热点 四边形的证明与计算 含答案
热点14 四边形的证明与计算
（时间：100分钟总分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．下列命题正确的是（）
A．对角线互相平分的四边形是菱形；
B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；
D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
2．平行四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D四个角的度数比可能是（）
A．1：2：3：4 B．2：3：2：3 C．2：2：3：3 D．1：2：2：3
3．如果菱形的边长是a，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（）
A．1
2
a B．
3
a C．a D．3a
4．用形状、大小完全相同的图形不能进行密铺的是（）
A．任意三角形 B．任意四边形 C．正五边形 D．正四边形
5．已知一个等腰梯形的下底与上底之差等于一腰长，?则这个等腰梯形中的较小的角的度数为（）
A．30° B．60° C．45° D．75°
6．已知四边形ABCD中，在①AB∥CD；②AD=BC；③AB=CD；④∠A=∠C四个条件中，不能推出四边形ABCD是平行四边形的条件是（）．
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
7．如图1，Y ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，则AB的长m?取值范围是（）
A．1 （1） (2) (3) (4) 8．如图2，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 9．如图3，Y ABCD中，P是对角线BD上的任意一点，过点P作EF∥BC，HG∥AB，?则下列说法不正确的是（） A．S Y AEPG=S Y PHCF B．图中有3对全等三角形 C．图中共有9个平行四边形D．S Y AEFD≠S Y GHCD 10．如图4，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，?E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（） A．80° B．70° C．65° D．60° 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．如图5，Y ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于E，且AD=a，AB=b，用含a、b的代数式表示EC，则EC=________． (5) (6) (7) (8) 12．如图6，平行四边形ABCD中，E是BC中点，且AE=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_________． 13．已知菱形的周长为20cm，两对角线之和为14cm，则菱形的面积为_____cm2． 14．以边长为2cm的正方形的对角线为边的正方形的面积为________c m2． 15．一个多边形的每个外角都是36°，则这个多边形的边数是________． 16．矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______c m2． 17．如图7，若将四根木条钉成矩形木框，再变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数为_______． 18．如图8，菱形ABCD的对角线长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______． 三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，?垂足分别为E、F．求证：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形时，四边形AEDF是正方形． 20．如图，Y ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且AE=CF，问：四边形EBFD是平行四边形吗？为什么？ 21．如图，圆A、圆B、圆C、圆D、圆E、圆F相互外离，它们的半径都是1，顺次连结这六个圆心，得到六边形ABCDEF． 求：（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．（2）求图中阴影部分的面积之和． 22．如图，Y ABCD中，O是对角线AC的中点，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由． 23．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，BD=BC=43，求梯形的面积． 24．如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A?′OB′C′绕正方形ABCD的中心O顺时针旋转的过程中． （1）四边形OECF的面积如何变化． （2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积． 25．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=24cm ，BC=26cm ，动点P?从A 开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 以3cm/s 的速度向点B 运动．P 、Q 同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts ，?问t 为何值时． （1）四边形PQCD 是平行四边形．（2）当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形． 答案: 一、选择题 1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．A 8．B 9．D 10．D 二、填空题 11．a-b 12．72 13．24 14．8 15．10 16．128 17．30°18．52 三、解答题 19．证明：（1）,90D BC BD CD DE AB DF AC BED CFD B C ?=?? ⊥⊥?∠=∠=???∠=∠? 是的中点? △BDE ≌△CDF ． （2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知： AEDF BED CFE DE DF ? ??????=? 四边形是矩形矩形AEDF 是正方形． 20．解：四边形EBFD 是平行四边形．在Y ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ， 则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ． ∴四边形EBFD 是平行四边形． 21．解：（1）由多边形内角和定理知： ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（6-2）×180°=720°． （2）S 阴影= 720360 πr 2 =2π． 22．解：四边形AFCE 是菱形． ∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴OA=OC ，CE ∥AF ． ∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ． ∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ． 