中考专题二次函数性质应用
二次函数性质应用（讲义）
一、知识点睛
1．图象平移解题思路
①口诀：_____________________；②_______________．
图象对称、旋转可转化为______________来处理．
2．方程的根可用__________求解，与两个函数图象的______相对应．
3．函数值的大小、最值、需结合______求解，常利用________．
4．a、b、c组合判断：
①判断a、b、c符号，对称轴，判别式等；
②找____________函数值；
③等式和不等式________．
二、精讲精练
1.把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得
图象的关系式为，则有（）
A．b=-10，c=24B．b=2，c=4
C．b=-10，c=28D．b=2，c=0
2.在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了
个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．6
3.在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将
所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）
A． B．
C． D．
4.如图，二次函数与反比例函数的图
象交于一点P，那么关于的方程的解为
_____________．若一元二次方程有实数根，则m的取值范围为__________．
5.已知二次函数的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，
0)两点，且，则实数x1，x2，m，n的大小关系为______________________．
6.已知函数，且使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值
为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
7.如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式
的解集是（）
A．
B．
C．
D．
8.已知二次函数，当自变量x取m时，对应的函数值大于0，当
自变量x分别取m-1、m+1时，对应的函数值分别为、，则、满足（）
A．， B．，
C．， D．，
9.函数（>0）的图象如图所示，如果
时，那么时，函数值（）
A．
B．
C．
D．
10.A、B、C是抛物线上的三点，则、、
的大小关系为（）
A．B．
C． D．
11.已知二次函数y=x2-4x-3，若，则y的取值范围是，若
-3≤x <4，则y的取值范围是，
若-2 12.已知二次函数，若时，函数值随的增大而增大， 则的取值范围是_____________，若x ≤1时，函数值随的增大而减小，则的取值范围是_______． 13.y=x2+(1-a)x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3 时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（） A．a=5 B．a ≥ 5 C．a=3 D．a ≥ 3 14.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0； ②2a-b=0；③b2-4ac＞0；④a-b+c<0； ⑤9a+3b+c>0；⑥8a+c＞0；⑦2c>3b；⑧a+b＜m(am+b)（m为实数，且m≠1）．其 中正确的是______________． 15.已知二次函数的图象与x轴交于(-2，0)、两点， 且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在的下方．有下列结论：①abc＜0； ②a+b+c＞0；③4a-2b+c=0；④a＜b＜0；⑤2a+c＞0；⑥2a-b+1＞0．其中正 确的是__________________． 16.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0； ②2a+b＜0；③a-b+c=2；④a+b＜m(am+b)（m为实数，且m≠1）；⑤(a+c)2 ＜b2；⑥b=1；⑦a＞1．其中正确的是_______________． 【参考答案】 一、知识点睛 1．左加右减，上加下减；点的坐标；点的坐标 2．数形结合；交点 3．图象；对称轴 4．特殊点；组合 二、精讲精练 1. B 2．B 3．C 4．； 5．6．C 7．D 8．B 9．C 10．A 11．；；12．； 13．B 14．①③④⑥⑧ 15．②③④⑤⑥16．①③⑦ 二次函数性质应用（随堂测试） 1．把抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的表达式为，则有（） A．b=2，c=6B．b=2，c=-6 C．b=-6，c=14D．b=-6，c=0 2．已知抛物线，当时，y的取值范围为___________. 3．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①； ②；③； ④；⑤；⑥（m为实数，且）．其 中正确的结论是. 【参考答案】 1．C 2．3．③④⑤⑥- 二次函数性质应用（作业） 1. 抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线平移得到，下列平移过程正确的是（） A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 2. 如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后， 其顶点在直线上的点A处，则平移后的抛物线解析式 是（） A．y=(x+1)2-1 B．y=(x+1)2+1 C．y=(x-1)2+1 D．y=(x-1)2-1 3. 将抛物线绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是 （） A． B． C． D． 4. 设一元二次方程的两根分别为、，且，则、 满足（） A． B． C． D．且 5. 坐标平面上，若移动二次函数y=2(x?175)(x?176)+6的图象，使其与x轴交于 两点，且此两点的距离为1个单位，则移动方式可为（） A．向上移动3个单位 B．向下移动3个单位 C．向上移动6个单位 D．向下移动6个单位 6. 二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，若 |ax2+bx+c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3 7. 如图，抛物线y=-x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点 A在点B的左侧．当x=x2-2时，y______0 （填“＞”、“=”或“＜”号）． 第7题图第8题图8. 如图，抛物线y=x2-2x+k（k＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0）， 其中x1＜0＜x2，当x=x1+2时，y_____0（填“＞”、“=”或“＜”号）．9. 若A（），B（），C（）为二次函数图象 上的三点，则，，的大小关系是（） A．B． C．D． 10. 已知二次函数，当≤3时，随的增大而减小，则的取 值范围是___________． 