【2020高考数学】复数的三角表示专题复习

【2020高考数学】复数的三角表示专题复习

运用一 代数式转为三角形式

12=-3i,z =1i 【例1】把复数z 表示成三角形式

【举一反三】

1.化下列复数为三角形式：

（1）2（sin π5 +icos π5 ）； （2）－２（－sin π5 ＋icos π5 ）； （3）－２（sin π5 －icos π

5 ）

运用二 三角式转代数式

【例2】把下列复数化成三角形式： （1）6（2）-5（3）2i （4）-i （5）-2+2i

【举一反三】

1.下面复数化为三角形式：（1）);5sin 5(cos 2ππ

i -（2）).5

sin 5cos (2π

πi +-

（3）)5sin 5(cos

2ππ

i +-；（4）)5

cos 5(sin 2π

πi +.

运用三 辅角主值

【例3】复数5

2sin

52cos 1π

πi ++-的辐角主值是多少.

【举一反三】

1、已知复数z 满足(z ＋1)(z ＋1)=|z|2

，且1

1

+-z z 是纯虚数. (1)求z ；(2)求z 的辐角主值.

2、满足z z 5+是实数,且z+3的辐角主值是4

3π的虚数z 是否存在?若存在,求出虚数z;若不存在,说明理由.

3、设虚数z1,z2满足2

1

z = z2.

(1)若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两个根,求z1,z2.

(2)若z1=1＋mi(m＞0,i为虚数单位)w=z2－2,w的辐角主值为θ,求θ的取值范围.

1．（2019·湖南高三（理））若θ为第二象限角．则复数cos sin

z i

θθ

=+（i为虚数单位）对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2．（2019·上海师范大学附属外国语中学高二期末）若cos sin

z i

θθ

=+(R i

θ∈，是虚数单位),则22

z i

--的最小值是（）

A. C.1 D.1

3．（2019·湖南长沙一中高三月考）若,0

2

π

θ??

∈-

?

??

，则复数cos sin

z i

θθ

=+（i为虚数单位）对应的点在（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4．（2019·广东高二期末（理））在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（）

A. B. C. D.

5、已知复数z满足等式

z

z1

-

＝

2

1

，且

6

arg

π

=

z，求z 。

6．（2019·上海格致中学高三）已知复数i

1i x y z +=

+（,x y ∈R ，i 是虚数单位）的对应点z 在第四象限，

且||z ≤

，那么点(,)P x y 在平面上形成的区域面积等于____

7．（2019·上海市建平中学高二期中）设复数12133z i z i =--=+，，若

)

2z i

R θθθ=++∈，，则12z z z z -+-的最小值为_________.

8．（2019·上海中学高三）已知复数z 的实部大于零，且满足)()cos sin z i R θθθ=+∈，2z 的虚部

为2．

（1）求复数z ；

（2）设22z z z z -、、在复平面上的对应点分别为,,A B C ，求AB AC ?uu u r uuu r

的值．

9．（2019·上海市建平中学高三）已知复数12sin z θ=，21(2cos )i z θ=+，i 为虚数单位，

[,]32

ππ

θ∈. （1）若12z z ?为实数，求θ的值；

（2）若复数1z 、2z 对应的向量分别是a r 、b r ，存在θ使等式()()0a b a b λλ-?-=r r r r

成立，求实数λ的取值范围.

10．（2018·上海交大附中高二期末）设1z +为关于x 的方程()2

0,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.

（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；

（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.

11、将下列复数代数式化为三角式：

（1）5

sin

5

cos

π

π

i +-； （2）θθcos sin i +.

（3）75cos 75sin π

πi -； （4）ααsin cos 1i ++ )2,0[πα∈.

12、把复数z 1与z 2对应的向量OA ,OB 分别按逆时针方向旋转4

π和35π

后,重合于向量OM 且模相等,已知

z 2=－1－3i,求复数z 1的代数式和它的辐角主值.

专题7.3 复数的三角表示

运用一 代数式转为三角形式

12=-3i,z =1i 【例1】把复数z 表示成三角形式

1122101,arg arg cos

sin

12

2

2z i i z π

π

π

====

=++【解析】所以z

22222

2-132,tan 3,(13)arg 2(cos sin )3

2223

333

z i b a z θπθππ

θπ

πππ===

==--=+=-

=

=++（））又因Z ，位于第二象限，所以所以z （

【举一反三】

1.化下列复数为三角形式：

（1）2（sin π5 +icos π5 ）； （2）－２（－sin π5 ＋icos π5 ）； （3）－２（sin π5 －icos π

5 ）

【答案】见解析

【解析】（1）原式＝２[cos （π２ －π5 ）＋ｉsin （π２ －π5 ）]＝2（cos 3π10 ＋isin 3π

10 ）；

（2）原式＝２（sin π5 －icos π5 ）＝2[cos(３π２ ＋π５ )+isin(３π２ ＋π

５ )]

