新高一数学预科基础班第12讲 分数指数幂(jt)
分数指数幂
【知识要点】
1.整数指数幂的定义
2.正整数指数幂的运算法则: (1)n
m n
m
a a a +=? (2) mn
n
m a a =)( (3))0,(≠>=-a n m a a
a n m n m
(4)m m m b a ab =)(
3.根式
(1)平方根 (2)立方根 (3)n 次方根
4.根式的运算性质：
①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.
②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=???<-≥)0()
0(a a a a .
5.分数指数幂：
(1)分数指数幂与根式的转化
①正分数指数幂的规定: )1,0(1>∈>=+n N n a a a n n 且;n
m N n m a a a n m n
m 且
、,,0(+∈>= 为既约分数).
②负分数指数幂规定: 。
为既约分数且
、),,0(1
1n
m
N n m a a a
a
n
m
n
m n
m +-∈>=
=
③0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
(2)分数指数幂的运算法则:设βα、,0,0>>b a 是有理数,则βαβα+=?a a a 、αββαa a =)(、
αααb a ab ?=)(.
【经典例题】
例1 求值：
（1）①33)8(-= ； ②2)10(-= ；
③44)3(π-= ； ④)()(2b a b a >-=
（2）①2
12= ②2
1)
49
64(
-
=
③4
3
10000-
= ④3
2
)27
125(-=
例2 求值：
(2)5.021
20)01.0()4
12(2)532(-?+-
-
（3）21
75.003
125.016)8
7
(064.0++---
.
例3 化简（式中字母都是正数）：
)())(1(4
14
12
12
1
y x y x -÷- （2
)3()6)(2)(3(6
56131212132b a b a b a -÷- 3
2
2)4(a
a a ?(a>0)
例4 已知13x x -+=,求下列各式的值
(1) 112
2x x -
+ (2) 332
2
x x -
+
课堂训练和作业：
1 .
将 ）
A ．12
2- B ．12
2-- C ．13
2- D ．13
2-
- 2.下列运算正确的是( )
A 、2332()()a a -=-
B 、235()a a -=-
C 、235()a a -=
D 、236()a a -=-
3．计算202
313(1)(10.5)(3)28---÷的值是（ ）
A 、13-
B 、13
C 、 43
D 、73
4.若0a >，且3,5x
y
a a ==则22
y
x a +
=
5．若0a >
，则= 6．计算下列各值
（1
）
1
2
22
2
10.25(2)41)()6
32
-?--÷-+
-
高一数学期末复习资料
复习指南 1．注重基础和通性通法 在平时的学习中，应立足教材，学好用好教材，深入地钻研教材，挖掘教材的潜力，注意避免眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础知识和基本方法的不良倾向，当然注重基础和通性通法的同时，应注重一题多解的探索，经常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析问题、解决问题的能力。 2.注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上，因为听懂了不一定会，会了不一定对，对了不一定美。即数学学习的五种境界：听——懂——会——对——美。 我们今后要在第五种境界上下功夫，每年的高考结束，结果下来都可以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大，这就是其中的一个原因。 另外我们的学生的解题的素养不够，比如仅仅一点“规范答题”问题，我们老师也强调很多遍，但作为学生的你们又有几人能够听进去！ 希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观”： 1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养 注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题，提高数学的兴趣，增强学好数学的信心，达到培养创新精神和实践能力的目的。 4.培养学习与反思的整合 建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的，而只能由学生依据自身已有的知识、经验，主动地加以建构。学习是一个创造的过程，一个批判、选择、和存疑的过程，一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学，老师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大，俗话说“强扭的瓜不甜”嘛！数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆，积累和模仿，而且还要动手实践，自主探索，并且在获得知识的基础上进行反思和修正。（这也就是我们经常将让大家一定要好好预习，养成自学的好习惯。）记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义：科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问，仔细想来确实很有道理！ 所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固，知识的得到拓展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯！ 5.注重平时的听课效率 听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识，而且事半功倍，可以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听不到什么，索性就不听，抓紧课堂上的每一点时间做题，多做几道题心里就踏实。这种认识是不科学的，想象如果上课没有用的话，国家还开办学校干嘛？只要印刷课本就足够了，学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。 想想好多东西还是在课堂上聆听的，听听老师对问题的分析和解题技巧，老师是如何想到的，与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西，更重要的是跟着老师的思路，注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记，因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造！回忆课堂上老师是怎样讲的，自己在整理时有比较好的想法，
高一预科班数学测试题精编版