而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵EF 是垂直平分线，∴AE=CE ． ∴四边形AFCE 是菱形． 23．解：在梯形ABCD 中由题设易得到： △ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°． 过点D 作DE ⊥BC ，则DE= 1 2 ，BE=6． 过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4． 故S 梯形ABCD ． 24．解：（1）四边形OECF 的面积不变． 因为在旋转过程中，始终有△ODF ≌△OCE ， 故S 四边形OECF =S △OEC +S △OFC =S △OCD ． （2）由（1）知S 四边形OECF =S △OCD = 14 ×4=1． 25．解：（1）∵PD ∥CQ ，∴当PD=CQ 时，四边形PQCD 是平行四边形． 而PD=24-t ，CQ=3t ， ∴24-t=3t ，解得t=6． 当t=6时，四边形PQCD 是平行四边形． （2）过点D 作DE ⊥BC ，则CE=BC-AD=2cm ． 当CQ-PD=4时，四边形PQCD 是等腰梯形． 即3t-（24-t ）=4．∴t=7． 四边形的证明和计算 教学目标：1、使学生牢固掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯 形的定义、性质定理和判定定理，掌握它们之间的内在联系， 并能应用这些知识去分析和解决问题。 2、通过复习提高学生逻辑推理论证的能力，发展学生数学思维 的技能，进一步激励学生自我提高的动机。关注中考中不断出 现的以特殊四边形为背景设计与三角形、相似形、圆、方程、 函数等相结合的综合题 3、如何挖掘隐含条件，合理添加辅助线，转化矛盾解决问题。 教学重点：平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质定理、 判定定理的综合应用和综合思维、分析思维以及逻辑表达能力的 培养。 教学难点：要善于多角度寻求解决问题的途经，筛选简捷的解法、积累解决 问题的策略． 教学过程： 学生整理有关平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性 质定理和判定定理，掌握它们之间的内在联系，初步形成这些知识的网络结 构。为下面的复习做好准备。 一、 几何证明题： 例1：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂 足为E ，并延长DE 至F ，使EF ＝DE ．联结BF 、CD 、AC ． （1）求证：四边形ABFC 是平行四边形； （2）如果DE 2＝BE ·CE ，求证四边形ABFC 是矩形． (3)只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形．请你至少写出两种不同 图形改为： 的添加方法． 展示2011年中考23题，体现四边形在中考中的重要作用，学生独立完 成，教师巡视指导，学生交流方法，师生共同归纳考点，教师给予方法点析 (2)只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形．请你至少写出两种不同 的添加方法．(不另外添加辅助线，无需证明) 本题较为简单，意在顾及绝大多数学生，减 少对几何的畏惧心理，口答完成，提高积极 性，复习判定方法 巩固训练： 1. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、 BC 分别交于E 、F ， 求证：四边形AFCE 是菱形 分析: 由于四边形AFCE 的对角线互相垂直，那么只需证明对角线互相平 分即可，故只需证OE=OF ，而这可由证明△AOE ≌△COF 得到。 证：（略） 说明：解决此题的关键是要准确理解题意，EF 是线段AC 的垂直平分线。另 一种方法证完后还可问学生，还有其他方法吗？注重一题多解，激活学生的 思维。 学生独立完成,学生板书 分层提高题：2. 已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ． （1） 证：GD CG GF EG ?=?； 例2.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别为E 、F ． (1)求证：DE=DF ． 平行四边形的证明题 一．解答题（共30小题） 1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：BE=DF； （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）． — 2．如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． $ 3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO． # 4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． ~ 5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明． ： 6．如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点． 求证：四边形MFNE是平行四边形． ! 7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形． 8．在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． ！ 9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE． 10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ ; 11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点， 1．如图，正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形，则当正方形A?′OB ′C ′绕正方形 ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中． （1）四边形OECF 的面积如何变化． （2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积． 解：在梯形ABCD 中由题设易得到： △ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°． 过点D 作DE ⊥BC ，则DE=1 2BD=23，BE=6 ．过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4． 故S 梯形ABCD =12+43． 2．如图，ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF ⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由． 解：四边形AFCE 是菱形． ∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴OA=OC ，CE ∥AF ． ∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ． ∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ． 而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵EF 是垂直平分线，∴ AE=CE ．∴四边形AFCE 是菱形． 