11. 已知二次函数y=-x2-4x-3，若-5≤x≤3，则y的取值范围是，若 -1≤x<2，则y的取值范围是， 若-6 12. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2-4ac>0；② 2a+b<0；③4a+2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3．其中正确的是____________． 第12题图第13题图 13. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（， 1），有下列结论：①abc＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确的是． 14. 小明从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面 六条结论：①b2-4ac<0；②； ③；④；⑤； ⑥a+3c<0．你认为其中正确的是． 【参考答案】 1．B 2．C 3．D 4．D 5．D 6．D 7．＜8．＜9．B 10．m≥3 11．；；12．①④ 13．①②③14．②③⑤⑥ 二次函数的实际应用 1. （2012重庆市10分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处 理，另一种是通过企业的自身设备进行处理. 某企业去年每月的污水量均为 12000吨，由于 污水厂处于调试阶段， 污水处理能力有限， 该企业投资自建设备处理污水， 两种处理方式同 时进行.1至6月，该企业向污水厂输送的污水量 y 1 （吨）与月份x （1 2021中考专题训练：二次函数的实际应用 一、选择题 1. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是() A．4米B．3米C．2米D．1米 2. 某企业生产季节性产品，当产品无利润时，企业自动停产，经过调研，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋12n－11，则企业停产的月份为() A．1月和11月B．1月、11月和12月 C．1月D．1月至11月 3. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连.最高的钢拱如图所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱的函数表达式为() A.y=x2 B.y=-x2 C.y=x2 D.y=-x2 4. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C=120°.若新建 墙BC 与CD 总长为12 m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是 ( ) A .18 m 2 B .18 m 2 C .24 m 2 D . m 2 5. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD ，其中∠C ＝120°.若新建 墙BC 与CD 的总长为12 m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是( ) A ．18 m 2 B ．18 3 m 2 C ．24 3 m 2 D.45 3 2 m 2 6. 如图，铅球运动员掷铅球的高度 y (m)与水平距离x (m)之间的函数解析式是y ＝－112x 2＋23x ＋5 3，则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A ．6 m B ．12 m C ．8 m D ．10 m 7. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不 同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB ＝90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为( ) A ．y ＝26 675x 2 B ．y ＝－26 675x 2 中考数学习题精选：一、选择题 1、（2018北京房山区第一学期检测）小明以二次函数 2 248 y x x =-+的图象为灵感为 “2017北京·房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿， 若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为 A．14 B．11 C．6 D． 3 答案：B 2、（2018北京怀柔区第一学期期末）网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB的高度）.中网比赛中，某运动员退出场地在距球网 14米的D点处接球，设计打出直线 ．．穿越球，使球落在对方底线上C处，用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为 A. 1.65米 B. 1.75米 C.1.85米 D. 1.95米 答案：D 3、（2018北京丰台区第一学期期末）在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG = 2BE. 如果 设BE的长为x（单位：m），绿地AEFG的面积为y（单位： m2），那么y与x的函数的表达式为；当 BE AEFG的面积最大. E D G F H A C B 第 6题图 C 答案：2 2864(08)y x x x =-++<<（可不化为一般式），2 4、（2018北京密云区初三（上）期末）学校组织“美丽校园我设计”活动.某同学打算利用学校文化墙的墙角建一个矩形植物园.其中矩形植物园的两邻边之和为4m ，设矩形的一边长为x m ，矩形的面积为y m 2.则函数y 的表达式为______________，该矩形植物园的最大面积是_______________ m 2. 答案：(4)y x x =- ，4 5、（2018北京顺义区初三上学期期末）如图，利用成直角的墙角（墙足够长），用10m 长的栅栏围成一个矩形的小花园，花园的面积S （m 2）与它一边长a （m ）的 函数关系式是 ，面积S 的最大值是 ． 答案：2 20S a a =-+ 6、（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面 的最大距离是5m ． （1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如下图）， 你选择的方案是_____(填方案一，方案二，或方案三)，则B 点坐标是______， 求出你所选方案中的抛物线的表达式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m ，求水面上涨的高度． 