 运动，当点P 到达点C 时，点Q 也停止运动．设点P ，Q 运动的时间为t 秒．（1）从运动开始，当t 取何值时，PQ ∥CD ？（2）从运动开始，当t 取何值时，△PQC 为直角三角形？ A B C D E

例1.5.3如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB 边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0≤t≤2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；

例1.5.4已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC；（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

相似三角形中的辅助线及动点问题(经典题型)

第2讲相似三角形中的辅助线及动点在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：、作平行线例1.如图，.VABC 的AB 边和AC 边上各取一点 ” BF BD 求证： CF CE 例2.如图，△ ABC 中，AB

例4.如图从—ABCD 顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证: 2 AB AE AD AF =AC2。三、作延长线例5.如图，在梯形ABCD中，AD // BC,若/ BCD的平分线CH丄AB于点H , BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21,求厶HBC的面积。例6?如图，https://www.360docs.net/doc/a51070562.html,BC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC 于F, FG _ AB于G, 求证：FG2=CF *BF

四、作中线例 7 如图，. ：ABC 中，AB 丄AC , AE 丄 BC 于 E , D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求 AC 。 2、如图，正方形 ABCD 勺边长为2, AE = EB MN= 1,线段MN 的两端在CB CD 上滑动，当CM 为何值时，△ AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？动点题型 1、如图正方形ABCD 的边长为2, AE=EB ，线段MN 的两端点分别在 MN=1，当CM 为何值时厶AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ CB 、CD 上滑动，且 u c D N C

初中数学专题03相似三角形的存在性问题(原卷版)

专题三相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题： 1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。 2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、 3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。【典例指引】类型一【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212 y x bx c = ++与直线1 32y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．

相似三角形存在性探究

相似三角形存在性探究如图，点D 在△ABC 的边上. (1)要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件是 (2)要判断△ADB 与△ABC 相似，AB =4、AD =2. 则AC = (3)通过(1)(2)的解答，你能说出相似三角形哪些知识？例1如图,在△ABC 的边AB 上有一点E ,AB =4cm AE =1cm AC =3cm 。在AC 边上是否存在点F ,使得△AEF 和△ABC 相似？若存在，求出AF 的长。变式如图, 点E 在AB 边上从点A 向点B 运动，速度为2cm/s ，点F 同时从点C 向点A 运动，速度为1cm/s,设运动时间为t 秒，问是否存在t 的值，使得△AEF 和△ABC 相似？若存在，试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 C A D B C E F B E F

例2如图，在平面点直角坐标系xoy中，A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、P(2,1)请问在x轴上是否存在点Q,使以P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。变式如图，在平面点直角坐标系xoy中，A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、P(2,1) (1)求过A、B、C三点的抛物线解析式 (2)请问在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作 M N⊥x轴于点N,使以A,M,N为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。

做一做如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧）与y 轴交于点C ，动直线EF (EF //x 轴）从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动，是否存在t 的值，使△BPF 与△ABC 相似？若存在试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 42 3812+-=x x y

相似三角形综合题锦(含答案)

一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？二、构造相似辅助线——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段 OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．

相似三角形的存在性问题

相似三角形的存在性问题【真题典藏】 1.（2008年上海市第25题）（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）已知AB＝2，AD＝4，∠DAB＝90°，AD//BC（如图13）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE＝x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．图1 备用图 2．（2009年闸北区第25题）如图2，△ABC中，AB＝5，AC＝3，c os A＝ 3 10 ．D为射线BA上的点（点 D不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.． (1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度； (3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．图2 备用图备用图【满分攻略】我们先来解读第1题（2008年上海市第25题）的第（3）题，学习相似三角形的存在性问题：