3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，?垂足分别为E 、F ．求证：（1）△BDE ≌CDF ．（2）△ABC 是直角三角形时，四边形AEDF 是正方形． 19．证明：（1）,90D BC BD CD DE AB DF AC BED CFD B C 是的中点 △BDE ≌△CDF ． （2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知： AEDF BED CFE DE DF 四边形是矩形 矩形AEDF 是正方形．4．如图，ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，问：四边形EBFD 是平行四边形吗？为什么？ 解：四边形EBFD 是平行四边形．在 ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ， 则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ． ∴四边形EBFD 是平行四边形．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片 折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积． 【提示】把AF 取作△AEF 的底，AF 边上的高等于AB ＝3． 由折叠过程知，EF 经过矩形的对称中心，FD ＝BE ，AE ＝CE ＝AF ．由此可以在△ABE 中使用勾股定理求AE ，即求得AF 的长． 【答案】如图，连结AC ，交EF 于点O ， 由折叠过程可知，OA ＝OC ， ∴O 点为矩形的对称中心．E 、F 关于O 点对称，B 、D 也关于O 点对称． ∴BE ＝FD ，EC ＝AF ， 热点 四边形的证明与计算 （时间：100分钟 总分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．下列命题正确的是（ ） A ．对角线互相平分的四边形是菱形； B ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形； D ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 2．平行四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 、∠D 四个角的度数比可能是（ ） A ．1：2：3：4 B ．2：3：2：3 C ．2：2：3：3 D ．1：2：2：3 3．如果菱形的边长是a ，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（ ） A ． 12a B a C ．a D 4．用形状、大小完全相同的图形不能进行密铺的是（ ） A ．任意三角形 B ．任意四边形 C ．正五边形 D ．正四边形 5．已知一个等腰梯形的下底与上底之差等于一腰长，?则这个等腰梯形中的较小的角的度数为（ ） A ．30° B ．60° C ．45° D ．75° 6．已知四边形ABCD 中，在①AB ∥CD ；②AD=BC ；③AB=CD ；④∠A=∠C 四个条件中，不能推出四边形ABCD 是平行四边形的条件是（ ）． A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②③ 7．如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=12，BD=10，则AB 的长m?取值范围是（ ） A ．1 平行四边形证明题 第一篇：特殊平行四边形：证明题 特殊四边形之证明题 1、如图8，在abcd中，e，f分别为边ab，cd的中点，连接de，bf，bd．? （1）求证：△ade≌△cbf． （2）若ad?bd，则四边形bfde是什么特殊四边形？请证明你的结论． fc aeb 2、如图，四边形abcd中，ab∥cd，ac平分?bad，ce∥ad交ab 于e． （1）求证：四边形aecd是菱形； （2）若点e是ab的中点，试判断△abc的形状，并说明理由． 3.如图，△abc中，ac的垂直平分线mn交ab于点d，交ac于点o，ce∥ab交mn于e，连结ae、cd． （1）求证：ad＝ce； （2）填空：四边形adce的形状是． a dmn 4.如图，在△abc中，ab=ac，d是bc的中点，连结ad，在ad的延长线上取一点e，连结be， （1）求证： （2）当ae与ad满足什么数量关系时，四边形abec是菱形？并说明理由 5．如图，在△abc和△dcb中，ab=dc，ac=db，ac与db交于点m． （1）求证：△abc≌△dcb； （2）过点c作cn∥bd，过点b作bn∥ac，cn与bn交于点n，试判断线段bn与cn的数量关系，并证明你的结论． 6、如图，矩形abcd中，o是ac与bd的交点，过o点的直线ef 与ab，cd的延长线分别交于e，f． （1）求证：△boe≌△dof； （2）当ef与ac满足什么关系时，以a，e，c，f为顶点的四边形是菱形？证明你的结论． f a b e 7. 600，它的两底分别是16cm、30cm。求它的腰长。 (两种添线方法) c 8．如图（七），在梯形abcd中，ad∥bc，ab?ad?dc，ac?ab，将cb延长至点f，使bf?cd． （1）求?abc的度数； （2）求证：△caf为等腰三角形． c b图七f 第二篇：平行四边形证明题 由条件可知，这是通过三角形的中位线定理来判断fg平行da，同理he平行da，ge平行cb，fh平行cb!~ 我这一化解，楼主应该明白了吧!~ 希望楼主采纳，谢谢~!不懂再问!!! 此题关键就是对于三角形的中位线定理熟不!~!~· 已知：f，g是△cda的中点，所以fg是△cda的中位线，所以fg 平行da 同理he是△bad的中位线，所以he平行da，所以fg平行he 平行四边形专项练习题 一．选择题( 共12小题) 1．在下列条件中, 能够判定一个四边形是平行四边形的是( ) A．一组对边平行, 另一组对边相等 B．一组对边相等, 一组对角相等 C．一组对边平行, 一条对角线平分另一条对角线 D．一组对边相等, 一条对角线平分另一条对角线 2．设四边形的内角和等于a, 五边形的外角和等于b, 则a与b的关系是( ) A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°3．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形, 相邻纸片之间互不重叠也无缝隙, 其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1, 另两张直角三角形纸片的面积都为S2, 中间一张正方形纸片的面积为S3, 则这个平行四边形的面积一定能够表示为( ) A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3 4．在?ABCD中, AB=3, BC=4, 当?ABCD的面积最大时, 下列结论正确的有( ) ①AC=5; ②∠A+∠C=180°; ③AC⊥BD; ④AC=BD． A．①②③B．①②④C．②③④ D．①③④ 5．如图, 在?ABCD中, AB=6, BC=8, ∠C的平分线交AD于E, 交BA的延 长线于F, 则AE+AF的值等于( ) A．2 B．3 C．4 D．6 6．如图, 在?ABCD中, BF平分∠ABC, 交AD于点F, CE平分∠BCD, 交AD于点E, AB=6, EF=2, 则BC长为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 7．如图, 在?ABCD中, AB=12, AD=8, ∠ABC的平分线交CD于点F, 交AD 的延长线于点E, CG⊥BE, 垂足为G, 若EF=2, 则线段CG的长为( ) A． B．4 C．2 D． 8．