中考数学专题复习：二次函数的应用
中考数学专题复习：二次函数的应用
【基础知识回顾】
一、二次函数与一元二次方程：
二、二次函数解析式的确定：
1、设顶点式,即：设
2、设一般式,即：设
【提醒：求二次函数解析式,根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外,还有：如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴,可设顶点在x轴上,可设抛物线过原点等】
三、二次函数的应用
1、实际问题中解决最值问题：
2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题
【提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围
2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现,解决此类问题时要将题目分解开来,讨论过程中要尽量将问题】
【重点考点例析】
考点一：二次函数的最值
例1 （?呼和浩特）已知：M,N两点关于y轴对称,且点M在双曲线
1
2
y
x
=上,点N在直线y=x+3
上,设点M的坐标为（a,b）,则二次函数y=－abx2+（a+b）x（）
A．有最大值,最大值为
9
2
-B．有最大值,最大值为
9
2
C．有最小值,最小值为9
2
D．有最小值,最小值为
9
2
-
分析：先用待定系数法求出二次函数的解析式,再根据二次函数图象上点的坐标特征求出其最值即可．
点评：本题考查的是二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法．本题是利用公式法求得的最值．
对应训练
1．（?兰州）已知二次函数y=a（x+1）2－b（a≠0）有最小值1,则a,b的大小关系为（）
A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定
考点二：确定二次函数关系式
例2 （?珠海）如图,二次函数y=（x－2）2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1,0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象,写出满足kx+b≥（x－2）2+m的x的取值范围．
分析：
（1）将点A（1,0）代入y=（x－2）2+m求出m的值,根据点的对称性,将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标,再根据待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥（x－2）2+m的x的取值范围．
点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式组,求出B点坐标是解题的关键．
对应训练
2．（?佳木斯）如图,抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A（2,0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）写出顶点坐标及对称轴；
（3）若抛物线上有一点B,且S
△OAB =3,求点B的坐标．A
B
C
O x y
分析：
（1）直接把（0,0）,（2,0）代入y=x2+bx+c中,列方程组求b、c的值即可；
（2）将二次函数解析式写成顶点式,可求顶点坐标及对称轴；
（3）设点B的坐标为（a,b）,根据三角形的面积公式求b的值,再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值,确定B点坐标．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质．关键是将抛物线上两点坐标代入解析式,列方程组求解析式,将抛物线解析式写成顶点式,可求顶点坐标及对称轴．
考点三：二次函数与x轴的交点问题
例3 （?天津）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1、x2,且x1≠x2,有下列结论：
①x1=2,x2=3；②m＞
1
4
；③二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2,0）
和（3,0）．
其中,正确结论的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
分析：将已知的一元二次方程整理为一般形式,根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式大于0,列出关于m的不等式,求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6－m,这只有在m=0时才能成立,故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后,利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入,整理得到确定出二次函数解析式,令y=0,得到关于x的方程,求出方程的解得到x的值,确定出二次函数图象与x轴的交点坐标,即可对选项③进行判断．
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点,一元二次方程的解,根与系数的关系,以及根的判别式的运用,是中考中常考的综合题．
对应训练
3．（?株洲）如图,已知抛物线与x轴的一个交点A（1,0）,对称轴是x=－1,则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（）
A．（－3,0）B．（－2,0）C．x=－3 D．x=－2
考点四：二次函数的实际应用
例4 （?绍兴）教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y（m）与水平距离
x（m）之间的关系为y=－
1
12
（x－4）2+3,由此可知铅球推出的距离是m．
分析：根据铅球落地时,高度y=0,把实际问题可理解为当y=0时,求x的值即可．
点评：本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义,需要结合题意,取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