高一预科班数学测试题 精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】
南阳新东方高一预科班数学测试 时间：100分钟总分：150分姓名：分数： 一.选择题（每一题只有一个正确的结果，每小题6分，共60分） 1.下列命题正确的有 () （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）3611,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．如图I 是全集，M ，P ，S 是I 的三个子集，阴影部分所表示的集合是（） A ．()M P S ?? B ．()M P S ?? C ．()I (C )M P S ?? D ．()I (C )M P S ?? 3.方程组???=-=+9122y x y x 的解集是 （） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5- 4.满足条件{1}{1,2,3}M =的集合M 的个数是（） 已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N 为（） 3,1x y ==-(3,1)-{3,1}-{(3,1)}-已知2U U={1,2,23},A={|a-2|,2},C {0}a a A +-=,则a 的值为（） A ．-3或1 B ．2 C ．3或1 D ．1 7．定义A —B={x|x A x B ∈?且}，若A={1，3，5，7，9}，B={2，3，5}，则A —B 等于（） A ．A B ．B C ．{2} D ．{1,7,9} 8.若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有（） （1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中的多个元素可以在B 中有相同的像； （3）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像； （4）像的集合就是集合B . A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 9.函数2()41f x x x =--+（－3≤x ≤3）的值域是（）
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第一章 §1.1 集合 1. 关于集合的元素的特征 （1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流） （2）互异性 （3）无序性 集合相等：构成两个集合的元素完全一样 (1)若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记 作A=B. (2) B A A B B A =???, 例：已知A={1,1+d ，1+2d}，B={1，q ，q 2}，若A=B ，求的，d ，q 的值。 解：d=－，q=－ 2. 元素与集合的关系； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ?A 子集与真子集：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ?或A B ?. 若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ，或Q 不包含P.记作 Q P ? 若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 的真子集. B A ?或A B ?. 子集与真子集的性质：传递性：若B A ?，C B ?，则C A ? 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 3. 常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 4. 集合的表示方法 （1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…； （2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{} 内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或
最新高二数学暑假预科讲义 第十一讲 导数初步 中等学生版
目录 第十一讲 导数的概念与运算 (2) 考点1：导数的定义 (2) 题型一：求平均变化与瞬时变化率 (2) 考点2：导数的运算 (5) 题型二：导数运算 (5) 题型三：()f a '实际是一个数 (8) 课后综合巩固练习 (9)
第十一讲 导数的概念与运算 考点1：导数的定义 １．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-， 则当0x ?≠时，商 00()()f x x f x y +?-?= 称作函数()y f x =在区间[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）上的平均变化率． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率 00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数，那么常数称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时， 00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号 “→”读作“趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”． 题型一：求平均变化与瞬时变化率 例1.（1）（2018春?道里区校级月考）已知一质点的运动方程为22s t =-，则该质点在一段时间[0，2]内的平均速度为 ．
高一数学知识点总结(完整版)
高一数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合 {H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋, 大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队 员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A 注意：B 与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子 集，记作A B(或B A) ③如果A?B, B?C ,那么A?C ④如果A?B 同时B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)
高一数学预科班第一次课教学内容
高一数学预科班第一 次课