＝２（cos １７π10 ＋isin １７π

10

）

（3）原式＝２（－sin π5 ＋icos π5 ）＝2[cos(π２ ＋π５ )+isin(π２ ＋π

５ )]

＝２（cos ７π10 ＋isin ７π

10 ）

运用二 三角式转代数式

【例2】把下列复数化成三角形式： （1）6（2）-5（3）2i （4）-i （5）-2+2i 【答案】见解析

【解析】(1)6(cos0+isin 0)(2)5(cos π+isin π()32Cos Sin 22i ππ??+ ?

?

?

()334Cos Sin 22i ππ??+ ??

?

()3352

2Cos Sin

44i ππ?+??

【举一反三】

1.下面复数化为三角形式：（1）);5sin 5(cos 2ππ

i -（2）).5

sin 5cos (2π

πi +-

（3）)5sin 5(cos

2ππ

i +-；

（4）)5

cos 5(sin 2π

πi +. 【答案】见解析

【解析】 （1）)5sin 5(cos

2ππ

i -＝)];5

sin()5[cos(2π

π-+-i （2）)5sin 5cos (2ππi +-＝).54sin 54(cos 2π

πi +

（3）)5sin 5(cos 2ππi +-＝)56sin 56(cos 2π

πi +；

（4）)5cos 5(sin 2ππi +＝).10

3sin 103(cos 2π

πi +

运用三 辅角主值

【例3】复数5

2sin

52cos 1π

πi ++-的辐角主值是多少. 【答案】见解析 【解析】2221cos

sin 2sin 2sin cos 55555

i i πππππ-++=-+??， 2sin

sin cos 2sin cos sin 55552525i i ππππππππ???

?????-+=+++ ? ? ???????????

772sin cos sin 51010i πππ??

=+ ???

∴由三角形式得辐角主值为.10

7π

【举一反三】

1、已知复数z 满足(z ＋1)(z ＋1)=|z|2

，且

1

1

+-z z 是纯虚数. (1)求z ；(2)求z 的辐角主值. 【答案】见解析

【解析】由(z ＋1)(z ＋1)=|z|2

得z z ＋z ＋z ＋1=|z|2

.

∵z z =|z|2

，∴z ＋z ＋1=0，∴z ＋z =－1，

由

11

+-z z 是纯虚数得1111()()0,0111

1z z z z z z z z ----+=∴+=++++，

∴

11

0(1)(1)

zz z z zz z z z z -+-+-+-=++，∴2z z =2，∴z z =1.

于是z ，z 是方程x 2

＋x ＋1=0的两根，解得i x 2321±-

=，所以i z 2

321±-=. 当i z 2321+-

=时，z 的辐角主值为32π；当i z 2321--=时，z 的辐角主值为3

4π

. 2、满足z z 5+

是实数,且z+3的辐角主值是4

3π

的虚数z 是否存在?若存在,求出虚数z;若不存在,说明理由. 【答案】见解析

【解析】 设)0,(≠∈+=b R b a bi a z 且,则

22225555a b z a bi a b i z a bi a b a b ??+

=++=++- ?+++??

∵R z z ∈+

5, ∴052

2=+-b a a

b ∵b ≠0, ∴a 2

+b 2

=5

又bi a z ++=+33的辐角主值为

4

3π

, ∴a+3=－b. 把a+3=－b 与a 2+b 2

=5联立解之,得 ???-=-=21b a 或 ???-=-=1

2

b a ,

∴i z 21--= 或 i z --=2,

此时i z 223-=+或i z -=+13的辐角主值均为4

7π

. ∴满足条件的虚数z 不存在. 3、设虚数z 1,z 2满足2

1z = z 2.

(1)若z 1,z 2又是一个实系数一元二次方程的两个根,求z 1,z 2.

(2)若z 1=1＋mi(m ＞0,i 为虚数单位)w=z 2－2,w 的辐角主值为θ,求θ的取值范围. 【答案】见解析

【解析】(1)∵z 1,z 2为实系数方程的两个根∴z 2=z 且|z 2|=1z 又2

1z =z 2=z ∴2

1

113

1z z z z =?= ∵

|z 1|2

=|z i |=|z 1| ∴|z 1|=1 ∴z 1=－

i 2321+ z 2=－i 2

321-或

z 1=－

i 2321- z 2=－i 2

321+ (2)由z 1=1＋mi(m ＞0), 2

1z = z 2得z 2=(1－m 2

)＋2mi ∴w=－(1＋m 2

)＋2mi

tg θ=－m

m m m 12122

+-=+ ∵m ＞0 m ＋m 1

≥2 ∴－1≤tg θ＜0 又由－(m 2

＋1)＜0 2m ＞0得4

3π≤θ＜π

∴所求θ的取值范围为[4

3π

,π).

