数形结合的几个经典题教学资料
数形结合的几个经典
题
数形结合
1.如图1，大长方形的面积从整体看为S=m（a+b+c），
同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成：S＝S1+S2+S3＝
ma+mb+mc；
于是有m（a+b+c）＝ma+mb+mc。。
2.如图2，大长方形的面积从整体可以表示成（a+b）（m+n），
同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成S＝S1+S2+S3+S4＝
ma+mb+na+nb；
于是有（a+b）（m+n）＝ma+mb+na+nb.
。
3.如图3，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；
若把小长方形S4旋转到小长方形S3的位置，
则此时的阴影部分的面积又可以看成S1+S2+ S3＝(a+b)(a－b)。
于是有(a+b)(a－b)＝a2－b2。
4.如图4：将边长为b的小正方形放到边长为a的正方形的一角，
空白部分的面积从整体计算为a2－b2；
而如果从局部考虑，其面积可以看作为两个梯形S1+S2之和，
其面积为()()()()
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
+
+
-
+
。
于是有(a+b)(a－b)＝a2－b2。
5.如图5，大正方形的面积从整体可以表示为(a+b)2，
从局部可以表示为也可以表示为S＝S1+ S2+ S3+S4，
同时S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2，
于是有(a+b)2＝a2+2ab+b2。
6.如图6，从整体看，这个图形的面积为（a+b）（a+2b），
从局部我们可以看出，它分为6部分，这6部分的面积之和为a2+3ab+2b2，
所以（a+b）（a+2b）= a2+3ab+2b2。
数形结合例题
例1在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a-b）2=a2-2ab+b2
C．a2-b2=（a+b）（a-b）D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2
析解：图1的阴影部分面积等于边长为a的正方形面积与边长为b的正方形的面积差，表示为a2-b2．图2中阴影部分是长方形，其中长为a+b，宽为a-b，其面积为（a+b）（a-b）．根据两个图形中阴影部分的面积相等，有a2-b2=（a+b）（a-b）．故选C．
例2如图3是四张全等的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式________．
数形结合例题选集
数形结合 一、在一些命题证明中的应用举例： 1、证明勾股定理： 2222 c b a b a 0.5ab 4=+=-+?）（）（ 解析：上图中，四个小三角形（阴影部分）的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，化简后得到勾股定理222c b a =+。 2、证明乘法公式（平方差与完全平方）： ））（（b a b a b a 22-+=- 2ab b a b a 222 ++=+）（ 解析：在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化，能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。 3、证明基本不等式：
解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为 2 b a +，根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为a b ，显然在直角三角形中，斜边上的中线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。 4、证明正（余）弦定理： 解析： （1）如上图所示，csinB bsinC bsinC a 2 1 h a 21S ABC =??=?= ?的面积； 即sinC c sinB b sinA a sinC c sinB b ===，同理可得； 根据圆的性质（等弧对等角）2R sinA a 2R a sinD sinA D A ===∠=∠，即，； 综上，得正弦定理：2R sinC c sinB b sinA a ===。 （2）根据勾股定理2 2222222cosB c a b cosB c c CE AC BE AB ）（）（，即?--=?--=-； 整理可得余弦定理：2ac b c a cosB 2 22-+=；同理得出cosA 、cosC 的余弦定理。 5、证明结论），（，2 0x sinx x x tan π ∈>>
数形结合找规律试题集锦
4=1+3 9=3+6 16=6+10 图7 … 数形结合找规律试题集锦 1 如图所示，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律____________________。 2古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而 把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ） A ．13 = 3+10 B ．25 = 9+16 C ．36 = 15+21 D ．49 = 18+31 3 如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四 边形共有_______个． 4 (08河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图5-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图5-2，图5-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ） A ．上 B ．下 C ．左 D ．右 第（4）题 图5-1 图5-2 图5-3 …