第一节集合的含义与关系 知识点： (1)集合：某些指定的集在一起就成为一个集合．常用大写字母A、 B、C等来表示． (2)常用的数集及记法： ①非负整数集(自然数集)全体非负整数的集合．记作． ②正整数集：非负整数集内排除0的集合．记作 ③整数集：全体整数的集合．记作 ④有理数集：全体有理数的集合．记作 ⑤实数集：全体实数的集合．记作 (3)元素及元素与集合的关系： 元素：集合中的每个叫做这个集合的元素．常用小写字母a，b，c，……来表示．如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作a A，否则a A． (4)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号“｛｝”内，元素与元素之间用“，”分开，这样的表示方法叫列举法． (5)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法． (6)有限集：含有有限个元素的集合叫有限集． (7)无限集：含有无限个元素的集合叫无限集． （8）集合中的元素必须具有三大特性“”． 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2
①：是指集合中的元素必须是确定的，即任何一个对象都能判断它是或不是某个集合的元素，二者必居其一．如“接近于0的实数”接近由于没有一个确定的界性，故0．001是否属于这个集合不能判断，所以这不能组成一个集合． ②：是指集合中的元素互不相同，即同一个集合中不能出现同一个元素两次，如：｛1，0，a2｝表示一个集合，则 a≠±1． ③：集合中的元素无先后顺序，如｛1，2｝与｛2，1｝是同一个集合． 二、集合间的基本关系 1 子集：对于集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集 合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：A B(或B A)，图1—1 所示表示： 这时我们也说集合A是集合B的子集． 2 集合的相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素， 同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素．我们说集合A等于集合 B，记作：A＝B． 即对于集合A，B，如果A B，同时B A，那么A＝B． 3．真子集：对于两个集合A与B，如果A B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B 的真子集，记作A B(或B A)． 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3
人教版数学高一知识点汇总
人教版数学高一知识点汇总 高一阶段，是打基础阶段，是将来决战高考取胜的关键阶段，尽早进入角色，安排好自己的学习和生活，会起到事半功倍的效果。下面就是我给大家带来的人教版高一数学知识点总结，希望能帮助到大家! 人教版高一数学知识点总结1 空间几何体表面积体积公式： 1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高, 3、a-边长,S=6a2,V=a3 4、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc 5、棱柱S-h-高V=Sh 6、棱锥S-h-高V=Sh/3 7、S1和S2-上、下h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3 8、S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中h-高,V=h(S1+S2+4S0)/6 9、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—,S表—表面积C=2πrS底=πr2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h 10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2) 11、r-底半径h-高V=πr^2h/3 12、r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半径d-直
径V=4/3πr^3=πd^3/6 14、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3 15、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6 16、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4 17、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形) 人教版高一数学知识点总结2 空间直角坐标系定义： 过定点O,作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位、这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴、通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则,即以右手握住z轴,当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向,这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点O叫做坐标原点。 1、右手直角坐标系 ①右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指; ②已知点的坐标P(x，y，z)作点的方法与步骤(路径法)： 沿x轴正方向(x>0时)或负方向(x<0时)移动|x|个单位，再沿y轴正方向(y>0时)或负方向(y<0时)移动|y|个单位，最后沿x轴正方向(z>0时)或负方向
高一预科班数学测试题
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人教版高一上册数学知识点总结
1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 注意：2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的
字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。 3.函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象. C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A} 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2)画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法(请参考必修4三角函数) 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用：