第一步，把两个三角形涂上颜色或者画上阴影(如图6)，寻找分类标准与分类方法．一般来讲，不论用相似三角形的判定定理1，还是判定定理2，至少有一组角是相等的．我们可以看到，∠ADN 的大小是确定不动的，∠AND 是钝角，∠ADN ＝∠DBE >∠MBE ，因此按照与∠AND 相等，分两种情况①∠ADN ＝∠BME ；②∠ADN ＝∠BEM ．第二步，拿起三角尺，按照分类情况反复比划，画两个比较准确的示意图（如图7，图8），把相等的角都标记出来．第三步，具体情况具体分析． ① 如图7，当∠ADN ＝∠BME 时，经过等量代换，∠DBE ＝∠BME ，这时△DBE 与△BME 就是我们熟悉的相似三角形的典型图“A 字形”，那么2 21 2 EB EM ED ED =?=，这样问题就转化为如何用含有x 的式子表示ED 的长．已知直角梯形的两底和直腰，你说怎样求斜腰ED 呢？ ②如图8，当∠ADN ＝∠BEM 时，经过等量代换，∠DBE ＝∠BEM ，这时△DBE 是等腰三角形，BC ＝2AD ＝8．图6 图7 图8 还需要提醒的是，备用图暗示要分类讨论，合理利用试卷和答题纸上的备用图，不要急于乱画，先分好类，再反复比划，后落笔．图7不可能画准确，但是要接近，这样好观察图形间的关系．示范一下书写，注意用标志性的语句引领书写的层次性和阅卷老师的眼球．（2）①当∠ADN ＝∠BME 时，∠DBE ＝∠BME ，这时△DBE ∽△BME ． ∴2 212EB EM ED ED =?= ． ∴222 12(4)2 x x ??=+-??． ∴122,10x x ==-（舍去负值）． ②当∠ADN ＝∠BEM 时，∠DBE ＝∠BEM ，这时△DBE 是等腰三角形，BC ＝2AD ＝8．综上所述，当△ADN 与△BME 相似时，BE 的长为2或8．我们再来解读第2题（2009年闸北区第25题）的第（3）题，求等腰三角形DEF 的存在性．由第（1）、（3）题知，在△BDG 中，645,,cos 55 BD x DG x BDG =-=∠=．第一步，寻找分类标准与分类方法．

相似三角形复习专题-动点问题

相似三角形复习专题动点问题 1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）， 1、当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； 2、设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； 3、作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR△△PRQ？ 2、如图，在直角梯形ABCD中，AB△DC，△D=90o，AC△BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0

3.如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由． 4.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

相似三角形的存在性(习题及答案).

相似三角形的存在性（习题）复习巩固 1.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则 AP=________． 2.在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为C(4， 3 )，且与x轴的两个交点间的距离为6．（1）求二次函数的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

3.如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点A作AP∥CB交抛物线于点P．（1）求A，B，C三点的坐标．（2）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MG⊥x轴于点G，使以A，M，G为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4.如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A，B，且点A的坐标为 (1，0)，与y轴交于点C(0，1)．（1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标．（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，在x轴上点A的左侧是否存在点P，使以P，A，C为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5.如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，-2)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6.如图，二次函数y =-x 2+4x +5图象的顶点为D ，对称轴是直线 l ，一次函数215 y x = +的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是_________；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D ，C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA ，DB 分别交于点P ，Q ，使得△DPQ 与△DAB 相似．①当275 n =时，求DP 的长；②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似，请直接写出n 的取值范围_________．

中考数学相似三角形的存在性问题解题策略

相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．例题解析例1、如图1-1，抛物线213482 y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ．动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．是否存在t ，使得△BPF 与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1-1 【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ，那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边． △ABC 是确定的．由213482 y x x = -+，可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4)．于是得到BA ＝4，BC ＝12CE CO EF OB ==． △BPF 中，BP ＝2t ，那么BF 的长用含t 的式子表示出来，问题就解决了．在Rt △EFC 中，CE ＝t ，EF ＝2t ，所以CF ．因此)BF t ==-．于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当BA BP BC BF ==43t =（如图1-2）． ②当 BA BF BC BP ==207t =（如图1-3）．