例5 （?重庆）企业的污水处理有两种方式,一种是输送到污水厂进行集中处理,另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨,由于污水厂处于调试阶段,污水处理能力有限,该企业投资自建设备处理污水,两种处理方式同时进行．1至6月,该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6,且x取整数）之间满足的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6
输送的污水量y1（吨）12000 6000 4000 3000 2400 2000
7至12月,该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12,且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月,污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）
与月份x之间满足函数关系式：z1=1
2
x,该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之
间满足函数关系式：z2=3
4
x－
1
12
x2；7至12月,污水厂处理每吨污水的费用均为2元,该企业自
身处理每吨污水的费用均为1.5元．
（1）请观察题中的表格和图象,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,分别直接写出y1,y2与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多,并求出这个最多费用；（3）今年以来,由于自建污水处理设备的全面运行,该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理,估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a－30）%,为鼓励节能降耗,减轻企业负担,财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元,请计算出a的整
数值．
（参考数据：231≈15.2,419≈20.5, 809≈28.4）
分析：
（1）利用表格中数据可以得出xy=定值,则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系求出即可,再利用函数图象得出：图象过（7,10049）,（12,10144）点,求出解析式即可；
（2）利用当1≤x≤6时,以及当7≤x≤12时,分别求出处理污水的费用,即可得出答案；
（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a一30）%,得出等式12000（1+a%）×1.5×[1+（a－30）%]×（1－50%）=18000,进而求出即可．
点评：此题主要考查了二次函数的应用和根据实际问题列反比例函数关系式和二次函数关系式、求二次函数最值等知识．此题阅读量较大,得出正确关于a%的等式方程是解题关键．
对应训练
4．（?襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x－1.5x2,该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．
点评：此题主要考查了二次函数的应用,运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键．
5．（?益阳）已知：如图,抛物线y=a（x－1）2+c与x轴交于点A（1－3,0）和点B,将抛物线沿x轴向上翻折,顶点P落在点P'（1,3）处．
（1）求原抛物线的解析式；
（2）学校举行班徽设计比赛,九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点,将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉,设计成一个“W”型的班徽,“5”的拼音开头字母为W,“W”图案似大鹏展翅,寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发
现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比51
2
（约等于0.618）．请你计算这
个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：5≈2.236,6≈2.449,结果可保留根号）
考点：二次函数的应用．
分析：
（1）利用P与P′（1,3）关于x轴对称,得出P点坐标,利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）根据已知得出C,D两点坐标,进而得出“W”图案的高与宽（CD）的比．
考点五：二次函数综合性题目
例6 （?自贡）如图,抛物线l交x轴于点A（－3,0）、B（1,0）,交y轴于点C（0,－3）．将抛
l．
物线l沿y轴翻折得抛物线
1
l的解析式；
（1）求
1
l的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大,并说出理由；（2）在
1
l于E、F两点,若以EF为直径的圆恰与x轴相切,求此圆（3）平行于x轴的一条直线交抛物线
1
的半径．
分析：
（1）首先求出翻折变换后点A、B所对应点的坐标,然后利用待定l的解析式；
系数法求出抛物线
1
（2）如图2所示,连接B1C并延长,与对称轴x=1交于点P,则点P即为所求．利用轴对称的性质以及三角形三边关系（三角形两边之差小于第三边）可以证明此结论．为求点P的坐标,首先需要求出直线B1C的解析式；
（3）如图3所示,所求的圆有两个,注意不要遗漏．解题要点是利用圆的半径表示点F（或点E）的坐标,然后代入抛物线的解析式,解一元二次方程求出此圆的半径．
点评：本题考查内容包括二次函数的图象与性质、待定系数法、翻折变换、轴对称的性质、三角形三边关系、圆的相关性质等,涉及考点较多,有一定的难度．第（2）问中,注意是“两线段之差最大”而不是“两线段之和最大”,后者比较常见,学生们已经有大量的训练基础,而前者接触较少,但二者道理相通；第（3）问中,首先注意圆有2个,不要丢解,其次注意利用圆的半径表示点的坐标,运用方程的思想求出圆的半径．
对应训练
6．（?遵义）如图,已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为（3,3
-）．
（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P,使S
△POA =2S
△AOB
；
（3）在抛物线上是否存在点Q,使△AQO与△AOB相似？如果存在,请求出Q点的坐标；如果不存在,请说明理由．