5 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的 圆共有个. 6把长方形的纸条对折一次可得1条折痕，对折两次可得3条折痕，那么对折6次可得条折痕。对折n次可得条折痕。 7如图第二个三角形是由第一个三角形连接三边的中点而得到的，猜想第四个图形中有个三角形，………，第n个图形共有个三角形 （1 ）（ 2 ）（ 3 ）这n个图形共有个三角形。 8 一块正方形的地板，由相同的小正方形瓷砖铺满，若地板对角线上的瓷砖是黑色的，其余瓷砖是白色的，如果用了黑色瓷砖101块，那么白色瓷砖的总数是 块。 9 （2008年山东省临沂市）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1 ，再以等腰直角三角形ABA 1 的斜边为直角边向外作第3个等 腰直角三角形A 1 BB 1 ，……，如此作下去，若OA＝OB＝1，则第n个等腰直角三角形 的面积S n ＝________。 B1 B2 A1 A O B
数形结合的几个经典题
数形结合 1. 如图 1，大长方形的面积从整体看为 S=m （a +b +c ）， 同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成： S ＝ S 1+S 2+S 3＝ ma +mb +mc ； 于是有 m （ a +b +c ）＝ m a +m b +m c 。 。 2. 如图 2，大长方形的面积从整体可以表示成（ a+b ）（m+n ）， 同 时 这 个 大 长 方 形 的 面 积 也 可 以 从 局 部 表 示 成 S ＝ S 1+S 2+S 3+S 4 ＝ ma +mb +na +nb ； 于是有 （ a + b ）（ m+n ）＝ ma +mb +na +nb . 。 3. 如图 3，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面 2 2 积，即 a － b ； 若把小长方形 S 4 旋转到小长方形 S 3 的位置， 则此时的阴影部分的面积又可以看成 S 1+S 2+ S 3＝ ( a +b )( a －b ) 。 2 2 于是有 ( a +b )( a －b ) ＝a －b 。 4. 如图 4：将边长为 b 的小正方形放到边长为 a 的正方形的一角， 2 2 空白部分的面积从整体计算为 a － b ； 其面积为 而如果从局部考虑，其面积可以看作为两个梯形 S 1+S 2 之和， b) 。 2 2 于是有 ( a +b )( a －b ) ＝a －b 。 5. 如图 5，大正方形的面积从整体可以表示为 ( a +b ) 2 ， 从局部可以表示为也可以表示为 S ＝ S 1 + S 2+ S 3 +S 4， 2 2 2 2 同时 S ＝ a +ab +ab +b ＝a +2ab +b ， a b a 2 b a b a 2 b (a b )( a
数形结合的几个经典题
数形结合 1.如图1，大长方形的面积从整体看为 S=m (a +b +c ), 同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成： S = S +S+S 3= ma^mk +mc 于是有 m (a +b +c )= mahmb +mc 。 2. 如图2，大长方形的面积从整体可以表示成( 同 时这个大长方形的面积也可以从局部表示成 于是有( a+b ) ( m+n = m3+mt+na +nb . 3. 如图3,阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积， 若把小长方形S 4旋转到小长方形S 3的位置， 则此时的阴影部分的面积又可以看成 S +S 2+S 3= ( a +b )( a - b ) o 于是有 (a +b )( a -b ) = a 2 -b 2 。 4. 如图4 :将边长为b 的小正方形放到边长为 a 的正方形的一角, 空白部分的面积从整体计算为 a 2- b 2； 而如果从局部考虑，其面积可以看作为两个梯形 [1 Sk Si S, Sa a+b ) (m+n , S = S +S 2+S 3+S = 即 a 2- b 2 ； S 1+S 2之和,
2 2 2 2 于是有 (a +b )( a — b ) = a — b 。 5. 如图5，大正方形的面积从整体可以表示为 (a +b )2 , 从局部可以表示为也可以表示为 S = S + S 2+ S 3+S 4, 同时 S = a 2 +ab +ab +b 2 = a 2 +2ab +b 2 , 于是有(a +b ) 2 = a 2 +2ab +b 2 。 6. 如图6，从整体看，这个图形的面积为 从局部我们可以看出，它分为 6部分， 2 2 所以(a+b ) ( a+2b ) = a +3ab+2b 。 数形结合例题 例1在边长为a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形(a >b )(如图1)，把余下的部分 拼成一个长方形(如图 2)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( ) A. (a +b ) 2= a 2+2ab +b 2 B . (a -b ) 2 =a 2 -2ab +b 2 C. a 2-b 2= (a +b ) (a -b ) D (a +2b ) (a -b ) =a 2 +ab-2 b 2 析解：图1的阴影部分面积等于边长为 a 的正方形面积与边长为 b 的正方形的面积差， 表示为a 2 -b 2 .图2中阴影部分是长方形，其中长为a +b ，宽为a - b ，其面积为(a +b ) (a -b ).根 据两 个图形中阴影部分的面积相等，有 a 2- b 2= (I a b a b 1\ -k 1 ■ ■ ■ b 图1 E2 例2如图3是四张全等的长方形纸片拼成的图形， 请利用图中空白部分面积的不同表 其面积为 a b a b a b a b (a b)(a b)。 ( a+b ) ( a+2b ), 这6部分的面积之和为 a 2 +3ab+2b 2 . Si Sj s, 隔 (a +b ) (a -b ).故选 C. b 阎5 b b
高中数学数形结合思想经典例题(含解析)
高中数学数形结合思想经典例题 一、选择题 1．已知函数f (x )＝???? ?3x ，x≤0，log 2 x ，x>0，下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )为奇函数 B ．f (f (14))＝1 9 C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称 D ．函数f (x )在R 上是增函数 2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1) 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )
4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ） x <0的解集为( ) A ．(－2，0)∩(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0，2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－2，0)∪(0，2) 5．实数x ，y 满足不等式组???? ?x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( ) A.215 5 B ．21 C ．20 D ．25 6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，1 2) B ．(1 2，1) C ．(1，2) D ．(2，＋∞) 7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋y x ＋y 的最小值为( ) A.53 B ．2 C.35 D.12 8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0 经典例题 类型一．有关概念的识别 1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个 数有（） A、1 B、2 C、3 D、4 解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数 故选C 举一反三： 【变式1】下列说法中正确的是（） A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数 【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念， ∵=9，9的平方根是±3，∴A正确． ∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确． 【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（） A、1 B、1.4 C、 D、 【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C． 【变式3】 【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10 因此3π-9＞0，3π-10＜0 ∴ 类型二．计算类型题 2．设，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 解析：（估算）因为，所以选B 举一反三： 【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________. 3） ___________，___________，___________. 【答案】1）；.2）-3. 3），， 【变式2】求下列各式中的 （1）（2）（3） 【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4 类型三．数形结合 3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______ 解析：在数轴上找到A、B两点， 举一反三： 【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C 表示的数是（）． A．－1 B．1－C．2－D．－2 【答案】选C [变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示： 化简 【答案】： 类型四．实数绝对值的应用 数形结合例题分析 实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()x y -+-=21422 一、联想图形的交点 例1. 已知，则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个 分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画y a y x x a ==|||log |出两个函数图象，易知 两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B ）。 例2. 解不等式x x +>2 令，，则不等式的解，就是使的图象 y x y x x x y x 121222= +=+>=+ 在的上方的那段对应的横坐标， y x 2=如下图，不等式的解集为{|} x x x x A B ≤<而可由，解得，，， x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22 练习：设定义域为R 函数?? ?=≠-=1 01 1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解 的充要条件是（ ） 0,0. 0,0. 0,0. 0,0.=≥=<<>> 数形结合思想 、数学结合思想 所谓的数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相 互转化来解决数学问题的思想。 数学结合思想的应用包括以下几个方面： (1)“以形助数”把，某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维有形象思维， 提示数学问题的本质； (2)“以数助形”，把直观图形数量化，使形更加精确。 二、运用数形结合需要熟练掌握“数”、“形”及其相互转化： 1．“数”：主要是指数和数量关系。 中学阶段的“数”有以下几类： (1)复数；(2)代数式；(3)函数；(4)不等式；(5)方程；(6)向量。 2．“形”：主要是指图形，有点、线、面、体等。 中学阶段的“形”有以下几类： (1)数轴；(2)Venn 图；(3)函数图象；( 4)单位圆；(5)方程的曲线；(6)平面几 何的图形；(7)立体几何图形；(8)可行域； 三、数形结合思想应用的关键： 1 ．