平行四边形矩形菱形经典例题(8套)

经典例题（附带详细答案）

1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．

【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =， ACB CAD ∴∠=∠． 又BE DF ∥，

BEC DFA ∴∠=∠， BEC DFA ∴△≌△， ∴CE AF =

2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，，

求四边形ABCD 的周长． 【

【答案】20、

解法一: ∵

∴ 又∵

∴

∴∥即得是平行四边形 ∴

∴四边形的周长 解法二:

连接

3 ,6==AB BC AB CD ∥?=∠+∠180C B B D ∠=∠?=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=AC A

D C

B

A

D C

B

D

C

A

B

E

F

∵

∴

又∵ ∴≌

∴

∴四边形的周长 解法三:

连接

∵

∴

又∵ ∴

∴∥即是平行四边形 ∴

∴四边形的周长

3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，

∠C 的大小．

【关键词】多边形的内角和 【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠．

根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ． 解得，70=x ．

∴?=∠70A ，?=∠90B ，?=∠140C ．

4．（如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△． （2）四边形ABCD 是平行四边形．

【关键词】平行四边形的性质,判定

【答案】证明：（1）DF BE Q ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=Q °，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又AF CE DF BE ==Q ，，

AFD CEB ∴△≌△(SAS)．

AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=A

B

D

E

F

C

A

D C

B

（2）由（1）知AFD CEB △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =. （1）求EC ∶CF 的值；

（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；

（3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

【关键词】平行四边形的判定

【答案】解：（1）AE EF ⊥Q 2390∴∠+∠=°

Q 四边形ABCD 为正方形

90B C ∴∠=∠=° 1390∴∠+∠=° 12∠=∠

90DAM ABE DA AB ∠=∠==Q °， DAM ABE ∴△≌△ DM AE ∴= AE EP =Q DM PE ∴=

∴四边形DMEP 是平行四边形．

解法②：在AB 边上存在一点M ，使四边形DMEP 是平行四边形 证明：在AB 边上取一点M ，使AM BE =，连接ME 、MD 、DP ． 90AD BA DAM ABE =∠=∠=，° Rt Rt DAM ABE ∴△≌△ 14DM AE ∴=∠=∠， 1590∠+∠=Q ° 4590∴∠+∠=° AE DM ∴⊥ AE EP ⊥Q

A

D

C

B

E

B

C

E D

A

F P F

DM EP ∴⊥

∴四边形DMEP 为平行四边形

6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点。 证明：四边形DECF 是平行四边形。

【关键词】平行四边形的判定

【答案】∵D.E 、F 分别为AB.BC.CA 的中点， ∴DF ∥BC ，DE ∥AC ，

∴四边形DECF 是平行四边形.

7．（2009年包头）已知二次函数2

y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，

(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．

【关键词】二次函数、相似三角形、运动变化、抛物线

B C

E D

A F

P

5

4

1

M

解：（1）根据题意，得04202.a b c a b c c ++=??

++=??=-?

，，

解得132a b c =-==-，，．

232y x x ∴=-+-．

（2）当EDB AOC △∽△时，

得

AO CO ED BD =或AO CO

BD ED =

， ∵122AO CO BD m ===-，，， 当AO CO ED BD =时，得122

ED m =-， ∴2

2

m ED -=，

∵点E 在第四象限，∴122m E m -??

???

，． 当

AO CO BD ED =时，得12

2m ED

=

-，∴24ED m =-， ∵点E 在第四象限，∴2(42)E m m -，

． （3）假设抛物线上存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形，则 1EF AB ==，点F 的横坐标为1m -， 当点1E 的坐标为22m m -?? ???，

时，点1F 的坐标为212m m -?

?- ???

，，

∵点1F 在抛物线的图象上， ∴

22(1)3(1)22

m

m m -=--+--， ∴2

211140m m -+=，

∴(27)(2)0m m --=，

∴7

22

m m =

=，（舍去）

， ∴1532

4F ??- ???

，

， ∴33144

ABEF S =?

=Y ． 当点2E 的坐标为(42)m m -，时，点2F 的坐标为(142)m m --，， ∵点2F 在抛物线的图象上，

∴2

42(1)3(1)2m m m -=--+--， ∴27100m m -+=，

∴(2)(5)0m m --=，∴2m =（舍去），5m =，

∴2(46)F -，

， ∴166ABEF S =?=Y ．

注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．

8．（2009年莆田）已知：如图在ABCD Y

中，过对角线BD 的中点O 作直线EF 分别交DA

的延长线、AB 、DC 、BC 的延长线于点E 、M 、N 、F 。 （1）观察图形并找出一对全等三角形：△________≌△____________，请加以证明；

（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的

变换得到？

【关键词】四边形、全等三角形、变换 （1）DOE BOF ①△≌△；

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形

∴AD BC ∥

∴EDO FBO E F ∠=∠∠=∠， 又∵OD OB =

∴()DOE BOF AAS △≌△

BOM DON ②△≌△

E

B

M

O

D N

F

C

A E

B M O

D N

F C

A

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形

∴AB CD ∥

∴MBO NDO BMO DNO ∠=∠∠=∠， 又∵BO DO =

∴()BOM DON AAS △≌△

ABD CDB ③△≌△；

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形

∴AD CB AB CD ==，

又∵BD DB =

∴()ABD CDB SSS △≌△

（2）绕点O 旋转180°后得到或以点O 为中心作对称变换得到． 8分 9．(2009年温州)在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．