分析：
（1）根据函数经过原点,可得c=0,然后根据函数的对称轴,及函数图象经过点（3,3
-）可得出函数解析式,根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标．
（2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍,即点P的纵坐标为23,代入函数解析式可得出点P的横坐标；
（3）先求出∠BOA的度数,然后可确定∠Q1OA=的度数,继而利用解直角三角形的知识求出x,得出Q1的坐标,利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标．
点评：此题属于二次函数的综合题目,涉及了相似三角形的判定与性质,三角形的面积及一元二次方程的解,综合性较强,需要我们仔细分析,分步解答．
【聚焦山东中考】
1．（?泰安）二次函数y=ax2+bx的图象如图,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为（）
A．－3 B．3 C．－6 D．9
考点：抛物线与x轴的交点．专题：探究型．
分析：先根据抛物线的开口向上可知a＞0,由顶点纵坐标为－3得出b与a关系,再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式,求出m的取值范围即可．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点,根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．
2．（?滨州）抛物线y=－3x2－x+4与坐标轴的交点个数是（）
A．3 B．2 C．1 D．0
分析：令抛物线解析式中x=0,求出对应的y的值,即为抛物线与y轴交点的纵坐标,确定出抛物线与y轴的交点坐标,令抛物线解析式中y=0,得到关于x的一元二次方程,求出方程的解有两个,可得出抛物线与x轴有两个交点,综上,得到抛物线与坐标轴的交点个数．
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点,以及一元二次方程的解法,其中令抛物线解析式中x=0,求出的y值即为抛物线与y轴交点的纵坐标；令y=0,求出对应的x的值,即为抛物线与x轴交点的横坐标．
3．（?济南）如图,济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．
分析：10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则A,B一定是关于对称轴对称的点,据此即可确定对称轴,则O到对称轴的时间可以求得,进而即可求得OC之间的时间．
点评：本题考查了二次函数的应用,注意到A、B关于对称轴对称是解题的关键．
4．（?菏泽）牡丹花会前夕,我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查,得到如下数据：
销售单价x（元/
件）
…20 30 40 50 60 …
每天销售量（y件）…500 400 300 200 100 …
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标,在下面的平面直角坐标系中描出相应的点,猜想y与x的函数关系,并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价－成本总价）
（3）菏泽市物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过35元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？
分析：
（1）利用表中x、y的各组对应值作为点的坐标,在坐标系中描出即可,再根据点的分布得出y 与x的函数关系式,求出即可；
（2）根据利润=销售总价－成本总价,由（1）中函数关系式得出W=（x－10）（－10x+700）,,进而利用二次函数最值求法得出即可；
（3）利用二次函数的增减性,结合对称轴即可得出答案．
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数增减性应用等知识,此题难度不大是中考中考查重点内容．
5．（?青岛）在“母亲节”期间,某校部分团员参加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：
（1）试判断y与x之间的函数关系,并求出函数关系式；
（2）若许愿瓶的进价为6元/个,按照上述市场调查的销售规律,求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；
（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大利润,试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润．
分析：
（1）观察可得该函数图象是一次函数,设出一次函数解析式,把其中两点代入即可求得该函数解析式,进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；
（2）销售利润=每个许愿瓶的利润×销售量；
（3）根据进货成本可得自变量的取值,结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．
点评：此题主要考查了二次函数的应用；注意结合自变量的取值求得二次函数的最值问题．6．（?聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=－2x+100．（利润=售价－制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
分析：
（1）根据每月的利润z=（x－18）y,再把y=－2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式, （2）把z=350代入z=－2x2+136x－1800,解这个方程即可,将z═－2x2+136x－1800配方,得z=－2（x－34）2+512,即可求出当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润,最大利润是多少．（3）结合（2）及函数z=－2x2+136x－1800的图象即可求出当25≤x≤43时z≥350,再根据限价32元,得出25≤x≤32,最后根据一次函数y=－2x+100中y随x的增大而减小,即可得出当x=32时,每月制造成本最低,最低成本是18×（－2×32+100）.