由“数”联想到“；形2”．由“图”想“。数” 四、数形结合思想解决的问题类型： 1．运用数轴、Venn 图解决不等(组)的解集、 集合的运算问题； 2．运用平面直角坐标系和函数的图象解决 函数问题、不等式问题、方程问题; 3.三角函数与解三角形问题; 4 .立体几何问题; 5.可行域求最优解问题; 6.数列问题; 7 .方程曲线与曲线方程等解析几何问题; 8.复数冋题。 数形结合思想的典型试题 以形助数探索解题思路 sin7ix(0 < X < 1) 例6 :(改编题)已知函数f(x)斗' '，若a,b,c 互不相等,且 Iog 2011 x(x >1) f (a) = f (b) = f (c)，则 a +b +c 的取值范围是(C ) 例7 .设0 数形结合思想例题分析 一、构造几何图形解决代数与三角问题： 1、证明恒等式： 例1 已知x 、y 、z 、r 均为正数，且 222,x y z +=222z x r x ?-= 求证：.rz xy = 分析：由222,x y z +=自然联想到勾股定理。由 222.z x r x ?-=可以联想到射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。对照图形，由直角三角形面积的两种 算法，结论的正确性一目了然。 证明：（略） 小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。 2、证明不等式： 例2 已知：0＜a ＜1，0＜b ＜1. 求证 22222222(1)(1)(1)(1)2 2.a b a b a b a b ++-+++-+-+-≥ 证明：如图，作边长为1的正方形ABCD ，在AB 上取点E ，使AE= a ；在AD 上取点G ，使AG= b ， 过E 、G 分别作EF//AD 交CD 于F ；作GH//AB 交BC 于H 。设EF 与GH 交于点O ，连接AO 、BO 、CO 、DO 、AC 、BD. 由题设及作图知△ AOG 、△BOE 、△COF 、△DOG 均为直角三角形，因此 22 OA a b =+ 22 (1)OB a b =-+ 22(1)(1)OC a b =-+- 22 (1)OD a b =+- 且 2AC BD == 由于 ,.OA OC AC OB OD BD +≥+≥ 所以： B A C x y z r y=1 x y 22222222(1)(1)(1)(1)2 2.a b a b a b a b ++-+++-+-+-≥ 当且仅当1 2 a b ==时，等号成立。 小结：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。 3、求参数的值或参数的取值范围： 例3 若方程 2 210ax x -+= （a ＞0）的两根满足：1x ＜1，1＜2x ＜3，求a 的取值范围。 解析：画出与方程对应的二次函数 2 21y ax x =-+ （a ＞0）的草图： 0123 x y 0123 x y 由图可知：当 x =1时，y ＜0； 当x =3时，y ＞0. 即 2 1 211a ?-?+＜0 ； 23231a ?-?+＞0. 解得：5 9 ＜a ＜1. 例4 若关于x 的不等式2021x mx ≤ ++≤ 的解集仅有一个元素，求m 的值。 解：如图：在同一坐标系内，作出1y =与 2 2y x mx =++的图象。题设条件等价于抛物线 22y x mx =++在直线0y =与 1y =之间的带状区域仅有一个交点，且抛物线开口向上。由图形的直观 性质可知：这个交点只能在直线 1 y =上，故方程组 212y y x mx =? ?=++? 仅有一组解。 数形结合 一、在一些命题证明中的应用举例: 1、证明勾股定理: 2222c b a b a 0.5ab 4=+=-+?）（）（ 解析:上图中,四个小三角形(阴影部分)的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积,化简后得到勾股定理222c b a =+。 2、证明乘法公式(平方差与完全平方): ））（（b a b a b a 22-+=- 2ab b a b a 222++=+）（ 解析:在上图中,利用正方形与小正方形面积的转化,能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。 3、证明基本不等式: 解析:如上图所示,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,长度为2b a +,根据直角三角形的相似关系,可以得到直角三角形斜边上的高的长度为ab ,显然在直角三角形中,斜边上的中线的长度会大于等于高,利用这样简洁明了的几何图解,对基本不等式的理解也就更加简单了。 4、证明正(余)弦定理: 解析: (1)如上图所示,csinB bsinC bsinC a 2 1h a 21S ABC =??=?= ?的面积; 即sinC c sinB b sinA a sinC c sinB b ===，同理可得; 根据圆的性质(等弧对等角)2R sinA a 2R a sinD sinA D A ===∠=∠，即，; 综上,得正弦定理:2R sinC c sinB b sinA a ===。 (2)根据勾股定理22222222cosB c a b cosB c c CE AC BE AB ）（）（，即?--=?--=-; 整理可得余弦定理:2ac b c a cosB 2 22-+=;同理得出cosA 、cosC 的余弦定理。 5、证明结论），（，20x sinx x x tan π ∈>> 数形结合的思想方法(1)---讲解篇 一、知识要点概述 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 二、解题方法指导 1．转换数与形的三条途径： ①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 ②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平 面上两点间的距离等。 ③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。 2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法： ①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何 图形内在的属性。 ②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关 系，提示出数与式的本质特征。 ③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式 的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。 三、数形结合的思想方法的应用 (一)解析几何中的数形结合 解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的. 1. 与斜率有关的问题 【例1】已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶x+my+m=0与有向线段PQ延长相交，求实数m的取值范围. 用数形结合时应注意的几个问题（误区） “数形结合”它直观、形象，可避免烦琐的计算、证明等，获取出奇制胜的解法。然而，它并不是“万能”的。图形虽然直观、形象，但它是一个部分，而不是全部，甚是有些图形是有误差的，并不确凿，所以我们不能以点代面，不能简单地根据图形就获取答案。就是要用到图形，我们在作图时或画草图时也要注意一些细节，不能马虎应付。用数形结合时要注意以下这几个主要事项。 1精准作图，避免草率作图而导出的错误 在同一坐标系中作几个函数的图像来比较时，我们一定要注意函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”。因为我们画出的只是函数图像的一小部分，而不是全部。常言到“知人知面不知心”，同样的，我们从函数图像的部分而知道它的全部，在没画出来的部分图像是怎么样的呢？我们只有根据函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”来判断了。 2.注意转化过程要等价，避免定义域扩大或缩小 定义域是一个变量的最大范围，如果不注意转化过程是否是等价的过程，那么变量的定义域就有可能扩大或缩小了，这样，画出来的图像就会多出一部分或者少了一角，而根据这样有误差的图像，做出来的结果是会不确凿的,所以注意转化过程要等价是关键的。不论是否注意到转化过程要等价，我们最佳能做好一道题，就再用另外一种方法验证一下所得 到的答案是否确凿，这样才会有信心地保证做完一题就一定正确。 3注意图形的存在合理性，不可“无中生有” 4注意仔细观察图像，避免漏掉了一些可能的情形 5用数形结合解题尤其在证明问题时要避免逻辑循环“形”并不能作为证明的依据，遇到证明题时，在几何直观分析的同时，还要进行代数抽象的探索，并用严格的数学语言写出证明过程的理论依据，这样才算做好证明题。应用数形结合时，“形”只是一种手段，一个工具，而不是理论依据。不论是怎么样的题目，“形”只是我们思考问题的种方式，为解题提供一些帮助，但我们都要写出 1/ 2 数形结合规律题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 4=1+3 9=3+6 图7 … 1 如图所示，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律____________________。 2古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为三角形数，而把1、4、9、16 … 这样的数称为正方形数． 从图7中可以发现，任何一个大于1 的正方形数都可以看作两个相邻 三角形数之和．下列等式中，符 合这一规律的是 A ．13 = 3+10 B ．25 = 9+16 C ．36 = 15+21 D ．49 = 18+31 3 如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四边形共有_______个． 数形结合找规律试题集锦 1 如图所示，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律____________________。 2古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而 把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ） A ．13 = 3+10 B ．25 = 9+16 C ．36 = 15+21 D ．49 = 18+31 3 如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四 边形共有_______个． 4 (08河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图5-1．若将位于上下位置的两个字牌对调， 第（4） 函数类数形结合典型习题 1. 直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是_____________答案：514 a << 2.若直角坐标系平面内亮点P Q 、满足条件：①P Q 、都在函数()f x 的图像上；②P Q 、关于原点对称，则称点对(),P Q 是函数()f x 的一个“友好点对”（点对(),P Q 与点对(),Q P 看作同一个“友好点对”）.已知函数 ()2241,02,0x x x x f x x e ?++?若()4(0)f f -=，()22f -=-，则关于x 的方程为()f x x =的解的个数为（ ） 答案：C A.1 B.2 C.3 D.4 4.若0x 是方程1312x x ??= ??? 的根，则0x 属于区间 （ ） A.213?? ???， B.1223?? ???， C.1132?? ???， D.103?? ??? ， 5.已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ） A.()22+∞， B. ) 22?+∞? ， C.()3+∞， D.[)3+∞， 6.已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，2()log 2h x x =-的零点依次为,,a b c ，则（ ） A.a b c << B. c b a << C. c a b << D. b a c << 7、已知函数 2f (x )x 2x =+，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同的实数解，则b 、c 的大小关 系为 A 、b c > B 、b c ≥与b c ≤中至少有一个正确 C 、b c < D 、不能确定 8.