解：方案1：（1）点B 的坐标为（5,0） (1) 分 设抛物线的解析式为：(5)(5)y a x x =+-…………… 2分 由题意可以得到抛物线的顶点为（0,5），代入解析式可得：1 5 a =- y 方案 2 方案 3 方案 1 1某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表： 销售单价x（元/件）…55 60 70 75 … 一周的销售量y（件）…450 400 300 250 … （1）直接写出y与x的函数关系式： （2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大 （3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元 2为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式． （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大最大利润是多少元 （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150 元的销售利润，销售价应定为每千克多少元 3某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系． （1）试求y与x之间的函数关系式； （2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大每月的最大利润是多少 4某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中： 销售单价（元） 销售量y（件） 销售玩具获得利润w（元） （2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元． （3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少 2020中考总复习-二次函数的实际应用 1．铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 2．某水产基地种植某种食用海藻，从三月一日起的30周内，它的市场价格与上市时间的关系用图①线段表示；它的平均亩产量与时间的关系用图②线段表示；它的每亩平均成本与上市时间的关系用图③抛物线表示． （1）写出图①、图②所表示的函数关系式； （2）若市场价×亩产量－亩平均成本= 每亩总利润，问哪一周上市的海藻利润最大？最大利润是多少？ 3．在高尔夫球训练中，运动员在距球洞10m 处击球，其飞行路线满足抛物线2155b y x x =- +，其图象如图所示，其中球飞行高度为()y m ，球飞行的水平距离为()x m ，球落地时距球洞的水平距离 为2m ． （1）求b 的值； （2）若运动员再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球的飞行路线应满足怎样的抛物线，求抛物线的解析式； （3）若球洞4m 处有一横放的1.2m 高的球网，球的飞行路线仍满足抛物线2155 b y x x =- +，要使球越过球网，又不越过球洞（刚好进洞），求b 的取值范围． 4．扬州某风景区门票价格如图所示，有甲、乙两个旅行团队，计划在端午节期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为100人，若乙团队人数不超过40人，甲团队人数不超过80人，设甲团队人数为x 人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为y 元． （1）直接写出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）计算甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱？ （3）该景区每年11月、12月为淡季，景区决定在这两个月实行门票打五折的优惠（打折期间不售团体票），以吸引大量游客，提高景区收入；景区经过调研发现，随着接待游客数的增加，景区的运营成本也随之增加，景区运营成本Q （万元）与两个月游客总人数t （万人）之间满足函数关系式： 218004 Q t =+；两个月游客总人数t （万人）满足：150200t ≤≤，且淡季每天游客数基本相同；为了获得最大利润，景区决定通过网络预约购票的方式控制淡季每天游客数，请问景区的决定是否正确？并说明理由．（利润=门票收入-景区运营成本） 5．我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售农产品，经分析发现月销售量y (万件与月份x (月)的关系 为:()() 816,20712,x x x y x x x ?+≤≤?=?-+≤≤??为整数为整数 2020年中考数学一轮复习——二次函数的实际应用 一、选择题 1.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是( ) A.点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B.点火后24 s火箭落于地面 C.点火后10 s的升空高度为139 m D.火箭升空的最大高度为145 m 2.如图，一边靠墙(墙有足够长)，其他三边用20米长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是平方米.( ) A.40 B.50 C.60 D.以上都不对 3.某企业生产季节性产品，当产品无利润时，企业自动停产，经过调研，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋12n－11，则企业停产的月份为( ) A.1月和11月 B.1月、11月和12月; C.1月 D.1月至11月 4.(2019·临沂)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示.下列结论： ①小球在空中经过的路程是40 m； ②小球抛出3秒后，速度越来越快； ③小球抛出3秒时速度为0； ④小球的高度h ＝30 m 时，t ＝1.5 s . 其中正确的是( ) A .①④ B .①② C .②③④ D .②③ 二、填空题 5.飞机着陆后滑行的距离y (单位：m )关于滑行时间t(单位：s )的函数解析式是y ＝60t － 3 2t 2.在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是 m . 6.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m ，水面下降2 m ，水面宽度增加 m . 7.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大. 8.(温州一模)为了节省材料，某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边，用总长为80 m 的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD 的面积最大值是 m 2. 初中数学 聆听例题，二次函数实际应用 1. 形状——抛物线 2. 形式——二次整式 【问题1】小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线2 1 3.5 5 y x =-+的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是______m 【练习】 1. 竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（） A．第3秒B．第3.9秒 C．第4.5秒D．第6.5秒 2. 如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒． 聆听例题，3. 