点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,关键是根据题意求出二次函数的解析式,综合利用二次函数和一次函数的性质解决实际问题．
【备考真题过关】
一、选择题
2．（?湖州）如图,已知点A（4,0）,O为坐标原点,P是线段OA上任意一点（不含端点O,A）,过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时,这两个二次函数的最大值之和等于（）
A．5B．4
5
3
C．3 D．4
分析：过B作BF⊥OA于F,过D作DE⊥OA于E,过C作CM⊥OA于M,则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和,BF∥DE∥CM,求出AE=OE=2,DE=5,设P（2x,0）,根据二次函数的
对称性得出OF=PF=x,推出△OBF∽△ODE,△ACM∽△ADE,得出BF OF
DE OE
=,
CM AM
DE AE
=,代入
求出BF和CM,相加即可求出答案．
点评：本题考查了二次函数的最值,勾股定理,等腰三角形性质,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力,题目比较好,但是有一定的难度．3．（?宜昌）已知抛物线y=ax2－2x+1与x轴没有交点,那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
考点：抛物线与x轴的交点．分析：根据抛物线y=ax2－2x+1与x轴没有交点,得出△=4－4a ＜0,a＞1,再根据b=－2,得出抛物线的对称轴在y轴的右侧,即可求出答案．
点评：此题考查了二次函数的图象与x轴交点,关键是根据二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的解之间的联系求出a的值,这些性质和规律要求掌握．
4．（?资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）
A．－1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜－1且x＞5 D．x＜－1或x＞5
5．（?义乌市）如图,已知抛物线y1=－2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2,取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2,记M=y1=y2．例如：当x=1时,y1=0,y2=4,y1＜y 2,此时M=0．下列判断：
①当x＞0时,y1＞y2；②当x＜0时,x值越大,M值越小；
③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是
1
2
-或
2
2
．
其中正确的是（）
A．①②B．①④C．②③D．③④
分析：利用图象与坐标轴交点以及M值的取法,分别利用图象进行分析即可得出答案．
点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用,利用数形结合得出函数增减性是解题关键．
6．（?大连）如图,一条抛物线与x轴相交于A、B两点,其顶点P在折线C－D－E上移动,若点C、D、E的坐标分别为（－1,4）、（3,4）、（3,1）,点B的横坐标的最小值为1,则点A的横坐标的最大值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
分析：抛物线在平移过程中形状没有发生变化,因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变．首先,当点B横坐标取最小值时,函数的顶点在C点,根据待定系数法可确定抛物线的解析式；而点A横坐标取最大值时,抛物线的顶点应移动到E点,结合前面求出的二次项系数以及E 点坐标可确定此时抛物线的解析式,进一步能求出此时点A的坐标,即点A的横坐标最大值．
点评：考查了二次函数综合题,解答该题的关键在于读透题意,要注意的是抛物线在平移过程中形状并没有发生变化,改变的是顶点坐标．注意抛物线顶点所处的C、E两个关键位置,前者能确定函数解析式、后者能得到要求的结果．
1．（?镇江）若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧,则实数m的取值范围是（）
A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞1
点：抛物线与x轴的交点。810360
专题：探究型。
分析：先令（x+1）（x﹣m）=0求出x的值即可得出二次函数与x轴的交点坐标,再根据抛物线的对称轴在y轴的右侧即可得到关于m的不等式,求出m的取值范围即可．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题,先根据函数的解析式得出二次函数的图象与x 轴的交点是解答此题的关键．
2．（?泰安）二次函数y=ax2+bx的图象如图,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为（）
A．﹣3 B．3C．﹣6 D．9
考点：抛物线与x轴的交点。810360
专题：探究型。
分析：先根据抛物线的开口向上可知a＞0,由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系,再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式,求出m的取值范围即可．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点,根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．
3．（?杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,则能使△ABC
为等腰三角形的抛物线的条数是（）
A．2B．3C．4D．5
考点：抛物线与x轴的交点。810360
专题：推理填空题。
分析：整理抛物线解析式,确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C,然后求出
AC的长度,再分①k＞0时,点B在x轴正半轴时,分AC=BC、AC=AB、AB=BC三种情况
求解；②k＜0时,点B在x轴的负半轴时,点B只能在点A的左边,只有AC=AB一种情况
列式计算即可．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题,根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键,注意分情况讨论．
二、填空题
7．（?深圳）二次函数y=x2－2x+6的最小值是．
分析：利用配方法将原式化为顶点式,即可求出二次函数的最小值．
点评：本题考查了二次函数的最值,将原式化为顶点式是解题的关键．
8．（?无锡）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2,1）,且经过点B（1,0）,则抛物线的函数关系式为．
三、解答题
9．（?杭州）当k分别取－1,1,2时,函数y=（k－1）x2－4x+5－k都有最大值吗？请写出你的判断,并说明理由；若有,请求出最大值．
考点：二次函数的最值．专题：分类讨论．
分析：当k分别取－1,1,2时,函数y=（k－1）x2－4x+5－k表示不同类型的函数,需要分类讨论,最终确定函数的最值．
10．（?徐州）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4,3）,（3,0）．
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象．
考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．