已知函数()()210()1(0)x x f x f x x -?-≤?=?->??，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 ____________ 9.若1|lg |1 x x =+的两根为12,x x ，则 12.1A x x > 12.1B x x = 12.0C x x < 12.01D x x << 10、设定义域为R 的函数111 ()11x x f x x ?≠?-=???=，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的实数解1x 、 数形结合的几个经典 题 数形结合 1.如图1，大长方形的面积从整体看为S=m（a+b+c）， 同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成：S＝S1+S2+S3＝ ma+mb+mc； 于是有m（a+b+c）＝ma+mb+mc。。 2.如图2，大长方形的面积从整体可以表示成（a+b）（m+n）， 同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成S＝S1+S2+S3+S4＝ ma+mb+na+nb； 于是有（a+b）（m+n）＝ma+mb+na+nb. 。 3.如图3，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2； 若把小长方形S4旋转到小长方形S3的位置， 则此时的阴影部分的面积又可以看成S1+S2+ S3＝(a+b)(a－b)。 于是有(a+b)(a－b)＝a2－b2。 4.如图4：将边长为b的小正方形放到边长为a的正方形的一角， 空白部分的面积从整体计算为a2－b2； 而如果从局部考虑，其面积可以看作为两个梯形S1+S2之和， 其面积为()()()() ) )( ( 2 2 b a b a b a b a b a b a - + = - + + - + 。 于是有(a+b)(a－b)＝a2－b2。 5.如图5，大正方形的面积从整体可以表示为(a+b)2， 从局部可以表示为也可以表示为S＝S1+ S2+ S3+S4， 同时S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2， 于是有(a+b)2＝a2+2ab+b2。 6.如图6，从整体看，这个图形的面积为（a+b）（a+2b）， 从局部我们可以看出，它分为6部分，这6部分的面积之和为a2+3ab+2b2， 所以（a+b）（a+2b）= a2+3ab+2b2。 数 、 形 构造几何图形 结 彳解决代数合 思 刁三角问题： 想 例 题 分 析 1、证明恒等式： 2 2 x y 2 z , z 例1 已知 x 、 y 、z 、 r 均为正数，且 Vx 2 2 2 r x 求证：rz xy. （ 、 \ \x 2 2 2 分 析 : 由 r A B x y z , 自然联想到勾股定 理 。 由 z z Jx 2 2 r 2 x .可以联想到 射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图） 。对照图形，由直角三角形面积的两 种算法，结论的正确性一目了然。 证明：（略） 小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆, 然后利用图形的几何性 质去解决恒等式的证明问题。 2、证明不等式： 例2 已知：O v a v 1, O v b v 1. 求证 证明：如图，作边长为 1的正方形ABCD 在AB 上取点E ,使AE= a ；在AD 上取点G,使AG= b , 过E 、G 分 别作 EF//AD 交CD 于F ;作GH//AB 交BC 于H 。设EF 与GH 交于点 O,连接AO BO CO DO AC BD. 由题设及作图知厶 AOG 、△ BOE 、△ COF 、△ DOG 均为直角三角形，因此 且 AC BD .2 由于 OA OC AC,OB OD BD.所以： .1 当且仅当 a b 2时，等号成立。 小结：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平 面几何的定理、公 理去建立不等式使结论获证。 3 、求参数的值或参数的取值范围： 2 例3若方程 ax 2x 1 0 （ a > o ）的两根满足：x 1 v 1，1v x 2 < 3,求a 的取值 范围。 2 解析：画出与方程对应的二次函数 y ax 2x 1 （ a >0）的草图： 由图可知：当x =1时，y v 0；当x =3 时， y >0. 即 a 1 2 2 11 v 0 ； a 32 2 3 1 > 0. 数形结合找规律试题集锦 Prepared on 22 November 2020 4=1+3 9=3+6 16=6+10 图7 … 数形结合找规律试题集锦 1 如图所示，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律____________________。 2古希腊着名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、 4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ） A ．13 = 3+10 B ．25 = 9+16 C ．36 = 15+21 D ．49 = 18+31 3 如图，是由12共有_______个． 4 (08河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图5-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图5-2，图5-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ） 第（4）题 众 成 志 第1次变城 成 第2次变 A．上B．下C．左D．右 5 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图 ③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有个. 6把长方形的纸条对折一次可得1条折痕，对折两次可得3条折痕，那么对折6次可得条折痕。