如图, 在?ABCD中, AB＞AD, 按以下步骤作图: 以点A为圆心, 小于AD的长为半径画弧, 分别交AB、 AD于点E、 F; 再分别以点E、 F为圆心, 大于EF的长为半径画弧, 两弧交于点G; 作射线AG交CD于点H, 则下列结论中不能由条件推理得出的是( ) A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH 第一讲：矩形、菱形训练学习（1）—2014年中考数学四边形专题 一、矩形的学习 例题1（2013浙江省绍兴，15，5分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在AC上的点B`处，又将△CEF沿EF折叠， 使点C落在直线EB`与AD的交点C`处.则BC∶AB的值为. 例题2.（2013安徽，14，5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S2=S3+S4②S2+S4= S1+ S3 ③若S3=2 S1，则S4=2 S2④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）. 相应练习一 1.（2013年吉林省，第22题、7分．）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC． （1）求证：△ADC △ECD； （2）若BD=CD,求证四边形ADCE是矩形． 2.(2013贵州六盘水，22，12分)如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F . （1）求证：△ABE ≌△FCE . （2）连接AC 、BF ，若∠AEC =2∠ABC ，求证：四边形ABFC 为矩形. 3.（2013湖南湘潭，19，6分）如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知m BC 2=, m CD 4.5=,?=∠30DCF ,请你计算车位所占的宽度EF 约为多少米？ 二、菱 形 的 学 习 例题3（2013深圳市 20 ，8分）如图7，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接AF 、CE ， （1）求证：四边形AFCE 为菱形； （2）设,,,AE a ED b DC c ===请写出一个a 、b 、c 三者之间的数量关系式 'A 第八部分图形与证明 知识点的把握 新的课程标准对图形与证明提出了如下要求： 1.了解证明的含义. (1)理解证明的必要性;(2)通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论;(3)结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立;(4)通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的;(5)通过实例，体会反证法的含义;(6)掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据. 2.掌握以下基本事实，作为证明的依据.(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;(2)两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行; (3)若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，则这两个三角形全等;(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等. 3.利用2中的基本事实证明下列命题. (1)平行线的性质定理(内错角相等、同旁内角互补)和判定定理(内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行);(2)三角形的内角和定理及推论(三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角);(3)直角三角形全等的判定定理;(4)角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点(内心);(5)垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心);(6)三角形中位线定理;(7)等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理;(8)平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理. 4.通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值. 命题方向 经过对近几年各地的中考试题来看，直接考查本章知识的试题约占10%，普遍由圆结合其他的知识点进行考查.在主客观题中均有出现，往往是综合运用方程、函数、三角形、相似形等知识解决与圆有关的中考压轴题.除了考查几何图形的性质和应用外，还常常与应用问题、实际问题结合，对学生的探究能力和创新思维能力进行综合考查. 纵观近三年的中考命题，可以预见：用几何图形的性质、判定考查学生的逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力、以及创新意识和实际能力.因此，考查分类讨论思想、数形结合思想以及运用观察、想象、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法. 考试重点 一、几何图形的性质定理、判定定理的应用 本考点为基本图形的性质定理和判定定理的应用，我们要明确的基础知识有：平行线的性质定理和判定定理、三角形的内角和定理及推论、直角三角形全等的判定定理、角平分线性质定理及逆定理、垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理. 中考过程中，几何证明是必考的范围.其中是以基本图形的性质和判定定理为主.结合各方面的知识点，考虑辅助线的做法，运用综合分析法来找出条件和结论之间的关系，提高学生的解题能力、分析能力、研究探索能力.对于几何证明的题目应首先从基本知识入手，关注辅助线的做法，总结方法，积累经验，在看图和识图方面不断创新，不断提高. 【例1】已知：如图8-1，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G. 1 / 1 经纬教育 平行四边形证明题 经典例题（附带详细答案） 1．如图，E F 、是平行四边形 ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥， 求证：AF CE =． 【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =， ACB CAD ∴∠=∠． 又BE DF ∥， BEC DFA ∴∠=∠， BEC DFA ∴△≌△， ∴CE AF = 2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ， ， 求四边形ABCD 的周长． 【答案】20、 解法一: ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即得是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 解法二: 3 ,6==AB BC AB CD ∥?=∠+∠180C B B D ∠=∠?=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=D C A B E F A D C B 连接 ∵ ∴ 又∵ ∴≌ ∴ ∴四边形的周长解法三: 连接 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 3.