1．（2019·湖南高三（理））若θ为第二象限角．则复数cos sin z i θθ=+ （i 为虚数单位）对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【答案】B

【解析】因为θ为第二象限角．所以cos 0,sin 0θθ<>，即复数z 的实部为负数，虚部为正数，所以z 对应的点在第二象限．故选：B ．

2．（2019·上海师范大学附属外国语中学高二期末）若cos sin z i θθ=+(R i θ∈，是虚数单位),则

22z i --的最小值是（ ）

A.222

C.221

D.221

【答案】D

【解析】由复数的几何意义可知：cos sin z i θθ=+表示的点在单位圆上， 而|z ?2?2i|表示该单位圆上的点到复数22i +表示的点Z 的距离，

由图象可知：22z i --的最小值应为点A 到Z 的距离， 而222222OZ =

+=，圆的半径为1，

故22z i --的最小值为221， 故选：D ．

3．（2019·湖南长沙一中高三月考）若,02πθ??

∈- ???

，则复数cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位）对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【答案】D

【解析】,02πθ??∈- ???

Q

cos 0θ∴>，sin 0θ<

∴复数cos sin z i θθ=+对应的点在第四象限.

4．（2019·广东高二期末（理））在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ） A. B. C. D.

【答案】D 【解析】

5、已知复数z 满足等式z z 1-＝21，且6

arg π

=z ，求z 。 【答案】见解析

【解析】设

31

(cos sin)(0) 662

z r i r ri r

π

π

=+=+>，

2

2

313

1(1)

22

1124

2

r

r ri r

z

z z

-+-+

-

∴===即0

4

3

4

32=

+

-r

r.

解得i

z

r

3

3

1

,

3

2

+

=

∴

=

6．（2019·上海格致中学高三）已知复数

i

1i

x y

z

+

=

+（,x y∈R，i是虚数单位）的对应点z在第四象限，且

||2

z≤，那么点(,)

P x y在平面上形成的区域面积等于____

【答案】π

【解析】由题得

()

12

x yi x y y x i

z

i

+++-

==

+

，z在第四象限，则有

2

2

x y

y x

+

?

>

??

?

-

?<

??

，整理得

x y

x y

+>

?

?

->

?

，由||2

z≤得

22

()()

2

4

x y y x

++-

≤，化简得224

x y

+≤，则点(,)

P x y在不等式组

22

4

x y

x y

x y

+>

?

?

->

?

?+≤

?

所表示的平面区域内，如图阴影部分：

则其面积2

1

2

4

Sππ

=??=.

7．（2019·上海市建平中学高二期中）设复数12

133

z i z i

=--=+

，，若

)

2z i

R θθθ=++∈，，则12z z z z -+-的最小值为_________.

【答案】

【解析】因为12133z i z i =--=+，，

)

2z i

θθ=++

则12z z z z -+-

))(

))

1331i i θθθθ=

++

++

-+

-

=

设()())

1,3,3,1,A B P

R θθθ--∈，，

由参数方程可知,动点P 的轨迹方程为2

2

2x y +=

所以12z z z z -+-表示点A 与点B 到圆22

2x y +=上任意一点的距离之和

设直线AB 的方程为y kx b =+,代入()()1,3,3,1A B --可得

313k b k b -=-+??

=+?,解方程可得1

2k b =??=-?

所以直线AB 的方程为20x y --=

圆心()0,0到直线AB 的距离为d =

=

因为d r ==

所以直线AB 与圆相切,设切点为M 则当P 与M 重合时,AP BP +取得最小值 所以()

12

min

z z z z AP BP AB -+-=+=

=

=

故答案为：

8．（2019·上海中学高三）已知复数z 的实部大于零，且满足)()cos sin z i R θθθ=+∈，2z 的虚部

为2．

（1）求复数z ；

（2）设22z z z z -、、在复平面上的对应点分别为,,A B C ，求AB AC ?uu u r uuu r

的值． 【答案】（1）1z i =+ （2）-2

【解析】（1）由()

()222

2cos sin 2sin cos z i θθθθ??=-+??

()2cos2sin2i θθ=+及已知条件得：

()sin 214k k Z π

θθπ=?=+

∈，()k Z ∈,所以cos sin 44z k i k π

πππ?