平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看做抛物线，如图建立直角坐标系，抛物线的函数表达式为 2 113 632 y x x =-++，绳子甩到最高处时刚好通过站在x=2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为（）A．1.5m B．1.625m C．1.66m D．1.67m 4. 密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度． 【问题2】小明爸爸经营某种品牌的服装，购进时单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是50元时，销售量是100件，而销售单价每降1元，就会多售出10件服装． (1)设该种品牌服装的销售单价为x元，销售量为y件，请写出y与x之间的函数关系式； (2)若小明爸爸想获得2000元的销售利润，同时尽快清理库存，该服装销售单价应定为多少元？ (3)在(1)问条件下，销售该品牌服装获得的最大利润是多少？ 【练习2】 1. 某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（） A．y=-1 2 x2+10x+1200（0＜x＜60） B．y=-1 2 x2-10x+1250（0＜x＜60） C．y=-1 2 x2+10x+1250（0＜x＜60） 二次函数的实际应用 基础达标训练 1. (2017芜湖繁昌县模拟)某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋14n －24，则企业停产的月份为( ) A. 2月和12月 B. 2月至12月 C. 1月 D. 1月、2月和12月 2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( ) A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 第2题图 3 某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭．经跟踪测算，该景点一年中月利润W(万元)与月份x之间满足二次函数W＝－x2＋16x－48，则该景点一年中处于关闭状态有( )个月. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的 形状(如图所示)，对应的两条抛物线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1cm ，BD ＝2cm ，则右轮廓DFE 所在抛物线的解析式为( ) 第4题图 A. y ＝14(x ＋3)2 B. y ＝14 (x －3)2 C. y ＝－14(x ＋3)2 D. y ＝－14 (x －3)2 5. 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h (m)与足球被踢出后经过的时间t (s)之间具有函数关系h ＝at 2＋19.6t .已知足球被踢出后经过4 s 落地，则足球距地面的最大高度是________． 6. (12分)经市场调查，某种商品在第x 天的售价与销量的相关信息如下表，已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y 元． (1)求出y 与x 的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？ (3)该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案. 1 某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40 元．经过市场调查，一周的销 售量 y 件与销售单价 x（ x≥ 50）元 / 件的关系如下表： 销售单价 x（元 / 件） ,55607075, 一周的销售量 y（件） ,450400300250, （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式： （2）设一周的销售利润为 S 元，请求出 S 与 x 的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内 变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？ （3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家 购进该商品的贷款不超过 10000 元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？ 2为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大 幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20 元，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元 / 千克）有如下关系： y=﹣ 2x+80．设这种产品每天的销售利润为 w 元． （1）求 w与 x 之间的函数关系式． （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28 元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 3 某商场购进一批单价为 4 元的日用品．若按每件 5 元的价格销售，每月能卖出 3 万件；若按每件 6 元的价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数 y（件）与价格 x（元 / 件）之间满足一次函数关系． （1）试求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？ 4 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30 元，根据市场调查：在一段时间内，销 售单价是40 元时，销售量是600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出10 件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（ x＞ 40），请你分别用x 的代数式来表示销售 量 y 件和销售该品牌玩具获得利润w 元，并把结果填写在表格中： 销售单价（元） 销售量 y（件） 销售玩具获得利润w（元） （2）在（ 1）问条件下，若商场获得了10000 元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元． （3）在（ 1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44 元，且商场要完成不 少于 540 件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 二次函数的实际应用 1．★在A 市中学生男子足球比赛中，某队守门员踢出的足球飞行高度y (m)与水平距离x (m) 之间满足关系式y ＝－18 x 2＋1.5x ，则足球飞出的最远距离是( ) A ．8 m B ．12 m C ．15 m D ．20 m 2．★王大爷用200 m 的竹篱笆围成一个长方形的养鸡场，则能围成的养鸡场的最大面积是 ( ) A ．50 m 2 B ．100 m 2 C ．