(1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．(注：图甲、图乙在答题纸上) 【关键词】平行四边形的性质，判定 【答案】解：（1）

（2）

10．（2009年中山）在ABCD Y

中，10AB =，AD m =，60D ∠=°， 以AB 为直径作O ⊙，

（1）求圆心O 到CD 的距离（用含m 的代数式来表示）； （2）当m 取何值时，CD 与O ⊙相切．

【关键词】利用平行四边形证明线段相等

【答案】（1）分别过A O ，两点作AE CD OF CD ⊥⊥，，垂足分别为点E ，点F ，

AE OF OF ∴∥，就是圆心O 到CD 的距离． Q 四边形ABCD 是平行四边形， AB CD AE OF ∴∴=∥，．

在Rt ADE △中，60sin sin 60AE AE

D D AD AD

∠=∠=

=

°，，°，

222

AE AE OF AE m m ====，，， 圆心到CD 的距离PF

． （2

）OF =

Q ， AB 为O ⊙的直径，且10AB =，

∴当5OF =时，CD 与O ⊙相切于F 点，

5m ==， ∴

当3

m =

时，CD 与O ⊙相切． 11．(2009年宁德市)（本题满分8分）如图：点A.D.B.E 在同一直线上，AD =BE ，AC =DF ，AC ∥DF ，请从图中找出一个与∠E 相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）

【关键词】平行四边形的判定

【答案】解法1：图中∠CBA ＝∠E

证明：∵AD ＝BE

∴AD ＋DB ＝BE ＋DB 即AB ＝DE ∵AC ∥DF ∴∠A ＝∠FDE 又∵AC ＝DF

∴△ABC ≌△DEF

∴∠CBA ＝∠E

解法2：图中∠FCB ＝∠E 证明：∵AC ＝DF ，AC ∥DF

∴四边形ADFC 是平行四边形 ∴CF ∥AD ，CF ＝AD

∵AD ＝BE ∴CF ＝BE ，CF ∥BE ∴四边形BEFC 是平行四边形 ∴∠FCB ＝∠E

12．（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE AB ∥？

（2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使2

25

PEQ BCD S S =△△？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．

（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．

A

F

E D C

B A F

E D C B

【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算 【答案】

解：（1）∵PE AB ∥

∴

DE DP

DA DB

=

． 而10DE t DP t ==-，， ∴10610t t -=， ∴154t =．

∴当15

(s)4

t PE AB =，∥．

（2）∵EF 平行且等于CD ， ∴四边形CDEF 是平行四边形．

∴DEQ C DQE BDC ∠=∠∠=∠，． ∵10BC BD ==，

∴DEQ C DQE BDC ∠=∠=∠=∠． ∴DEQ BCD △∽△．

∴

DE EQ

BC CD =

． 104

t EQ

=

． ∴2

5

EQ t =．

过B 作BM CD ⊥，交CD 于M ，过P 作PN EF ⊥，交EF 于N ．

BM ====

∵ED DQ BP t ===，

F

F

∴102PQ t =-． 又PNQ BMD △∽△，

PQ PN

BD BM

=

，

10210t -=，

15t PN ?=-??

211212255PEQ t S EQ PN t ?=

=??-=??

g △． （3

）1

1

42

2

BCD S CD BM ==??=g g △ 若2

25

PEQ BCD S S =△△，

则有22

25

+=? 解得121

4t t ==，． （4）在PDE △和FBP △中，

10DE BP t PD BF t PDE FBP PDE FBP ==?

?

==-???∠=∠?

，

，△≌△， ∴PDE PFCDE PFCD S S S =+△五边形四边形 FBP PFCD S S =+△四边形

BCD S ==△．

∴在运动过程中，五边形PFCDE 的面积不变．

13． (2009年达州)如图10，⊙O 的弦AD ∥BC,过点D 的切线交BC 的延长线于点E ，AC ∥DE 交BD 于点H ，DO 及延长线分别交AC.BC 于点G 、F.

(1)求证：DF 垂直平分AC ； （2）求证：FC ＝CE ；

（3）若弦AD ＝5㎝，AC ＝8㎝，求⊙O 的半径.

【关键词】圆,平行四边形,勾股定理

【答案】

（1）∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O

∴DF⊥DE

又∵AC∥DE

∴DF⊥AC

∴DF垂直平分AC

（2）由（1）知：AG=GC

又∵AD∥BC

∴∠DAG=∠FCG

又∵∠AGD=∠CGF

∴△AGD≌△CGF（ASA）

∴AD=FC

∵AD∥BC且AC∥DE

∴四边形ACED是平行四边形

∴AD=CE

∴FC=CE5分

（3）连结AO；∵AG=GC，AC=8cm，∴AG=4cm

在Rt△AGD中，由勾股定理得GD=AD2-AG2=52-42=3cm

设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3

在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2

有：r2=(r-3)2+42解得r=256

∴⊙O的半径为256cm.

经典例题（附带答案2）

例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？

分析根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数．

解设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得，解得，∴

∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°．

例2 已知：如图，的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长比的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长．

分析由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半＝30cm，又由的周长比的周长多8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长．

解∵四边形为平行四边形，∴

，∴

，∴

∴

答：这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm．

说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．

例 3 已知：如图，在中，交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由．

分析观察图形，，从而可说明

证明在中，交于O，∴