????=+++ ? ?????

??

， 又复数z 的实部大于零，1z i ∴=+，

（2）由（1）知()()()2

2

1,2,11,1,0,2,1,1z i z i z z i A B C =+=-=-∴-，

所以()()1,1,0,2AB AC =-=-u u u v u u u v ，所以()10122AB AC =-?+?-?=-u u u v u u u v

，故得解.

9．（2019·上海市建平中学高三）已知复数12sin z θ=，21(2cos )i z θ=+，i 为虚数单位，

[,]32

ππ

θ∈. （1）若12z z ?为实数，求θ的值；

（2）若复数1z 、2z 对应的向量分别是a r 、b r

，存在θ使等式()()0a b a b λλ-?-=r r r r 成立，求实数λ的取值

范围.

【答案】（1）3

π

θ=

；（2）[0,2[2)λ∈+∞U .

【解析】（1）(122sin 4sin cos z z i θθθθ?=++，

因为12z z ?为实数，所以4sin cos θθ=，所以sin 2θ=

，又因为,32ππθ??∈????，所以3πθ=；

（2）因为()2sin 1,2cos a b λλθθ-=--r r ，()

2sin ,2cos a b λθλλθ-=-r r

，

所以())22

()()821sin 1cos a b a b λλλλθλθ-?-=-+++r r r r ，

又因为存在θ使等式()()0a b a b λλ-?-=r r r r

成立，

所以())

22

821sin 1cos 0λλθλθ-+++=在,32ππθ??

∈?

???

上有解， 所以

22sin 13λπθλ??=- ?+??在,32ππθ??∈????上有解，又因为0,36ππθ?

???-∈ ???????，所以1sin 0,32πθ????-∈ ???????

，

所以

2210,12λλ??

∈??+??

，解得[0,2[2)λ∈-+∞U . 10．（2018·上海交大附中高二期末）设1z +为关于x 的方程()2

0,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.

（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；

（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.

【答案】（1）0m =，1n =；（2）[]4,6； 【解析】（1）当1z i =-+时，1z i +=

∴方程20x mx n ++=的两根分别为：,i i -

()()i i m i i n ?+-=-?∴??-=??

，即0m =，1n =

（2）当1n =时，方程为210x mx ++= 1z ∴+，1z +为方程的两根 设(,)z a bi a b R =+∈，则11z a bi +=++，11z a bi +=+-

()()2

21111z z a b ∴+?+=++=

设1cos a θ=-+，sin b θ=，[)0,2θ∈π

PQ ∴=

==其中3tan 4?=

，0,2π???

∈ ???

()[]sin 1,1θ?+∈-Q []4,6PQ ∴∈

即PQ 的取值范围为[]4,6

11、将下列复数代数式化为三角式： （1）5sin

5

cos

π

π

i +-； （2）θθcos sin i +.

（3）7

5cos 75sin π

πi -； （4）ααsin cos 1i ++ )2,0[πα∈. 【答案】见解析 【解析】（1）cos

sin

5

5

i π

π

-+=44cos()sin()cos sin

5555

i i π

πππ

ππ-

+-=+；

（2）θθcos sin i +=cos(

)sin()22

i ππ

θθ-+-. （3）55sin cos 77i ππ-=3333cos()sin()cos sin

14141414

i i ππππ

---=+； （4）ααsin cos 1i ++=2

2cos 2sin

cos

2cos

(cos

sin )2

2

2

2

22

i i α

α

α

α

α

α

+??=+

当πα<≤0时 0,cos 02

2

2

α

π

α

≤

<

>

∴1cos sin 2cos (cos

sin )2

22

i i α

α

α

αα++=?+

当παπ2<≤时

,cos

02

2

2

π

α

α

π≤

<<

∴1cos sin 2cos (cos

sin )2

22

i i α

α

α

αα++=--- =2cos

[cos()sin()]222

i α

αα

ππ-+++.

12、把复数z 1与z 2对应的向量,分别按逆时针方向旋转4

π和35π

后,重合于向量OM 且模相等,已知

z 2=－1－3i,求复数z 1的代数式和它的辐角主值. 【答案】见解析

【解析】由复数乘法的几何意义得

z 1(cos 4π＋isin 4

π)=z 2(cos 35π＋isin 35π

)

又z 2=－1－3i =2(cos 34π＋isin 3

4π

),

∴z 1=

44552(cos sin )(cos sin )

3333cos sin 44

i i i ππππππ+?++=2[cos(3π－4π)＋isin(3π－4π)] =－2＋2i,z 1的辐角主值为4

3π

.