200 m 2 D ．2500 m 2 3．我国最新研制的38 mm 高射炮炮弹的飞行高度y (m)与飞行时间x (s)满足关系式y ＝ax 2＋bx ，若该炮弹在第3秒和第11秒的飞行高度相同，则下列哪一个时间的高度最高( ) A ．第4秒 B ．第7秒 C ．第10秒 D ．第15秒 4．一所中学的大门近似于抛物线(如图Y －15)，若大门的跨度AB ＝10 m ，大门最高点C 距离地面6 m ，则该二次函数的表达式是____________． 图Y －15 图Y －16 .如图Y －16是一条单向行驶的隧道的截面图，其截面图是抛物线，且表达式为y ＝－13 x 2＋3.那么一辆宽为2米，载物高度为2.5米的载货汽车________(填“能”或“不能”)安全通过该隧道． 6．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元/件的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y (件)与销售单价x (元)/件满足一次函数关系：y ＝－10x ＋1200. (1)求出利润S (元)与销售单价x (元)/件之间的表达式；(利润＝销售额－成本) (2)当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题，主要是解答题，也有少量的选择和填空题，常见问题有以几何为背景问题，以球类为背景问题，以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。 一. 以几何为背景问题 原创模拟预测题 1. 市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB 高出地面 1.5m，在B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45 的角，水流的最高点C离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出 2m，水流的落地点为D ．在建立如图所示的直角坐标系中： （1）求抛物线的函数解析式； （2）求水流的落地点D 到A 点的距离是多少 m？ 13 【答案】（ 1）y 1 x 2 2 x 3；（ 2）2 7 m． 22 【解析】试题分析：（ 1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点C（2，3.5 ）及 B （0，1.5 ），设顶点式求解 析式； （2）求 AD，实际上是求当 y=0 时点 D 横坐标．在如图所建立的直角坐标系中， 由题意知，B 点的坐标为（0，1.5）， CBE 45 ，△ BEC 为等腰直角三角形， BE 2，点坐标为（2，3.5） 2 （1）设抛物线的函数解析式为y ax 2 bx c（ a 0）， 则抛物线过点（01，.5）顶点为（2，3.5），当x 0 时，y c 1.5 由2，得b 4a ， 2a 22 4ac b 6a 16a 由3.5 ，得3.5 4a 4a 1 解之，得a 0 （舍去），a ， b 4a 2 ． 2 13 所以抛物线的解析式为y 1x2 2x 3． 22 考点：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．结合实际问题并从 中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型． 原创模拟预测题 2. 在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 15m） 的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为 40m的栅栏围成（如图所示）．若设花园的BC边长为 x（ m），花园的面积为y （m） （1）求y 与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）满足条件的花园面积能达到 200 m 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式 ,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？ 12 答案】（ 1）y x2 20x （0 x 15）；（ 2）不能；（ 3）x 15时，最大面积 187.5m 解析】 2 专题15 二次函数的应用 ?解读考点 ?2年中考 【20XX 年题组】 1．（2015六盘水）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是（ ） A ．60m2 B ．63m2 C ．64m2 D ．66m2 【答案】C ． 考点：1．二次函数的应用；2．应用题；3．二次函数的最值；4．二次函数的最值． 2．（2015铜仁）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角 坐标系，其函数的关系式为 2125y x =- ，当水面离桥拱顶的高度DO 是4m 时，这时水面 宽度AB 为（ ） A ．﹣20m B ．10m C ．20m D ．﹣10m 【答案】C． 考点：二次函数的应用． 3．（2015潍坊）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（） A cm2 B C D cm2 【答案】C． 【解析】 试题分析：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．∵折叠后是一个三棱柱，∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形，∴∠ADO=∠AKO=90°．连结AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，∵AO=AO，OD=OK，∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL），∴∠OAD=∠OAK=30°．设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以 求出 AD=，∴ DE=6-，∴纸盒侧面积 =3(6) x- == 2 x - ，∴当 选C． 二次函数与实际问题 1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等） 2、实际应用（拱桥问题，求最值、最大利润、最大面积等） 类型一：最大面积问题 例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？ 变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积 y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式？当x为多长时，花园面积最大？ 类型二：利润问题 例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多? 