（在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C 的大小． 【关键词】多边形的内角和 【答案】设x A= ∠（度），则20 + = ∠x B，x C2 = ∠． 根据四边形内角和定理得，360 60 2 ) 20 (= + + + +x x x． 解得，70 = x． ∴? = ∠70 A，? = ∠90 B，? = ∠140 C． 4．（如图，E F ，是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF CE DF BE DF BE == ，，∥． AC AB CD ∥ DCA BAC∠ = ∠ B D A C CA ∠=∠= ， ABC △CDA △ 36 AB CD BC AD ==== ， ABCD18 3 2 6 2= ? + ? = BD AB CD ∥ CDB ABD∠ = ∠ ABC CDA ∠=∠ ADB CBD∠ = ∠ AD BC ABCD 36 AB CD BC AD ==== ， ABCD18 3 2 6 2= ? + ? = A D C B A D C B 1 / 1 一对一个性化辅导教案 平行四边形的性质与判定 平行四边形及其性质(一) 一、 教学目标： 1． 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 2． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、 重点、难点 1． 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 2． 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、 课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗 你能总结出平行四边形的定义吗 (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“ ”来表示． 如图，在四边形ABCD 中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD 是平行四边形．平行四边形ABCD 记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB ?50?360?360?180行 四边形的面积计算 六、随堂练习 1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC ，求各边的长 ③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长 2．如图，ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ． 3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是__ ___cm ． 七、课后练习 1．判断对错 （1）在ABCD 中，AC 交BD 于O ，则AO=OB=OC=OD ． （ ） （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ） （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ） （4）平行四边形是轴对称图形． （ ） 2．在 ABCD 中，AC ＝6、BD ＝4，则AB 的范围是_ ____ __． 3．在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ． 4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB ＝15cm ，AD ＝12cm ，AC ⊥BC ，求小路BC ，CD ，OC 的长，并算出绿地的面积． （一） 平行四边形的判定 一、教学目标： 1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 二、重点、难点 重点：平行四边形的判定方法及应用． 难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 四、课堂引入 1．欣赏图片、提出问题． 展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形你是怎样判断的 2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗 2019年中考数学四边形有关的计算与证明专题卷（含答案） 一、解答题（共12题） 1.在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解． 如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE． （1）求证：四边形EFGH为平行四边形； （2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长． 2.（已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF． 3.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE． 4.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》） 请根据该图完成这个推论的证明过程． 证明：S矩形NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC﹣（________+________）． 易知，S△ADC=S△ABC，________=________，________=________． 可得S矩形NFGD=S矩形EBMF． 5.如图，在?ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．（Ⅰ）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形； （Ⅱ）若菱形ABEF的周长为16，AE=4 ，求∠C的大小． 6.如图，菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）若∠EDF=50°，求∠BEF的度数． 7.如图，E是?ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F，若CD=6，求BF的 长． 8.如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证： AF=BE． 一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=?，对角线AC 平分BAD ∠. （1）如图1，若120DAB ∠=?，且90B ∠=?，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由. （2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=?”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由. （3）如图3，若90DAB ∠=?，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由. 【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB AC +=.理由 见解析. 