分析：（1）把已知点的坐标代入解析式,然后解关于b、c的二元一次方程组即可得解；
（2）把函数解析式转化为顶点式形式,然后即可写出顶点坐标与对称轴解析式；
（3）采用列表、描点法画出图象即可．
（3）列表如下：
x…0 1 2 3 4 …
y… 3 0 －1 0 3 …
描点作图如下：
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的顶点坐标与对称轴的求解,以及作二次函数图象,都是基础知识,一定要熟练掌握．
11．（?佛山）（1）任选以下三个条件中的一个,求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
①y随x变化的部分数值规律如下表：
x－1 0 1 2 3
y0 3 4 3 0
②有序数对（－1,0）、（1,4）、（3,0）满足y =ax 2+bx +c ； ③已知函数y =ax 2+bx +c 的图象的一部分（如图）． （2）直接写出二次函数y =ax 2+bx +c 的三个性质．
分析：（1）选择①,观察表格可知抛物线顶点坐标为（1,4）,设抛物线顶点式,将点（0,3）代入确定a 的值；
（2）根据抛物线的对称轴,开口方向,增减性等说出性质．
12．（?兰州）若x 1、x 2是关于一元二次方程ax 2+bx +c （a ≠0）的两个根,则方程的两个根x 1、x 2
和系数a 、b 、c 有如下关系：x 1+x 2=b a -,x 1?x 2=c a ．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如
果设二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x 1,0）,B （x 2,0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为： AB =|x 1－x 2|=
2
1212()4x x x x +-=24()b c a a --=22244||
b a
c b ac
a a --=
； 参考以上定理和结论,解答下列问题：
设二次函数y =ax 2+bx +c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x 1,0）,B （x 2,0）,抛物线的顶点为C ,显然△ABC 为等腰三角形．
（1）当△ABC 为直角三角形时,求b 2－4ac 的值； （2）当△ABC 为等边三角形时,求b 2－4ac 的值．
考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质,抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理,综合性较强,难度中等．
13．（?武汉）如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是11米,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：
时）的变化满足函数关系h=
1
128
（t－19）2+8（0≤t≤40）,且当水面到顶点C的距离不大于5
米时,需禁止船只通行,请通过计算说明：在这一时段内,需多少小时禁止船只通行？
分析：
（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式,把B坐标代入即可求解；
（2）水面到顶点C的距离不大于5米时,即水面与河底ED的距离h至多为6,把6代入所给二次函数关系式,求得t的值,相减即可得到禁止船只通行的时间．
点评：考查二次函数的应用；判断出所求二次函数的形式是解决本题的关键；注意结合（1）得到h的最大高度．
14．（?无锡）如图,在边长为24cm的正方形纸片ABCD上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=BF=x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒的体积V；
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大,试问x应取何值？
分析：
（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a=2x,EF=2a=2x,再利用AB=24cm,求出x即可得出这个包装盒的体积V；
（2）利用已知表示出包装盒的表面,进而利用函数最值求出即可．
15．（?黄冈）某科技开发公司研制出一种新型的产品,每件产品的成本为2400元,销售单价定为3000元,在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时,每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2600元．
（1）商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2600元？
（2）设商家一次购买这种产品x件,开发公司所获得的利润为y元,求y（元）与x（件）之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围．
（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时,会出现随着一次购买的数量的增多,公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多,公司所获得的利润越大,公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）
分析：
（1）设件数为x,则销售单价为3000－10（x－10）元,根据销售单价恰好为2600元,列方程求
解；
（2）由利润y=销售单价×件数,及销售单价均不低于2600元,按0≤x≤10,10＜x≤50,x＞50三种情况列出函数关系式；
（3）由（2）的函数关系式,利用二次函数的性质求利润的最大值,并求出最大值时x的值,确定销售单价．
点评：本题考查了二次函数的运用．关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式,会表达单件的利润及总利润．
16．（?河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）,这写薄板的形状均为正方向,边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例,每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．
（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板,获得的利润为26元（利润=出厂价－成本价）,
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．
②当边长为多少时,出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？
参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（
24
,
24
b b ac
a a
-
-）
分析：
（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；
（2）①首先假设一张薄板的利润为p元,它的成本价为mx2元,由题意,得：p=y－mx2,进而得出m的值,求出函数解析式即可；
②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．
点评：本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式,求二次函数的最大（小）值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法．