江苏省苏州市单招预科班2014-2015学年高一上学期期末联考数学试题 Word版含答案
2014-2015学年第一学期苏州市单招预科班期末联合考试试卷 一年级 数学 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至6 页．两卷满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将符合要求的答案涂在答题卷上） 1．若集合{20},{30}M x x N x x =-<=-≤，则N M 为 A ．]3,2()1,( --∞ B ．]3,(-∞ C ．]3,2( D ．]3,1( 2．在ABC ?中，“2 1 sin = A ”是“?=30A ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞内单调递增的是 A ．3x y = B ．1+=x y C ．12+-=x y D ．x y -=2 4. 已知13 5 sin = α，α是第二象限的角，则=-)cos(απ A ．1312 B ． 135 C ． 135- D ． 13 12- 5. 已知?? ? ??+=x x x x f 22)(2 2211≥<<--≤x x x ,若3)(=x f ，则x 的值为 A.1或3 B. 3± C. 3 D. 1或3±或 2 3 6．将函数)4 2sin(π + =x y 图象上的所有点向左平移 4 π 个单位，得到的图象的函数解析式是 A ．)432sin(π+ =x y B ．)22sin(π+=x y C ．)4 2sin(π -=x y D ．x y 2sin =
高一数学必修1辅导教材
必修一 第1章 集 合 § 集合的含义及其表示 重难点：集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内容；区别元素与集合等概念及其符 号表示；用集合语言（描述法）表达数学对象或数学内容；集合表示法的恰当选择． 考纲要求：①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系； ②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题． 经典例题：若x ∈R ，则｛3，x ，x 2 －2x ｝中的元素x 应满足什么条件? 当堂练习： 1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ） A ．某班个子较高的同学 B ．长寿的人 C D ．倒数等于它本身的数 2．下面四个命题正确的是（ ） A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7} B ．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} C ．方程2 210x x -+=的解集是{1，1} D ．0与{0}表示同一个集合 3． 下面四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若 -a ?Z ，则a ∈Z ； （3）所有的正实数组成集合R + ；（4）由很小的数可组成集合A ； 其中正确的命题有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．下面四个命题： （1）零属于空集； （2）方程x 2 -3x+5=0的解集是空集； （3）方程x 2 -6x+9=0的解集是单元集； （4）不等式 2 x-6>0的解集是无限集； 其中正确的命题有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5． 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( ) A ． {x,y 且0,0x y <>} B ． {(x,y)0,0x y <>} C. {(x,y) 0,0x y <>} D. {x,y 且0,0x y <>} 6．用符号∈或?填空： 0__________{0}， a __________{a }， π __________Q ， 2 1 __________Z ，－1__________R ， 0__________N ， 0 Φ．
高一预科班数学
1．1集合的含义及其表示1．下列说法正确的是() A．我校爱好足球的同学组成一个集合 B．{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合 C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合 D．数1,0,5，1 2，3 2， 6 4， 1 4组成的集合有7个元素 2．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素个数为() A．5个B．4个C．3个D．2个 3．下列四个关系中，正确的是() A．a∈{a，b} B．{a}∈{a，b} C．a?{a} D．a?{a，b} 4．集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是() A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集 C．第四象限内的点集D．第二、四象限内的点集 5．若A＝{(2，－2)，(2,2)}，则集合A中元素的个数是() 集合
A．1个B．2个C．3个D．4个 6．集合M中的元素都是正整数，且若a∈M，则6－a∈M，则所有满足条件的集合M共有() A．6个B．7个C．8个D．9个 7．下列集合中为空集的是() A．{x∈N|x2≤0} B．{x∈R|x2－1＝0} C．{x∈R|x2＋x＋1＝0} D．{0} 8．设集合A＝{2,1－a，a2－a＋2}，若4∈A，则a＝() A．－3或－1或2 B－3或－1 C．－3或2 D．－1或2 9．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，M＝{x|x ＝4k＋1，k∈Z}，若a∈P，b∈Q，则有() A．a＋b∈P B．a＋b∈Q C．a＋b∈M D．a＋b不属于P、Q、M中任意一个 10．由下列对象组成的集体，其中为集合的是________(填序号)． ①不超过2π的正整数；②高一数学课本中的所有难题； ③中国的高山；④平方后等于自身的实数； ⑤高一(2)班中考500分以上的学生． 11．若a＝n2＋1，n∈N，A＝{x|x＝k2－4k＋5，k∈N}，则a与A 的关系是________．
高一下学期数学知识点总结
高一下学期数学知识点 总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性；3.元素的无序性 .第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x- 3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作A B或B A
最新高二数学暑假预科讲义 第六讲 空间向量 基础学生版