【解析】 试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD= 12AC ，AB=1 2 AC 即可解决问题； （2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题； （3）结论：AD +AB ＝2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC ≌△BEC 即可解决问题； 试题解析：解：（1）AC=AD+AB ． 理由如下：如图1中， 在四边形ABCD 中，∠D+∠B=180°，∠B=90°， ∴∠D=90°， ∵∠DAB=120°，AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC=∠BAC=60°， ∵∠B=90°， ∴AB＝1 2 AC，同理AD＝ 1 2 AC． ∴AC=AD+AB． （2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E， ∵∠BAC=60°， ∴△AEC为等边三角形， ∴AC=AE=CE， ∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°， ∴∠DCB=60°， ∴∠DCA=∠BCE， ∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠D=∠CBE，∵CA=CE， ∴△DAC≌△BEC， ∴AD=BE， ∴AC=AD+AB． （3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下： 过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°， ∴DCB=90°， ∵∠ACE=90°， ∴∠DCA=∠BCE， 又∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB=45°， ∴∠E=45°． ∴AC=CE． 又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE， 特殊四边形的证明与计算 一. 一组对边平行+一组对角相等=平行四边形 1. 四边形ABCD 中，AB//CD,D B ∠=∠,BC=6,AB=3,求四边形ABCD 的周长。 二. 平行四边形的性质与判定的贡献 2.如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ，E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE=∠BAD ，AE∠AC (1)求证：四边形ABDE 是平行四边形； (2)如果DA 平分∠BDE ，AB=5，AD=6，求AC 的长。 3.已知：如图,D,E,F 分别是∠ABC 各边上的点,且DE∠AC,DF∠AB.延长FD 至点G ，使DG=FD ，连接AG. 求证：ED 和AG 互相平分。 三.菱形四边相等为全等提供了可能 4.如图1，菱形ABCD中，点E.F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF. (1)求证：CE=CF； (2)如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB. 四. 含60?的菱形与等边三角形结合在一起 5.(1)如图，菱形ABCD 中，? =∠60C ，O 为BD 的中点，点E 在AD 上，点F 在AB 的延长线上，且?=∠120EOF ，求证：AB BF AE 21=+. (2)如图，菱形ABCD 中，? =∠60C ，O 为BD 的中点，E ，F 分别在DA ，AB 的延长线上，?=∠120EOF ，试探究AE ，BF ，AB 之间的数量关系. 五. 从对称的角度考虑菱形问题。 6. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，点E. F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是 。 关于平行四边形的证明题例析 平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的证明与研究上有着广泛的应用．例1如图所示．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分． 分析只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手． 证明因为ABCD是平行四边形，所以 AD BC，AB CD，∠B=∠D． 又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而 AE=CF． 所以 Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以 △BEM≌△DFN(SAS)， ME=NF．① 又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以 △MAF≌△NCE(SAS)， 所以MF=NF．② 由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分． 例2如图所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF． 分析AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．这样，将AE“转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解． 证明作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而 △ABG≌△HBG(AAS)， 所以AB=HB．① 在△ABE及△HBE中， ∠ABE=∠CBE，BE=BE， 特殊四边形综合题 1．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP． （1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ （2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明； ，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y （3）在平移变换过程中，设y=S △OPB 的最大值． 2．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD） （1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G． ①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由． 3．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b． （1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值； （2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值； （3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由． 4．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变． （1）求证：=； （2）求证：AF⊥FM； （3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明． 5．如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°． （1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC； （2）当BE=2EC时，求的值； （3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n的值． 