设销售单价为x元，(0＜x≤13.5)元，那么 （1）销售量可以表示为____________________； （2）销售额可以表示为____________________； （3）所获利润可以表示为__________________； （4）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________ 变式训练2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 变式训练3：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润之和y与x之间的关系）． （1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与销售时间x（月）的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？ （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 中考数学二次函数的实际应用典型例题分类 1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等） 2、实际应用（拱桥问题，求最值、最大利润、最大面积等） 类型一：最大面积问题 例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积 y(㎡)与路宽x(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？ 变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积 y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式？当x为多长时，花园面积最大？ 类型二：利润问题 例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多? 设销售单价为x元，(0＜x≤13.5)元，那么 （1）销售量可以表示为____________________； （2）销售额可以表示为____________________； （3）所获利润可以表示为__________________； （4）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________ 变式训练2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 变式训练3：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润之和y与x之间的关系）． （1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与销售时间x（月）的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？ （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 变式训练4.某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不 y（件）与销售单价y（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．高于每件70元，试销中销售量 y与y之间的函数关系式； （1）求 y总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额 自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？ 如何定价利润最大 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 变式：某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1个月至第12个月，这种水果每千克售价y1(单位：元)与销售时间第x个月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(单位：元)与销售时间第x个月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示． (1)求y2的解析式； (2)第几个月销售这种水果，每千克所获得的利润最 大？最大利润是多少？ 1.大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表： x(天) 1 2 3 ,50 p(件) 118 116 114 ,20 销售单价q(元/件)与x满足:当1125 时当时. x q x x q 12560;255040 x （1）（2分）请分析表格中销售量p与x的关系，求出销售量p与x的函数关系. （2）（4分）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式. （3）（4分）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？ 2.在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月 内可售出240套.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套.设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套. （1）求出y与x的函数关系式. （2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元？ （3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ 3.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm． （1）若花园的面积为192m2，求x的值； （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值． 2021中考数学专题训练：二次函数的实际应用一、选择题 1. 某商品进货单价为90元/个，按100元/个出售时，能售出500个，如果这种商 品每个每涨价1元，那么其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为() A．130元/个B．120元/个 C．110元/个D．100元/个 2. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C=120°.若新建 墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是() A.18 m2 B.18m2 C.24m2 D.m2 3. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每 段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为() A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m 4. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．有下列结论： ①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3秒后，速度越来越快； ③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s. 其中正确的是() A ．①④ B ．①② C ．②③④ D ．②③ 5. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不 同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图①所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB ＝90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为( ) A ．y ＝26 675x 2 B ．y ＝－26 675x 2 C ．y ＝13 1350x 2 D ．y ＝－13 1350x 2 6. 如图，铅球运动员掷铅球的高度 y (m)与水平距离x (m)之间的函数解析式是y ＝－112x 2＋23x ＋5 3，则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A ．6 m B ．12 m C ．8 m D ．10 m 7. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运 动，当球运动的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m ，在如图 (示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( ) 中考数学专题复习：二次函数的应用 【基础知识回顾】 一、二次函数与一元二次方程： 二、二次函数解析式的确定： 1、设顶点式,即：设 2、设一般式,即：设 【提醒：求二次函数解析式,根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外,还有：如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴,可设顶点在x轴上,可设抛物线过原点等】 三、二次函数的应用 1、实际问题中解决最值问题： 2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题 【提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围 2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现,解决此类问题时要将题目分解开来,讨论过程中要尽量将问题】 【重点考点例析】 考点一：二次函数的最值 例1 （?呼和浩特）已知：M,N两点关于y轴对称,且点M在双曲线 1 2 y x =上,点N在直线y=x+3 上,设点M的坐标为（a,b）,则二次函数y=－abx2+（a+b）x（） A．有最大值,最大值为 9 2 -B．有最大值,最大值为 9 2 C．有最小值,最小值为9 2 D．有最小值,最小值为 9 2 - 分析：先用待定系数法求出二次函数的解析式,再根据二次函数图象上点的坐标特征求出其最值即可． 点评：本题考查的是二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法．本题是利用公式法求得的最值． 对应训练 1．（?兰州）已知二次函数y=a（x+1）2－b（a≠0）有最小值1,则a,b的大小关系为（） A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定 考点二：确定二次函数关系式 例2 （?珠海）如图,二次函数y=（x－2）2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1,0）及点B． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象,写出满足kx+b≥（x－2）2+m的x的取值范围． 分析： （1）将点A（1,0）代入y=（x－2）2+m求出m的值,根据点的对称性,将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标,再根据待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥（x－2）2+m的x的取值范围． 点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式组,求出B点坐标是解题的关键． 对应训练 2．（?佳木斯）如图,抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A（2,0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴； （3）若抛物线上有一点B,且S △OAB =3,求点B的坐标．A B C O x y 二次函数的实际应用 一、选择题 1. （2019年湖北省襄阳市）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t （单 位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s． 【考点】二次函数的实际应用 【解答】解：依题意，令h＝0得 0＝20t﹣5t2 得t（20﹣5t）＝0 解得t＝0（舍去）或t＝4 即小球从飞出到落地所用的时间为4s 故答案为4． 二、填空题 1. （2019年四川省广安市）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+ x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米． 【考点】二次函数的应用、自变量与函数的实际意义 【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0， 解得，x＝2（舍去），x＝10． 故答案为：10． 三、解答题 1. （2019年四川省攀枝花市）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚 熟芒果远销北上广等大城市。某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不 低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y （千克）与该天的售价x （元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系。 （1）某天这种芒果售价为28元/千克。求当天该芒果的销售量 （2）设某天销售这种芒果获利m 元，写出m 与售价x 之间的函数关系式。如果水果店该 天 获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？ 【考点】一次函数、二次函数、一元二次方程的解法 【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y kx b =+ 则2535 2238 k b k b +=?? +=? 解得：160k b =-??=? ∴60y x =-+（1540x ≤≤） ∴当28x =时，32y = ∴芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克 （2）由题易知(10)m y x =-(60)(10)x x =-+- 2 70600x x =-+- 当400m =时，则2 70600400x x -+-= 整理得：2 7010000x x -+= 解得：120x =，250x =中考二次函数实际问题应用题
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