目录 空间向量的概念与运算 (2) 考点1：空间向量的运算 (2) 题型一：空间向量的运算 (3) 考点2：用空间向量证明平行垂直 (5) 题型二：空间向量证明线面平行、垂直 (5) 考点3：用空间向量求点面距离与线面角 (7) 题型三：空间向量求点面距离 (8) 题型四：空间向量求线面角 (9) 考点4：用空间向量求二面角 (11) 课后综合巩固练习 (12)
空间向量的概念与运算 考点1：空间向量的运算 1．向量的加法、减法与数乘向量运算与平面向量类似； 2．空间向量的基本定理： 共线向量定理：对空间两个向量a ，b （0b ≠），a b ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =． 共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+． 空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一一个有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++． 表达式xa yb zc ++，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合． 上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ，，，其中a b c ，，都叫做基向量． 由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 四点共面定理：设点O 为空间任意一点，点A B C ，，是空间不共线的三点，又点P 满足等式： OP xOA yOB zOC =++，其中x y z ∈R ，，， 则P A B C ，，，四点共面的充要条件是1x y z ++=． 3．两个向量的夹角：已知两个非零向量a b ， ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b ??， ．通常规定0πa b ??≤，≤． 在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a ??=??， ，． 如果90a b ??=?， ，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 4．两个向量的数量积： 已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：cos a b a b a b ?=??， 空间两个向量的数量积具有如下性质： ⑴ 0a b a b ??=；⑵ 2 a a a =?；⑶ a b a b ?≤． 空间两个向量的数量积满足如下运算律： ⑴ ()()a b a b λλ?=?；⑵ a b b a ?=?；⑶ ()a b c a c b c +?=?+?．
高一数学预科
高一数学预科资料 前 言 课时安排： 第 一 讲 集合的含义与表示(1)及集合间的基本关系(2) 第十四讲 幂函数 第十五讲 二次函数（加强）及单元自测 第一讲 集合的含义与表示（1） I 、引入 在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如： （1）自然数的集合； （2）有理数的集合； （3）不等式37<-x 的解的集合；
（4）到一个定点的距离等到于定长的点的集合（即 ）； （5）到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即 ） II 、新授 一、集合的概念： 新教材：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），把一些元素组成的总体叫做集合（set ） （简称为集 ）。 旧教材：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。集合中的每一个对象叫做这个 集合的元素。 例1：判断下列哪些能组成集合。 （1）1~20以内的所有质数； （2）我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星； （ （ （ （ 1 2 3A 的4 全体整数组成的集合称为整数集，记作 有理数组成的集合称为有理数集，记作 ； 全体实数组成的集合称为实数集，记作 。 二、集合的表示方法 我们可以用自然语言描述一个集合，还可以用列举法、描述法等来表示集合。 1、 列举法 概念：把集合中的元素一 一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法 自然语言描述：“地球上的四大洋”组成的集合 列举法： 自然语言描述：“方程0)2)(1(=+-x x 的所有实数根”组成的集合
列举法： 例2、用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程x x =2 的所有实数根组成的集 合； （3）由1~20以内的所有质数组成的集合。 问：（1）你能用自然语言描述集合{2，4，6，8}吗？ （2）你能用列举法表示不等式37<-x 的解集吗？ 2、描述法 我们不能用列举法表示不等式37<-x 的解集，因为这个集合中的元素是列举不完的。但是，我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述。 为例31a 的2 3 四、思考（本题仅供参考） 4、设集合M = {z y x y x z z ∈-=,,|2 2 }。 （1）试验证5和6是否属于集合M ； （2）关于集合M ，还能得到什么结论吗？ 五、家庭作业 1、用列举法表示下列集合： （1）{既是质数又是偶数的数}： （2）{（y x ,）|6=+y x ，N y x ∈,}：
最新高一数学暑假预科讲义 第2讲 一元二次不等式解法 拔高教师版
目录 第二讲一元二次不等式解法 (2) 考点1：一元二次不等式及其解集 (2) 题型一：解一元二次不等式 (3) 题型二：含字母系数的一元二次不等式的解法 (4) 题型三：一元二次不等式的逆向运用 (7) 题型四：一元二次不等式恒成立问题 (8)
第二讲 一元二次不等式解法 考点1：一元二次不等式及其解集 1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如： 250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式 20ax bx c ++>的解集为{} 21x x x x x ><或，不等式20ax bx c ++<的解集为 {}21 x x x x << 2.对于一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设 ac b 42-=?，它的解按照0>?，0=?，0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来 讨论一元二次不等式2 0ax bx c ++>(0)a >或2 0ax bx c ++<(0)a >的解集. 24b ac ?=- 0>? 0=? 0a ）的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ?