二、解答题重难点突破三角形、四边形的证明与计算题型四 有等腰三角形，通常作底边上的高、中线或顶角的平分线类型一 针对演练C，A交AC于点E，得△ABC，AB,BC=2,∠ABC=120°将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0<α<120°)中，1. 在△ABCAB=11111. F两点于D、分别交AC、BC 图②图① 第1题图DA的形状，并说明理由；）如图②，当α=30°时，试判断四边形BC（(1)证明：EA=FC;211. ED的长（3）在（2）的情况下，求 2的正方22的正方形ABCD与边长为连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2. （2015形AEFG按图①位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上. （1）小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由； （2）如图②，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你 帮他求出此时BE的长. 图①图②第2题图 3. 如图①，在△ABC中，D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE,BF相交于点M，连接DE,DF. 1 图①图②图③ 第3题图 （1）DE,DF的数量关系； （2）如图②，在△ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在△ABC的内部，且∠MBC=∠MAC.过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接DE,DF.求证：DE=DF； （3）如图③，若将上面（2）中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论. 【答案】 针对演练 1.（1）证明：∵AB=BC, ∴∠A＝∠C, ∵△ABC绕点B顺时针旋转角α得△ABC, 11∴∠ABE=∠CBF,∠C＝∠C ,AB=BC=AB=BC, 1111∴∠A＝∠C, 1在△ABE和△CBF中，12 C??A??1?BC?AB，?1?BFC?ABE???1(ASA), BF∴△ABE≌△C1, BF∴BE=, BF=BC-∴AB-BE1. FC即EA=1是菱形，理由如下：：四边形BCDA(2)解1，，∠ABC=120°旋转角α＝30°，+30°＝150°=∠ABC+α=120°∴∠ABC1, BC，AB=∵∠ABC=120°11＝30°=，(180°-120°)∴∠A＝∠C2＝180°，ABC+∠C=150°+30°∴∠11, =150°+30°=180°∠ABC+∠A1, AD∥BCAB∥CD, ∴11 BCDA是平行四边形，∴四边形1, AB=BC又∵1. 2019年中考数学专题4：四边形证明及计算压轴题 1．把一张矩形ABCD 纸片按如图方式折叠，使点A 与点E 重合，点C 与点F 重合（E 、F 两点均 在BD 上），折痕分别为BH 、DG 。 （1）求证：△BHE ≌△DGF ； （2）若AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，求线段FG 的长。 2．以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ． （1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当 四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）； （2）如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC =α（0°＜α＜90°）， ① 试用含α的代数式表示∠HAE ； ② 求证：HE =HG ； ③ 四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由． A B C D H E F G （第23题图2） E B F G D H A C （第23题图3） （第23题图1） A B C D H E F G 3．如图7，在一方形ABCD 中．E 为对角线AC 上一点，连接EB 、ED ， （1）求证：△BEC ≌△DEC ： （2）延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数． 4.直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，6AB AD ==，DE DC ⊥交AB 于E ，DF 平分∠EDC 交BC 于F ，连结EF ． （1）证明：EF CF =； （2）当tan ADE ∠= 3 1 时，求EF 的长． 5．两个大小相同且含 30角的三角板ABC 和DEC 如图①摆放，使直角顶点重合. 将图①中△DEC 绕点C 逆时针旋转 30得到图②，点F 、G 分别是CD 、DE 与AB 的交点，点H 是DE 与AC 的交点. （1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF 全等的三角形； （2）将图②中的△DEC 绕点C 逆时针旋转 45得△D 1E 1C ，点F 、G 、H 的对应点分别为 F 1、 G 1、 H 1 ，如图③.探究线段D 1F 1与AH 1之间的数量关系，并写出推理过程； （3）在（2）的条件下，若D 1E 1与CE 交于点I ，求证：G 1I =CI. D B C A E 图① D A 图② D A D 1 B C E F G H B C E F G 1 H 图③ H 1 E 1 I G F 1 1 / 1 初二数学平行四边形压轴：几何证明题 1.在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ． （1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明； （2）试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH 是菱形，并说明理由。 2.如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1． （1）线段A 1C 1的长度是 ，∠CBA 1的度数是 ． （2）连接CC 1，求证：四边形CBA 1C 1是平行四边形． 3. 如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q. （1）求证：OP=OQ ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形． 4.已知：如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC. ⑴求证：BE =DG ； ⑵若∠B =60?，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论. 5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC ＝AD ； （2）AB ＝BC ＋AD ． 6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE. （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. B F C G D H B A 1 C 1A C A D G C B F E A Q C D P B O A B E D A D E F C B四边形的证明和计算
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