初中数学二次函数应用专题-销售问题
二次函数的应用-销售问题 【类型1】二次函数最值问题 1.（2014?荆州）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务． （1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围； （2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ 2.（2014?丹东）在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套． （1）求出y与x的函数关系式． （2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元； （3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ 3.（2010?武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）． （1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式； （3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
2017二次函数应用题专题训练
作品编号：DG13485201600078972981 创作者：玫霸* 2017二次函数应用题专题训练 1.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元,设每吨材料售价为x元,该经销店的月利润为y元． （1）当每吨售价为240元时，计算此时的月销售量； （2）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ （4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由． 2.(2010德州)为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元. （1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？
3.（2010恩施）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇 远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克 香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香 菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每 天有6千克的香菇损坏不能出售． （1）若存放x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式． （2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用） （3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 4(2010河北)某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）． （1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内
中考经典二次函数应用题(含答案)
二次函数应用题 1、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件. （1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？ （2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？ 2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台． （1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙 另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米． （1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值． （参考公式：二次函数2 y ax bx c =++（0a ≠），当2b x a =-时，2 44ac b y a -=最大(小)值) 4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表： 月份 1月 5月 销售量 3.9万台 4.3万台 （1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？ （2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m 的值（保留一位小数）． 5.831 5.916 6.083 6.164）
2019年中考数学二次函数的应用专题(解析版)
2019年中考数学二次函数的应用专题 (名师点拨中考必考知识点,建议下载打印练习) 时间：45分钟 满分：100分 一、单选题（共7题，每题4分；共28分） 1．（2017?包头）已知一次函数y 1＝4x ，二次函数y 2＝2x 2 ＋2，在实数范围内，对于x 的同 一个值，这两个函数所对应的函数值为y 1与y 2，则下列关系正确的是（ ） A ．y 1＞y 2 B ．y 1≥y 2 C ．y 1＜y 2 D ．y 1≤y 2 【分析】首先判断直线y ＝4x 与抛物线y ＝2x2＋2只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题． 【解答】解：由2 422 y x y x =??=+?消去y 得到：x 2－2x ＋1＝0， ∵△＝0，∴直线y ＝4x 与抛物线y ＝2x 2＋2只有一个交点，如图所示 观察图象可知：．y 1≤y 2， 故答案：D ． 2．（2018威海）如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x － 21x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝2 1 x 刻画，下列结论错误的是( ) A ．当小球抛出高度达到7.5时，小球距O 点水平距离为3m B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势 C ．小球落地点距O 点水平距离为7米
D ．斜坡的坡度为1∶2 【分析】根据二次函数图象和性质可解答 【解答】解：：根据函数图象可知，当抛出的高度为7．5时，小球距离O 点的水平距离有两值（为3m 或5m ），A 结论错误；由y ＝4x － 21x 2得y ＝－2 1 （x －4）2＋8，则对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 值的增大而减小，B 结论正确；联立方程y ＝4x － 12 x 2 与y ＝21x 解得???==00y x ，或?????==277y x ；则抛物线与直线的交点坐标为（0，0）或（7，27），C 结论正确；由点（7，27）知坡度为27∶7＝1∶2（也可以根据y ＝21x 中系数2 1 的意义判断 坡度为1∶2），D 结论正确； 故选A ． 3．（2017?泰安）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为（ ） A ．19cm 2 B ．16 cm 2 C ．15 cm 2 D ．12 cm 2 【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出AC=6cm ，设运动时间为t （0≤t≤4），则PC= （6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ，利用分割图形求面积法可得出S 四边形PABQ=t 2 ﹣6t+24，利用二 次函数性质即可求出四边形PABQ 的面积最小值．