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高一数学预科班资料 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
前言 课时安排： 第一讲集合的含义与表示 第二讲集合间的基本关系 第三讲集合的基本运算（一） 第四讲集合的基本运算（二） 第五讲一次函数、一次不等式与二次函数 第六讲一元一次不等式、一元二次方程 第七讲函数的概念 第八讲函数的表示法 第九讲单调性与最大（小）值 第十讲奇偶性 第十一讲指数与指数幂的运算 第十二讲指数函数及其性质 第十三讲对数与对数运算 第十四讲对数性质的应用 第十五讲小结与测试 资料说明： 本资料适用于高一预科班，内容为必修1的前半部分内容，授课对象为初三升入高一的学生，他们在很大程度上还没适应高中的学习，所以本资料紧扣教材，有点象教师的教案，有点象教材，也可作为学生听课笔记。每一讲的每一道题如果都讲解，可能没有这么多的时间，再者学生层次不一，拓广探索的题可选上，思考题可不上（仅供有一定的数学基础和数学学习兴趣的同学参考），请上课教师斟酌考虑，自行安排。 由于本人水平有限，资料有不足之，敬请各位同仁多提宝贵意见，不胜感谢。
第一讲 集合的含义与表示 I 、引入 在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如： （1）自然数的集合； （2）有理数的集合； （3）不等式37<-x 的解的集合； （4）到一个定点的距离等到于定长的点的集合（即 ）； （5）到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即 ） II 、新授 一、集合的概念： 新教材：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）， 把一些元素组成的总体叫做 集合（set ）（简称为集 ）。 旧教材：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。集合中的每一个对 象叫做这个集合的元素。 例1：判断下列哪些能组成集合。 （1）1~20以内的所有质数； （2）我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星； （3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车； （4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家； （5）所有的正方形； （6）到直线l 的距离等于定长d 的所有的点； （7）方程0232=-+x x 的所有实数根； （8）新华中学2004年9月入学的所有的高一学生； （9）身材较高的人； （10）{1，1}； （11）我国的大河流； 问：（1）{3，2，1}、{1，2，3}、{2，1，3}这三个集合有何关系？ （2）{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}是否为一个集合？ 点评：
新高一数学预科基础班第12讲 分数指数幂(jt)
分数指数幂 【知识要点】 1.整数指数幂的定义 2.正整数指数幂的运算法则: (1)n m n m a a a +=? (2) mn n m a a =)( (3))0,(≠>=-a n m a a a n m n m (4)m m m b a ab =)( 3.根式 (1)平方根 (2)立方根 (3)n 次方根 4.根式的运算性质： ①当n 为任意正整数时，(n a )n =a. ②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=???<-≥)0() 0(a a a a . 5.分数指数幂： (1)分数指数幂与根式的转化 ①正分数指数幂的规定: )1,0(1>∈>=+n N n a a a n n 且;n m N n m a a a n m n m 且 、,,0(+∈>= 为既约分数). ②负分数指数幂规定: 。 为既约分数且 、),,0(1 1n m N n m a a a a n m n m n m +-∈>= = ③0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. (2)分数指数幂的运算法则:设βα、,0,0>>b a 是有理数,则βαβα+=?a a a 、αββαa a =)(、 αααb a ab ?=)(. 【经典例题】 例1 求值： （1）①33)8(-= ； ②2)10(-= ； ③44)3(π-= ； ④)()(2b a b a >-= （2）①2 12= ②2 1) 49 64( - = ③4 3 10000- = ④3 2 )27 125(-=
例2 求值： (2)5.021 20)01.0()4 12(2)532(-?+- - （3）21 75.003 125.016)8 7 (064.0++--- . 例3 化简（式中字母都是正数）： )())(1(4 14 12 12 1 y x y x -÷- （2
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课后习题1.1.1 [基础训练A 组] 一、选择题 1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下面有四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2； （4）x x 212=+的解可表示为{ }1,1； 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题 1．用符号“∈”或“?”填空 （1）0______N , 5______N , 16______N （2）1 ______,_______,______2 R Q Q e C Q π- （e 是个无理数） （3{} |,,x x a a Q b Q =∈∈ [综合训练B 组] 一、选择题 1．下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{} 1|2 -=x y y 与集合(){} 1|,2 -=x y y x 是同一个集合； （3）361 1,,,,0.5242 - 这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．方程组???=-=+9 1 2 2y x y x 的解集是（ ）
A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5-。 二、填空题 1．已知集合}023|{2 =+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 ； 若至少有一个元素，则a 的取值范围 。 2．用列举法表示集合：M m m Z m Z =+∈∈{|,}10 1 = 。 三、解答题 1．已知集合? ?? ???∈-∈=N x N x A 68| ，试用列举法表示集合A 。 课后习题1.1.2 [基础训练A 组] 一、选择题 1．若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ） A ．0X ? B ．{}0X ∈ C ．X φ∈ D ．{}0X ? 2．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．}33|{=+x x B ．},,|),{(2 2R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2 ≤x x D ．},01|{2 R x x x x ∈=+- 3．已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围。 4．下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?- ,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{ }φφ∈ 二、填空题 1．用适当的符号填空 （1）{}()(){}1|,____2,1,2|______3+=≤x y y x x x （2）{} 32|_______52+≤+x x ， （3）{}31| ,_______|0x x x R x x x x ? ? =∈-=???? [综合训练B 组] 一、填空题 1．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ?，