对折n次可得条折痕。 7如图第二个三角形是由第一个三角形连接三边的中点而得到的，猜想第四个图形中有个三角形，………，第n个图形共有个三角形 （ 1 ）（ 2 ）（ 3 ） 这n个图形共有个三角形。 8 一块正方形的地板，由相同的小正方形瓷砖铺满，若地板对角线上的瓷砖是黑色的，其余瓷砖是白色的，如果用了黑色瓷砖101块，那么白色瓷砖的总数是块。 数形结合 1.如图1，大长方形的面积从整体看为S=m（a+b+c）， 同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成：S＝S1+S2+S3＝ma+mb+mc； 于是有m（a+b+c）＝ma+mb+mc。。 2.如图2，大长方形的面积从整体可以表示成（a+b）（m+n）， 同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成S＝S1+S2+S3+S4＝ma+mb+na+nb； 于是有（a+b）（m+n）＝ma+mb+na+nb. 。 3.如图3，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2； 若把小长方形S4旋转到小长方形S3的位置， 则此时的阴影部分的面积又可以看成S1+S2+ S3＝(a+b)(a－b)。 于是有(a+b)(a－b)＝a2－b2。 4.如图4：将边长为b的小正方形放到边长为a的正方形的一角， 空白部分的面积从整体计算为a2－b2； 而如果从局部考虑，其面积可以看作为两个梯形S1+S2之和， 其面积为()()()() ) )( ( 2 2 b a b a b a b a b a b a - + = - + + - + 。 于是有(a+b)(a－b)＝a2－b2。 5.如图5，大正方形的面积从整体可以表示为(a+b)2， 从局部可以表示为也可以表示为S＝S1+ S2+ S3+S4， 同时S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2， 于是有(a+b)2＝a2+2ab+b2。 6.如图6，从整体看，这个图形的面积为（a+b）（a+2b）， 从局部我们可以看出，它分为6部分，这6部分的面积之和为a2+3ab+2b2， 所以（a+b）（a+2b）= a2+3ab+2b2。 数形结合例题 例1在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a-b）2=a2-2ab+b2 C．a2-b2=（a+b）（a-b）D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2 析解：图1的阴影部分面积等于边长为a的正方形面积与边长为b的正方形的面积差，表示为a2-b2．图2中阴影部分是长方形，其中长为a+b，宽为a-b，其面积为（a+b）（a-b）．根据两个图形中阴影部分的面积相等，有a2-b2=（a+b）（a-b）．故选C． 例2如图3是四张全等的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式________． 析解：空白部分的面积可看成是一个正方形，它的边长为a-b，所以面积为（a-b）2；空白部分面积又可看成大正方形面积与四个长方形面积的差，大正方形的面积为（a+b）2， 4=1+3 9=3+6 16=6+10 图7 … 数形结合找规律试题集锦 1 如图所示，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律____________________。 2古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ） A ．13 = 3+10 B ．25 = 9+16 C ．36 = 15+21 D ．49 = 18+31 3 如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四边形共有_______个． 4 (08河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图5-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90o ，则完成一次变换．图5-2，图5-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ） A ．上 B ．下 C ．左 D ．右 5 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形第（4）题 众 志 成 城 图5-1 成 城 众 志 图5-2 志 成 城 众 城 众 志 成 图5-3 成 城 众 志 … 图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有个. 6把长方形的纸条对折一次可得1条折痕，对折两次可得3条折痕，那么对折6次可得条折痕。对折n次可得条折痕。 7如图第二个三角形是由第一个三角形连接三边的中点而得到的，猜想第四个图形中有个三角形，………，第n个图形共有个三角形 （1 ）（ 2 ）（ 3 ） 这n个图形共有个三角形。 8 一块正方形的地板，由相同的小正方形瓷砖铺满，若地板对角线上的瓷砖是黑色的，其余瓷砖是白色的，如果用了黑色瓷砖101块，那么白色瓷砖的总数是 块。 9 （2008年山东省临沂市）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰 直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角 形A 1BB 1 ，……，如此作下去，若OA＝OB＝1，则第n个等腰直角三角形的面积S n ＝________。 B1 B2 A1 A O B 10 如图所示,图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2),(3)是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续叠放下去,?至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数应是 ( ) A 25 B 66 C 91 D 120(最新最全)实数经典例题+习题(全word已整理)
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