九年级数学二次函数应用题专题复习
二次函数应用题专题复习（含答案） 例1实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y （毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=- 200X2+400X刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y= （k> 0）刻画（如图所示）. （1）根据上述数学模型计算： ①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ ②当x=5时，y=45，求k的值. （2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫 升时属于酒后驾驶”，不能驾车上路.参照上述数学模型，假设某驾驶员晚 上20: 00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7: 00能否驾车去上班？请说 例2、（2016?葫芦岛）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y （本）与每本纪念册的售价x （元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为 32本. （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使 文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 例3、某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1 （元/台）与采购数量％（台） -10x2+1300 （0v X2W 20 X2 为整数）. （1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的 家共有几种进货方案? （2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完.在（1）的条件下, 问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润. 例4、九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（K x< 90,且x为整数）的售 价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y （单位：元/件），每天的 销售量为p （单位：件），每天的销售利润为w （单位：元）. 满足y1=- 20x1 + 1500 （0v x1< 20 X1为整数）；冰箱的采购单价y（元/台）与采购数量X2 （台）满足y2= 「且空调采购单价不低于1200元，问该商明理
初三数学二次函数应用题专题复习
二次函数应用题专题复习（含答案） 1、（2016?葫芦岛）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元 （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大最大利润是多少 2．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件． （1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少 （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元
3．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大最大利润是多少 （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
二次函数的应用练习题及答案
二次函数的应用练习题及答案 一：知识点 利润问题：总利润=总售价–总成本 总利润=每件商品的利润×销售数量 二：例题 1、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个形，则这两个形面积之和的最小值是cm2． 2、某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是________________ 3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门,问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少? 4、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经调查发现，若每件衬衫每降价1元，商场平均每天可以多售出2件．若每件降价x 元，每天盈利y 元，求y 与x 的关系式．若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？
5、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求： 房间每天的入住量y关于x的函数关系式． 该宾馆每天的房间收费z关于x的函数关系式． 该宾馆客房部每天的利润w关于x的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？ 6、某商店经营一批进价每件为2元的小商品，在市场营销的过程中发现：如果该商品按每件最低价3元销售，日销售量为18件，如果单价每提高1元，日销售量就减少2件．设销售单价为x，日销售量为y． 写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；设日销售的毛利润为P，求出毛利润P与销售单价x之间的函数关系式； 在下图所示的坐标系中画出Ｐ关于x的函数图象的草图，并标出顶点的坐标；观察图象，说出当销售单价为多少元时，日销售的毛利润最高？是多少？ 7、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入
二次函数实际应用题专题训练
二次函数实际应用题专题训练 1、某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=－2x+100.(利润=售价－制造成本) （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？ （3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不得高于32元.如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 2、某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元． (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元? (2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． (3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)
3、把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。 （1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。 ①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。 （2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。 ●变式练习： 如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D四个顶点正
二次函数的实际应用(典型例题分类)
二次函数与实际问题 1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等） 2、实际应用（求最值、最大利润、最大面积等） 解决此类问题的基本思路是： (1)理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； (3)用数学的方式表示它们之间的关系； (4)做函数求解； (5)检验结果的合理性，拓展等． 例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？ 变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造 一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积 y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数 关系式？当x为多长时，花园面积最大？
例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多? 设销售单价为x元，(0＜x≤13.5)元，那么 （1）销售量可以表示为____________________； （2）销售额可以表示为____________________； （3）所获利润可以表示为__________________； （4）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________。 变式练习2：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. （1）问题中有哪些变量？其中自变量是_______,因变量是___________. （2）假设增种棵橙子树，那么果园里共有_________棵橙子树,这时平均每棵树结 _________个橙子. （3）如果橙子的总产量为y个，请你写出x与y之间的关系式_______________. （4）果园里种_____棵橙子树橙子的总产量最多，最多是________________。
《二次函数的应用》专题练习
《二次函数的应用》专题练习 1．某一型号的飞机着陆后滑行的路程s （单位：m ）米与时间t （单位：s ）之间的函数关系式为： s ＝60t －，试问飞机着陆后滑行多远才能停止 2．如图拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为231x y -=，当水面离桥顶的高度为3 25 米时，水面的宽度为多少 米 。 3．如图是抛物线形拱桥，拱顶离水面2m ，水面宽度4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少 $ 4．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB ＝18m 。一同学站在门内，在离门脚B 点1m 远的D 处，垂直地面 立起一根1.7m 长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C 处。根据这些条件，请你求出该大门的高h 。 ?
5．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰好在水面中心，安装在柱子顶 端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线的 形状如图(1)和(2)所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是 y ＝－x 2 ＋2x ＋ 5 4 ，请你寻求： （1）柱子OA 的高度为多少米 （2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少 （3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外。 （ 6．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到 , 最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。 (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是 多少 ？ 7．如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB 为6米，最高点离地面的距离OC 为5米。以最高点O 为坐 标原点，抛物线的对称轴为y 轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求： （1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x 的取值范围； （2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB 的距离）能否通过此隧道 (1)0(2)x B y A O x 【 A B
中考数学复习专题15 二次函数的应用
专题15 二次函数的应用?解读考点 ?2年中考 【2015年题组】 1．（2015六盘水）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（） A．60m2 B．63m2 C．64m2 D．66m2 【答案】C． 考点：1．二次函数的应用；2．应用题；3．二次函数的最值；4．二次函数的最值．2．（2015铜仁）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面
宽度AB为（） A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m 【答案】C． 考点：二次函数的应用． 3．（2015潍坊）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 【答案】C． 【解析】 试题分析：??ABC为等边三角形，??A=?B=?C=60°，AB=BC=A C．?筝形ADOK?筝形BEPF?筝形AGQH，?AD=BE=BF=CG=CH=AK．?折叠后是一个三棱柱，?DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形，??ADO=?AKO=90°．连结AO，在Rt?AOD和Rt?AOK中，?AO=AO，OD=OK，?Rt?AOD?Rt?AOK（HL），??OAD=?OAK=30°．设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可
以求出AD=，?DE=，?纸盒侧面积=== ，?当x=时，纸盒侧面积最大为．故选C． 考点：1．二次函数的应用；2．展开图折叠成几何体；3．等边三角形的性质；4．最值问题；5．二次函数的最值；6．综合题． 4．（2015金华）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线 ，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC?x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（） A．米B．米C．米D．米 【答案】B．